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Mathematisches Institut der Universität Bonn Abt. für Grundlagenforschung der Mathematik

Prof. Dr. Peter Koepke

Einführung in die Mathematische Logik WS 2000/2001

Übungsaufgaben, Folge 14, Abgabe: 08.02.2001 in der Vorlesung

Für κ ∈ Card sei H_{κ} :≡ \{x | \overline{\overline{TC(x)}} < κ\} die Klasse der Mengen von erblicher Mächtigkeit kleiner als κ. Wir setzen im Folgenden ZFC voraus.

Aufgabe 1 Zeigen Sie H_{ℵ_{1}} ⊧ (ZFC − (Pot)) + ¬(Pot), d.h., alle ZFC-Axiome außer dem Potenzmengenaxiom und die Negation des Potenzmengenaxioms gelten, wenn sie auf H_{ℵ_{1}} relativiert werden.

Eine Limesordinalzahl λ heißt regulär, wenn jede Teilmenge X von λ, deren Kardinalität kleiner als λ ist, in λ beschränkt ist, es also ein γ < λ gibt mit X ⊆ γ.

Aufgabe 2 (a) Falls λ regulär ist, gilt λ ∈ Card.

(b) ω ist regulär.

(c) Falls λ = ℵ_{δ} mit Lim(δ) und δ < λ ist, so ist λ nicht regulär.

(d) Falls λ = ℵ_{α+1} ist, so ist λ regulär.

Tipp: Falls X unbeschränkt in λ ist, gilt λ = ⋃_{ξ∈X} ξ. Berechnen Sie die Kardinalität der rechts stehenden Menge.

Eine Kardinalzahl λ > ω heißt unererreichbar, falls sie eine reguläre Limeskardinalzahl ist, die gegen die Kardinalzahloperation γ ∈ Card ↦ 2^{γ} ∈ Card abgeschlossen ist, d.h., für γ ∈ Card ∩λ ist 2^{γ} < λ.

Aufgabe 3 Geben Sie eine ∈-Formel φ(λ) an, die besagt, dass λ unerreichbar ist.

Aufgabe 4 (a) Falls κ unerreichbar ist, gilt H_{κ} ⊧ ZFC und die Eigenschaft „λ ist unerreichbar“ ist

H_{κ}-absolut.

(b) Schließen Sie aus (a): In ZFC kann die Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl nicht bewiesen werden.

Zur Erinnerung: Wer die Klausur nicht bestanden und Interesse an der Möglichkeit einer Nachprüfung bzw. Nachklausur hat, meldet sich bitte am Donnerstag, dem 01.02.2001 um 12.30 Uhr in meinem Zimmer (Beringstraße 4, Raum 34). MB