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Mathematisches Institut der Universität Bonn Abt. für Grundlagenforschung der Mathematik

Prof. Dr. Peter Koepke

Einführung in die Mathematische Logik WS 2000/2001

Übungsaufgaben, Folge 3, Abgabe: 09.11.2000 in der Vorlesung

Aufgabe 1 Formalisieren Sie folgende Aussagen als (endliche Listen von) ∈-Formeln:

(a) (X, 𝒪) ist ein topologischer Raum.

(b) (X, ℱ, μ) ist ein Maßraum. (Die Existenz der Menge ℝ der reellen Zahlen darf vorausgesetzt werden.)

Aufgabe 2 Wir setzen ZF voraus.

(a) Es sei a ∈ V und A sowie F seien Klassenterme mit F: a → V. Zeigen Sie, dass die

folgenden Klassen Mengen sind:

F, F [A ∩ a], F^{−1}[A], X_{x∈a} F (x) :≡ {f | f: a → V ∧ ∀x ∈ a f(x) ∈ F (x)}.

Geben Sie an den wesentlichen Stellen an, welche Axiome sie verwenden.

(b) Es seien a, b, c ∈ V.

(α) Es sei b ∩ c = ∅. Bestimmen Sie eine Bijektion F: b ∪ ca → ba × ca.

(β) Bestimmen Sie eine Bijektion F: b × ca → b(ca). (γ) Bestimmen Sie eine Bijektion F: c(a × b) → ca × cb. Weisen Sie in jedem Fall nach, dass es sich um eine Bijektion handelt, und geben Sie an den wesentlichen Stellen an, welche Axiome Sie verwenden.

Aufgabe 3 Es sei A ein Klassenterm. Zeigen Sie:

(a) Falls A transitiv ist, so sind ⋃ A, ⋂ A und 𝒫(A) transitiv.

(b) Es gelte A ⊆ On und A sei transitiv. Dann gilt A ∈ On oder A = On.

(c) Es sei A ⊆ On. Im Fall A ∈ V ist ⋃ A die kleinste obere Schranke von A. Im Fall A ≠ ∅ ist ⋂ A das kleinste Element von A.

Aufgabe 4 Das Axiomensystem FIN bestehe aus folgenden Axiomen und Schemata: (Ex) ∅ ∈ V (Ext) ∀v_{0}, v_{1} (v_{0} = v_{1} ⟷ ∀v_{2}(v_{2} ∈ v_{0} ↔ v_{2} ∈ v_{1})) (∪-Ax) ∀v_{0}∀v_{1} v_{0} ∪ v_{1} ∈ V (Ein) ∀v_{0} {v_{0}} ∈ V (Ind) Für jede ∈-Formel φ mit freien Variablen x, y⃗ das Axiom

∀y⃗ ((φ(∅, y⃗) ∧ ∀u, v ((φ(u, y⃗) ∧ φ(v, y⃗)) → φ(u ∪ {v}, y⃗))) ⟶ ∀xφ(x, y⃗)).

(a) Schreiben Sie die Axiome von FIN ohne Verwendung von Klassentermen.

(b) ZFC_{0} bezeichne das Axiomensystem, das aus ZFC durch Entfernen des Unendlichkeitsaxioms entsteht. Zeigen Sie, dass aus FIN alle Axiome von ZFC_{0} folgen.