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Mathematisches Institut der Universität Bonn Abt. für Grundlagenforschung der Mathematik

Prof. Dr. Peter Koepke

Einführung in die Mathematische Logik WS 2000/2001

Übungsaufgaben, Folge 6, Abgabe: 30.11.2000 in der Vorlesung

Wir setzen, sofern nicht etwas anderes angegeben ist, das System ZF voraus.

Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass es zu jeder Menge x eine ⊆-kleinste Menge y gibt, die transitiv und Obermenge von x ist. Diese Menge y heißt transitive Hülle von x und wird mit TC(x) bezeichnet. Tipp: Überlegen Sie, dass die durch x ∪ ⋃ x ∪ ⋃ ⋃ x ∪ … angedeutete Menge die Eigenschaften einer transitiven Hülle von x besitzt. Geben Sie mit Hilfe einer ω-Rekursion eine exakte Definition dieser Menge.

Aufgabe 2 Zeigen Sie direkt, dass aus dem Lemma von Zorn der Wohlordnungssatz folgt. Tipp: Zu vorgelegter Menge a betrachten Sie 𝒵 :≡ {(b, r) | b ⊆ a ∧ r ist Wohlordnung auf b} zusammen mit der Relation (b_{0}, r_{0}) ⪯ (b_{1}, r_{1}) :≡ (b_{0} ⊆ b_{1} ∧ r_{1} ist eine Enderweiterung von r_{0}), d.h., r_{0} = r_{1} ∩ (b_{0} × b_{0}) und für jedes x ∈ b_{1} \ b_{0} und alle y ∈ b_{0} gilt yr_{1}x. Wenden Sie das Lemma von Zorn auf (𝒵, ⪯) an.

Aufgabe 3 Wir setzen ZFC voraus. Es sei X eine Menge und W ⊆ 𝒫(X) sei nicht leer und erfülle folgende Endlichkeitseigenschaft:

∀w (w ∈ W ⟷ ∀v ⊆ w endlich v ∈ W).

Zeigen Sie, dass (W, ⊆) ein maximales Element hat.

Aufgabe 4 Es sei (a, r) eine Wohlordnung. Zeigen Sie, dass es genau eine Ordinalzahl α und genau eine Funktion f gibt, so dass f eine ordungstreue Bijektion von (α, <) auf (a, r) ist. Die Zahl α bezeichnet man auch als Ordnungstyp von (a, r) und schreibt α = otp(a, r). Tipp: Eine Beweisidee erhalten Sie, wenn Sie den Beweis, dass (AC) den Wohlordnungssatz impliziert, nacharbeiten.