Der Woodinsche stationäre Turm

Matthias Enders Seminar Große Kardinalzahlen

14. Juli 2000

In diesem Vortrag sollen Forcing-Erweiterungen betrachtet werden, deren partielle Forcing-Ordnungen gegeben sind durch die stationären Woodinschen Türme. Der Vortrag basiert auf der Diplomarbeit von Annekatrin Hegewald: ”Generische Ultraprodukte und Woodin-Forcing“. Ich werde hier oft nur Ergebnisse aus dieser Arbeit zitieren.

1 Stationäre Mengen

Definition 1.1. Sei u ≠ ∅ eine Menge. S ⊆ P(u) heißt stationär auf u, falls für jede Algebra A = (u, (f_{i})_{i∈ω}) auf u mit höchstens abzählbar vielen (partiellen) Funktionen ein X ∈ S \ {∅} existiert, welches A-abgeschlossen ist.

Bemerkung 1.2. Ist α eine Limesordinalzahl mit Konfinalität größer ω, so stimmt dieser neue Stationaritätsbegriff mit dem uns bekannten überein: X ⊆ α stationär (d.h. schneidet jede club-Menge nichttrivial) ist äquivalent zu der Aussage, daß X stationär auf α ist.

Lemma 1.3 (Restriktionslemma). Sei ∅ ≠ u′ ⊆ u und sei S stationär auf u. Dann ist S|_{u′} := {X ∩ u′ | X ∈ S} stationär auf u′.

Beweis: Sei A′ = (u′, (f_{i})_{i∈ω}) eine Algebra auf u′. Wähle ein y ∈ u′ und sei const_{y} die konstante Funktion auf u, die jedem x ∈ u y zuordnet. Dann ist A = (u, const_{y}, (f_{i})_{i∈ω}) eine Algebra auf u und es existiert ein X ∈ S \ {∅}, das A-abgeschlossen ist. Wegen y ∈ X ist X ∩ u′ ≠ ∅ und offensichtlich A′- abgeschlossen.

Lemma 1.4 (Expansionlemma). Sei ∅ ≠ u ⊆ v und sei S stationär auf u. Dann ist \overline{S} := \{X ⊆ v | X ∩ u ∈ S\} stationär auf v.

Beweis: Sei A = (v, (f_{i})_{i∈ω}) eine Algebra auf v. Ohne Einschränkung können wir annehmen, daß A unter Komposition abgeschlossen ist, d.h. f_{i} ∘f_{j} ist gleich einem f_{k} aus der Algebra. Sei domf_{i} ⊆ v^{n_{i}}. Dann ist A′ = (u, (f_{i} ∩ u^{n_{i}+1})_{i∈ω}) eine Algebra auf u und es existiert nach Voraussetzung ein X ∈ S \{∅}, welches A′-abgeschlossen ist. Sei nun Y der A-Abschluss von X. Dann gilt Y ∩ u = X. [Beachte, daß, falls X ≠ u, ein f_{i}(x) mit x ∈ X nicht in u \ X sein kann, da ja X bzgl A′ abgeschlossen ist. Ist nun für x ∈ X ein f_{i}(x) ∈ v \ u so kann ein f_{j} ∘ f_{i}(x) nicht in u \ X liegen, da wir die Algebra als unter Kompositionen abgeschlossen angenommen haben.] Somit ist also Y ∈ \overline{S}.

Lemma 1.5 (Satz von Fodor). Sei u ≠ ∅, S stationär auf u und F : S ⟶ u regressiv, d.h. F (X) ∈ X. Dann existiert ein x ∈ u, so daß S_{x} := {X ∈ S | F (X) = x} stationär auf u ist.

Beweis: Angenommen es gibt für jedes x ∈ u eine Algebra A^{x} = (u, (f_{i}^{x})_{i∈ω}) auf u, so daß kein X ∈ S_{x}\{∅} A^{x}-abgeschlossen ist.Wir können nun annehmen, daß für alle x ∈ u und für alle i ∈ ω gilt: domf_{i}^{x} ⊆ u^{n_{i}+1}. Definiere nun eine Algebra A = (u, (f_{i})_{i∈ω}) auf u in der für alle i ∈ ω die f_{i} partielle Funktionen auf u^{n_{i}+2} sind, definiert durch f_{i}(x, y_{0}, …, y_{n_{i}}) := f_{i}^{x}(y_{0}, …, y_{n_{i}}), falls definiert, sonst sei es undefiniert. Es gibt nun ein X ∈ S \ {∅}, welches A-abgeschlossen ist. Setze nun x := F (X). Dann ist X ∈ S_{x} und X ist A^{x} abgeschlossen. Widerspruch zur Annahme.

Lemma 1.6. Sei u ≠ ∅, S stationär auf u. Sei (S_{i})_{i∈ω} eine Familie von Teilmengen von P(u) mit S = ⋃_{i<ω} S_{i}. Dann existiert ein i ∈ ω, so daß S_{i} stationär

auf u ist.

Beweis: Angenommen für jedes i ∈ ω existiert eine Algebra A^{i} = (u, (f_{j}^{i})_{j∈ω}), so daß kein X ∈ S_{i} \{∅} A^{i}-abgeschlossen ist. Sei A = (u, (f_{j}^{i})_{i,j∈ω}). Es existiert X ∈ S \ {∅}, welches A-abgeschlossen ist. Sei i_{0} ∈ ω mit X ∈ S_{i_{0}}. Dieses X ist bzgl. A^{i_{0}} abgeschlossen. Widerspruch zur Annahme.

2 Der Woodinsche stationäre Turm und das generische Ultraprodukt

Im Folgenden sei M stets ein abzählbares transitives ZFC-Modell (Grundmodell). Darin können nun die partiellen Ordnungen für das Woodin-Forcing definiert werden.

Definition 2.1. Für α ≥ ω sei P_{α} := {(u, S) | u ∈ V_{α}∧S ist stationär auf u}^{M} ∈ M. Weiter setzt man P_{∞} := {(u, S) | u ∈ M ∧ S ist stationär auf u}^{M} ⊆ M. Die partiellen Ordnungen ≤ seien definiert durch (u, S) ≤ (v, T) :⇔ u ⊇ v und S|_{v} ⊆ T. Die partiellen Ordnungen heißen auch stationäre Türme.

Bemerkung 2.2. Sei α ∈ On^{M} und u, v ∈ V_{α}^{M} mit ∅ ≠ u ⊂ v. Ist (u, S) ∈ P_{α} so gibt es \overline{S} stationär auf v mit (v, \overline{S}) ≤ (u, S) (vgl. Expansionslemma); ist (v, S) ∈ P_{α} so ist (u, S|_{u}) ∈ P_{α} und (v, S) ≤ (u, S|_{u}). Analog gilt die Aussage für P_{∞}.

Bevor wir uns nun um die generische Forcingerweiterung kümmern wollen, soll erst ein weiteres Modell konstruiert werden, nämlich das generische Ultraprodukt. Im Folgenden sei dazu P die partielle Ordnung P_{α} oder P_{∞}, entsprechend sei I die Menge V_{α}^{M} \ {∅} bzw. M \ {∅}. Desweiteren sei nun G ein P -generischer Filter auf M und für u ∈ I setze: G_{u} := {S ⊆ P(u)^{M} | (u, S) ∈ G}. Es soll nun gezeigt werden, daß für jedes u die G_{u} Ultrafilter auf P(u)^{M} sind.Damit können wir Ultraprodukte Ult(M, G_{u}) bilden. Für u ⊆ v werden wir dann elementare Einbettungen i_{uv} : Ult(M, G_{u}) ⟶ Ult(M, G_{v}) angeben, so daß (Ult(M, G_{u})_{u∈I}, (i_{uv})_{u⊆v∈I} ein gerichtetes System wird. Der direkte Limes dieses Systems ist dann das generische Ultraprodukt.

Lemma 2.3. Für jedes u ∈ I ist G_{u} ein Ultrafilter auf P(u)^{M}.

Beweis: (a)∅ ∉ G_{u}: Sonst wäre (u, ∅) ∈ G und damit ∅ stationär auf u, was aber per Definition falsch ist. (b)S, T ∈ G_{u} ⇒ S ∩ T ∈ G_{u}: Seien S, T ∈ G_{u}, d.h.(u, S), (u, T) ∈ G. Da G ein Filter ist, existiert ein (v, R) ∈ G mit (v, R) ≤ (u, S), (u, T); also v ⊇ u und R|_{u} ⊆ S ∩ T. Nach 2.2 ist R|_{u} in M stationär auf u, damit ist S ∩ T stationär auf u, und (v, R) ≤ (u, R|_{u}) ≤ (u, S ∩ T). Wegen der Filtereigenschaft von G ist (u, S ∩ T) ∈ G und damit S ∩ T ∈ G_{u}. (c)S ∈ G_{u}, T ⊇ S ⇒ T ∈ G_{u}: Seien S, T ⊆ P(u)^{M}, S ∈ G_{u}, S ⊆ T. Da S stationär auf u ist, ist auch T stationär auf u und es gilt (u, S) ≤ (u, T). Damit ist (u, T) ∈ G und somit T ∈ G_{u}. (d)Für S ⊆ P(u)^{M} ist S oder ¬S = P(u)^{M} \ S in G_{u}: (1)Sei A eine abzählbare Algebra auf u, C_{A} sei die Menge der A-abgeschlossenen Teilmengen von u in M, d.h.: C_{A} := {v ∈ P(u)^{M} | v ist A -abgeschlossen} und sei S stationär auf u. Dann ist auch S ∩ C_{A} in M stationär auf u. Bew.: Sei B eine abzählbare Algebra auf u. Es ist zu zeigen, daß (S ∩C_{A})∩C_{B} ≠ ∅. Es gilt aber S ∩ C_{A∪B} = (S ∩ C_{A}) ∩ C_{B}, wobei A ∪ B die Algebra auf u sei, die alle Funktionen aus A und B enthält. q.e.d.(1) (2)D := {(v, T) ∈ P | [(u, S) ∈ P ∧ (v, T) ≤ (u, S)] ∨ [(u, ¬S) ∈ P ∧ (v, T) ≤ (u, ¬S)]} ist dicht in P. Bew.:Sei (w, R) ∈ P Fall 1: S ist nicht stationär auf u. Dann gibt es also eine Algebra A = (u, (f_{i})_{i∈ω}) auf u mit C_{A} \ {∅} ⊆ ¬S. Setze v = u ∪ w und T = {Y ∈ P(v)^{M} | Y ∩ w ∈ R}. Nach 2.2 bzw. Expansionslemma ist (v, T) ≤ (w, R). Für ein c ∈ u betrachte nun die Algebra Ã = (v, const_{c}, (f_{i})_{i∈ω}) auf v. Nach (1) ist T ∩ CÃ stationär in M auf v und damit auch T′ = T ∩ CÃ \ {∅}. Damit ist also (v, T′) ∈ P. Weiter gilt: T′|_{u} ⊆ CÃ \ {∅}|_{u} ⊆ C_{A} \ {∅} ⊆ ¬S. Damit erhalten wir (v, T′) ≤ (u, ¬S), also ist (v, T′) ∈ D, und ausserdem gilt (v, T′) ≤ (v, T) ≤ (w, R). Fall 2: ¬S ist in M nicht stationär auf u geht analog. Fall 3: S und ¬S sind stationär in M auf u. Wie in Fall 1 gibt es nun (v, T) ∈ P mit (v, T) ≤ (w, R) und u ⊆ v. Betrachte nun S̃ = {Y ∈ P(v)^{M} | Y ∩ u ∈ S} und ˜¬S := {Y ∈ P(v)^{M} | Y ∩ u ∉ S}. T = (T ∩ S̃) ∪ (T ∩ ˜¬S) ist stationär auf v. Nach 1.6 ist dann schon eine der beiden Mengen stationär in M auf v. Ist T ∩ S̃ stationär auf v, so gilt (v, T ∩ S̃) ∈ P, (v, T ∩ S̃) ≤ (v, T) ≤ (w, R) und (v, T ∩ S̃) ≤ (u, S). Analog für ¬S̃ und ¬S. q.e.d. (2) Nun können wir den Beweis beenden. D hat nichtleeren Schnitt mit G, d.h. es existiert ein (v, T) ∈ G mit entweder (u, S) ∈ P und (v, T) ≤ (u, S) [damit ist S ∈ G_{u}] oder (u, ¬S) ∈ P und (v, T) ≤ (u, ¬S) [damit ist ¬S ∈ G_{u}].

Wir können nun für jedes u ∈ I das Ultraprodukt Ult(M, G_{u}) von M und G_{u} bilden. Es sollen nun für u ⊆ v verbindende elementare Abbildungen i_{uv} : Ult(M, G_{u}) ⟶ Ult(M, G_{v}) definiert werden, um ein gerichtetes System (Ult(M, G_{u}))_{u∈I}, (i_{uv})_{u⊆v∈I} zu erhalten. Dazu erst noch folgende Definition:.

Definition 2.4. Für u ⊆ v ∈ I sei G_{v}|_{u} := {S|_{u} | S ∈ G_{v}}

Lemma 2.5. Für u ⊆ v ∈ I gilt G_{v}|_{u} ⊆ G_{u}. Außerdem ist G_{v}|_{u} ein Filter auf P(u)^{M}.

Beweis: Sei S ⊆ P(v)^{M}. Dann gilt: S ∈ G_{v} ⇔ (v, S) ∈ G. Nach 2.2 ist (v, S) ≤ (u, S|_{u}) ∈ G, und damit ist S|_{u} ∈ G_{u}: Also haben wir G_{v}|_{u} ⊆ G_{u}. Die Filteraxiome prüft man leicht nach.

Lemma 2.6. (Ult(M, G_{u}))_{u∈I} kann zu einem gerichteten System erweitert werden.

Beweis: Für u ⊆ v ∈ I setze

i_{uv} : Ult(M, G_{u}) ⟶ Ult(M, G_{v})
[f]_{G_{u}} ⟼ [F]_{G_{v}}

wobei F : P(v)^{M} ⟶ M durch F (X) := f(X ∩ u) gegeben sei.

(1) i_{uv} ist wohldefiniert. Bew.: Seien f_{0}, f_{1} : P(u)^{M} ⟶ M Abbildungen.

Ult(M, G_{u}) ⊧ [f_{0}]_{G_{u}} = [f_{1}]_{G_{u}} ⇔ {X ∈ P(u)^{M} | f_{0}(X) = f_{1}(X)} ∈ G_{u}
⇔ {X ∈ P(u)^{M} | f_{0}(X) ≠ f_{1}(X)} ∉ G_{u}
⇒ {X ∈ P(u)^{M} | f_{0}(X) ≠ f_{1}(X)} ∉ G_{v}|_{u}
⇒ {Y ∈ P(v)^{M} | f_{0}(Y ∩ u) ≠ f_{1}(Y ∩ u)} ∉ G_{v}
⇔ {Y ∈ P(v)^{M} | f_{0}(Y ∩ u) = f_{1}(Y ∩ u)} ∈ G_{v}
⇔ Ult(M, G_{v}) ⊧ [F_{0}]_{G_{v}} = [F_{1}]_{G_{v}}

(2) i_{uv} ist elementar. Bew.: Sei φ(v_{0}, …, v_{n}) eine Formel und seien [f_{0}]_{G_{u}}, …, [f_{n}]_{G_{u}} ∈ Ult(M, G_{u}). Dann gilt:

Ult(M, G_{u}) ⊧ φ[[f_{0}]_{G_{u}}, …, [f_{n}]_{G_{u}}]
⇔ {X ∈ P(u)^{M} | M ⊧ φ[f_{0}(X), …, f_{n}(X)]} ∈ G_{u}
⇔ {X ∈ P(u)^{M} | M ⊧ ¬φ[f_{0}(X), …, f_{n}(X)]} ∉ G_{u}
⇒ {X ∈ P(u)^{M} | M ⊧ ¬φ[f_{0}(X), …, f_{n}(X)} ∉ G_{v}|_{u}
⇒ {Y ∈ P(v)^{M} | M ⊧ ¬φ[f_{0}(Y ∩ u), …, f_{n}(Y ∩ u)} ∉ G_{v}
⇔ {Y ∈ P(v)^{M} | M ⊧ φ[f_{0}(Y ∩ u), …, f_{n}(Y ∩ u)} ∈ G_{v}
⇔ Ult(M, G_{v}) ⊧ φ[i_{uv}([f_{0}]_{G_{u}}), …, i_{uv}([f_{n}]_{G_{u}})]

Wendet man diese Implikationen auf die Negation der Formel an, so erhält man die gewünschte Äquivalenz. q.e.d. (2)

(3) Die i_{uv} kommutieren. Bew.: Seien u ⊆ v ⊆ w ∈ I. Sei [f]_{G_{u}} ∈ Ult(M, G_{u}). Dann gilt:

i_{vw} ∘ i_{uv}([f]_{G_{u}}) = i_{vw}([F]_{G_{v}}) mit F : P(v)^{M} → M, Y ↦ f(Y ∩ u)
= [F′]_{G_{w}} mit F′ : P(w)^{M} → M, Z ↦ F (Z ∩ v) = f(Z ∩ u)
= i_{uw}([f]_{G_{u}})

Definition 2.7. Der direkte Limes des gerichteten Systems (Ult(M, G_{u}))_{u∈I}, (i_{uv})_{u⊆v∈I} heißt gemerisches Ultraprodukt Ult(M,G). Die elementaren Einbettungen dazu seien i_{u} : Ult(M, G_{u}) ⟶ Ult(M, G).

Lemma 2.8 (Satz von Łos). Sei φ eine Formel und [(u_{i}, [f_{i}]_{G_{u_{i}}})] ∈ Ult(M, G) für i = 0, …, n. Dann gilt für v ⊇ u_{0}, …, u_{n}:

Ult(M, G) ⊧ φ[[(u_{0}, [f_{0}]_{G_{u_{0}}} )], …, [(u_{n}, [f_{n}]_{G_{un}})]]
⇔ {Y ∈ P(v)^{M} | M ⊧ φ[f_{0}(u_{0} ∩ Y), …, f_{n}(u_{n} ∩ Y)]} ∈ G_{v}

Beweis:

Ult(M, G) ⊧ φ[[(u_{0}, [f_{0}]_{G_{u_{0}}} )], …, [(u_{n}, [f_{n}]_{G_{un}})]]
⇔ Ult(M, G_{v}) ⊧ φ[i_{u_{0}v}([f_{0}]_{G_{u_{0}}} ), …, i_{u_{n}v}([f_{n}]_{G_{un}})]
⇔ {Y ∈ P(v)^{M} | M ⊧ φ[f_{0}(u_{0} ∩ Y), …, f_{n}(u_{n} ∩ Y)]} ∈ G_{v}

Bemerkung 2.9. (a) Wie üblich kann man mit dieser Version des Satzes von Łos zeigen, daß Ult(M, G) ein ZFC-Modell ist.

(b) Ist j_{u} : M ⟶ Ult(M, G_{u}) für u ∈ I die kanonische Einbettung, dann gilt für v ⊇ u j_{u} = i_{uv} ∘ j_{u}.

(c) Durch σ := i_{u} ∘ j_{u} für beliebiges u ∈ I wird eine wohldefinierte elementare Einbettung σ : M ⟶ Ult(M, G) definiert.

3 M^{G}, M[G] und Ult(M, G) für P_{∞}

In diesem Kapitel werden Resultate der generischen Erweiterung M^{G} für den unendlichen stationären Turm angegeben. Da P_{∞} ⊆ M, aber keine Menge in M ist, treten einige technische Schwierigkeiten auf. Ich möchte mich hier nicht darum kümmern, der interessierte Leser findet genaueres in der Diplomarbeit von Annekatrin Hegewald im Kapitel 3 ”Eigenschaften des Klassenforcing“. Aus diesem Kapitel gebe ich nur einige wichtige Ergebnisse an, die wir dann bei der Untersuchung von P_{κ} für κ eine Woodin-Zahl im nächsten Kapitel verwenden werden. Unter einer bestimmten Bedingung A(G) sind für P = P_{∞} das generische Ultraprodukt Ult(M, G), die generische Forcing-Erweiterung M^{G} und das gleich noch zu definierende Modell M[G] gleich, insbesondere ist dann die generische Erweiterung ein ZFC-Modell. Zuerst kommen wir zur Definition von M[G].

Definition 3.1. Sei M ein abzählbares, transitives ZFC-Modell, P eine partielle Ordnung in M, wobei P eine echte Klasse in M sein kann, und sei G P - generisch über M. Dann sei M[G] definiert als:

M[G] := ⋃_{α∈On^{M}} L(V_{α}^{M} ∪ {G ∩ V_{α}^{M}}).

Lemma 3.2. (a) M[G] ist transitiv.

(b) Ist P ∈ M, dann ist M^{G} = M[G].

Bemerkung Für den Beweis von 3.2 gilt: (a) zeigt man durch Induktion über die Stufen L_{μ}(…), (b) folgt aus der Minimalität der beiden Konstruktionen.

Definition 3.3. Sei P stationärer Turm. Ein P -generischer Filter G über einem abzählbaren transitiven ZFC-Modell M erfüllt die Bedingung A(G), falls - Ult(M, G) stark fundiert ist und

- σ′′On^{M} ⊆ On^{M}, wobei σ : M ⟶ Ult(M, G) die kanonische Einbettung ist.

Bemerkung Gilt A(G), ist also Ult(M, G) stark fundiert, so können wir aufgrund des Mostowski-Isomorphismuses annehmen, daß Ult(M, G) transitiv ist und die wirkliche ∈-Relation trägt.

Satz 3.4. Sei P = P_{∞} und gelte A(G): Dann ist Ult(M, G) = M[G] = M^{G}.

Wann gilt nun aber A(G)?

Satz 3.5. Sei P = P_{∞} und es gebe beliebig große meßbare Zahlen in M. Dann gilt A(G) für jedes P -generische G über M.

4 Eigenschaften von P_{κ} für κ eine Woodinzahl

Von nun an sei κ eine Woodinzahl und wir wollen die generische Erweiterung des Grundmodells M für P_{κ} untersuchen. Der wichtigste Hilfssatz für diese Untersuchung ist ein Satz über Antiketten in P_{κ}. Der Beweis dieses Satzes erfordert einige Vorarbeit, ich werde hier nur die wichtigsten Ergebnisse dazu angeben. Zuerst wird nochmal der Begriff Σ_{ω}-stark wiederholt.

Definition 4.1. Sei κ ∈ On und A ⊆ V_{κ}. τ ∈ κ heißt Σ_{ω}-stark in (V_{κ}, A), falls für jedes α ∈ On mit τ < α < κ und (V_{α}, A ∩ V_{α}) ⪯ (V_{κ}, A) ein V_{κ}-Extender E bei τ existiert mit kanonischer Einbettung π : (V_{κ}, A) →_{E} (W, A′), so daß

- ((V_{α}, A ∩ V_{α}) ⪯ (W, A′) und

- α < π(τ).

Bemerkung 4.2. Allgemein kann man für ein transitives ZFC-Modell N und einen N-Extender E mit kanonischer Einbettung π : N →_{E} M zeigen, daß es für A ⊆ N, falls für alle x ∈ N auch A ∩ x ∈ N ist, genau ein A′ ⊆ M mit π : (N, A) →_{Σ_{0}} (M, A′) gibt. Man schreibt für A′ dann auch π(A) und bezeichnet die Abbildung mit π : (N, A) →_{E} (M, π(A)).

Lemma 4.3. Sei κ Woodinsch und A ⊆ V_{κ}. Dann ist {τ ∈ κ | τΣ_{ω}-stark in (V_{κ}, A)} stationär in κ.

Dieses Lemma wurde im letzten Vortrag ”Superstarke, Woodin- und Shelahzahlen“ bewiesen. Es werden nun einige weitere Lemmata und Definitionen, die wir zum Beweis für den Satz über Antiketten benötigen, aus der Hegewald Arbeit, Kapitel 4.1, zitiert.

Definition 4.4. Sei τ ∈ On unerreichbar. Eine Antikette Δ ⊆ P_{τ} heißt semiproper in P_{τ}, falls für jedes X ⪯ V_{τ+ω} mit Δ ∈ X und \overline{\overline{X}} < τ ein Y ⊇ X existiert mit (1) \overline{\overline{Y}} < τ und Y ⪯ V_{τ+ω}

(2) Y ∩ V_{η} = X ∩ V_{τ} für η = sup(X ∩ τ)

(3) es gibt (u, S) ∈ Δ ∩ Y mit u ∩ Y ∈ S.

Lemma 4.5. Sei τ ∈ On unerreichbar und S = \{X ⪯ V_{τ+1} | \overline{\overline{X}} < τ ∧ (∀Δ ∈ X : Δ ⊆ P_{τ} ist semiproper in P_{τ} → ∃(w, W) ∈ X ∩ Δ w ∩ X ∈ W)}. Dann ist S stationär auf V_{τ+1} und (V_{τ+1}, S) ∈ P_{τ+2} ist mit jedem p ∈ P_{τ} kompatibel bzgl. P_{τ+2}. (V_{τ+1}, S) wird master condition genannt.

Definition 4.6. Sei (P, ≤) partielle Ordnung, D, C ⊆ P.

- D heißt prädicht in C ⇔ ∀p ∈ C∃q ∈ C∃d ∈ D, q ≤ d, p.

- D heißt prädicht ⇔ D prädicht in P.

Lemma 4.7. Sei (V_{τ} , S) wie in 4.5, Δ ⊆ P_{τ} semiproper in P_{τ}. Dann ist Δ prädicht in {q ∈ P_{∞} | q ≤ (V_{τ+1}, S)}.

Lemma 4.8. Sei κ unerreichbar, Δ ⊆ P_{κ} prädicht in P_{κ} und τ ∈ κΣ_{ω}-stark in (V_{κ}, Δ). Dann ist Δ ∩ P_{τ} semiproper in P_{τ}.

Satz 4.9. Sei κ eine Woodin-Zahl, α ∈ κ und ⟨Δ_{i}⟩_{i∈α} eine Folge von Antiketten in P_{κ}. Dann ist \{p ∈ P_{κ} | ∀i ∈ α \overline{\overline{Δ_{i}|_{p}}} < κ\} dicht in P_{κ}, dabei ist Δ_{i}|_{p} = {q ∈ Δ_{i} | ¬(q⊥p)}.

Beweis: Jede Antikette läßt sich zu einer maximalen Antikette erweitern. Wir können also annehmen, daß alle Δ_{i} maximale Antiketten sind. Sei p ∈ P_{κ}. Ziel: Finde q ∈ P_{κ} mit q ≤ p und ∀i ∈ α \overline{\overline{Δ_{i}|_{q}}} < κ. Sei Δ^{∗} := {(i, s) | i ∈ α ∧ s ∈ Δ_{i}} ⊆ V_{κ}. Da κ Woodinsch gibt es nach 4.3 ein τ ∈ κ groß genug, so daß p ∈ P_{τ} und τ Σ_{ω}-stark in (V_{κ}, Δ^{∗}) ist. Beh.1: τ ist Σ_{ω}-stark in (V_{κ}, Δ_{i}) für jedes i ∈ α. Bew.: Sei i ∈ α und τ < ξ < κ mit (V_{ξ}, Δ_{i} ∩ V_{ξ}) ⪯ (V_{κ}, Δ_{i}). Es ist zu zeigen, daß ein V_{κ}-Extender E bei τ mit kanonischer Einbettung π : (V_{κ}, Δ_{i}) ⟶_{E} (W, π(Δ_{i})) existiert, so daß ξ < π(τ) und (V_{ξ}, Δ_{i} ∩ V_{ξ}) ⪯ (W, π(Δ_{i})). (1.1)Es gibt β ∈ On mit τ < min(α, ξ) ≤ max(α, ξ) ≤ β < κ und (V_{β}, Δ^{∗}∩V_{β}) ⪯ (V_{κ}, Δ^{∗}). Bew.: Sei φ eine Formel aus der Sprache von (V_{κ}, Δ_{i}). S_{φ} sei eine Skolemfunktion für φ in V_{κ}. Für Y ⊆ V_{κ} sei S(Y) := {S_{φ}(y⃗) | y⃗ aus Y }. Setze β_{0} = max(α, ξ) und sei für i ∈ ω ein β_{i+1} ∈ κ so, daß β_{i} ≤ β_{i+1} und S(V_{β_{i}}) ⊆ V_{β_{i+1}}. Dann ist β = sup{β_{i} | i ∈ ω} ∈ κ, da κ regulär ist, und V_{β} ist bzgl. Skolemfunktionen abgeschlossen. Nach dem Tarski-Vaught-Kriterium ist dann (V_{β}, Δ_{i} ∩ V_{β}) ⪯ (V_{κ}, Δ_{i}) q.e.d. (1.1) Da τ Σ_{ω}-stark in (V_{κ}, Δ^{∗}) ist, existiert ein V_{κ}-Extender E bei τ mit kanonischer Einbettung π : (V_{κ}, Δ^{∗}) ⟶_{E} (W, π(Δ^{∗})) , so daß β < π(τ) und (V_{β}, Δ^{∗} ∩ V_{β}) ⪯ (W, π(Δ^{∗})) ist. Nach Bemerkung 4.2 führt dieser Extender auch zu einer Einbettung π : (V_{κ}, Δ_{i}) ⟶_{E} (W, π(Δ_{i})) und ξ ≤ β < π(τ). Es bleibt also noch zu zeigen, daß (V_{ξ}, Δ_{i} ∩ V_{ξ}) ⪯ (W, π(Δ_{i})) (1.2) (V_{β}, Δ_{i} ∩ V_{β}) ⪯ (W, π(Δ_{i})): Bew.: Jeder Formel φ aus der Sprache von (V_{κ}, Δ_{i}) soll nun eine Formel φ^{∗} aus der Sprache von (V_{κ}, Δ^{∗}) zugeordnet werden, so daß für jeden Vektor a⃗ aus V_{β} gilt: (V_{β}, Δ_{i} ∩ V_{β}) ⊧ φ[a⃗] ⇔ (V_{β}, Δ^{∗} ∩ V_{β}) ⊧ φ^{∗}[a⃗]. Definiere induktiv über den Formelaufbau: Ist φ der Form x = y oder x ∈ y, so sei φ^{∗} = φ. Interessant ist der Fall φ = (x ∈ Δ_{i}). Setze hier (x ∈ Δ_{i})^{∗} := (i, x) ∈ Δ^{∗}. Weiter sei dann (φ ∧ ψ)^{∗} := φ^{∗} ∧ ψ^{∗}, (¬φ)^{∗} := ¬φ^{∗} und (∃xφ)^{∗} := ∃xφ^{∗}. Man zeigt nun durch Induktion über den Formelaufbau, daß mit dieser Definition tatsächlich die oben angegebene Äquivalenz gilt. Beachte dabei, daß mit x ∈ V_{β} auch (i, x) ∈ V_{β} ist, da wegen V_{β} ⪯ V_{κ} das β eine Limeszahl ist und i < α ≤ β gilt. (1.2.1) Für alle φ und alle a⃗ aus W gilt: (W, π(Δ_{i})) ⊧ φ[a⃗] ⇔ (W, π(Δ^{∗})) ⊧ φ^{∗}[a⃗]. Bew.: Durch Induktion über den Formelaufbau. Interessant ist nur der Fall φ = x ∈ Δ_{i}. Aber für α < γ < κ, Lim(γ) gilt: V_{κ} ⊧ ∀i ∈ α∀s(s ∈ Δ_{i} ∩ V_{λ} ↔ (i, s) ∈ Δ^{∗} ∩ V_{γ}) ⇔ W ⊧ ∀i ∈ π(α)∀s(s ∈ π(Δ_{i} ∩ V_{γ}) ↔ (i, s) ∈ π(Δ^{∗} ∩ V_{γ})). Da π konfinal ist folgt die Behauptung. q.e.d.(1.2.1) (1.2.2)(V_{β}, Δ_{i} ∩ V_{β}) ⪯ (W, π(Δ_{i})) Bew.: Sei φ Formel und a⃗ aus V_{β}. Dann gilt

(V_{β}, Δ_{i} ∩ V_{β})⊧φ[a⃗]
⇔(V_{β}, Δ^{∗} ∩ V_{β})⊧φ^{∗}[a⃗]
⇔(W, π(Δ^{∗})) ⊧φ^{∗}[a⃗] , da (V_{β}, Δ^{∗} ∩ V_{β}) ⪯ (W, π(Δ^{∗}))
⇔(W, π(Δ_{)}) ⊧φ[a⃗]  q.e.d. (1.2.2)

q.e.d. (1.2)

(1.3) (V_{β}, Δ_{i} ∩ V_{β}) ⪯ (V_{κ}, Δ_{i}) Bew.: Analog wie für (V_{β}) beweist man nun für c⃗ aus V_{κ} (V_{κ}, Δ^{∗}) ⊧ φ^{∗}[a⃗] ⇔ (V_{κ}, Δ_{i}) ⊧ φ[a⃗]. Sei nun φ eine Formel und a⃗ aus V_{β}. Dann gilt:

(V_{β}, Δ_{i} ∩ V_{β})⊧φ[a⃗]
⇔(V_{β}, Δ^{∗} ∩ V_{β})⊧φ^{∗}[a⃗]
⇔(V_{κ}, Δ^{∗})  ⊧φ^{∗}[a⃗] , da (V_{β}, Δ^{∗} ∩ V_{β}) ⪯ (V_{κ}, Δ^{∗}) nach (1.1)
⇔(V_{κ}, Δ_{i})  ⊧φ[a⃗]  q.e.d. (1.3)

Nun haben wir wegen ξ ≤ β und (1.3) folgende Kette: (V_{ξ}, Δ_{i} ∩ V_{ξ}) ⊆ (V_{β}, Δ_{i} ∩ V_{β}) ⪯ (V_{κ}, Δ_{i}). Da aber nach Voraussetzung (V_{ξ}, Δ_{i} ∩ V_{ξ}) ⪯ (V_{κ}, Δ_{i}) sind in obiger Kette alles elementare Substrukturen und wir erhalten dann mit (1.2) (V_{ξ}, Δ_{i} ∩ V_{ξ}) ⪯ (V_{β}, Δ_{i} ∩ V_{β}) ⪯ (W, π(Δ_{i})), also die gewünschte elementare Einbettung (V_{ξ}, Δ_{i} ∩ V_{ξ}) ⪯ (W, π(Δ_{i})). q.e.d.(Beh.1) Nun werden die ganzen technischen Vorbereitungen verarbeitet: (a)Für alle i < α ist Δ_{i} prädicht in P_{κ} Bew.: Ist p ∈ P_{κ} \ Δ, so ist p mit einem d ∈ Δ_{i} kompatibel, da Δ_{i} maximale Antikette, d.h. es gibt also q ∈ P_{κ} mit q ≤ p, d. (b)Δ_{i} ∩ P_{τ} ist semiproper in P_{τ} Bew.:Dies besagt genau Lemma 4.8: Ist κ unerreichbar (gilt hier, da κ Woodinsch), Δ_{i} ⊆ P_{κ} prädicht (gilt hier nach (a)), τ ∈ κΣ_{ω}-stark in (V_{κ}, Δ_{i}) (dafür haben wir Beh.1 bewiesen), dann ist Δ_{i} ∩ P_{τ} semiproper in P_{τ}. (c)Nach Lemma 4.5 läßt sich damit ein stationäres S auf V_{τ+1} konstruieren, so daß (V_{τ+1}, S) ∈ P_{τ+2} mit jedem p ∈ P_{τ} kompatibel ist bzgl. P − τ + 2. Dieses (V_{τ+1}, S) wurde master condition genannt. Es gibt demnach nun also ein q ∈ P_{τ+2} mit q ≤ p, (V_{τ+1}, S). (d)(Δ_{i} ∩ P_{τ})|_{q} ist prädicht in {r ∈ P_{∞} | r ≤ q}. Bew.:Das Lemma 4.7 besagt, falls Δ_{i} ∩ P_{τ} ⊆ P_{τ} semiproper in P_{τ} ist und (V_{τ+1}, S) wie in 4.5 konstruiert wurde, dann ist Δ_{i} ∩ P_{τ} prädicht in {r ∈ P_{∞} | r ≤ (V_{τ+1}, S)}. Ist nun a ∈ {r ∈ P_{∞} | r ≤ q}, so gibt es nach eben zitiertem 4.7 ein b ∈ {r ∈ P_{∞} | r ≤ (V_{τ+1}, S)} und c ∈ Δ_{i} ∩ P_{τ} mit b ≤ a, c. Insbesondere ist dann aber b ∈ {r ∈ P_{∞} | r ≤ q} wegen b ≤ a ≤ q, und c ist aus (Δ_{i} ∩ P_{τ})|_{q}, da b ein Zeuge für die Kompatibilität von c und q ist. Beh.2 Für alle r ∈ P_{∞} gilt: r ≤ q ⇒ r ∈ Δ_{i} ∩ P_{τ} oder r ∉ Δ_{i}. Bew.: Angenommen r′ ≤ q und r′ ∉ Δ_{i} ∩ P_{τ}. z.z.: Dann ist r′ ∉ Δ_{i} Da (Δ_{i} ∩ P_{τ})|_{q} prädicht in {r ∈ P_{∞} | r ≤ q} ist, gibt es zu unserem r′ nun ein s ∈ {r ∈ P_{∞} | r ≤ q} und ein t ∈ (Δ_{i} ∩ P_{τ})|_{q} mit s ≤ t, r′. Da r′ ∉ Δ_{i} ∩ P_{τ} ist r′ ≠ t. Aber r′ und t sind kompatibel und damit ist r′ ∉ Δ_{i}, da dies eine Antikette ist. q.e.d.(Beh.2) Beh.3 Für alle r ∈ P_{∞} gilt: ¬(r⊥q) ⇒ r ∈ Δ_{i} ∩ P_{τ} oder r ∉ Δ_{i}. Bew.: Sei r ∈ P_{∞}, ¬(r⊥q) und r ∉ Δ_{i} ∩ P_{τ}. Dann existiert ein r′ ≤ r, q.. Beh.2 besagt nun: r′ ∈ Δ_{∩}P_{τ} oder r′ ∉ Δ_{i}. Fall 1: r′ ∈ Δ_{i} ∩ P_{τ} ⇒ r′ ∈ Δ_{i} und r′ < r. Damit ist r ∉ Δ_{i}, da dies Antikette ist. Fall 2: r′ ∉ Δ_{i}. Wieder findet man s ≤ r′ und t ∈ Δ_{i} ∩ P_{τ} mit s ≤ t, r′. Da r′ ∉ Δ_{i} und r ∉ Δ_{i} ∩ P_{τ} ist t ≠ r, r′. Aber t ist mit r und r′ kompatibel. Damit ist r, r′ ∉ Δ_{i}. q.e.d.(beh.3) Behauptung 3 besagt genau Δ_{i}|_{q} ⊆ Δ − i ∩ P_{τ}. Damit ist \overline{\overline{Δ_{i}|_{q}}} ≤ \overline{\overline{P_{τ}}} < κ.

Mit Hilfe dieses Satzes und den Aussagen aus Kapitel 3 ergeben sich nun einige Folgerungen für die generische Erweiterung mit P_{κ}. Im Folgenden sei also stets M ein abzählbares Grundmodell, κ eine Woodin-Zahl in M, P = P_{κ} und G ein P -generischer Filter über M

Korollar 4.10. V_{κ}^{M}[G] = Ult(V_{κ}^{M}, G) = (V_{κ}^{M})^{G}

Beweis: Wir wenden einfach die Resultate aus Kapitel 3 auf das abzählbare, transitive ZFC-Modell V_{κ}^{M} an. Es ist nämlich P_{κ} = P_{∞}^{V_{κ}^{M}}. Da G P -generisch über M, ist es das auch über V_{κ}^{M}. Weiter ist κ eine Woodin-Zahl in M, damit ist die Menge {α ∈ κ | M ⊧ α meßbar} stationär in κ (vgl. [Kan97, 26.10]). Folglich gilt:

V_{κ}^{M} ⊧ ”es gibt beliebig große meßbare Zahlen“

Nach Satz 3.5 gilt also A(G) für V_{κ}^{M} und somit ist nach Satz 3.4 V_{κ}^{M}[G] = Ult(V_{κ}^{M}, G) = (V_{κ}^{M})^{G}.

Korollar 4.11. M und M^{G} besitzen folgende Überdeckungseigenschaft: Ist X ∈ M[G] mit X ⊆ M und M^{G} ⊧ \overline{\overline{X}} < κ, dann existiert ein Y ∈ M mit M^{G} ⊧ X ⊆ Y und M ⊧ \overline{\overline{Y}} < κ.

Beweis: Sei also X ∈ M^{G}, X ⊆ M und M^{G} ⊧ \overline{\overline{X}} < κ. Letzteres bedeutet aber M^{G} ⊧ \overline{\overline{X}} = α < κ, d.h. es existiert eine Funktion f ∈ M^{G} mit M^{G} ⊧ ”f : α ⟶ X ist bijektiv“. Sei ḟ ∈ M^{P} mit ḟ^{G} = f. Nach dem Forcingtheorem existiert ein p ∈ G mit p ⊩ ”ḟ ist Funktion mit domḟ = α̌ und ran(ḟ) ⊆ M “. Sei nun für i < α Y_{i} eine maximale Antikette in {q ≤ p | ∃z ∈ M q ⊩ ḟ(ǐ) =

ž\}. Nach Satz 4.9 gilt dann in M, daß \{q ∈ P_{κ} | ∀i ∈ α\overline{\overline{Y_{i}|_{q}}}^{M} < κ\} dicht in P_{κ}

ist. Es gibt also ein p′′ ∈ G mit \overline{\overline{Y_{i}|_{p′′}}}^{M} < κ für alle i ∈ α. Wähle nun aus G ein p′ ≤ p, p′′, so daß p′ ⊩ ”ḟ ist Funktion mit domḟ = α̌ und ran(ḟ) ⊆ M “ und,

wegen Y_{i}|_{p′} ⊆ Y_{i}|_{p′′}, \overline{\overline{Y_{i}|_{p′}}}^{M} < κ für alle i ∈ α.

(1) Für jedes q ∈ Y_{i} gibt es genau ein z ∈ M mit q ⊩ ḟ(ǐ) = ž, denn falls q ⊩ ḟ(ǐ) = ž_{1} und q ⊩ ḟ(ǐ) = ž_{2}, dann gilt q ⊩ ž_{1} = ž_{2} ⇒ z_{1} = z_{2}. Für i < α, q ∈ Y_{i} sei z_{iq} das eindeutige z ∈ M mit q ⊩ ḟ(ǐ) = ž. Beh.: M^{G} ⊧ X = ran(f) ⊆ {z_{iq} | i ∈ α ∧ q ∈ Y_{i}|_{p′}} Bew.: Sei y ∈ X. Da y ∈ ran(f) gibt es ein i ∈ α, so daß M^{G} ⊧ y = f(i). Also gibt es ein q ∈ G mit q ⊩ y̌ = f(ǐ) und wir können q ≤ p′ ≤ p wählen. Fall 1: Ist q ∈ Y_{i}, so ist natürlich auch q ∈ Y_{i}|_{p′} und nach (1) ist y = z_{iq}. Fall 2: Ist q ∉ Y_{i}, so gibt es ein r ∈ Y_{i} welches kompatibel mit q ist, da sonst die Antikette nicht maximal wäre. Sei also s ≤ q, r. Dann gilt s ⊩ y̌ = ḟ(ǐ). Andererseits gibt es aber, da r ∈ Y_{i}, ein z ∈ M und r ⊩ ž = ḟ(ǐ). Folglich gilt s ⊩ ž = ḟ(ǐ) = y̌. Damit ist aber z = y und somit y = z_{ir} mit r ∈ Y_{i}|_{p′}. q.e.d.(Beh) Setze nun Y := {z_{iq} | i ∈ α ∧ q ∈ Y_{i}|_{p′}} ∈ M. Dann gilt M^{G} ⊧ X ⊆ Y und M ⊧ \overline{\overline{Y}} < α· sup\{\overline{\overline{Y_{i}|_{p′}}} | i ∈ α\} < κ.

Korollar 4.12. M^{G} ⊧ ”κ ist regulär “.

Beweis: Sei λ < κ und sei f eine Funktion in M^{G} mit M^{G} ⊧ f : λ ⟶ κ. Es ist zu zeigen, daß die Funktion beschränkt ist. Nach Voraussetzung gilt f′′λ ∈ M^{G}, f′′λ ⊆ κ ⊆ M und M^{G} ⊧ \overline{\overline{f′′λ}} ≤ λ < κ. Wir können also obiges Korollar 4.11 anwenden. Es gibt also ein Y ∈ M mit M^{G} ⊧ f′′λ ⊆ Y und M ⊧ \overline{\overline{Y}} < κ. Damit gilt nun aber auch Y ∩ κ ∈ M, M^{G} ⊧ f′′λ ⊆ Y ∩ κ und M ⊧ \overline{\overline{Y ∩ κ}} < κ. Da κ unerreichbar in M ist, folgt M ⊧ sup(Y ∩ κ) < κ und damit auch M^{G} ⊧ sup(f′′λ) ≤ sup(Y ∩ κ) < κ.

Im Beweis des folgenden Korollars wird folgendes Lemma benutzt:

Lemma 4.13. Sei M ein transitives (ZFC-P)- Modell und N ein transitives ZFC-Modell mit On^{M} = On^{N}. Ist jedes a ∈ M mit a ⊆ α ∈ On^{M} auch ein Element von N, so ist M ⊆ N.

Korollar 4.14. V_{κ}^{M}[G] = H_{κ}^{M[G]}

Beweis: ”⊆“: Es genügt zu zeigen , daß für alle α ∈ On^{M} mit ω ≤ α < κ und jedes β < κ gilt: L_{β}(V_{α}^{M} ∪ {V_{α} ∩ G}) ⊆ H_{κ}^{M[G]}. Beweis durch Induktion über β:

• β = 0 z.z.: V_{α}^{M} ∪ {V_{α}^{M} ∩ G} ⊆ H_{κ}^{M[G]}. Dies gilt, da erstens κ ∈ M unerreichbar ist, damit ist V_{κ}^{M} = H_{κ}^{M} und wir haben somit V_{α}^{M} ⊆ V_{κ}^{M} = H_{κ}^{M} ⊆ H_{κ}^{M[G]}. Zweitens ist tc(V_{α}^{M} ∩ G) ⊆ tc(V_{α}^{M}) = V_{α}^{M} und M ⊧ \overline{\overline{V_{α}}} < \overline{\overline{V_{κ}}} = κ, da M ⊧ ”κ ist unerreichbar“. Damit haben wir aber auch M[G] ⊧ tc(V_{α}^{M} ∩ G) < κ.

• β ist Limeszahl, dann folgt alles direkt aus der Induktionsvoraussetzung.

• β = γ + 1: Sei a ∈ L_{γ+1}(V_{α}^{M} ∪ {V_{α}^{M} ∩ G}), also a ⊆ L_{γ}(V_{α}^{M} ∪ {V_{α}^{M} ∩ G}). Es gilt nun M[G] ⊧ \overline{\overline{a}} < κ. Hierzu genügt es zu zeigen, daß M[G] ⊧ \overline{\overline{L_{γ}(V_{α}^{M} ∪ \{V_{α}^{M} ∩ G\})}} < κ und dies zeigt man, indem man induktiv für alle δ ∈ On^{M} zeigt: M[G] ⊧ \overline{\overline{L_{δ}(V_{α}^{M} ∪ \{V_{α}^{M} ∩ G\})}} ≤ ω· \overline{\overline{δ}}· \overline{\overline{V_{α}^{M}}}. Nach Induktionsvoraussetzung gilt für x ∈ a, daß x ∈ H_{κ}^{M[G]}. Also M[G] ⊧ \overline{\overline{tc(x)}} < κ. Nach Konstruktion des transitiven Abschlusses von a gilt dann M[G] ⊧ \overline{\overline{tc(a)}} ≤ \overline{\overline{a}} + sup\{\overline{\overline{tc(x)}} | x ∈ a\}, und da nach Korollar 4.12 κ ∈ M[G] regulär ist, gilt M[G] ⊧ \overline{\overline{tc(A)}} < κ. Also a ∈ H_{κ}^{M[G]}

”⊇“: Beachte, daß H_{κ}^{M[G]} und V_{κ}^{M}[G] transitiv sind und V_{κ}^{M}[G] ⊧ ZFC. Nach 4.12 ist κ regulär in M[G], damit ist H_{κ}^{M[G]} ein Modell von ZFC-P. Ausserdem gilt On^{H_{κ}^{M[G]}} = κ = On^{V_{κ}^{M} [G]}. Wir können also obiges Lemma anwenden. Sei α ∈ κ, a ∈ H_{κ}^{M[G]} und a ⊆ α. Also insbesonders ist a ∈ M[G] = M^{G} (vgl. 3.2) und es existiert ein ȧ ∈ M^{P} mit a = ȧ^{G}. Sei ⟨X_{i} | i ∈ α⟩ ∈ M, wobei X_{i} für jedes i ∈ α eine maximale Antikette in \{q ∈ P | q ⊩ ǐ ∈ ȧ ∨ q ⊩ ¬ǐ ∈ ȧ\} ist. Nach Satz 4.9 ist \{p ∈ P | ∀i ∈ α \overline{\overline{X_{i}|_{p}}} < κ\} dicht in P, deshalb existiert ein p ∈ G mit \overline{\overline{X_{i}|_{p}}} < κ für alle i ∈ α. Setze X′_{i} := {q ∈ X_{i}|_{p} | q ⊩ ǐ ∈ ȧ} ⊆ X_{i}|_{p}. Da κ unerreichbar in M existiert ein δ ∈ κ mit ⋃{X′_{i} | i ∈ α} ⊆ ⋃{X_{i}|p | i ∈ α} ⊆ V_{δ}^{M}. Beh.: a = {i ∈ α | X′_{i} ∩ G ≠ ∅} Bew.: ”⊇ “: Sei i ∈ α mit X′_{i} ∩ G ≠ ∅, d.h. es gibt q ∈ G mit q ⊩ ǐ ∈ ȧ ⇒ i ∈ a. ”⊆ “: Sei i ∈ a. Da {q ∈ P | q ⊩ ǐ ∈ ȧ ∨ q ⊩ ¬ǐ ∈ ȧ} dicht in P ist, ist X_{i} auch eine maximale Antikette in P. Es gibt also q ∈ G ∩ X_{i}. Da q ∈ X_{i} gilt q ⊩ ǐ ∈ ȧ oder q ⊩ ¬ǐ ∈ ȧ, aber das letztere würde der Voraussetzung widersprechen. Damit ist q ∈ X′_{i} ∩ G ≠ ∅. q.e.d. (Beh) Somit können wir also a schreiben als a = {i ∈ α | X′_{i} ∩ G ≠ ∅} = {i ∈ α | X′_{i} ∩ (G ∩ V_{δ}^{M}) ≠ ∅} ∈ V_{κ}^{M}[G], da ⟨X′_{i} | i ∈ α⟩ ∈ V_{δ+ω}^{M}.

Korollar 4.15. M^{G} ⊧ κ ”ist unerreichbar “

Beweis: Nach 4.10 und 4.14 gilt H_{κ}^{M[G]} = V_{κ}^{M}[G] = Ult(V_{κ}^{M}, G). Da Ult(V_{κ}^{M}, G) ⊧ ZFC ist auch H_{κ}^{M[G]} ein ZFC-Modell. Damit gilt aber M[G] ⊧ ”κ ist unerreichbar “.

Literatur

[Heg] Annekatrin Hegewald, Generische Ultraprodukte und Woodin-Forcing, Diplomarbeit an der TU Berlin 1997; http://user.cs.tu-berlin.de/∼hegewald/

[Kan97] Akihiro Kanamori, The higher infinite, Perspectives in mathematical logic, Springer 1997.