Superstarke, Woodin- und Shelahzahlen

Frank Gerolstein

23. Februar 2001

1 Einleitung

Konvention 1 Im folgenden sei M transitives, inneres Modell von 𝕍 und j eine nichttriviale, elementare Einbettung von 𝕍 nach M.

Wir werden uns bei diesem Vortrag mit superstarken, Woodin und Shelahzahlen befassen. Man stellte fest, daß der kritische Punkt κ immer größer wurde, je mehr man verlangte, daß M 𝕍 ähnele. Allerdings bewies Kunen, daß Gleichheit nicht auftreten könne.

Satz 1.1 (Kunen) ∄j j : 𝕍 ≺ 𝕍

Eine Verschärfung dieses Resultates ergab schließlich.

Definition 1.1 j_{ω}(κ) := sup{κ, j(κ), j(j(κ)), … }

Satz 1.2 (Kunen) ∄j j : 𝕍 ≺ M ∧ 𝕍_{j_{ω}(κ)+1} ⊆ M

Eine dieser Ähnlichkeitsforderungen an M wird uns schließlich zu den superstarken Kardinalzahlen führen. Zu den Woodinzahlen gelangte man, als man die Aussagekraft von ZFC in Bezug auf die projektive Hierarchie untersuchte. ZFC konnte in einem gewissen Sinne ”viel” über Borelmengen, aber nur ”etwas” über Π_{1}^{1} Π_{1}^{1} Π_{1}^{1},Π_{2}^{1} Π_{2}^{1} Π_{2}^{1}-Mengen und ”wenig” über Π_{3}^{1} Π_{3}^{1} Π_{3}^{1}-Mengen aussagen.

Satz 1.3 (Lusin) ZF C ⊢ LM(Π_{1}^{1} Π_{1}^{1} Π_{1}^{1})

Satz 1.4 (Gödel, Solovay) 1. ¬ ZFC ⊢ LM(Π_{2}^{1} Π_{2}^{1} Π_{2}^{1})

2. ¬ ZFC ⊢ ¬LM(Π_{2}^{1} Π_{2}^{1} Π_{2}^{1})

Martin gelang es dann mittels großer Kardinalzahlen, ein stärkeres Ergebnis zu erzielen.

Satz 1.5 (Martin) ZFC ⊢ ∃κ κ meßbar → Det(Π_{1}^{1} Π_{1}^{1} Π_{1}^{1}) In den nächsten 10 Jahren versuchte man nun erfolglos, ein später durch Woodin bewiesen Korollar zu zeigen.

Korollar 1.6 ZFC ⊢ ∃κ κ superkompakt → Det(Π_{2}^{1} Π_{2}^{1} Π_{2}^{1}) Bis zu diesem Resultat gelang es nur zu zeigen.

Satz 1.7 (Martin) ZFC ⊢ ∃κ κ ω-riesig → Det(Π_{2}^{1} Π_{2}^{1} Π_{2}^{1}) Woodin zeigte dann schließlich.

Satz 1.8 (Woodin) ZFC ⊢ ∃κ κ superkompakt → PD Woodin zeigte dann auch starke Zusammenhänge zwischen Woodinzahlen und der projektivem Determiniertheit auf. Shelahzahlen werden dann eine Verschärfung in den Forderungen an Woodinzahlen sein.

2 Große Kardinalzahlen

Definition 2.1 1. κ unerreichbar :⇔ κ regulär ∧ ∀λ < κ: 2^{λ} < κ 2. κ γ-stark :⇔ ∃j : 𝕍 ≺ M: crit(j) = κ ∧ 𝕍_{κ+γ} ⊆ M ∧ γ < j(κ)

3. κ γ-stark in A :⇔ ∃j : 𝕍 ≺ M: crit(j) = κ ∧𝕍_{κ+γ} ⊆ M ∧ γ < j(κ) ∧ A ∈ 𝕍 ∧ A ∩ 𝕍_{κ+γ} = j(A) ∩ 𝕍_{κ+γ}

4. κ γ-superkompakt :⇔ ∃j : 𝕍 ≺ M: crit(j) = κ ∧ M^{γ} ⊆ M ∧ γ < j(κ)

Definition 2.2 1. κ meßbar :⇔ ∃j : 𝕍 ≺ M: crit(j) = κ ∧ 𝕍_{κ} ⊆ M 2. κ superstark :⇔ ∃j : 𝕍 ≺ M: crit(j) = κ ∧ 𝕍_{j(κ)} ⊆ M

3. κ ω-riesig :⇔ ∃j : 𝕍 ≺ M: crit(j) = κ ∧ 𝕍_{j_{ω}(κ)} ⊆ M

Definition 2.3 1. κ Woodin :⇔ ∀f ∈ κ^{κ} ∃α < κ ∃j : 𝕍 ≺ M: crit(j) = α ∧ f^{∥}α ⊆ α ∧

𝕍_{j(f)(α)} ⊆ M

2. κ Shelah :⇔ ∀f ∈ κ^{κ} ∃j : 𝕍 ≺ M: crit(j) = κ ∧ 𝕍_{j(f)(κ)} ⊆ M

3 Grundlegende Definitionen

Konvention 2 Sei T Baum auf X × Y und z = (< x_{i}, y_{i} >)_{i=1}^{n} ∈ T. Dann identifizieren wir z in Zukunft mit < (x_{i})_{i=1}^{n}, (y_{i})_{i=1}^{n} >.

Definition 3.1 Sei A ∈ X^{ω} × Y^{ω}. pA := {f|∃g: < f, g >∈ A} heißt Projektion von A.

Definition 3.2 Sei κ ∈ Card, B ⊆ X^{ω}. B heißt κ-Souslin:⇔ ∃T: T Baum auf X × κ ∧ B = p[T].

Definition 3.3 T Baum auf Y × Z heißt homogen:⇔ ∃ < μ_{s}|s ∈ Y^{<ω} >:

1. μ_{s} ist abzählbar additives Maß auf T_{s} := {t| < s, t >∈ T }

2. s_{1} ⊆ s_{2} → (μ_{s_{1}}(X) = 1 ↔ μ_{s_{2}}({t|t ↾ l(s_{1}) ∈ X}) = 1)

3. X ∈ p[T] ∧ ∀n ∈ ω: μ_{X↾n}(X_{n}) = 1 → ∃f ∈ Z^{ω} ∀n: f ↾ n ∈ X_{n}

T Baum auf Y × Z heißt κ-homogen:⇔ ∃ < μ_{s}|s ∈ Y^{<ω} ∧ μ_{s} κ-vollständig>: < μ_{s}|s ∈ Y^{<ω} ∧ μ_{s} κ-vollständig> Zeuge für T homogen.

Definition 3.4 A ⊆ Y^{<ω} heißt homogen-Souslin:⇔ ∃T: T homogen ∧ A=p[T] A ⊆ Y^{<ω} heißt κ-homogen-Souslin:⇔ ∃T: T κ-homogen ∧ A=p[T]

Definition 3.5 D ∈ 𝕍 heißt gerichtet :⇔ ∀a, b ∈ D ∃c ∈ D: a ∪ b ⊆ c

Definition 3.6 Sei Z Menge, D gerichtet, nichtleer, a, b ∈ D und < μ_{a}|a ∈ D >, so daß:

1) μ_{a} abzählbar additives Maß auf Z^{a}

2) a ⊆ b ∧ μ_{a}(X) = 1 → μ_{b}({f|f ↾ a ∈ X}) = 1 Sei F : Z^{a} → 𝕍, G : Z^{b} → 𝕍. Dann ist F ∼ G :⇔ ∃c ∈ D: a ∪ b ⊆ c ∧ μ_{c}({h|F (h ↾ a) ∈ G(h ↾ b)}) = 1

[F] := {G|F ∼ G ∧ G hat minimalen Rang} [F]E[G] :⇔ ∃c ∈ D: a ∪ b ∧ μ_{c}({h|F (h ↾ a) ∈ G(h ↾ b)}) = 1

Definition 3.7 Sei s_{1} ⊆ s_{2}. Dann definiere j_{s_{1},s_{2}} : M_{s_{1}} ≺ M_{s_{2}} durch j_{s_{1},s_{2}}([F]_{μ_{s_{1}}} ) = [F̃]_{μ_{s_{2}}} , wobei F̃(t) = F (t ↾ l(s_{1}))

Definition 3.8 Sei T Baum auf (Y × ω) × Z homogen, < μ_{<s,t>}|s ∈ Y^{<ω} ∧ t ∈ ω^{<ω} > Zeuge dafür. Sei ferner r_{0}, r_{1} … Aufzählung von ω^{ω} mit r_{i} ⫋ r_{j} → i < j Dann definiere T̃ Baum auf Y × ω durch: < s, u >∈ T̃ :⇔ ∀i_{1}, i_{2}: ((i_{1} < i_{2} < l(s) ∧ r_{i_{1}} ⊆ r_{i_{2}}) → u(i_{2}) < j_{<s↾l(r_{i_{1}} ),r_{i_{1}} >,<s↾l(r_{i_{2}} ),r_{i_{2}} >}(u(i_{1}))

4 Woodinzahlen und Determiniertheit

Die ersten teilweise nicht-trivialen Sätze werden nicht bewiesen, da dies den Rahmen dieses Vortrags sprengen würde. Zum Beweis sei auf das Martin-Steel-Paper verwiesen.

Hilfssatz 1 Sei A ⊆ ω^{ω} Π_{1}^{1} Π_{1}^{1} Π_{1}^{1}, κ meßbar ⇒ A κ-homogen-Souslin.

Hilfssatz 2 Sei κ Woodin, < μ_{<s,r>}|s ∈ ω^{<ω} ∧ r ∈ ω^{<ω} ∧ l(s) = l(r) > Zeuge, daß T auf (ω × ω) × Z κ^{+}-homogen. ⇒ ∀α < κ: T̃ α-homogen.

Hilfssatz 3 p[T̃] = p[T̃ ↾ (2^{#Z})^{+}] = {x|∀y: ¬ < x, y >∈ p[T]}

Hilfssatz 4 Sei A ⊆ Y^{ω} κ-homogen-Souslin, κ > #Y. ⇒ A determiniert.

Satz 4.1 (Woodin) Sei {δ_{i}|i ∈ {1, …, n}} Menge paarweiser disjunkter Woodins, ferner sei κ meßbar und größer als jedes δ_{i}. ⇒ Det(Π_{n+1}^{1} Π_{n+1}^{1} Π_{n+1}^{1})

BEW: Seien δ_{1} < … < δ_{n}, κ wie im Satz gefordert. Setze δ_{0} := ω, α_{n} := κ. Wähle für i < n α_{i}, so daß δ_{i} < α_{i} < δ_{i+1} gilt. BEH: Jede Π_{i+1}^{1} Π_{i+1}^{1} Π_{i+1}^{1}-Menge ist α_{n−i}-homogen-Souslin. BEW: IA(i=0) klar, da Π_{1}^{1} Π_{1}^{1} Π_{1}^{1} κ-homogen-Souslin nach HS1. IS(i → i+1) Sei also A⊆ ω^{<ω} Π_{(i+1)+1}^{1} Π_{(i+1)+1}^{1} Π_{(i+1)+1}^{1}. Dann ist nach Def. A={x|∀y: ¬(x, y) ∈ B ∧ B ∈ Π_{i+1}^{1} Π_{i+1}^{1} Π_{i+1}^{1} . Sei T Baum auf (ω × ω) × Z Zeuge, daß B α_{n−i}-homogen-Souslin (Existent nach Def. und IV). Da α_{n−(i+1)} < δ_{n−i} < α_{n−i} ergibt HS2, daß T̃ α_{n−(i+1)}-homogen. Mit HS3 ist dann p[T̃]=A und damit nach Def. A α_{n−(i+1)}-homogen-Souslin.

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Sei also i=n. Dann sind Π_{n+1}^{1} Π_{n+1}^{1} Π_{n+1}^{1}-Mengen α_{0}-homogen-Souslin und nach HS4 determiniert.

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Satz 4.2 (Woodin) Sei {δ_{i}|i ∈ ω} Menge paarweiser disjunkter Woodins, κ meßbar und größer als jedes δ_{i}. ⇒ AD^{L(ℝ)}.

Lemma 4.3 Sei κ Woodin ⇒ {α < κ|∀γ < κ α γ-stark } ist stationär in κ

BEW: Sei κ Woodin, C club in κ. κ ist unerrreichbar, wie in Satz 5.1.4 gezeigt wird. Definiere g ∈ κ^{κ} durch g(ξ) := 0, falls ∀γ < κ ξ γ-stark. g(ξ) := γ sonst, wobei γ die kleinste Limeskardinalzahl < κ ist mit ξ nicht γ-stark. Definiere f ∈ κ^{κ} durch f(ξ) := max({g(ξ) + 5, min(C \ ξ)})

Nach Annahme existiert α < κ : f^{∥}α ⊆ α und j : 𝕍 ≺ M mit crit(j) = α ∧ 𝕍_{j(f)(α)} ⊆ M. ⇒ j(C) ist club in j(κ). Nun implizieren j(C) ∩ α = C ∩ α ∧ f^{∥}α ⊆ α, daß C ∩ α club in α. ⇒ α ∈ j(C) Es genügt nun zu zeigen, daß M ⊨ ∀γ < j(κ): α γ-stark. Sei E =< E_{a}|a ∈ [j(g)(α) + 1]^{<ω} > der (α, j(g)(α) + 1)-Extender abgeleitet von j. Dann j(g)(α) < j(f)(α) < j(α), da f^{∥}α ⊆ α ∧ α < j(α). Also E_{a} Extender auf [α]^{|a|} und j(g)(α) < j_{E}(α)[letzter Vortrag]. Also ist j(g)(α) starker Limes in M und 𝕍_{j(f)(α)} ⊆ M, also 𝕍_{j}(g)(α) ⊆ M_{E}.[Letzter Vortrag]. Schließlich gilt rang(E) ≤ j(g)(α) + 5, also E ∈ 𝕍_{j(f)(α)} ⊆ M. ⇒ j_{E}^{M} : M ≺ Ult(M, E) j_{E}(α) ist der Ordnungstyp von {k_{a}([f]_{E_{a}})|a ∈ [j(g)(α)+1]^{<ω} ∧ f : [α]^{|a|} → α}, ferner 𝕍_{α+1}^{M} = 𝕍_{α+1}. ⇒ j_{E}(α) = j_{E}^{M}(α) und damit j(g)(α) < j_{E}^{M}(α). Ähnlich zeigt man j_{E}^{M}(𝕍_{α}) = j_{E}(𝕍_{α}) und somit 𝕍_{j(g)(α)} ⊆ 𝕍_{j_{E}(α)}^{M} = j_{E}(𝕍_{α}), da j(g)(α) < j_{E}(α). ⇒ 𝕍_{j(g)(α)}^{M} = 𝕍_{j(g)(α)} ⊆ M_{E}^{M} ⇒ M ⊨ α j(g)(α)-stark. Und damit nach Definition von g.

⇒ M ⊨ ∀γ < j(κ): α γ-stark. □

Satz 4.4 (Woodin) Äquivalent sind:

1. κ Woodin

2. ∀A ⊆ 𝕍_{κ}: {α < κ|∀γ < κ: α γ-stark in A } stationär in κ

3. ∀A ⊆ 𝕍_{κ} ∀γ < κ ∃α < κ: α γ-stark in A

4. ∀f ∈ κ^{κ} ∃α < κ ∃E ∈ 𝕍_{κ}: E Extender ∧ f^{∥}α ⊆ α ∧ crit(j_{E}) = α ∧ j_{E}(f)(α) = f(α) ∧ 𝕍_{j_{E}(f)(α)} ⊆ M_{E}

BEW: 1.⇒2. geht fast analog zum Beweis des Lemmas 4.3

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2.⇒3. und 4.⇒1., sind klar

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3.⇒4. Sei g ∈ κ^{κ}. Dann nach Annahme ∀γ < κ∃α ∈ κ: α γ-stark in g ⊆ 𝕍_{κ}. ⇒ g^{∥}α ⊆ α. Für ξ ∈ κ setze m_{g}(ξ) := max({ξ, g(ξ)}) + 3. Sei nun ξ < α, j : 𝕍 ≺ M mit crit(j) = α ∧ g(ξ) < j(α) ∧ g ∩ 𝕍_{m_{g}(ξ)} = j(g) ∩ 𝕍_{m_{g}(ξ)}. Da < ξ, g(ξ) >∈ g ∩ 𝕍_{m_{g}(ξ)} folgt j(g)(ξ) = g(ξ) < j(α) und damit g(ξ) < α. Ferner ist κ unerreichbar. Sei nun f ∈ κ^{κ}. Wie zuvor gilt ∀γ < κ∃α ∈ κ: α γ-stark in f ⊆ 𝕍_{κ}, so daß f^{∥}α ⊆ α. Nun gibt es E ∈ 𝕍_{κ} Extender mit crit(j_{E}) = α ∧ 𝕍_{f(α)} ⊆ M_{E} ∧ f ∩ 𝕍_{m_{f} (α)} = j_{E}(f) ∩ 𝕍_{m_{f} (α)}. Nun ist aber j_{E}(f)(α) = f(α) und damit folgt die Behauptung.

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Definition 4.1 Sei κ ∈ On und A ⊆ 𝕍_{κ}. τ ∈ κ heißt Σ_{ω}-stark in < 𝕍_{κ}, A > :⇔ ∀α ∈ On: τ < α < κ ∧ < 𝕍_{α}, A∩𝕍_{α} ⪯< 𝕍_{κ}, A >→ ∃E: E 𝕍_{κ}-Extender bei τ mit kanonischer Einbettung π :< 𝕍_{κ}, A >→_{E}< W, Ã >, so daß < 𝕍_{α}, A ∩ 𝕍_{α} >⪯< W, Ã > ∧ α < π(τ).

Bemerkung 1 Diese Definition ist sinnvoll, da < 𝕍_{κ}, A > fügsam.

Definition 4.2 Sei κ unerreichbar, A ⊆ 𝕍_{κ}, (φ_{n})_{n∈ω} Aufzählung der Formeln der Sprache < 𝕍_{κ}, A >. Sei k_{n} die Zahl der freien Variablen in φ_{n}. Dann definiere die Erfüllungsbeziehung T_{a} ⊆ 𝕍_{κ} für < 𝕍_{κ}, A > durch T_{a} := {(n, x_{0}, x_{1}, …, x_{k_{n}−1})|n ∈ ω ∧ x_{0}, …, x_{k_{n}−1} ∈ 𝕍_{κ} ∧ < 𝕍_{κ}, A >⊨ φ_{n}(x_{0}, …, x_{k_{n}−1})}

Lemma 4.5 Sei κ Woodin, A⊆ 𝕍_{κ}. ⇒

1. T_{A} Erfüllungsbeziehung für < 𝕍_{κ}, A > ∧ τ ∈ κ stark in < 𝕍_{κ}, T_{A} >→ τ Σ_{ω}-stark in < 𝕍_{κ}, A > .

2. {τ ∈ κ|τ Σ_{ω}-stark in < 𝕍_{κ}, A >} stationär in κ

BEW: 2. Sei T_{A} wie oben definiert. Da κ Woodin, ist {τ ∈ κ|τ stark in < 𝕍_{κ}, A >} stationär in κ. ⇒ Mit 1. {τ ∈ κ|τΣ_{ω}-stark in < 𝕍_{κ}, A > stationär

in κ. ■

1. Sei τ ∈ κ stark in < 𝕍_{κ}, T_{A} > ∧ α ∈ On ∧ τ < α < κ ∧ < 𝕍_{α}, A ∩ 𝕍_{α} >⪯< 𝕍_{κ}, A >. Insbesondere ist τ α-stark in < 𝕍_{κ}, T_{A} >. Das heißt es gibt 𝕍_{κ}-Extender E auf τ, so daß < 𝕍_{α}, T_{A} ∩ 𝕍_{α} > Substruktur von < W, T̃ > ist mit α < π(τ), wobei π :< 𝕍_{κ}, T_{A} >→_{E}< W, T̃ >. Zu zeigen ist nun < 𝕍_{α}, A ∩ 𝕍_{α} >⪯< W, π(A) >. BEH: ∀n ∈ ω∀\overrightarrow{x} ∈ W: < W, T̃ >⊨ T̃(n, \overrightarrow{x}) ↔< W, π(A) >⊨ φ_{n}(\overrightarrow{x})[Damit T̃ Erfüllungsbeziehung für < W, π(A) >] BEW: Induktion über den Formelaufbau Exemplarisch Fall: φ_{n}(x) := x ∈ π(A) Nach Definition gilt für alle β ∈ κ: < 𝕍_{κ}, T_{A} >⊨ ∀x ∈ 𝕍_{β}: (T_{A}(n, x) ↔ x ∈ 𝕍_{β} ∩ A) Äquivalent, da Σ_{0}-Formel, zu: < W, T̃ >⊨ ∀x ∈ 𝕍_{π(β)}: (T̃(n, x) ↔ x ∈ π(𝕍_{β} ∩ A)) Da π konfinal und π(A) ∩ 𝕍_{π(β)}^{W} = π(A ∩ 𝕍_{β}) folgt: < W, T̃ >⊨ T̃(n, x) ↔< W, π(A) >⊨ x ∈ π(A) Fall: φ_{n}(\overrightarrow{x}) := ∃y: φ_{m}(y, \overrightarrow{x}) Sei β ∈ κ beliebig. BEH: Es gibt ein ν ∈ On mit β ≤ ν < κ und < 𝕍_{ν}, A ∩ 𝕍_{ν} >⪯< 𝕍_{κ}, A > BEW: Man betrachte eine anzählbare Sprache L erster Stufe und eine L-Struktur A. Für jede Formel φ(x_{0}, …, x_{n−1}, y) ∈ L sei f_{φ} : A^{n} → A eine Funktion mit A ⊨ ∀\overrightarrow{x}(∃y: φ(\overrightarrow{x}, y) ↔ φ(\overrightarrow{x}, f_{φ}(\overrightarrow{x}))) Da L abzählbar, gibt es nur abzählbar viele solche Funktionen. Seien also < f_{i}|i ∈ ω > solche Skolemfunktionen für < 𝕍_{κ}, A >. Für jedes B ⊆ 𝕍_{κ} sei F (B) := B ∪ {f_{i}(x_{0}, …, x_{n_{i}−1})|i ∈ ω ∧ x_{0}, …, x_{n_{i}−1} ∈ (domf_{i}) ∩ B^{n_{i}}}. Da κ regulär setze: ν_{0} := β und für jedes i ∈ ω sei ν_{i+1} ∈ κ mit ν_{i} ≤ ν_{i+1} und F (𝕍_{ν_{i}}) ⊆ 𝕍_{ν_{i+1}}. Damit ist ν := sup{ν_{i}|i ∈ ω} ∈ κ und 𝕍_{ν} abgeschloossen gegen < f_{i}|i ∈ ω > . Mit Tarski-Vaught-Kriterium folgt die Behauptung.

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Erneut mit Tarski-Vaught folgt folgende Implikationskette -< 𝕍_{κ}, A >⊨ ∀\overrightarrow{x} ∈ 𝕍_{β}: (φ_{n}(\overrightarrow{x}) ↔ ∃y: φ_{m}(y, \overrightarrow{x})) -< 𝕍_{κ}, A >⊨ ∀\overrightarrow{x} ∈ 𝕍_{β}: (φ_{n}(\overrightarrow{x}) ↔ ∃y ∈ 𝕍_{ν}: φ_{m}(y, \overrightarrow{x})) -< 𝕍_{κ}, T_{A} >⊨ ∀\overrightarrow{x} ∈ 𝕍_{β}: (T_{A}(n, \overrightarrow{x}) ↔ ∃y: T_{A}(m, y, \overrightarrow{x})) -< W, T̃ >⊨ ∀\overrightarrow{x} ∈ 𝕍_{π(β)}: (T̃(n, \overrightarrow{x}) ↔ ∃y ∈ 𝕍_{π(ν)}: T̃(m, y, \overrightarrow{x})) -< W, T̃ >⊨ ∀\overrightarrow{x}: (T̃(n, \overrightarrow{x}) ↔ ∃y: T̃(m, y, \overrightarrow{x})) Der Rest des Beweises folgt dann analog durch die Äquivalenzkette: -< W, T̃ >⊨ T̃(n, \overrightarrow{x}) -< W, T̃ >⊨ ∃y: T̃(m, y, \overrightarrow{x}) -∃y ∈ W: < W, T̃ >⊨ T̃(m, y, \overrightarrow{x}) -∃y ∈ W: < W, π(A) >⊨ φ_{m}(y, \overrightarrow{x}) -< W, π(A) >⊨ ∃y: φ_{m}(y, \overrightarrow{x})

-< W, π(A) >⊨ φ_{n}(\overrightarrow{x}) ■

Sei nun < 𝕍_{α}, A ∩ 𝕍_{α} >⊨ φ_{n}(\overrightarrow{c}), \overrightarrow{c} ein Tupel aus 𝕍_{α}. Da < 𝕍_{α}, A ∩ 𝕍_{α} >⪯< 𝕍_{κ}, A > und nach Definition von T_{A} gilt < 𝕍_{κ}, A >⊨ T_{A}(n, \overrightarrow{c}). Damit < 𝕍_{α}, T_{A} ∩ 𝕍_{α} >⊨ T_{A}(n, \overrightarrow{c}) und wegen < 𝕍_{α}, T_{A} ∩ 𝕍_{α} >⊆< W, T̃ > folgt < W, T̃ >⊨ T̃(n, \overrightarrow{c}). Mit der oben bewiesen Behauptung folgt damit das zu Zeigende.

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5 Superstarke, Woodin- und Shelahzahlen

Definition 5.1 ∃^{κ}x: φ(x) :⇔ #{x|φ(x)} = κ

{Satz 5.1 \atop 1.} ∃κ: κ 2^{κ}-superkompakt → ∃^{κ}λ_{i} < κ: λ_{i} superstark

2. ∃κ: κ superstark → ∃^{κ}λ_{i} < κ: λ_{i} Shelah ∧ κ Shelah

3. ∃κ: κ Shelah → ∃^{κ}λ_{i} < κ: λ_{i} Woodin ∧ κ Woodin

4. ∃κ: κ Woodin → ∃^{κ}δ_{i} < κ ∀α < κ: δ_{i} α-stark ∧ κ unerreichbar

BEW: a) Sei j : 𝕍 ≺ M Zeuge, daß κ 2^{κ}-superkompakt und E der zugehörige Extender mit Quelle 𝕍_{j(κ)} ∩ M. ∀a ∈ 𝕍_{j(κ)}^{<ω} ist E_{a} Maß auf 𝕍_{κ}^{l(a)} und E_{a}(X) = 1 ↔ a ∈ j(X). Also hängt E nur von 𝕍_{j(κ)}∩M und j ↾ 𝕍_{κ^{+}} ab. Nun ist j ↾ 𝕍_{κ^{+}} ∈ M^{𝕍_{κ^{+}}} und damit j ↾ 𝕍_{κ^{+}} ∈ M, also E ∈ M. Damit erhalten wir i_{E}^{M} : M ≺ N, i_{E}^{M} ∈ M und 𝕍_{j(κ)} ∩ M ∈ N. Damit j(κ) = k(i_{E}(κ)) ≥ i_{E}(κ) ≥ i_{E}^{M}(κ). Damit ist aber 𝕍_{i_{E}^{M} (κ)} ∩ M ∈ N. ⇒ i_{E}^{M} bezeugt (κ superstark)^{M} ⇒ Sei β < κ. Dann existiert in M γ superstark mit β = j(β) < γ < j(κ) und damit mittels Reflexion in 𝕍 γ̃ superstark mit β < γ̃ < κ.

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b), c) ohne Beweis, ähnlich

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d) Sei κ Woodin.

i) Angenommen κ nicht regulär. Dann gibt es γ < κ und f : γ → κ mit unbeschränktem Bild. Setze g(0) := γ, g(α) := f(1+α) für α < γ und g(α) := 0 sonst. ⇒ keine Ordinalzahl > 0 ist abgeschlossen. ⇒ g Gegenbeispiel zu κ Woodin. Angenommen γ < κ Limes mit 2^{γ} ≥ κ. Sei f ∈ κ^{κ} mit f(0) = γ und j Zeuge, daß κ Woodin in Bezug auf f. Dann ist crit(j) meßbar und crit(j) > f(0) und damit nicht einmal starker Limes. Widerspruch Also κ unerreichbar. ii) Angenommen β < κ ist so, daß für alle γ mit β ≤ γ < κ ein λ < κ existiert mit γ nicht λ-stark. Definiere λ(γ) := inf{δ ≥ γ|¬γ δ-stark}. Setze f(γ) := β für γ < β und f(γ) := λ(γ) + 3 sonst. Sei nun j Zeuge, daß κ Woodin in Bezug auf f und μ := crit(j). E sei der von j abgeleitete Extender mit Quelle 𝕍_{j(λ)(μ)}. Dann ist E ∈ M. Also bezeugt E (μ j(λ)(μ)-stark)^{M}. Aber μ > β und μ abgeschlossen unter f, also μ > j(β) = β. Damit (¬μ j(λ)(μ)-stark)^{M} Widerspruch

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Korollar 5.2 ∃κ: κ Shelah → P D

BEW: Satz 4.1 und Satz 5.1.3

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Korollar 5.3 Sei κ := min{λ|λ W oodin} → ¬ κ schwach kompakt

BEW: κ Woodin ist nach Satz4.1 eine Π_{1}^{1} Π_{1}^{1} Π_{1}^{1}-Eigenschaft von < 𝕍_{κ}, ∈> und damit folgt die Behauptung.

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Lemma 5.4 κ Woodin → κ κ-Mahlo

LITERATUR

[1] Kanamori, The Higher Infinite, Springer 1994

[2] Martin & Steel, A Proof of projective determinacy, JAMS 1989

[3] Hegewald, Diplomarbeit über generische Ultraprodukte und Woodin-Forcing, Technische Universität Berlin 1997

[4] Bruening & Räsch, Seminarvortrag über Π_{1}^{1} Π_{1}^{1} Π_{1}^{1}-Determiniertheit, Humboldt-Universität Berlin 1999