Vorbemerkungen

Definition. Seien R und A Klassenterme. R heißt stark fundiert auf A, falls folgendes gilt:

(i) SF1(A,R):≡ R ⊆ A × A
(ii) SF2(A,R):≡ ∀u (u ≠ ∅ ⟶ ∃x (x ∈ u ∧ ∀y(y ∈ u ⟶ ¬yRx))
(iii) SF3(A,R):≡ ∀x {z | zRx} ∈ V.
(iv) SF(A,R):≡ SF1(A,R) ∧ SF2(A,R) ∧ SF3(A,R).
(v) Ext(A,R):≡ R ⊆ A × A ∧ ∀x, y ((x ∈ A ∧ y ∈ A) ⟶ ({z | zRx} = {z | zRy} ⟶ x = y)).

R heißt stark fundiert auf A, falls SF(A,R). R heißt extensional auf A, falls Ext(A,R).

1 Axiomatisierung einer nichtrivialen, elementaren Einbettung in ZFC

(1.1) Definition. Das Axiomensystem ZFC_{π}^{M,N}, wobei M,N Klassenterme sind und π ein 2-stelliges Relationssymbol, beinhaltet ZFC und folgende Axiome:

(A1) π ist eine Abbildung π : M ⟶ N. ∀x∀y (π(x, y) ⟶ (x ∈ M ∧ y ∈ N)) ∧ ∀x(x ∈ M ⟶ ∃y π(x, y)) ∧ ∀x, y_{1}, y_{2} ((π(x, y_{1}) ∧ π(x, y_{2})) ⟶ y_{1} = y_{2})

(A2) π ist injektiv. ∀x_{1}, x_{2}, y ((π(x_{1}, y) ∧ π(x_{2}, y)) ⟶ x_{1} = x_{2})

(A3) Die Abbildung ist nichttrivial. ∃x (On(x) ∧x ≠ π(x)), wobei π(x) :≡ {z | ∀y_{0} ((π(x, y_{0}) ∧ ∀y_{1} (π(x, y_{1}) ⟶ y_{0} = y_{1})) ⟶ z ∈ y_{0})}

(Aus_{π}) Für jede ∈-Formel φ(x, w⃗) gilt die Aussage: ∀w_{1}, ..., w_{n} ∈ M ∀a {x | x ∈ a ∧ φ(x, π(w_{1}), ..., π(w_{n}))} ∈ V.

(Ers_{π}) ∀a π“a ∈ V, wobei π“a := {y | ∃x ∈ a y = π(x)}

(Fund_{π}) Für jeden Klassenterm A ≡ {x | φ(x, π(w_{1}), ..., π(w_{n}))} gilt die Aussage ∀w_{1}, ..., w_{n} (A ≠ ∅ ⟶ ∃x(x ∈ A ∧ A ∩ x = ∅)).

ZFC_{π}^{M,N} enthält Forderungen an M,N:

M(i) Trans((M,∈↾M))

N(i) Trans((N,∈↾N)) ∧ M ⊆ N (1.2) Definition.

\begin{matrix}(i) & κ :≡ ⋂\{x | x ∈ On^{M} ∧ π(x) > x ∧ π↾x = id_{x}\} \\ (ii) & U :≡ \{x | x ∈ P(κ) ∩ M ∧ κ ∈ π(x)\} \end{matrix}

Da M transitiv ist, gilt nach dem Schema (Aus)_{π} U ∈ V und κ ∈ V.

M(ii) (Schwache Fügsamkeitsaxiom) ∀f ∈ ^{κ}M ∩ M {i < κ | ψ[i, κ, π(f)]} ∈ M mit ψ(x, y, z) := ∀v ∈ rang(z) ((x, v) ∈ z ⟶ y ∈ v). (v ∈ rang(x) ⟷ ∃z ∈ x ∃y ∈ z ∃u ∈ y (u ∈ z ∧ {u, v} = y))

M(iii) (Ultrapotenzaxiom) ∀x ∈ M ∃f ∈ M f : κ ⟶ {x}.

M(iv) (Normalitätsaxiome)

(i) ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M {ξ < κ | ∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α)} ∈ M
(ii) ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M {ξ < π(κ) | ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(F (α))} ∈ M.
(iii) ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M ∀α < κ π(F (α)) ∈ M
(iv) π(κ) ∈ M

M(v) ∀f, g ∈ ^{κ}U ∩ M {i < κ | f(i) = g(i)} ∈ M

Das folgende, in ZFC_{π}^{M,N} enthaltene Schema, gewährleistet die Elementarität: (Erfüllungsschema) Für jedes n < ω, für jede Σ_{1}-Formel mit card(frei(φ)) = n ∀x_{0}, .., x_{n−1}, y_{0}, ..., y_{n−1} (π(x_{0}, y_{0})∧...∧π(x_{n−1}, y_{n−1}) ⟶ ((M, ∈) ⊧ φ[x_{0}, .., x_{n+1}] ⟷ (N, ∈) ⊧ φ[y_{1}, .., y_{n−1}]))

(1.4) Definition. Ein Ultrafilter W ⊆ M ist ein W -Ultrafilter über κ gdw.

(i) (M, ∈, W) ⊧ W ist ein normaler Ultrafilter über κ
(ii) (M, ∈, W) ist schwach fügsam: ∀F ∈ ^{κ}M ∩ M {ξ < κ | F (ξ) ∈ W } ∈ M.

(1.5) Lemma. (ZFC_{π}^{M,N}) Es gilt: (M, ∈, U) ⊧ U ist ein M-Ultrafilter über κ. Beweis.

(1) U ist ein Filter über κ. Beweis(1). Da M transitiv ist: κ ∈ π(κ) ⟹ (M, ∈, U) ⊧ (v ∈ U)\frac{κ}{v} (π(v) = v)\frac{∅}{v} ⟹ (M, ∈, U) ⊧ (v ∉ U)\frac{∅}{v}.

U ist unter endlichen Schnitten abgeschlossen, denn:

∀v, w ∈ P(κ) ∩ M (M, ∈) ⊧ ∀z (z ∈ v ∩ w ⟷ z ∈ v ∨ z ∈ w) ⟹ ∀v, w ∈ P(κ) ∩ M (N, ∈) ⊧ ∀z (z ∈ π(v ∩ w) ⟷ z ∈ π(v) ∨ z ∈ π(w)) ⟹ D.h, falls v, w ∈ P(κ) ∩ M, folgt π(v) ∩ π(w) = π(v ∩ w) Also: ∀v, w ∈ P(κ) ∩ M((κ ∈ π(v) ∧ κ ∈ π(w)) ⟶ κ ∈ π(v ∩ w)) ⟹ ∀v, w ∈ P(κ) ∩ M(M, ∈, U) ⊧ (v ∈ U ∧ w ∈ U) ⟶ v ∩ w ∈ U.

Falls v ∈ U, und v ⊆ w, dann ist auch w ∈ U: ∀v, w ∈ P(κ) ∩ M(M, ∈) ⊧ ∀z (z ∈ v ⟶ z ∈ w) ⟹ ∀v, w ∈ P(κ) ∩ M(N, ∈) ⊧ ∀z (z ∈ π(v) ⟶ z ∈ π(w)) D.h, falls v, w ∈ P(κ) ∩ M, folgt aus v ⊆ w, π(v) ⊆ π(w). Also: ∀v, w ∈ P(κ) ∩ M ((v ⊆ w ∧ κ ∈ π(v)) ⟶ κ ∈ π(w)) ⟹ ∀v, w ∈ P(κ) ∩ M (M, ∈, U) ⊧ (v ⊆ w ∧ v ∈ U) ⟶ w ∈ U qed(1)

(2) U ist Ultrafilter. Beweis(2). Da N transitiv ist, folgt für alle v ∈ P(κ) ∩ M, wenn κ ∉ π(v), κ ∈ π(κ \ v), da κ ∈ π(κ) = π(v) ∪ π(κ \ v), Beweis ist analaog zum Beweis vom Schnitt. Das läßt sich auch formulieren als: ∀v ∈ P(κ) ∩ M (M, ∈, U) ⊧ (v ∉ U ⟶ (κ \ v ∈ U)) qed(2).

(3) U ist eine freier Ultrafilter. Beweis(3). ∀α < κ π({α}) = {α} ⟹ (M, ∈, U) ⊧ ∀α < κ {α} ∉ U. qed(3)

(4) U ist normaler Ultrafilter. Beweis(4). Es ist zu zeigen: Für alle F ∈ ^{κ}U ∩ M (M, ∈, U) ⊧ {ξ | ξ < κ ∧ ∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α)} ∈ U Es gilt: ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M (M, ∈) ⊧ ∀ξ < κ (ξ ∈ {ξ | ξ < κ ∧ ∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α)} ⟷ ξ < κ ∧ ∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α) Unter der Voraussetzung von M(iv)(i) ergibt sich: ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M (N, ∈) ⊧ ∀ξ < κ (ξ ∈ π({ξ | ξ < κ ∧ ∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α)}) ⟷ ξ < π(κ) ∧ ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(F (α))}) Also: π({ξ | ξ < κ∧∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α)}) = {ξ | ξ < π(κ)∧∀α ∈ ξ ξ ∈ π(F (α))} (*) Es gilt: ∀F ∈^{κ}U ∩M (M, ∈) ⊧ ∀ξ < κ (ξ ∈ {ξ | ξ < π(κ)∧∀α ∈ ξ ξ ∈ π(F)(α)} ⟷ ξ < π(κ) ∧ ∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α) Unter der Voraussetzung von M(iv)(iv),M(iv)(ii) ergibt sich: ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M (N, ∈) ⊧ ∀ξ < κ (ξ ∈ π({ξ | ξ < π(κ) ∧ ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(F)(α)}) ⟷ ξ < π(π(κ)) ∧ ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(π(F (α)))}) Also: π({ξ | ξ < π(κ) ∧ ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(F)(α)}) = {ξ | ξ < π(π(κ)) ∧ ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(π(F (α)))} (**)

∀F ∈ ^{κ}U ∩ M ∀α < κ κ ∈ π(F (α)) ⟹ Da nach M(iv)(iii) ∀α < κ π(F (α)) ∈ M, folgt: ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M (N, ∈) ⊧ ∀α < π(κ) π(κ) ∈ π(π(F (α))) ⟹ Nach (**) folgt weiter: ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M (N, ∈) ⊧ π(κ) ∈ {ξ < π(π(κ)) | ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(π(F (α))} ⟹ ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M (N, ∈) ⊧ π(κ) ∈ π({ξ < π(κ) | ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(F (α))}) ⟹ ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M (M, ∈) ⊧ κ ∈ {ξ < π(κ) | ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(F (α))} ⟹ Nach (*) gilt: ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M (M, ∈) ⊧ κ ∈ π({ξ < κ | ∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α)}) ⟹ ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M (M ∈, U) ⊧ {ξ < κ | ∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α)} ∈ U qed(4).

Beh. ∀β ≤ κ ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M (N, ∈) ⊧ ∀α < π(β) π(F)(α) = π(F (α)). Beweis. ∀β ≤ κ ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M (M, ∈) ⊧ ∀α < β (F (α) = {x | ∀y_{0} (((α, y_{0}) ∈ F ∧ ∀y_{1}((α, y_{1}) ∈ F ⟶ y_{0} = y_{1})) ⟶ x ∈ y_{0})}) ⟹ ∀β ≤ κ ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M (N, ∈) ⊧ ∀α < π(β) (π(F (α)) = {x | ∀y_{0} (((α, y_{0}) ∈ π(F) ∧ ∀y_{1}((α, y_{1}) ∈ π(F) ⟶ y_{0} = y_{1})) ⟶ x ∈ y_{0})} = π(F)(α)). qed(Beh).

(5) (M, ∈, U) ist schwach fügsam. Beweis(5). Nach M(ii), dem schwachen Fügsamkeitsaxiom gilt ∀f ∈^{κ}M ∩M {i | i ∈ κ ∧ κ ∈ π(f)(i)} ∈ M. Da ∀f ∈ ^{κ}M ∩ M ∀i < π(κ) π(f(i)) = π(f)(π(i)) = π(f)(i), folgt ∀f ∈ ^{κ}M ∩ M {i | i ∈ κ ∧ f(i) ∈ U} ∈ M. qed(5). qed.

(1.6) Definition. Es läßt sich jetzt eine Ultrapotenz definieren:

(i) (f)_{U} :≡ {g | g ∈ ^{κ}M ∩ M ∧ {i < κ | f(i) = g(i)} ∈ U}
(ii) (f)_{U}^{0} :≡ {g | g ∈ (f)_{U} ∧ ∀h (h ∈ (f)_{U} ⟶ rank(g) ≤ rank(h))}
(iii) ^{κ}M/U :≡ {x | x = (f)_{U}^{0} ∧ f ∈ ^{κ}M ∩ M}
(iv) E_{U} :≡ {(x, y) | x = (f)_{U}^{0} ∧ y = (g)_{U}^{0} ∧ f, g ∈ ^{κ}M ∩ M ∧ {ξ < κ | f(ξ) ∈ g(ξ)} ∈ U}
(v) Ē_{U} :≡ {(x, y) | x = (f)_{U}^{0} ∧ y = A_{U} ∧ f ∈ ^{κ}M ∩ M ∧ {ξ < κ | f(ξ) ∈ U} ∈ U}
(vi) A_{U} :≡ {(f)_{U}^{0} | f ∈ ^{κ}M ∩ M ∧ {ξ < κ | f(ξ) ∈ U} ∈ U}.

(1.7) Bemerkung.

(i) Aufgrund von U ∈ V und der schwachen Fügsamkeit ist die Definition möglich.
(ii) Die Struktur Ult^{∗}(M, U) = (^{κ}M/U, E_{U}, A_{U}) wird in diesem Text erweiterte Ultrapotenz

von M durch U genannt.

(1.8) Definition. Zu dem Kalkül der Formeln der Mengenlehre wird folgende Regel hinzugefügt: Wenn v eine Variabel ist, dann ist v ∈ R_{U} eine atomare Formel, wobei R_{U} ein 1-stelliges Relationssymbol ist. Das erweiterte Kalkül wird Kalkül der ∈-R_{U}-Formeln genannt.

(1.9) Definition. Fur die Struktur Ult^{∗}(M,U) wird die Modellbeziehung für ∈-R_{U}-Formeln durch Rekursion über den Formelaufbau definiert. Ult^{∗}(M, U)⊧ (f_{0})_{U}^{0} ∈ (f_{1})_{U}^{0} :≡ (f_{0})_{U}^{0}E_{U}(f_{1})_{U}^{0}. Ult^{∗}(M, U)⊧ (f)_{U}^{0} ∈ R_{U} :≡ (f)_{U}^{0} Ē_{U}A_{U}. Ult^{∗}(M, U)⊧ φ ∧ ψ :≡ Ult^{∗}(M, U)⊧ φ und Ult^{∗}(M, U)⊧ ψ Ult^{∗}(M, U)⊧ ¬φ ≡ nicht Ult^{∗}(M, U)⊧ φ Ult^{∗}(M, U)⊧ ∃u φ(u, v_{1}, .., v_{n}) :≡ es gibt ein f ∈ ^{κ}M, so daß Ult^{∗}(M, U)⊧ φ((f)_{U}^{0}, v_{1}, .., v_{n}).

(1.10) Theorem(Łoś) (ZFC_{π}^{M,N}) Für alle ∈-R_{U}-Formeln φ(v_{0}, ..., v_{n}) und Funktionen f_{0}, ..., f_{n} ∈ ^{κ}M/U gilt: Ult^{∗}(M,U)⊧ φ[(f_{0})_{U}^{0}, ...(f_{n−1})_{U}^{0}] ⟷ {ξ ∈ κ | (M, ∈, U) ⊧ φ[f_{0}(ξ), ..., f_{n−1}(ξ)]} ∈ U Beweis. Induktion über den Formelaufbau von quantorenfreien Formeln. Ult^{∗}(M, U)⊧ (f)_{U}^{0} = (g)_{U}^{0} ⟷ (f)_{U}^{0} = (g)_{U}^{0} ⟷ {i < κ | f(i) = g(i)} ∈ U ⟷ {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ f(i) = g(i)} ∈ U.

Ult^{∗}(M, U)⊧ (f)_{U}^{0} ∈ (g)_{U}^{0} ⟷ (f)_{U}^{0}E_{U}(g)_{U}^{0} ⟷ {i < κ | f(i)E_{U}g(i)} ∈ U ⟷ {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ f(i) ∈ g(i)} ∈ U.

Ult^{∗}(M, U)⊧ (f)_{U}^{0} ∈ A_{U} ⟷ (f)_{U}^{0}E_{U}A_{U} ⟷ {i < κ | f(i) ∈ U} ∈ U ⟷ {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ f(i) ∈ U} ∈ U.

Die Behauptung gelte für φ(v_{0}, ..., v_{n}). Dann: Ult^{∗}(M, U)⊧ ¬φ[(f_{0})_{U}^{0}, ..., (f_{n})_{U}^{0}] ⟷ ¬ Ult^{∗}(M,U)⊧ φ[(f_{0})_{U}^{0}, ..., (f_{n})_{U}^{0}] ⟷ {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ φ[f_{0}(i), ..., f_{n}(i)]} ∉ U ⟷ {i < κ | (M, ∈, U) ⊭ φ[f_{0}(i), ..., f_{n}(i)]} ∈ U ⟷ {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ ¬φ[f_{0}(i), ..., f_{n}(i)]} ∈ U.

Die Behauptung gelte für φ(v_{0}, ..., v_{n}) und ψ(v_{0}, ..., v_{m}). Dann: Ult^{∗}(M, U)⊧ φ[(f_{0})_{U}^{0}, ..., (f_{n})_{U}^{0}]∧ψ[(g_{0})_{U}^{0}, ..., (g_{m})_{U}^{0}] ⟷ Ult^{∗}(M, U)⊧ φ[(f_{0})_{U}^{0}, ..., (f_{n})_{U}^{0}] ∧ Ult^{∗}(M, U)⊧ ψ[(g_{0})_{U}^{0}, ..., (g_{m})_{U}^{0}] ⟷ {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ φ[f_{0}(i), ..., f_{n}(i)]} ∈ U ∧ {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ ψ[g_{0}(i), ..., g_{m}(i)]} ∈ U ⟷ {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ φ[f_{0}(i), ..., f_{n}(i)] ∧ ψ[g_{0}(i), ..., g_{m}(i)]} ∈ U.

Die Behauptung sei wahr für φ(u, v_{1}, ..., v_{n}) Ult^{∗}(M, U)⊧ ∃u φ[u, (f_{0})_{U}^{0}, ..., (f_{n})_{U}^{0}] ⟹ Ult^{∗}(M,U)⊧ φ[(g)_{U}^{0}, (f_{0})_{U}^{0}, ..., (f_{n})_{U}^{0}] ⟹ {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ φ[g(i), f_{1}(i)..., f_{n}(i)]} ∈ U ⟹ {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ ∃uφ[u, f_{1}(i)..., f_{n}(i)]} ∈ U. Nun gelte {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ ∃uφ[u, f_{1}(i)..., f_{n}(i)]} ∈ U.

Für jedes i sei u_{i}, wenn er existiert, der Erfüller des Existenzquantors, und beliebig sonst. Dann {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ φ[u_{i}, f_{1}(i)..., f_{n}(i)]} ∈ U. Nach dem Auswahlaxiom gilt: ∃g g : k ⟶ M ∧ ∀i < κ g(i) = u_{i}. Es folgt: {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ φ[g(i), f_{1}(i)..., f_{n}(i)]} ∈ U ⟹ Ult^{∗}(M, U)⊧ φ[(g)_{U}^{0}, (f_{0})_{U}^{0}, ..., (f_{n})_{U}^{0}] qed.

(1.11) Definition.

(1) ι_{U} :≡ {z | ∃x, y (x ∈ M ∧ y ∈ ^{κ}M/U ∧y = (f_{x})_{U}^{0} ∧ z = (x, y))} mit f_{x} : κ ⟶ {x}, m ↦ x, nach M(iii) gilt f_{x} ∈ M.

(2) k_{U} :≡ {z | ∃f, y ((f)_{U}^{0} ∈ ^{κ}M/U ∧y ∈ N ∧y = (π(f))(κ)∧z = ((f)_{U}^{0}, y))}

(1.12) Lemma. (ZFC_{π}^{M,N}) Die Abbildung ι_{U}:M ⟶ Ult^{∗}(M,U) ist elementar für alle ∈-R_{U}-Formeln. Beweis. Sei φ(v_{o}, ..., v_{n}) eine ∈-R_{U}-Formel. (M, ∈, U) ⊧ φ[x_{0}, ..., x_{i}, ..., x_{n−1}] ⟺ {i ∈ κ | (M, ∈, U) ⊧ φ[f_{x_{0}}(i), ..., f_{x_{n−1}}(i)]} ∈ U ⟺ (Loś) Ult^{∗}(M, U)⊧ φ[(f_{x_{0}})_{U}^{0}, ...(f_{x_{n−1}})_{U}^{0}] ⟺. Ult^{∗}(M, U)⊧ φ[ι_{U}(x_{0}), ...ι_{U}(x_{n−1})] qed.

(1.13) Lemma (ZFC_{π}^{M,N}) Sei Ult(M, U) = (^{κ}M/U, E_{U}) die Ultrapotenz von M durch U. Die Einbettung k_{U}:Ult(M, U) ⟶ (N, ∈), k_{U}((f)_{U}^{0}) = (π(f))(κ) ist Σ_{1}-elementar für ∈-Formeln und k_{U}(ι_{U}(x)) = π(x). Beweis. Für jedes (f)_{U}^{0}, sei k((f)_{U}^{0}) = π(f)(κ).

(1) Definition ist wohldefiniert. Unter Anwendung von M(v) gilt: Für alle f, g ∈ ^{κ}M ∩ M Ult(M, U) ⊧ (f)_{U}^{0} = (g)_{U}^{0} ⟹ {i < κ | f(i) = g(i)} ∈ U, deshalb: κ ∈ {i < π(κ) | π(f)(i) = π(g)(i)} ⟹ π(f)(κ) = π(g)(κ) qed(1)

(2) k ist Σ_{1}-elementar. Beweis. Sei φ(x⃗) eine ∈-Formel und es gelte Ult(M, U) ⊧ φ((f_{0})_{U}^{0}, ..., (f_{i})_{U}^{0}, ..., (f_{n})_{U}^{0}), dann {i < κ | (M, ∈) ⊧ φ(f_{0}(i), ...., f_{i}(i), ..., f_{n}(i))} ∈ U ⟹ κ ∈ {i < π(κ) | (M, ∈) ⊧ φ(π(f_{0})(i), ...., π(f_{i})(i), ..., π(f_{n})(i))} ⟹ (M, ∈) ⊧ φ(k((f_{0})_{U}^{0}), .., k((f_{i})_{U}^{0}), .., k((f_{n})_{U}^{0}) qed(2).

(3) k ist injektiv. Beweis. (M, ∈) ⊧ k((f_{0})_{U}^{0}) = k((g_{0})_{U}^{0}) ⟹ Ult(M, U) ⊧ (f_{0})_{U}^{0} = (g_{0})_{U}^{0}. qed(3)

(4) ∀a ∈ M k(ι_{U}(a)) = π(a). Beweis. Per Definition k(ι_{U}(a)) = k((f_{a})_{U}^{0}) = π(f_{a})(κ). (M, ∈) ⊧ ∀i < κ f_{a}(i) = a ⟹ (N, ∈) ⊧ ∀i < π(κ) π(f_{a})(i) = π(a). Deshalb π(f_{a})(κ) = π(κ).

(1.14) Korollar. (ZFC_{π}^{M,N})

(a) SF(^{κ}M ∩ M, E_{U})

(b) Ext(^{κ}M/U, E_{U}) Beweis.

(a) (1) SF2(^{κ}M ∩ M, E_{U}). Angenommen Ult(M, U) ⊧ ¬(∀u (u ≠ ∅ ⟶ ∃x (x ∈ u ∧ ∀y(y ∈ u ⟶ ¬y ∈ x)) ⟹ Ult(M, U) ⊧ ∃u ¬(u ≠ ∅ ⟶ ∃x (x ∈ u ∧ ∀y(y ∈ u ⟶ ¬y ∈ x)) ⟹ (N, ∈) ⊧ ∃u ¬(u ≠ ∅ ⟶ ∃x (x ∈ u ∧ ∀y(y ∈ u ⟶ ¬y ∈ x)) qed(1). Widerspruch zur Fundiertheit von ∈.

(2) SF3(^{κ}M ∩ M, E_{U}). Beweis. Es ist zu zeigen: ∀f ∈^{κ} M ∩ M{(g)_{U}^{0} | (g)_{U}^{0} E_{U} (f)_{U}^{0} ∈ U} ∈ V. Sei f ∈^{κ}M ∩M, dann ∃α rang(f) ⊆ V_{α}. Es folgt, wenn (g)_{U}^{0}E_{U}{(g)_{U}^{0} | (g)_{U}^{0} ∈ (f)_{U}^{0} ∈ U}, dann rang(g) ⊆ V_{α}. Es ist g ∈ κ × V_{α} ⊆ P (P (κ ∪ V_{α})) ⊆ V_{κ+α+2}. ⟹ (g)_{U}^{0} ∈ V_{κ+α+3} ⟹ {(g)_{U}^{0} | (g)_{U}^{0}E_{U}(f)_{U}^{0} ∈ U} ∈ V_{κ+α+4} qed(a).

(b) Angenommen (f)_{U}^{0} ≠ (g)_{U}^{0}. Dann folgt {i ∈ κ | f(i) ⊆ g(i)} ∉ U oder {i ∈ κ | f(i) ⊇ g(i)} ∉ U. O.B.d.A sei {i ∈ κ | f(i) ⊆ g(i)} ∉ U. Definiere h ∈ ^{κ}M ∩ M mit h(i) = x ∈ f(i)\g(i) für i ∈ κ\{i ∈ κ | f(i) ⊆ g(i)} ∈ U, h(i) = 0 sonst. Dann ist {i ∈ κ | h(i) ∈ f(i)} ∈ U und (h)_{U}^{0}E_{U}(f)_{U}^{0}. Aber: {i ∈ κ | h(i) ∈ g(i)} ⊆ {i ∈ κ | f(i) ⊆ g(i)} ∉ U ⟹ ¬(h)_{U}^{0}E_{U}(g)_{U}^{0}. (f)_{U}^{0} und (g)_{U}^{0} haben verschiedene E_{U} Vorgänger. qed.

(1.15) Definition.

(i) Sei Φ : Ult^{∗}(M, U) ≅ (M_{U}, ∈, W) der Mostowski Isomorphismus mit W :≡ π“U
(ii) Sei Φ((f)_{U}^{0}) = [f]_{U}.
(iii) i_{U} :≡ {z | ∃x, y (x ∈ M ∧ y ∈ M_{U} ∧ y = [f_{x}]_{U} ∧ z = (x, y))}

(1.16) Bemerkung. (ZFC_{π}^{M,N})

(i) Nach dem Isomorphielemma ist die Abbildung Φ elementar für ∈-R_{U}-Formeln.
(ii) i_{U} :≡ Φ ∘ ι_{U} ist elementar für ∈-R_{U}-Formeln.
(iii) k̄_{U} :≡ k_{U} ∘ Φ^{−1} ist elementar für ∈-Formeln.

2 Beispiele von transitiven Kollapsen von Ultrapotenzen

(2.0) Lemma. (ZFC_{π}^{M,N}) Falls M eine Menge ist, dann ist M_{U} eine Menge und es gilt card(M) = card (M_{U}). Beweis. M_{U} ist Menge, da card(M) ≥ card(^{κ}M ∩ M) ≥ card(M_{U}), aber, da i_{U} eine Einbettung ist, gilt auch card(M) ≤ card(M_{U}).

(2.1) Lemma. (ZFC_{π}^{M,N}) (On ∩ M) ≤ (On ∩ M_{U}) ≤ (On ∩ N) Beweis. Angenommen (On ∩ M) > (On ∩ M_{U}) = δ. Wegen δ ≤ i_{U}(δ), ist i_{U}(δ) ∉ M_{U}. Widerspruch. Angenommen δ > (On ∩ N) = β. Wegen β ≤ k̄_{U}(β), ist k̄_{U}(β) ∉ N. Widerspruch. qed.

(2.2) Definition. Eine Menge R ⊆ M ist Σ_{n}(M), wenn es eine Σ_{n} Formel φ(v_{0}, ..., v_{n−1}) gibt, sodaß gilt: ∃y_{1}...∃y_{n−1} ∈ M ∀x ∈ M [x ∈ R ⟷ (M, ∈) ⊧ φ[x, y_{1}, .., y_{n−1}]]

(2.3) Definition. Eine transitive Menge M heißt fügsam, wenn sie folgende Axiome erfüllt:

(i) ∀x, y ∈ M {x, y} ∈ M
(ii) ∀x ∈ M ⋃ x ∈ M
(iii) ω ∈ M
(iv) ∀x, y ∈ M x × y ∈ M
(v) falls R ⊆ M Σ_{0}(M) ist, dann ∀x ∈ M R ∩ x ∈ M.

(2.4) Lemma. Es gelte:

(i) M transitive, fügsame Menge.
(ii) N transitive Menge und (M, ∈) ⊆ (N, ∈).
(iii) π : M ⟶ N, nichttriviale Σ_{1}-elementare Einbettung vo M nach N.

Dann gilt (A1),(A2),(A3),M(i),M(iii),N(i) und das Erfüllungsschema. Beweis. (A1),(A2),(A3), M(i), N(i) und das Erfüllungsschema sind klar. M(iii) folgt sofort aus der Fügsamkeit von M. qed.

(2.5) Lemma. Es gelte zusätzlich ZFC und:

\begin{matrix}(i) & ∀f ∈ ^{κ}M ∩ M π(f) ∈ M \\ (ii) & ∀f ∈ ^{κ}M ∩ M ∀α < κ π(f(α)) ∈ M \\ (iii) & π(κ) ∈ M \end{matrix}

Dann ist ZFC_{π}^{M,N} erfüllt. Beweis. M(iv)(iii), M(iv)(iv) sind (ii),(iii). M(ii)(Schwache Fügsamkeit): Es gilt für f ∈ ^{κ}M ∩ M : i ∈ {i < κ | ψ[i, κ, π(f)]} ⟷ i ∈ κ ∧ ψ[i, κ, π(f)]. M ist fügsam und {i | i ∈ κ ∧ ψ[i, κ, π(f)]} Σ_{0}(M), da ψ(x, y, z) eine Σ_{0}-Formel ist und nach (i) π(f) ∈ M. Also folgt {i | i ∈ κ ∧ ψ[i, κ, π(f)]} ∩ κ = {i | i ∈ κ ∧ ψ[i, κ, π(f)]} ∈ M. M(iv)(i): ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M ∀ξ < κ ξ ∈ {ξ | ∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α)} ⟷ ∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α)(*). Da M transitiv ist, folgt F (α) ∈ M. Damit ist die Formel (*) Σ_{0}(M), also {ξ | ∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α)}∩κ = {ξ | ∀α ∈ ξ ξ ∈ F (α)} ∈ M. M(iv)(ii): ∀F ∈ ^{κ}U ∩ M ∀ξ < κ ξ ∈ {ξ < π(κ) | ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(F)(α)} ⟷ ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(F)(α) (*). Da nach (ii),(iii) π(κ) ∈ M und π(F)(α) ∈ M gilt, ist (*) Σ_{0}(M), und es folgt {ξ < π(κ) | ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(F)(α)} ∩ π(κ) ∩ {ξ | ∀α ∈ ξ ξ ∈ π(F)(α)} ∈ M. M(v): Da für f, g ∈ ^{κ}M ∩ M f(i) ∈ M und f(i) = g(i) eine Σ_{0}-Formel ist, folgt {i < κ | f(i) = g(i)} ∈ M. qed.

(2.6) Lemma. (ZFC) Die Menge L_{α} ist für Lim(α), α > ω fügsam.

(2.7) Lemma. Es gelte:

(i) M = L_{α} ⊆ N = L_{β} und Lim(α),Lim(β).
(ii) π : L_{α} ⟶ L_{β} ist eine nichttriviale, Σ_{2}-elementare Einbettung.
(iii) ∀f ∈ ^{κ}L_{α} ∩ L_{α} π(f) ∈ L_{α}
(iv) ∀f ∈ ^{κ}L_{α} ∩ L_{α} ∀α < κ π(f(α)) ∈ L_{α}
(v) π(κ) ∈ L_{α}

Dann gilt ZFC_{π}^{M,N} und für den Kollaps M_{U}: M_{U} = L_{δ} mit α ≤ δ ≤ β und Lim(δ). Beweis. Die Gültigkeit von ZFC_{π}^{M,N} folgt aus Lemma (2.5). Sei i_{U} : L_{α} ⟶ M_{U} und k_{U} : M_{U} ⟶ L_{β} wie in Kapitel 1. L_{α} ⊧ ∀x ∃β ∃u (u = L_{β} ∧ x ∈ u) Sei H(v, w) ≡ v = L_{w}. Nach Devlin S.70, Lemma (2.7) (ii) ist die Klasse H uniform Δ_{1}^{L_{α}} für alle Limesordinalzahlen α > ω, d.h. es gibt eine Δ_{1}-Formel φ(v, w), so daß für alle α > ω, α > β gilt: H(u, β) ⟺ L_{α} ⊧ φ[u, β]. Δ_{1}-Formeln sind absolut für transitive Modelle. Also gilt: u = L_{β} ⟺ H(u, β) ⟺ φ[u, β]. Sei also o.B.d.A jetzt u = L_{β} die Formel Δ_{1}-Formel φ(v, w). Dann folgt, da ∀x ∃β ∃u (u = L_{β} ∧ x ∈ u) eine Π_{2} - Formel ist: M_{U} ⊧ ∀x ∃β ∃u (u = L_{β} ∧ x ∈ u) (*) D.h. (∀x ∃β ∃u (u = L_{β} ∧ x ∈ u)^{M_{U}} ⟹ ∀x ∈ M_{U} ∃β ∈ On(M_{U}) ∃u ∈ M_{U} ((u = L_{β})^{M_{U}} ∧ x ∈ u) Es gilt: L_{α} ⊧ u = L_{β} ⟺ L_{α} ⊧ φ[u, β] ⟺ φ[u, β] ⟺ u = L_{β}. Damit ist die Absolutheit von v = L_{w} gezeigt. Deshalb: ∀x ∈ M_{U} ∃β ∈ On(M_{U}) ∃u ∈ M_{U} (u = L_{β} ∧ x ∈ u) M_{U} = ⋃{{x} | x ∈ M_{U}} ⊆ ⋃{L_{β_{x}} | x ∈ M_{U}} Da für x ∈ M_{U} L_{β_{x}} ∈ M_{U} und M_{U} transitiv ist, folgt ⋃{L_{β_{x}} | x ∈ M_{U}} ⊆ M_{U} Damit gilt M_{U} = ⋃{L_{β_{x}} | x ∈ M_{U}}. Da Lim(α): (M, ∈, U) ⊧ ∀γ ∃β γ < β ⟹ (M_{U}, ∈, W) ⊧ ∀γ ∃β γ < β, also gilt Lim(On ∩M_{U}). Da es zu jedem γ ∈ M_{U} ein L_{β} mit γ ∈ L_{β} gibt, folgt mit δ = On ∩M_{U} : M_{U} = ⋃{L_{β} | β < δ}. Es gilt nach Lemma (2.1) α < δ < β qed.

(2.8) Lemma. (ZFC_{π}^{M,N}) Falls μ eine überabzählbare Kardinalzahl ist, folgt H_{μ} zulässig und erfüllt das Auswahlschema.

(2.9) Lemma. Es gelte:

(i) M = H_{μ}, N = H_{λ} mit μ ≤ λ, wobei μ und λ überabzählbare Kardinalzahlen sind.
(ii) π : H_{μ} ⟶ H_{λ} ist eine nichttriviale, Σ_{1}-elementare Einbettung.
(iii) ∀f ∈ ^{κ}H_{μ} ∩ H_{μ} ∀α < κ π(f(α)) ∈ H_{μ}
(iv) ∀f ∈ ^{κ}U ∩ H_{μ} ∀ξ < κ π({x | ∀α ∈ ξ x ∈ f(α)}) ∈ H_{μ}

Dann ist ZFC_{π}^{M,N} erfüllt und für den Kollaps M_{U} gilt, M_{U} ⊆ H_{δ}, wobei μ ≤ δ ≤ λ. Beweis. Die Gültigkeit von ZFC_{π}^{M,N} folgt aus Lemma (2.5). x ∈ H_{μ} ⟺ ∃γ < μ card(T C(x)) < γ ⟺ ∃γ < μ (∀β (∀α (∃f f : T C(x) ⟷ α) ⟶ β ≤ α) ⟶ β < γ) ⟺ ∃γ < μ (∀β ∈ μ (∀α ∈ μ (∃f f : T C(x) ⟷ α) ⟶ β ≤ α) ⟶ β < γ). Da f ⊆ T C(x) × α und H_{μ} fügsam ist und das Auswahlschema erfüllt, gilt f ∈ H_{μ} und {f} ∈ H_{μ}: ⟺ ∃γ < κ (∀β ∈ μ (∀α ∈ μ (∃f ∈ {f} f : T C(x) ⟷ α) ⟶ β ≤ α) ⟶ β < γ) (*) ⟺ (∃γ card(T C(x)) < γ)^{H_{μ}} ⟹ H_{μ} ⊧ ∃γ card(T C(x)) < γ Daraus folgt: H_{μ} ⊧ ∀x ∃γ card(T C(x)) < γ. Da (*) eine Σ_{0}-Formel ist, folgt aus der Σ_{1}-Elementarität: M_{U} ⊧ ∀x ∃γ card(T C(x)) < γ Es gilt nach Lemma (2.1) On ∩ M_{U} = δ ≤ λ. Aus x ∈ M_{U} folgt ∃γ < δ card(T C(x)) < γ. Deshalb: M_{U} ⊆ H_{δ}. qed.

3 Eigenschaften von i_{u} und der Ultrafilter W

(3.0) Von jetzt an werden zusätzlich folgende Axiome vorausgesetzt:

M(vi) ∀x ∈ M ⋃ x ∈ M M(vii) ∀a, b ⊆ κ ∃x ∈ M x = a × b M(viii) ∀f ∈ ^{(κ×κ)}M ∩ M {{i < κ | f(i, j) ∈ U} | j < κ} ∈ M M(ix) ∀f ∈ ^{κ}M ∃y ∈ M f = y. M(x) Für alle x ∈ M und j ∈ κ sei {i < κ | (i, j) ∈ x} ∈ M M(xi)(Vollständigkeitsaxiom) ∀f ∈ ^{κ}U ∩ M ∀γ < κ ⋂{f(α) | α < γ} ∈ M

(3.1) Lemma. (ZFC_{π}^{M,N},M(ix),M(xi)(Vollständigkeitsaxiom)) Der Ultrafilter U ist κ-vollständig, d.h. ∀γ < κ∀f ∈ ^{γ}U ∩ M (M, ∈, U) ⊧ ⋂{f(α) | α < γ} ∈ U. Beweis. Sei eine Funktion f̄ ∈ ^{γ}U ∩ M mit γ < κ gegeben. Definiere eine Funktion f ∈ ^{κ}U ∩ M, durch f(i) = f̄(i) für i < γ und f(i) = κ sonst. Nach M(ix) ist f ∈ M. Da U ein normaler Ultrafilter ist, gilt: (M ∈, U) ⊧ {ξ < κ | ∀α < ξ ξ ∈ f(α)} ∈ U, daraus folgt κ ∈ π({ξ < κ | ∀α < ξ ξ ∈ f(α)}) = {ξ < π(κ) | ∀α < ξ ξ ∈ π(f)(α)}. Daraus folgt: κ ∈ ⋂{π(f)(α) | α < κ} ⊆ ⋂{π(f)(α) | α < γ} = ⋂{π(f̄)(α) | α < γ}. Unter Benutzung von M(xi) gilt: i ∈ {i | ∀α < γ i ∈ π(f̄)(α)} ⟺ i ∈ π({i | ∀α < γ i ∈ f̄(α)}), deshalb: κ ∈ π(⋂{f̄(α) | α < γ}). Damit: ⋂{f̄(α) | α < γ} ∈ U nach M(xi) gilt: (M, ∈, U) ⊧ ⋂{f̄(α) | α < γ} ∈ U qed.

(3.2) Lemma. (ZFC_{π}^{M,N}) Für die Abbildung i_{U} gilt crit(i_{U}) = κ. Beweis. (1) Für alle j < κ gilt i_{U}(j) = j. Beweis(1). Falls nicht, sei α < κ minimal mit i_{U}(α) > α. Falls Ult^{∗}(M, U) ⊧ [f]_{U} = α, dann folgt nach dem Thoerem von Łoś aus Ult^{∗}(M, U) ⊧ [f] < i_{U}(α), {i < κ | (M, ∈, U) ⊧ f(i) < α} ∈ U. Es gilt: {i < κ | f(i) < α} = ⋃{{i < κ | f(i) = j} | j < α}. Da U κ-vollständig, gibt es ein β < α, so daß {i < κ | f(i) = β} ∈ U. Aber dann nach Łoś Theorem Ult^{∗}(M, U) ⊧ [f]_{U} = i_{U}(β) = β, ein Widerspruch.

(2) Zeige durch Induktion über α < κ: Für alle α < κ, {i < κ | α < i < κ} ∈ U. I.A. Klar, da für α = 0, κ ∈ U. Sei α = ᾱ + 1. Angenommen ¬{i < κ | α < i < κ} ∈ U. Dann {i < κ | α ≥ i} ∈ U und nach I.V. {i < κ | ᾱ < i < κ} ∩ {i < κ | α ≥ i} = {α} ∈ U. Aber U ist ein freier Ultrafiler. Widerspruch.

(2) Sei Lim(α). ⋂{{i < κ | γ < i} | γ < α} = {i < κ | α ≤ i} ∈ U. Dann ist aber auch {i < κ | α < i} ∈ U, ansonsten ¬{i < κ | α < i} ∈ U, und {i < κ | α ≤ i} ∩ ¬{i < κ | α < i} = {i} ∈ U, Widerspruch. Aus {i < κ | α < id_{κ}(i) < κ} ∈ U.folgt nach Łoś Theorem Ult^{∗}(M, U) ⊧ i_{U}(α) < [id_{κ}] < i_{U}(κ). Deshalb κ ≤ [id_{κ}] < i_{U}(κ), und κ = crit(i_{U}) qed.

(3.3) Definition. Für einen Filter F über einer Menge S sei X ⊆ S, dann ist F-stationär gdw. X ∩ Z ≠ ∅∀Z ∈ F.

(3.4) Lemma. (ZFC) Ein Filter F über λ ist normal gdw. für jedes Fstationäre X und regressive f : X ⟶ λ gibt es ein i < λ, so daß f^{−1}({i}) F-stationär ist.

(3.5) Lemma. (ZFC_{π}^{M,N}) Aus der Normalitat von U folgt

(i) Sei f ∈ ^{κ}κ und {i < κ | f(i) < i} ∈ U.

Dann gibt es i_{0} ∈ κ mit {i < κ | i ∈ f^{−1}({i_{0}})} = {i < κ | f(i) = i_{o}} ∈ U.

(ii) [id]_{U} = κ, wobei id : κ ⟶ κ

Beweis.

(i) Sei f ∈ ^{κ}κ und {i < κ | f(i) < i}. Dann ist f regressiv und X = κ Ustationär. Es gibt nach dem vorherigen Lemma ein i_{0} < λ, so daß f^{−1}({i_{0}}) U-stationär ist. Angenommen κ \ f^{−1}({i_{0}}) ∈ U, dann f^{−1}({i}) ∩ (κ \ f^{−1}({i_{0}})) = ∅, im Widerspruch zu f^{−1}({i_{0}}) U-stationär. Es folgt: f^{−1}({i}) = {i < κ | i ∈ f^{−1}({i_{0}})} = {i < κ | f(i)i_{o}} ∈ U. (ii) Wir wissen nach Lemma (3.2), daß κ ≤ [id]_{U} ≤ i_{U}(κ) gilt. Angenommen es gilt κ < [id]_{U}. Sei κ = [f]_{U}, dann ist {i < κ | f(i) < i} ∈ U. Dann gibt es nach (i) ein β < mit {i < κ | f(i) = β} ∈ U. Also ist κ = [f]_{U} = i_{U}(β) = β < κ. Widerspruch.

(3.6) Lemma. Es gilt M_{U} = {i_{U}(f)(κ) | f ∈ ^{κ}M ∩ M}, wobei i_{U}(f)(κ) = [f]_{U} gilt, für f ∈ ^{κ}M ∩ M. Beweis. Sei x ∈ M_{U}, dann gibt es f ∈ ^{κ}M ∩ M mit x = [f]_{U}. Nach Lemma (3.5) gilt i_{U}(f)(κ) = i_{U}(f)([id]_{U}) = [g_{f}]([id]), wobei g_{f} : κ ⟶ {f}. Es gilt: {i < κ | g_{f}(id(i))(i) = f(i)} ∈ U, also [g_{f}]([id]) = [f]_{U} qed.

(3.7) Lemma. (ZFC_{π}^{M,N},M(vi),M(vii),M(viii),M(ix),M(x)) W ist ein M_{U}-Ultrafilter über i_{U}(κ). Beweis.

(1) W ist ein Filter über i_{U}(κ). Beweis(1). Aus {i < κ | f_{κ}(i) ∈ U} ∈ U folgt (f_{κ})_{U}^{0} ∈ A_{U}, d.h. i_{U}(κ) = [f_{κ}]_{U} ∈ W. Aus {i < κ | f_{∅}(i) ∈ U} ∉ U folgt (f_{∅})_{U}^{0} ∉ A_{U}, d.h. i_{U}(∅) = [f_{∅}]_{U} ∉ W. Sei f ∈ ^{κ}M, [f]_{U} ∈ W, d.h. (f)_{U}^{0} ∈ A_{U} und sei (f)_{U}^{0} ⊆ (g)_{U}^{0}, dann gilt {i < κ | f(i) ∈ U} ∈ U ∧ {i < κ | f(i) ⊆ g(i)} ∈ U, daraus folgt {i < κ | g(i) ∈ U} ∈ U und [g]_{U} ∈ W. qed(1).

(2) W ist ein Ultrafilter über i_{U}(κ). Beweis(2). (M, ∈, U) ⊧ ∀x ((x ⊆ κ ∧ x ∉ U) ⟶ κ \ x ∈ U) ⟹ (M_{U}, ∈, W) ⊧ ∀x ((x ⊆ i_{U}(κ) ∧ x ∉ W) ⟶ i_{U}(κ) \ x ∈ W) qed.(2)

(3) W ist ein normaler Ultrafilter über i_{U}(κ). Beweis(3). (M, ∈, U) ⊧ ∀F ∈ ^{κ}U {ξ < κ | ∀α < ξ ξ ∈ F (α)} ∈ U ⟹. (M_{U}, ∈, W) ⊧ ∀F ∈ ^{i_{U} (κ)}W {ξ < i_{U}(κ) | ∀α < ξ ξ ∈ F (α)} ∈ W qed(3).

(4) (M_{U}, ∈, W) ist schwach fügsam. Beweis.(4) Sei F ∈ ^{i_{U} (κ)}M_{U} ∩ M_{U} und F = [f]_{U}.

(a) O.B.d.A. Für alle i < κ f(i) ∈ ^{κ}M. Beweis (a). Angenommen: {i < κ | f(i) ∉ ^{κ}M} ∈ U. Definiere g ∈ ^{κ}M für i < κ mit g(i) = f(i), falls f(i) ∉ ^{κ}M und g(i) = ∅ sonst. Nach M(ix) ist g ∈ M. Es gilt {i < κ | f(i) = g(i)} ∈ U, d.h. [f]_{U} = [g]_{U}. Aus (M, ∈) ⊧ ∀i < κ g(i) ∉ ^{κ}M folgt (M_{U}, ∈) ⊧ ∀i < i_{U}(κ) i_{U}(g)(i) ∉ ^{i_{U} (κ)}M_{U}. Damit ist [f]_{U} = i_{U}(f)(κ) = i_{U}(g)(κ) kein Element aus ^{i_{U} (κ)}M_{U}. Widerspruch. Es gilt also {i < κ | f(i) ∈ ^{κ}M} ∈ U. Definiere g ∈ ^{κ}M für i < κ mit g(i) = f(i), falls f(i) ∉ ^{κ}M und g(i) = h mit h ∈ ^{κ}M, für i < κ h(i) = ∅ sonst. Nach M(ix) ist g ∈ M. Es gilt {i < κ | f(i) = g(i)} ∈ U, d.h. [f]_{U} = [g]_{U}. Aus (M, ∈) ⊧ ∀i < κ g(i) ∈ ^{κ}M folgt (M_{U}, ∈) ⊧ ∀i < i_{U}(κ) i_{U}(g)(i) ∈ ^{i_{U} (κ)}M_{U}. Damit ist F = [g]_{U} = i_{U}(g)(κ) und für alle i < κ g(i) ∈ ^{κ} M. qed(1). Definiere f̄ : κ × κ ⟶ M durch f̄(ξ, η) = f(ξ)(η). Nach M(vii) ist κ × κ ∈ M und nach M(ix) f̄ ∈ M. Es folgt: X = {(ξ, η) | f̄(ξ, η) ∈ U} = ⋃{{ξ < κ | f̄(ξ, η) ∈ U} | η < κ} × ⋃{{η < κ | f̄(ξ, η) ∈ U} | ξ < κ}. Nach M(viii) ist {{ξ < κ | f̄(ξ, η) ∈ U} | η < κ}, {{η < κ | f̄(ξ, η) ∈ U} | ξ < κ} ∈ M. Da wegen M(vi) M das Vereinigungsaxiom erfüllt, ist nach M(vii) X ∈ M. Definiere die Funktion g für ξ < κ durch g(ξ) = {η | (ξ, η) ∈ X} = {η | f̄(ξ, η) ∈ U}. Nach M(x) ist g ∈ ^{κ}M und nach M(ix) g ∈ M. Es gilt für alle h ∈ ^{κ}M ∧ M ([h] ∈ [g] ⟺ {i < κ | h(i) ∈ g(i)} ∈ U ⟺ {i < κ | f(i)(h(i)) ∈ U} ∈ U ⟺ F ([h]) ∈ W). Es folgt: [g]_{U} = {α < i_{U}(κ) | F (α) ∈ W } ∈ M_{U}. qed(4).

4 Iterationen

(4.0) Definition Sei I = (I, <) eine gerichtete partielle Ordnung, d.h., ∀i, j ∈ I ∃k ∈ I i ≤ k ∧ j ≤ k. Sei (M_{i})_{i∈I} eine Familie von Strukturen der Sprache {∈, R_{U}} und (π)_{i≤j} ein System von {∈, R_{U}}-Einbettungen π_{i,j} : M_{i} ⟶ M_{j} mit π_{i,k} = π_{j,k} ∘ π_{i,j}. Dann ist (A_{i})_{i∈I}, (π)_{i,j} ein direktes System.

(4.1) Definition

(i) Ein thread durch ein direktes System ist eine

⊆-maximale Sequenz ((a_{i}) | i ∈ J), so daß für i ≤ j: π_{i,j}(a_{i}) = a_{j}.

(ii) Sei A :≡ {t | t thread durch das direkte System} die Klasse aller threads

durch das direkte System. Wir definieren eine {∈_{A}, R_{W} }-Struktur 𝔄 = (A, ∈, W) in dem folgendes gesetzt wird:

\begin{matrix}(i) & t_{1} ∈_{A} t_{2} ⟺ ∃i ∈ dom(t_{1}) ∩ dom(t_{2}) M_{i} ⊧ t_{1}(i) ∈ t_{2}(i). \\ (ii) & t_{1} ∈_{A} R_{W} ⟺ ∃i ∈ dom(t_{1}) ∩ dom(t_{2}) (M_{i}, ∈, U) ⊧ t_{1}(i) ∈ U_{i}. \end{matrix}

Diese Struktur wird direkter Limes des Systems (A_{i})_{i∈I}, (π)_{i,j} genannt.

(4.2) Lemma (ZFC) Sei (M_{i})_{i<τ} , (U_{i})_{i<τ} , ((π)_{i,j})_{i≤j<τ} ein direktes System. Die Abbildungen (π)_{i,j} seien elementar und U_{i} ein Ultrafilter über κ_{i}. Dann gibt es Abbildungen elementare Abbildungen π̄_{i} : (M_{i}, U_{i}) ⟶ 𝔄 = (A, ∈_{A} , W) mit π̄_{i} = π̄_{j} ∘ π_{i,j}, für j ≥ i. Wenn 𝔄 fundiert ist, dann gibt es einen transitiven Kollaps (M_{τ} , ∈, U_{τ}), wobei U_{τ} ein M_{i}-Ultrafilter über κ_{τ} = π_{i}(κ_{i}) für i < τ ist. Sei für i < τ π_{i} = Φ ∘ π̄_{i}, wobei Φ der Mostowski-Isomorphismus ist. Beweis. Sei für i < τ π̄_{i}(a) = t_{a} mit t_{a}(i) = a, ist wegen der ⊆-Maximalität von t_{a} eindeutig bestimmt.

(1) π̄_{j} ∘ π_{i,j} = π̄_{i} Es gilt für j ≤ i π̄_{j}(π_{i,j}(a)) = t_{π_{i,j}}(a). mit t_{π_{i,j}(a)}(j) = π_{i,j}(a) und t_{π_{i,j}(a)}(i) = a, also π̄_{j}(π_{i,j}(a)) = t_{π_{i,j}(a)} = t_{a} = π̄_{i}(a).

(2) Injektivität der Abbildungen π̄_{i}: t_{a} = t_{b} ⟹ a = t_{a}(i) = t_{b}(i) = b

(3) Zum Beweis der Elementarität der Abbildungen π̄_{i}: Sei φ(v, w) :≡ v ∈ w. M_{i} ⊧ a ∈ b ⟷ ∃i ∈ dom(t_{a}) ∩ dom(t_{b}) t_{a}(i) ∈ t_{b}(i) ⟷ t_{a} ∈_{A} t_{b} ⟷ 𝔄 ⊧ t_{a} ∈ t_{b}. Analog zeigt man das M_{i} ⊧ a = b ⟷ 𝔄 ⊧ t_{a} = t_{b} Sei φ(v) :≡ v ∈ R_{U}. (M_{i}, ∈, U) ⊧ a ∈ U_{i} ⟺ ∃i ∈ dom(t_{a}) t_{a}(i) ∈ U_{i} ⟺ 𝔄 ⊧ t_{a} ∈ W.

Sei ψ(v⃗) :≡ ¬φ(v⃗). (M_{i}, ∈, U) ⊧ ¬φ(v⃗) ⟺ nicht (M_{i}, ∈, U) ⊧ φ(v⃗) ⟺ nicht 𝔄 ⊧ φ(π̄_{i}(v⃗)) ⟺ 𝔄 ⊧ ¬φ(π̄_{i}(v⃗)). Sei ψ(v⃗, w⃗) :≡ φ(w⃗) ∧ ϕ(v⃗). (M_{i}, ∈, U) ⊧ φ(v⃗)∧ϕ(v⃗) ⟺ (M_{i}, ∈, U) ⊧ φ(v⃗) und (M_{i}, ∈, U) ⊧ ϕ(v⃗) ⟺ 𝔄 ⊧ φ(v⃗) und 𝔄 ⊧ ϕ(v⃗) ⟺ 𝔄 ⊧ φ(π̄_{i}(v⃗)) ∧ ϕ(π̄_{i}(v⃗)). Sei ψ(v⃗, w⃗) :≡ ∃vφ(v, c⃗) es gibt a ∈ M_{i}, so daß gilt: M_{i} ⊧ φ(a, c⃗) ⟹ a ∈ M 𝔄 ⊧ φ(π̄_{i}(a), π̄_{i}(c⃗)) ⟹ 𝔄 ⊧ ∃wφ(w, π̄_{i}(c⃗). 𝔄 ⊧ ∃wφ(w, π̄_{i}(c⃗)) ⟹ 𝔄 ⊧ ∃t_{a}φ(t_{a}, π̄_{i}(c⃗)) ⟹ es gibt a ∈ M_{j} 𝔄 ⊧ φ(t_{a}, π̄_{i}(c⃗)).

1. Fall j ≥ i. Es gilt π̄_{i} = π̄_{j} ∘ π_{i,j}. Damit: es gibt a ∈ M_{j} 𝔄 ⊧ φ(π̄_{j}(a), π̄_{j}(π_{i,j}(c⃗)) ⟹ es gibt a ∈ M_{j} M_{j} ⊧ φ(a, π_{i,j}(c⃗)) ⟹ M_{j} ⊧ ∃v φ(v, π_{i,j}(c⃗)) ⟹ M_{i} ⊧ ∃a ψ(a, c⃗).

2. Fall j < i, dann gilt π̄_{j} = π̄_{i} ∘ π_{j,i} es gibt a ∈ M_{j} so daß gilt: 𝔄 ⊧ φ(π̄_{j}(a), π̄_{i}(c⃗)) ⟹ 𝔄 ⊧ φ(π̄_{i}(π_{j,i}(a)), π̄_{i}(c⃗)) ⟹ M_{i} ⊧ φ(π_{j,i}(a), c⃗) ⟹ M_{i} ⊧ ∃v ψ(a, c⃗). qed(3).

(4) Es gilt SF(A, ∈_{a}). Beweis(4). SF1(A, ∈_{a}), SF2(A, ∈_{a}) sind klar nach Voraussetzung. Es ist noch SF3(A, ∈_{a}) zu zeigen. Um {t^{∗} | t^{∗} ∈_{A} t} ∈ V für ein thread t = (a_{i} | i ∈ J) zu zeigen, betrachte man folgende Abbildung: F : ⋃{{x | x ∈ t(i)} | i ∈ J} ⟶ {t^{∗} | t^{∗} ∈_{A} t} mit F (x) = (x_{i} | i ∈ J^{∗}). Sei t^{∗} ∈ t. Dann gibt es ein i ∈ J t^{∗}(i) ∈ t(i). Also ist t^{∗}(i) ∈ dom(F) und F (t^{∗}(i)) = t^{∗}. F ist surjektiv und nach Ersetzung ist F “ ⋃{{x | x ∈ t(i)} | i ∈ J} = {t^{∗} | t^{∗} ∈_{A} t} eine Menge. qed(4).

(5) Es gilt Ext(A, ∈_{a}). Beweis.(5) Seien x ∈ A und y ∈ A und gelte {z ∈_{A} x} = {z | z ∈_{A} y}. Sei i < τ mit x = π̄_{i}(x̄) und j < τ mit y = π̄_{i}(ȳ). Sei o.B.d.A j ≥ i. Es gilt: (M_{j}, ∈, U) ⊧ ∀z z ∈ {z | z ∈ ȳ} ⟷ z ∈ y ⟹ (A, ∈_{A}, W) ⊧ ∀z z ∈ π̄_{j}({z | z ∈ ȳ}) ⟷ z ∈_{A} y Also (A, ∈_{A}, W) ⊧ π̄_{j}({z | z ∈ ȳ}) = {z | z ∈_{A} y} (*) Genauso sieht man: (A, ∈_{A}, W) ⊧ π̄_{j}({z | z ∈ π_{i,j}(x̄)}) = {z | z ∈_{A} x} (**) Desweiteren: (M_{j}, ∈, U) ⊧ {z | z ∈ π̄_{i,j}(x̄)} = {z | z ∈ ȳ)} ⟶ π̄_{i,j}(x̄) = ȳ Aus (*),(**) und Elementarität folgt: (A, ∈_{A}, W) ⊧ {z | z ∈_{A} x} = {z | z ∈_{A} y} ⟶ x = y qed(5). Wenn 𝔄 fundiert ist, existiert deshalb ein Kollaps (M_{τ} , ∈, U_{τ}), wobei U_{τ} ein M_{i}-Ultrafilter über κ_{τ} = π_{i}(κ_{i}) für i < τ ist.

(6) W ist ein 𝔄-Ultrafilter über π_{i}(κ_{i}).

(a) W ist ein Filter über π_{i}(κ_{i}). Beweis(a). Aus (M_{i}, ∈, U_{i}) ⊧ κ_{i} ∈ U_{i} folgt 𝔄 ⊧ π_{i}(κ_{i}) ∈ W. Aus (M_{i}, ∈, U_{i}) ⊧ ∅ ∉ U folgt 𝔄 ⊧ ∅ ∉ W. (M_{i}, ∈, U_{i}) ⊧ ∀x ∈ U ∀y ∈ P(κ_{i}) ∩ M (x ⊆ y ⟶ y ∈ U) ⟹ 𝔄 ⊧ ∀x ∈_{A} U∀y ∈_{A} P(π_{i}(κ_{i})) ∩ A (x ⊆ y ⟶ y ∈_{A} W) qed(1).

(b) W ist ein Ultrafilter über π_{i}(κ_{i}). Beweis(b). (M_{i}, ∈, U) ⊧ ∀x ((x ⊆ κ_{i} ∧ x ∉ U_{i}) ⟶ κ \ x ∈ U_{i}) ⟹ (A, ∈_{A}, W) ⊧ ∀x ((x ⊆ π_{i}(κ_{i}) ∧ x ∉_{A} W) ⟶ i_{U}(κ) \ x ∈_{A} W) qed.(b)

(c) W ist ein normaler Ultrafilter über π_{i}(κ_{i}). Beweis(c). (M_{i}, ∈, U_{i}) ⊧ ∀F ∈ ^{κ}U_{i} {ξ < κ_{i} | ∀α < ξ ξ ∈ F (α)} ∈ U_{i} ⟹. (A, ∈, W) ⊧ ∀F ∈ ^{π_{i}(κ_{i})}W {ξ < π_{i}(κ_{i}) | ∀α < ξ ξ ∈ F (α)} ∈ W qed(c).

(d) W ist schwach fügsam Sei für i < τ F ∈ _{i}^{π}(κ_{i})A, so daß F = π_{i}(F̄ für ein i < τ und F̄ ∈ _{i}^{κ}M_{i}. Da (M_{i}, ∈) schawch fügsam ist, gilt: (M_{i}, ∈, U_{i}) ⊧ ∃y y = {ξ < κ_{i} | F̄(ξ) ∈ U} ⟹ (A, ∈_{A}, W) ⊧ ∃y y = {ξ < κ_{i} | F̄(ξ) ∈ U} qed(d).

(4.3) Definition (M_{i}, U_{i}, κ_{i}, π_{i,j})_{(i≤j<τ)} ist eine ZFC_{π}^{M,N}-Iteration der Länge τ wenn gilt: Es gilt ZFC_{π}^{M,N} und:

(i) Es gelte: π_{0,1} := π, M_{0} = M, M_{1} := M_{U}, κ_{0} := crit(π), U_{0} := U, U_{1} := W, π_{0,0} := id_{M}, π_{1,1} := id_{M_{1}} Dann ist (M_{i}, U_{i}, κ_{i}, π_{i,j})_{(i≤j<2)} eine ZFC_{π}^{M,N}-Iteration der Länge 1. (ii) Sei k + 1 < τ und (M_{i}, U_{i}, κ_{i}, π_{i,j})_{(i≤j<k+1)} eine ZFC_{π}^{M,N}-Iteration der Länge k. Sei π̄_{k,k+1} : (M_{k}, U_{k}) ⟶ Ult^{∗}(M_{k}, U_{k}) die kanonische Einbettung in die erweiterte Ultrapotenz. Da k +1 < τ ist die erweiterte Ultrapotenz fundiert. Es gibt also eine elemtare Einbettung π_{k,k+1} : (M_{k}, U_{k}) ⟶ (M_{U_{k}}, W) in den Kollaps von Ult^{∗}(M_{k}, U_{k}). Definiere nun:

(i) M_{k+1} = M_{U}, U_{k+1} = W, κ_{k+1} = π_{k,k+1}(κ_{k}) (ii) Für i < k sei π_{i,k+1} = π_{k,k+1} ∘ π_{i,k} (iii) π_{k+1,k+1} := id_{M_{k+1}} Dann ist (M_{i}, U_{i}, κ_{i}, π_{i,j})_{(i≤j<k+2)} eine ZFC_{π}^{M,N}-Iteration der Länge k + 2.

(ii) Sei Lim(k), k < τ, und sei (M_{i}, U_{i}, κ_{i}, π_{i,j})_{(i≤j<k)} eine ZFC_{π}^{M,N}-Iteration. Dann ist (M_{i}, , π_{i,j})_{(i≤j<k)} ein direktes System. Sei nun 𝔄 der in 1.1 definierte direkte Limes. Dann gibt es nach Lemma 1.2 elementare Einbettungen π_{i}, so daß für i ≤ j: π_{i} = π_{j} ∘ π_{i,j}. Wenn k < τ, dann ist 𝔄 fundiert und setze dann M_{k} als den Kollaps von 𝔄. Für i < k sei π_{i,k} = Φ ∘ π_{i}, wobei Φ der Mostowski Isomorphismus von 𝔄 ist. Sei für i < k κ_{k} := π_{i,k}(κ_{i}) und π_{k,k} := id_{M_{k}}.

(4.4) Definition. Ein M heißt iterierbar wenn für alle τ ∈ On es eine ZFC_{π}^{M,N}-Iteration der Länge τ gibt. Bemerkung. Wir fixieren ab jetzt eine ZFC_{π}^{M,N}-Iteration der Länge τ, und bezeichnen die Voraussetzung als (ZFC_{π}^{M,N},τ)

(4.5) Lemma. (ZFC_{π}^{M,N},τ) Sei i < j < τ. Dann gilt:

(a) Es gibt für i, j < τ eine elementare Einbettung π_{i,j}.
(b) crit(π_{i,j}) = κ_{i}, π_{i,j}(κ_{i}) = κ_{j}
(b) π_{i,j}(x) = x für alle V_{k_{i}} ∩ M_{i}
(c) V_{κ_{i}} ∩ M_{i} = V_{κ_{i}} ∩ M_{j}, und P(κ_{i}) ∩ M_{i} = P(κ_{i}) ∩ M_{j}.
(d) Falls Lim(j), dann κ_{j} = sup({κ_{k} | k < j}).
(e) Falls M eine Menge ist, dann gilt card(M_{i}) = card(M) ∗ card(i).

Beweis. (a) ist klar nach Konstruktion.

(b) Zeige, daß crit(π_{i,j}) = κ_{i}, gilt, durch Induktion über i < j < τ. I.A. Sei j = i + 1. Dann ist nach Lemma crit(π_{0,1}) = κ_{0}. U_{1} ist ein Ultrafilter über π_{0,1}(κ_{0}). Die Abbildung π_{0,1} hat nach Lemma kritischen Punkt π_{0,1}(κ_{0}) = κ_{1}. I.S. Sei nun j + 1 > i + 1. Dann gilt: π_{i,j+1}(κ_{0}) = (π_{j,j+1} ∘ π_{i,j})(κ_{0}). Nach Induktionsvor. crit(π_{i,j}) = κ_{i} und π_{i,j}(κ_{i}) = κ_{j}. U_{j} ist ein Ultrafilter über π_{i,j}(κ), ist crit(π_{j,j+1}(κ)) = π_{i,j}(κ_{i}) > κ_{i} und crit(π_{i,j+1}) = κ_{i}. Sei nun Lim(j) und j > i + 1. Sei nun der direkte Limes 𝔄 fundiert und sei Υ : 𝔄 ⟶ M der Mostowski-Isomorphismus. Dann sind die Abbildungen π_{i,j} := Υ ∘ π̄_{i,j} nichttrivial und crit(π_{i,j}) = κ_{i}. Sei zunächst i = k+1. Sei δ < κ_{i}. Da i eine Nachfolgerordinalzahl ist, gibt es für δ < κ_{i} ein γ < i mit δ ∈ [κ_{γ}, κ_{γ+1}] und es folgt: π_{i,j}(δ) = (δ)_{n>γ}, da für kein x ∈ M_{k}, k < γ + 1 π_{k,γ+1}(x) = δ gilt, und π_{γ+1,l}(δ) = δ für l > γ + 1. Sei (δ)_{γ>n} ∈ π̄_{i,j} ↾ κ_{α} und sei x ∈_{A} (δ)_{γ>n}. Dann gibt es ein l > γ mit x(l) ∈ δ und ein γ̄ mit x(l) ∈ [κγ̄, κ_{γ̄+1}]. Deshalb gilt x = (δ)_{γ̄>n} ∈ π̄_{i,j} ↾ κ_{α}. Also Trans(π_{i,j}“κ_{α}, ∈_{A}). Sei π_{i,j}(δ) = (δ)_{γ>n}, dann folgt aus der Elementarität und π_{i,j} ↾ κ_{i} = id_{κ_{i}}, otp((δ)_{γ>n}, ∈_{A}) = otp(δ, ∈) = δ. Dann gilt für δ < κ_{i}: π_{i,j}(δ) = Υ(π̄_{i,j}(δ)) = Υ((δ)_{n>γ}) = otp((δ)_{γ>n}, ∈_{A}) = δ. π̄_{i,j}(κ_{i}) = π̄_{i,j}(⋃{δ | δ < κ_{i}}) = ⋃{π̄_{i,j}(δ) | π̄_{i,j}(δ) ∈_{A} π̄_{i,j}(_{i})} = ⋃{(δ)_{n>γ} | (δ)_{n>γ} ∈_{A} (κ_{0}, κ_{1}, ..., κ_{i}, ..)}.

Sei δ ∈ [κ_{i}, κ_{i+1}]. Da δ ∈ κ_{i+1} gilt, folgt (δ)_{n>i} ∈_{A} (κ_{0}, κ_{1}, ..., κ_{i}, ...). Aber (δ)_{n>i} ∉_{A} π_{i,j}“κ_{i} = κ_{i}. Sei nun Lim(i). Es gilt π_{i,j} = π_{i+1,j}∘π_{i,i+1} und nach Induktionsvor. crit(π_{i+1,j}) = κ_{i+1} > κ_{i} =crit(π_{i,i+1}). Daraus folgt, daß crit(π_{i,j}) = κ_{i}. qed(b).

(c) Die Rankfunktion kann rekursiv in ZFC^{−} definiert werden. Es wird durch Induktion über α < κ gezeigt, daß π_{i,j}(x) = x ∀x ∈ V_{α} und V_{α} ∩ M_{i} ⊆ V_{α} ∩ M_{j} I.A. klar. Sei Lim(β) und die Aussage gelte für α < β. Wenn x ∈ V_{β} ∩ M_{i}, dann gibt es α mit x ∈ V_{α} ∩ M_{i} ⊆ V_{α} ∩ M_{j}, also π_{i,j}(x) = x und V_{β} ∩ M_{i} ⊆ V_{β} ∩ M_{j} Sei α + 1 < κ und die Aussage gelte für β < α + 1. Sei jetzt x ∈ M_{i} mit rank(x) = α, dann rank(π_{i,j}(x)) = π_{α} = α. Nach Induktionsvor.: π_{i,j}(x) = {y ∈ V_{α} ∩ M_{j} |

(4.6) Lemma. (ZFC_{π}^{M,N},τ) Sei j eine Limesordinalzahl kleiner als τ. Dann gilt für alle X ∈ P(κ_{j}) ∩ M_{j}: x ∈ U_{j} ⟺ ∃i < j {κ_{k} | i ≤ k < j} ⊆ x). Beweis. Sei k ∈ j und x = π_{k,j}(x̄) für ein x̄ ∈ P ∩ M_{k}. Dann: x ∈ U_{j} ⟺ x̄ ∈ U_{k} ⟺ κ_{k} ∈ π_{k,k+1}(x̄) ⟺ π_{k+1,j}(κ_{k}) ∈ π_{k+1,j}(π_{k,k+1}(x̄)) ⟺ κ_{k}π_{k,j}(x̄) = x. Sei k < j, mit x ∈ rang(π_{k,j}), dann: x ∈ U_{j} ⟺ κ_{k} ∈ x. Sei k < k̄ < j, dann x = π_{k̄,j}(π_{k,k̄}(x)). Damit x ∈ rang(π_{k̄,j}) und x ∈ U_{j} ⟺ κk̄ ∈ x. qed.

(4.7) Lemma. (ZFC_{π}^{M,N},τ) Sei i < τ, g ∈ ^{κ_{i}}M ∩ M und es gelte g = π_{0,i}(h)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}}) für ein n < ω, h ∈ ^{κ^{n}}M ∩ M und γ_{1} < ... < γ_{n}. Dann kann o.B.d.A angenommen werden, daß für alle x ∈ κ^{n} h(x_{1}, ..., x_{n}) eine Funktion ist. Beweis. Induktion über i < ω. Angenommen {(ξ_{1}, ..., ξ_{n}, ξ_{n+1}) | h(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) ∈ ^{κ}M} ∉ U^{n}. Definiere k ∈ ^{κ^{n}}M für (ξ_{1}, ..., ξ_{n}) < κ^{n+1} mit h(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) = k(ξ_{1}, ..., ξ_{n}), falls h(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) ∉ ^{κ}M und k(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) = ∅ sonst. Nach M(ix) ist k ∈ M. Es gilt {(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) < κ^{n} | k(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) = h(ξ_{1}, ..., ξ_{n})} ∈ U^{n}, also gilt (M, ∈, U) ⊧ {(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) < κ^{n} | k(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) = h(ξ_{1}, ..., ξ_{n})} ∈ U^{n} ⟹ (M_{i}, ∈, U) ⊧ {(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) < (κ_{i})^{n} | π_{0,i}(k)(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) = π_{0,i}(h)(ξ_{1}, ..., ξ_{n})} ∈ (U_{i})^{n}, d.h. D.h. ∃α_{1}, ..., α_{n} < i X_{1} = {κ_{γ} | α_{1} ≤ γ < i} ⊆ U_{i}, ..., X_{n} = {κ_{γ} | α_{n} ≤ γ < i} ⊆ U_{i}. D. h. π_{0,i}(k)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}}) = π_{0,i}(h)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}}) = g für κ_{γ_{1}} ∈ X_{1}, ..., κ_{γ_{n}} ∈ X_{n}. Aus (M, ∈) ⊧ ∀(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) < κ^{n} k(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) ∉ ^{κ}M_{i} folgt (M_{i}, ∈) ⊧ ∀(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) < π_{0,i}(κ)^{n} π_{0,i}(k)(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) ∉ ^{κ_{i}}M_{i+1}. Widerspruch, da g = π_{0,i}(k)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}})

Angenommen {(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) | h(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) ∈ ^{κ}M} ∈ U^{n}. Definiere k ∈ ^{κ}M für (ξ_{1}, ..., ξ_{n}) < κ^{n} mit h(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) = k(ξ_{1}, ..., ξ_{n}), falls h̄(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) ∈ ^{κ^{n}}M und k(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) = m mit m ∈ ^{κ}M, für i < κ_{i} m(i) = ∅, sonst. Nach M(ix) ist k ∈ M. Es gilt {(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) < κ^{n} | k(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) = h(ξ_{1}, ..., ξ_{n})} ∈ U^{n}, also gilt (M, ∈, U) ⊧ {(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) < κ^{n} | k(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) = h(ξ_{1}, ..., ξ_{n})} ∈ U^{n} ⟹ (M_{i}, ∈, U) ⊧ {(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) < (κ_{i})^{n} | π_{0,i}(k)(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) = π_{0,i}(h)(ξ_{1}, ..., ξ_{n})} ∈ (U_{i})^{n}. D.h. ∃α_{1}, ..., α_{n} < i X_{1} = {κ_{γ} | α_{1} ≤ γ < i} ⊆ U_{i}, ..., X_{n} = {κ_{γ} | α_{n} ≤ γ < i} ⊆ U_{i}. D. h. π_{0,i}(k)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}}) = π_{0,i}(h)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}}) = g für κ_{γ_{1}} ∈ X_{1}, ..., κ_{γ_{n}} ∈ X_{n}. Aus (M, ∈) ⊧ ∀(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) < κ^{n+1} k(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) ∈ ^{κ}M folgt (M_{i}, ∈) ⊧ ∀(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) < κ_{i}^{n} π_{0,i}(k)(ξ_{1}, ..., ξ_{n}) ∈ ^{κ_{i}}M_{i}. o.B.d.a besteht der rang(h) nur aus Funktionen.

(4.8) Lemma.(ZFC_{π}^{M,N},τ) Für jedes i ∈ τ und x ∈ M_{i} gibt es ein n ∈ ω, f ∈ κM ∩ M und γ_{1}, ..., γ_{n} < i mit x = π_{0,i}(f)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}}). Beweis durch Induktion über i. Induktionsanfang. Sei i = 1 Nach Lemma ist x = π_{0,1}(g)(κ) für ein g ∈ _{0}^{κ}M_{0}. Induktionsvoraussetzung. Die Behauptung gelte für i < τ und sei i + 1 < τ. Induktionsschritt. Sei j = i + 1. Für ein x ∈ M_{j} gilt x = π_{i,j}(g)(κ) für ein g ∈ _{i}^{κ}M_{i}. Nach Idunktionsvor. ist g = i_{0,i}(h)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}}) für ein n ∈ ω, f ∈ κM ∩ M und γ_{1}, ..., γ_{n} < i. Nach vorherigen Lemma kann besteht rang(h) aus Funktionen. Definiere f ∈ ^{κ^{n+1}}M_{0} ∩ M_{0} durch: f(ξ, ..., ξ_{n}, ξ_{n+1}) = h(ξ, ..., ξ_{n})(ξ_{n+1}). Dann: π_{0,j(f)}(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}}, κ_{i}) = π_{0,j}(h)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}})(κ_{i}) = π_{i,j}(π_{0,i}(h))(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}})(κ_{i}) = π_{i,j}(π_{0,i}(h)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}})(κ_{i}) = π_{i,j}(g)(κ_{i}) = x. Sei Lim(k), k < τ und x ∈ M_{k}. Dann ist x = π_{i,k}(x̄) für ein i < k und x̄ ∈ M_{k}. Nach Induktionsvor. x̄ = π_{0,i}(f)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}}) für ein n ∈ ω, f ∈ κM ∩ M und und γ_{1}, ..., γ_{n} < i. Deshalb x = π_{i,k}(π_{0,i}(f)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}})) = π_{0,k}(f)(κ_{γ_{1}}, ..., κ_{γ_{n}}), da π_{i,k}(κ_{γ_{m}}) = κ_{γ_{m}} für 1 ≤ m ≤ n. qed.