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Mathematisches Institut der Universität Bonn Abt. für Grundlagenforschung der Mathematik

Prof. Dr. Peter Koepke

Einführung in die Mathematische Logik WS 2000/2001

Übungsaufgaben, Folge 7, Abgabe: 07.12.2000 in der Vorlesung

Aufgabe 1 Statt des Rekursionsschemas 5.3 wird oft folgender Rekursionssatz verwendet:

∀α ∀a ∀g ∃f (g:^{<α}a → a ⟶ (f: α → a ∧ ∀β < α f(β) = g(f ↾ β))).

Beweisen Sie diesen Rekursionssatz in ZF^{−}.

Aufgabe 2 Berechnen Sie die Kardinalitäten der folgenden Mengen: ^{<ω}a, {f | f: ℝ → ℝ ∧ f stetig}, {f | f: ω → ω ∧ f bijektiv}.

Aufgabe 3 (a) Es sei K ein Körper, X ein K-Vektorraum und B eine K-Basis von X. Berechnen Sie

\overline{\overline{X}} in Abhängigkeit von \overline{\overline{K}} und \overline{\overline{B}}.

(b) Es sei K ein Körper, und für i = 0, 1 sei X_{i} ein K-Vektorraum und B_{i} eine K-Basis von X_{i}. Zeigen Sie, dass X_{0} und X_{1} isomorph sind, falls \overline{\overline{B_{0}}} = \overline{\overline{B_{1}}} = μ ≥ ℵ_{0}. Ist X_{0} isomorph zum Vektorraum X_{α<μ} K?

(c) Berechnen Sie die Kardinalität einer Hamelbasis (des ℚ-Vektorraumes ℝ).

Aufgabe 4 Jede reelle Zahl r mit 0 < r < 1 hat eine eindeutige Darstellung der Form

r = ∑_{i=1}^{∞} a_{i}10^{−i} mit a_{i} ∈ {0, 1, …, 9} und ∀i ∃j > i a_{j} ≠ 9.

Wir nennen diese Darstellung Normaldarstellung und definieren eine Abbildung Φ: ]0, 1[ → ]0, 1[ ×]0, 1[ wie folgt: Es sei r ∈ ]0, 1[ und r = ∑_{i=1}^{∞} a_{i}10^{−i} sei die Normaldarstellung von r. Setze

Φ(r) :≡ (∑_{i=1}^{∞} a_{2i}10^{−i}, ∑_{i=1}^{∞} a_{2i−1}10^{−i}).

Zeigen Sie, dass Φ stetig und surjektiv aber nicht injektiv ist. Argumentieren Sie schließlich allgemein, dass ]0, 1[ und ]0, 1[ ×]0, 1[ nicht homöomorph sind, d.h., dass es keine bijektive Abbildung f zwischen ]0, 1[ und ]0, 1[ ×]0, 1[ gibt, so dass f und f^{−1} stetig sind.