[figure]

Mathematisches Institut der Universität Bonn Abt. für Grundlagenforschung der Mathematik

Prof. Dr. Peter Koepke

Einführung in die Mathematische Logik WS 2000/2001

Übungsaufgaben, Folge 2, Abgabe: 02.11.2000 in der Vorlesung

Aufgabe 1 Formalisieren Sie folgende Aussagen als (endliche Listen von) ∈-Formeln:

(a) (G, +, 0) ist eine Gruppe.

(b) (R, +, ·, 0, 1) ist ein Ring.

(c) (K, +, ·, 0, 1) ist ein Körper.

(d) (X, +_{X}, 0_{X}) ist ein Vektorraum über dem Körper (K, +, ·, 0, 1) mit skalarer Multiplikation ·_{K,X}.

Aufgabe 2 Es sei X eine nicht leere Menge mit 𝒫(X) ∈ V.

(a) 𝒫(X) ist zusammen mit der symmetrischen Differenz aΔb :≡ (a\b)∪(b\a) als Addition und der Schnittmengenbildung als Multiplikation ein Ring.

(b) Ist 𝒫(X) mit diesen Verknüpfungen auch ein Körper?

Aufgabe 3 Es sei F: X → V eine Funktion, A ein Klassenterm, (A_{i} | i ∈ I) sei eine Sequenz von Teilmengen von X und (B_{i} | i ∈ I) sei eine Sequenz von (beliebigen) Mengen. Zeigen Sie:

(a) X \ ⋃_{i∈I} A_{i} = ⋂_{i∈I}(X \ A_{i}).

(b) X \ ⋂_{i∈I} A_{i} = ⋃_{i∈I}(X \ A_{i}).

(c) A ∩ ⋃_{i∈I} A_{i} = ⋃_{i∈I}(A ∩ A_{i}).

(d) A ∪ ⋂_{i∈I} A_{i} = ⋂_{i∈I}(A ∪ A_{i}).

(e) F^{−1}[⋃_{i∈I} B_{i}] = ⋃_{i∈I} F^{−1}[B_{i}].

(f) F^{−1}[⋂_{i∈I} B_{i}] = ⋂_{i∈I} F^{−1}[B_{i}].

(g) F [⋃_{i∈I} A_{i}] = ⋃_{i∈I} F [A_{i}].

(h) F [⋂_{i∈I} A_{i}] ⊆ ⋂_{i∈I} F [A_{i}]; geben Sie ein Beispiel dafür an, dass hier keine Gleichheit gelten muss.

(i) Falls ran(F) ⊆ Y und G: Y → V, so gilt (G ∘ F)^{−1}[B] = F^{−1}[G^{−1}[B]] für jedes B ⊆ V.

Aufgabe 4 (a) Geben Sie analog zum Beweis von 2.20 aus der Vorlesung einen strukturierten Beweis dafür an, dass das Hausdorff-Paar (x, y)_{H} :≡ {{x, ˜0}, {y, ˜1}} die Grundeigenschaft geordneter Paare erfüllt.

(b) Untersuchen Sie, ob durch

⟨x, y, z⟩_{0} :≡ {{x, ˜0}, {y, ˜1}, {z, ˜2}} bzw. ⟨x, y, z⟩_{1} :≡ {{x}, {x, y}, {x, y, z}} adäquat Tripel formalisiert werden.