SUPERKOMPAKTE KARDINALZAHLEN

STEFAN BOLD Seminar Große Kardinalzahlen Sommersemester 2000

1 Grundlagen

(1.1) Lemma: Sei U ein ω_{1}-vollständiger freier Ultrafilter auf S und j : V ≺ M die induzierte Einbettung, mit M ≅ Ult_{U}. Dann gilt folgendes:

(1) Wenn j˝ X ∈ M und Y ⊆ M mit |Y | ≤ |X|, dann Y ∈ M.

(2) Für alle γ ∈ Card gilt j˝ γ ∈ M ⇔ ^{γ}M ⊆ M

(3) j˝ (|S|^{+}) ∉ M

(4) U ∉ M

Beweis:

(1) Da Y ⊆ M und |Y | ≤ |X|, gibt es (f_{x})_{x∈X}, so daß Y = {[f_{x}] | x ∈ X} gilt. Sei [h] = j˝ X. Dann gilt für alle x ∈ X M ⊧ j(x) = [c_{x}] ∈ [h], also {i ∈ S | x ∈ h(i)} ∈ U. Definiere nun g ∈ ^{S}V durch g(i) := ⟨f_{x}(i) | x ∈ h(i)⟩. Dann gilt für alle x ∈ X {i ∈ S | g(i)(x) = f_{x}(i)} = {i ∈ S | x ∈ h(i)} ∈ U, d.h. M ⊧ [g](j(x)) = [f_{x}]. dom([g]) = [h] = j˝ X, also Y = ran([g]) ∈ M.

(2) Dies folgt direkt aus (1).

(3) Sei [f] ∈ M beliebig. Angenommen, es gilt A := {i ∈ S | |f(i)| ≤ |S|} ∈ U. Sei α ∈ |S|^{+}\ ⋃_{i∈A} f(i), dann gilt {i ∈ S | α ∉ f(i)} ⊇ A ∈ U, also j(α) ∉ [f]. Gilt andererseits B := {i ∈ S | |f(i)| > |S|} ∈ U, so gibt es ein injektives h ∈ ^{B}V mit h(i) ∈ f(i) für alle i ∈ B, also gilt [h] ∈ [f]. Angenommen, es gäbe ein a ∈ V mit j(a) = [c_{a}] = [h]. Dann gilt C := {i ∈ S | h(i) = a} ∈ U, also C ∩B ∈ U und |C ∩ B| = 1, Widerspruch, da U frei, also kein Hauptfilter ist. Also gilt [h] ∉ j˝ V ⊇ j˝ (|S|^{+}), aus [h] ∈ [f] folgt also [f] ≠ j˝ (|S|^{+}).

(4) Angenommen, U ∈ M. Dann gilt S = ⋃ U ∈ M, und damit P(S), also auch P(S × S) ∈ M. Diese Menge enthält jede Wohlordnung von S, und damit gilt ^{S}(|S|^{+}) ∈ M. Aber für alle α < |S|^{+} ist j(α) der Ordnungstyp von {[f] | f ∈ ^{S}α} und diese Menge ist definierbar durch U und ^{S}(|S|^{+}), also gilt j˝ (|S|^{+}) ∈ M, dies jedoch widerspricht (3).

(1.2) Lemma: Sei U ein κ-vollständiger freier Ultrafilter auf κ und j : V ≺ Ult_{U} die induzierte elementare Einbettung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) U ist normal, d.h. U ist ein κ-vollständiger freier Ultrafilter auf κ und es gilt ∀⟨X_{α} | α < κ⟩ ∈ ^{κ}U (△_{α<κ}X_{α} := {ξ < κ | ξ ∈ ⋂_{α<ξ} X_{α}} ∈ U)

(2) Sei f : κ → κ beliebig. Wenn {α < κ | f(α) < α} ∈ U gilt, so gibt es ein γ < κ, für das {α < κ | f(α) = γ} ∈ U gilt.

(3) Ult_{U} ⊧ κ = [id]

(4) Für X ⊆ κ gilt X ∈ U genau dann, wenn κ ∈ j(X).

Beweis: (1)⇒(2) Sei f : κ → κ beliebig, so daß {α < κ | f(α) < α} ∈ U gilt. Angenommen, für alle γ < κ gilt X_{γ} := {α < κ | f(α) ≠ γ} ∈ U. Sei X := △_{γ<κ}X_{γ}. Es gilt X ∈ U. Aber X = {α < κ | α ∈ ⋂_{γ<α}{i | f(i) ≠ γ}} = {α < κ | f(α) ≥ α}, Widerspruch. (2)⇒(3) Sei [f] ∈ [id], d.h. {α < κ | f(α) ∈ α} ∈ U. Dann gibt es nach (2) ein γ < κ mit {α < κ | f(α) = γ} ∈ U, also [f] = [c_{γ}] = γ ∈ κ. Andererseits gilt für alle γ < κ {α < κ | γ ∈ α} ∈ U, also [c_{γ}] = γ ∈ [id]. (3)⇒(4) X ∈ U ⇔ {α < κ | α ∈ X} ∈ U ⇔ [id] ∈ j(X). Nach (3) gilt [id] = κ, also X ∈ U ⇔ κ ∈ j(X). (4)⇒(1) Sei ⟨X_{γ} | γ < κ⟩ ∈ ^{κ}U, also κ ∈ j(X_{γ}) für alle γ < κ. Sei X := △_{γ<κ}X_{γ}. j(X) = {α < j(κ) | α ∈ ⋃_{γ<α} j(X_{γ})}. Dann folgt κ ∈ j(X) aus κ ∈ j(X_{γ}) für alle γ < κ, also △_{γ<κ}X_{γ} ∈ U.

(1.3) Lemma: Sei j : V ≺ M eine elementare Einbettung mit crit(j) = κ. Dann ist D := {X ⊆ κ | κ ∈ j(X)} ein normaler Ultrafilter auf κ.

Beweis: Wegen κ ∈ j(κ) ist κ ∈ D, und da j(∅) = ∅ folgt ∅ ∉ D. Wenn κ ∈ j(X) und κ ∈ j(Y) gilt, so auch κ ∈ j(X ∩ Y) = j(X) ∩ j(Y), also folgt aus X, Y ∈ D X ∩ Y ∈ D. Für X ⊆ Y mit X ∈ D gilt κ ∈ j(X) ⊆ j(Y), also ist D gegen Obermengen abgeschlossen. D ist also ein Filter. D ist kein Hauptfilter, den für alle α < κ gilt j(α) = α und damit für alle α ∈ κ j({α}) = {j(α)} = {α}, also κ ∉ j({α}), d.h. {α} ∉ D. D ist ein Ultrafilter: Angenommen X ⊆ κ sei nicht in D, d.h. κ ∉ j(X). Dann folgt κ ∈ j(κ\X) aus κ ∈ j(κ) = j(X) ∪ j(κ\X, also κ\X ∈ D. Damit ist nur noch die κ-Vollständigkeit zu zeigen. Sei γ < κ und X = ⟨X_{α} | α < γ⟩ eine Sequenz der Länge γ mit ∀α < γ (κ ∈ j(X_{α})). In M ist j(X) eine Sequenz der Länge j(γ) und für alle α < γ ist j(X_{α}) das j(α)ste Glied von j(X). Da aber j(α) = α für alle α < γ und j(γ) = γ gilt, ist j(X) = ⟨j(X_{α}) | α < γ⟩. Also gilt j(⋂ X) = ⋂ j(X) = ⋂_{α<γ} j(X_{α}) und damit κ ∈ j(⋂_{α<γ} X_{α}) = ⋂_{α<γ} j(X_{α}), d.h. ⋂ X ∈ D. Damit ist D ein κ-vollständiger freier Ultrafilter, und da aus 1.2.4 1.2.1 für beliebige j : V ≺ M mit crit(j) = κ folgt, ist D normal.

Mit Hilfe dieses, aus einer elementaren Einbettung konstruierten, normalen Ultrafilters D bekommt man ein kommutatives Diagramm elementarer Einbettungen.

V  \underrightarrow{j} M
j_{D} ↘  ↗ k
Ult_{D}

(1.4) Lemma: Sei j : V ≺ M eine elementare Einbettung mit crit(j) = κ. Sei D wie in 1.3 und j_{D} : V ≺ Ult_{D} die durch D gegebene elementare Einbettung in die Ultrapotenz Ult_{D}. Dann gibt es eine elementare Einbettung k : Ult_{D} ≺ M, so daß ∀a (k(j_{D}(a)) = j(a)) gilt. Und es gilt Ult_{D} = {(j_{D}(f))(κ) | f : κ → V}.

Beweis: Definiere k : Ult_{D} → M durch k([f]) := (j(f))(κ) für alle [f] ∈ Ult_{D}. Diese Definition ist unabhängig von der Wahl des Repräsentanten. Denn f =_{D} g bedeutet, daß X := {α ∈ κ | g(α) = f(α)} ∈ D gilt, also auch κ ∈ j(X). Aus j(X) = {α ∈ j(κ) | (jg)(α) = (jf)(α)} folgt damit (j(g))(κ) = (j(f))(κ). k ist eine elementare Abbildung: Sei φ(x) eine Formel und es gelte Ult_{D} ⊧ φ([f]). Dann gilt X := {α ∈ κ | φ(f(α))} ∈ D, also κ ∈ j(X) = {α ∈ j(κ) | M ⊧ φ((jf)(α))}. Da k([f]) := (jf)(κ) bedeutet dies M ⊧ φ(k([f])). Nun ist nur noch k(j_{D}(a)) = j(a) zu zeigen. Nach Definition gilt j_{D}(a) = [c_{a}], und damit k((j_{D}(a)) = k([c_{a}]) = (j(c_{a}))(κ). Da j(c_{a}) die konstante Funktion auf j(κ) mit Wert j(a) ist, gilt also k((j_{D}(a)) = (j(c_{a}))(κ) = j(a).

(1.5) Lemma: Sei U ein κ-vollständiger freier Ultrafilter auf κ und j : V ≺ M mit M ≅ Ult_{U} die dazu gehörige elementare Einbettung. Dann gilt folgendes:

(1) crit(j) = κ

(2) ∀x ∈ V_{κ} (j(x) = x), also V_{κ}^{M} = V_{κ}

(3) ∀X ⊆ V_{κ} (j(X) ∩ V_{κ} = X), also V_{κ+1}^{M} = V_{κ+1} und (κ^{+})^{M} = κ^{+}

(4) 2^{κ} ≤ (2^{κ})^{M} < j(κ) < (2^{κ})^{+}

(5) ^{κ}M ⊆ M, aber ^{κ+1}M ⊈ M

(6) U ∉ M

Beweis:

(1) Es gilt j(α) = α für alle α < κ und nach 1.2 ist κ = [id]. Weiterhin gilt {β < κ | α < β < κ} ∈ U für alle α < κ, also j(α) = α < [id] = κ < j(κ).

(2) Angenommen, j(x) = x gilt nicht für alle x ∈ V_{κ} Sei x rg-minimales Gegenbeispiel, δ := rg(x). Es gilt x ⊆ j(x), denn aus y ∈ x folgt j(y) = y ∈ j(x). Also gibt es ein z ∈ j(x)\x. Angenommen rg(x) = δ, dann gilt z = j(z) ∈ j(x), also z ∈ x, Widerspruch. Also gilt rg(j(x)) = j(δ) > δ, Widerspruch zu crit(j) = κ.

(3) Folgt aus (2) und der Tatsache, daß M jede Wohlordnung von κ enthält.

(4) Nach (3) gilt P(κ) = (P(κ))^{M}, also 2^{κ} ≤ (2^{κ})^{M}, da M ⊆ V. Da j(κ) in M unerreichbar ist, gilt (2^{κ})^{M} < j(κ), und aus j(κ) = {[f] | f ∈ ^{κ}κ} folgt j(κ) < (2^{κ})^{+}.

(5) Nach 1.2.3 gilt j˝ κ = κ = [id], nach 1.1.2 also ^{κ}M ⊆ M. Außerdem gilt nach 1.1.3 j˝ (κ^{+}) ∉ M, und damit ^{κ^{+}}M ⊈ M.

(6) Gilt nach 1.1.4.

2 Kompakte Kardinalzahlen

Im vorherigen Vortrag wurden die kompakten Kardinalzahlen eingeführt, und zwar ist κ > ω kompakt, falls jede Menge Σ von L_{κ,κ}-Sätzen, die κ-erfüllbar ist, erfüllbar ist. Weiterhin wurde bewiesen, daß diese Definition zu der folgenden äquivalent ist:

(2.1) Definition:

κ ist kompakt :⇔ Jeder κ-vollständige Filter auf einer beliebigen Menge S

kann zu einem κ-vollständigen Ultrafilter erweitert werden.

In dem Äquivalenzbeweis wurde mit einem Typ Filter gearbeitet, der als feiner Filter bezeichnet wird:

(2.2) Definition: Sei κ ∈ Card, S ∈ V. P_{κ}(S) := {X ⊆ S | |X| < κ}.

(2.3) Definition: Sei S ∈ V, κ ∈ Card. Ein feiner Filter F auf P_{κ}(S) ist ein κ-vollständiger Filter auf P_{κ}(S), so daß ∀i ∈ S ({x ∈ P_{κ}(S) | i ∈ x} ∈ F) gilt.

Analog zu den meßbaren Kardinalzahlen läßt sich nun per Existenz eines feinen Filters ein neuer Typ Kardinalzahlen definieren:

(2.4) Definition: Sei ω < κ ≤ γ. κ ist γ-kompakt :⇔ Es gibt einen feinen Ultrafilter auf P_{κ}(γ).

Wenn κ γ-kompakt ist mit feinem Ultrafilter U, so ist für κ ≤ δ ≤ γ U|_{δ} ein feiner Ultrafilter auf P_{κ}(δ) und κ also auch δ-kompakt. κ ist genau dann κ-kompakt, wenn κ meßbar ist.

Wie für meßbare Kardinalzahlen gibt es einen Zusammenhang mit elementaren Einbettungen, und wie der Name γ-kompakt schon andeutet, natürlich auch mit der Fortsetzbarkeit von Filtern zu Ultrafiltern. Zur Erinnerung: Für S∈V sei E ⊆ P(S), dann ist {X ⊆ S | ∃Y ∈ E (Y ⊆ X)} der von E generierte Filter, vorausgesetzt, dies ist ein ordentlicher, nichtprinzipaler Filter.

(2.5) Lemma: Für κ ≤ γ sind folgende Aussagen äquivalent.

(1) κ ist γ-kompakt.

(2) Es gibt j : V ≺ M mit crit(j) = κ, so daß es für alle X ∈ P_{γ}(M) ein Y ∈ M gibt, mit X ⊆ Y und M ⊧ |Y | < j(κ).

(3) Jeder κ-vollständige Filter auf einer beliebigen Menge S, der durch höchstens |γ| viele Mengen generiert wird, kann zu einem κ-vollständigen Ultrafilter erweitert werden.

Beweis: (1)⇒(2) Sei U ein feiner Ultrafilter auf P_{κ}(γ) und j : V → M ≅ Ult_{U} die dadurch induzierte elementare Einbettung. Sei X ⊂ M mit |X| < γ, X = {[f_{α}] | α < γ}. Definiere F : P_{κ}(γ) → V durch F (x) := {f_{α}(x) | α ∈ x} und setze Y := [F]. Dann gilt {x ∈ P_{κ}(γ) | f_{α}(x) ∈ F (x)} = {x ∈ P_{κ}(γ) | α ∈ x} ∈ U ⇔ [f_{α}] ∈ Y für alle α < γ, also X ⊆ Y. Aus ∀x ∈ P_{κ}(γ) (|F (x)| < κ) folgt, da j elementar ist, M ⊧ |Y | < j(κ). Da U κ-vollständig ist, gilt j(α) = α für alle α < κ, also κ ⊆ M, mit obigem Argument gibt es also ein Y ∈ M mit κ ⊆ Y und M ⊧ |Y | < j(κ). Also M ⊧ κ ≤ |Y | < j(κ), d.h. crit(j) = κ. (2)⇒(3) Sei F ein κ-vollständiger Filter auf S, generiert durch E ⊆ P(S) mit |E| < γ. Nach (2) gibt es ein Y ∈ M mit j˝ E ⊆ Y und M ⊧ |Y | < j(κ). Im M ist j(F) j(κ)-vollständig, die Kardinalität von j(F) ∩ Y ist kleiner als j(κ), also gibt es ein c ∈ M mit c ∈ ⋂(j(F) ∩ Y). Durch X ∈ U ⇔ X ⊆ S ∧ c ∈ j(X) wird ein Ultrafilter U auf S definiert, der κ-vollständig ist und F erweitert. (3)⇒(1) Erweitere den Filter auf P_{κ}(γ), der durch {{x ∈ P_{κ}(γ) | α ∈ x} | α < γ} generiert wird, zu einem Ultrafilter, dieser ist nach Definition fein.

Durch den 3. Punkt dieses Lemmas bekommt man den Zusammenhang zwischen Kompaktheit und γ-Kompaktheit:

(2.6) Korollar: κ ist genau dann kompakt, wenn κ für alle γ ≥ κ γ-kompakt ist.

Nun war für eine meßbare Kardinalzahl κ die Existenz eines κ-vollständigen freien Ultrafilters äquivalent zur Existenz eines normalen Ultrafilters. Es stellt sich die Frage, ob dies auch für feine Ultrafilter gilt.

3 Superkompakte Kardinalzahlen

Die Existenz einer meßbaren Kardinalzahl κ ist äquivalent zur Existenz einer nichttrivialen Einbettung j : V ≺ M mit kritischem Punkt crit(j) = κ in der ^{κ}M ⊆ M gilt. In den späten Sechzigern untersuchten Solovay, Reinhardt und Kanamori verschiedene Verallgemeinerungen dieser Einbettungseigenschaft. Wie im vorherigen Abschnitt gesehen, führt Kompaktheit zu weitreichenderen Einbettungseigenschaften als Meßbarkeit. Durch die Annahme Y = X in Punkt (2) von 2.5 gelangte man von den γ-kompakten zu den γ-superkompakten Kardinalzahlen.

(3.1) Definition: Seien κ ≤ γ Kardinalzahlen.

κ ist γ-superkompakt :⇔ Es gibt eine elementare Einbettung j : V ≺ M
mit crit(j) = κ, γ < j(κ) und ^{γ}M ⊆ M.
κ ist superkompakt :⇔ κ ist γ-superkompakt für alle γ ≥ κ.

(3.2) Bemerkung: Der Ausdruck j : V ≺ M ist in ZF formalisierbar, wenn man das ≺ als ≺_{1} annimmt. Obige Definition von Superkompaktheit ist jedoch nicht in ZF formalisierbar, da die j, falls vorhanden, echte Klassen sind. Erst die spätere, äquivalente Definition mit Hilfe normaler Ultrafilter auf P_{κ}(γ) wird uns ermöglichen, diesen Begriff in ZF zu formalisieren.

Falls κ δ-superkompakt ist, so ist κ auch γ-superkompakt für alle κ ≤ γ ≤ δ und κ ist genau dann meßbar, wenn κ κ-superkompakt ist. Nach Definition impliziert γ-Superkompaktheit natürlich γ-Kompaktheit. Die Bedingung γ < j(κ) in der Definition hat historische Gründe und ist eigentlich überflüssig. Denn wenn es eine Einbettung j : V ≺ M mit crit(j) = κ und ^{γ}M ⊂ M gibt, so existiert ein n, so daß die n-fache Iteration j^{n} von j diese Eigenschaften auch erfüllt und zudem γ < j^{n}(κ) gilt. Für den Beweis siehe z.B. Kanamori 23.15. Eine superkompakte Kardinalzahl ist nicht nur meßbar, es existieren unterhalb einer superkompakten Kardinalzahl sogar viele meßbare Kardinalzahlen, d.h. die kleinste superkompakte Kardinalzahl ist viel größer als die kleinste meßbare.

(3.3) Lemma: Sei κ 2^{κ}-superkompakt. Dann existiert ein normaler Ultrafilter U auf κ, so daß {α < κ | α ist meßbar} ∈ U gilt. Also ist κ die κ-ste meßbare Kardinalzahl.

Beweis: Sei j : V ≺ M ein Zeuge für die 2^{κ}-Superkompaktheit von κ. Sei D wie in 1.3 definiert und j_{D} : V ≺ Ult_{D} die entsprechende elementare Einbettung. Sei k : Ult_{D} ≺ M die elementare Einbettung aus 1.4. Aus ^{2^{κ}}M ⊆ M folgt P(κ) ⊆ M, und da jede Teilmenge von M der Größe 2^{κ} in M liegt, gilt ∀U ⊆ P(κ) (U ∈ M). Also liegt D in M und damit ist κ in M meßbar. Da k elementar und k(κ) = κ ist, gilt Ult_{D} ⊧ (κ ist meßbar). Nach 1.2 gilt in Ult_{D} κ = [id], also Ult_{D} ⊧ ([id] ist meßbar), d.h. {α < κ | α ist meßbar} ∈ D.

(3.4) Lemma: Sei κ γ-superkompakt. Wenn für alle α < κ 2^{α} = α^{+} gilt, so gilt 2^{β} = β^{+} sogar für alle β ≤ γ.

Beweis: Sei j : V ≺ M ein Zeuge der Superkompaktheit von κ. Sei β ≤ γ < j(κ). Da j elementar ist, gilt M ⊧ 2^{β} = β^{+} für alle β < j(κ). Aus ^{γ}M ⊆ M folgt P(β)^{M} = P(β), also gilt β^{+} ≤ 2^{β} ≤ (2^{β})^{M} = (β^{+})^{M} = β^{+} für alle β < γ.

(3.5) Lemma: Sei κ superkompakt. Dann gilt V_{κ} ≺_{2} V.

Beweis: Sei φ = ∃v_{0}ψ(v_{o}, v_{1}) eine Σ_{2}-Formel, ψ(v_{o}, v_{1}) o.B.d.A. eine Π_{1}-Formel, und x ∈ V_{κ}. Wenn V_{κ} ⊧ φ[x] gilt, so gibt es ein y ∈ V_{κ}, so daß V_{κ} ⊧ ψ[y, x] gilt. Da κ unerreichbar ist, gilt V_{κ} = H_{κ}. Ein Resultat von Levy besagt H_{κ} ≺_{1} V, also gilt ψ[y, x] und damit φ[x] in V. Gilt andererseits φ[x], so gibt es ein z ∈ V, so daß ψ[z, x] gilt. Sei α > rg(z), dann folgt aus der |V_{α}|-Superkompaktheit von κ, daß es eine elementare Abbildung j : V → M mit crit(j) = κ und z ∈ (V_{j(κ)})^{M} gibt. Es gilt j(x) = x ∈ V_{κ} = (V_{κ})^{M} ⊆ (V_{j(κ)})^{M}, also gibt es z, j(x) ∈ (V_{j(κ)})^{M}, so daß ψ[z, j(x)] gilt. ψ ist eine Π_{1}-Formel, also gilt (V_{j(κ)})^{M} ⊧ ψ[z, j(x)] ⇔ (V_{j(κ)})^{M} ⊧ φ[j(x)] ⇔ (V_{j(κ)} ⊧ φ[j(x)])^{M} ⇔ V_{κ} ⊧ φ[x].

Superkompaktheit läßt sich jedoch nicht nur über Einbettungseigenschaften charakterisieren. Wie bei den kompakten und meßbaren Kardinalzahlen gibt es eine äquivalente Definition per Existenz spezieller Ultrafilter, nämlich mit Hilfe der normalen Ultrafilter auf P_{κ}(γ).

(3.6) Definition: Sei S ∈ V, κ ∈ Card. Ein Filter F auf P_{κ}(S) ist normal, falls F ein feiner Filter ist und △_{i∈S}X_{i} ∈ F für alle ⟨X_{i} | i ∈ S⟩ ∈ ^{S}F gilt. Dabei bedeutet △_{i∈S}X_{i} = {x ⊆ P_{κ}(S) | x ∈ ⋂_{i∈x} X_{i}}.

Wenn also von einem Filter auf P_{κ}(S) gesprochen wird, so ist obige Definition gemeint, bei einem Filter auf κ die übliche Definition, wie sie im Abschnitt Grundlagen eingeführt wurde. Die neue Definition von normal ist eine Erweiterung der alten:

(3.7) Lemma:

(1) Ist F ein normaler Filter auf κ, so ist {X ⊆ P_{κ}(κ) | X ∩ κ ∈ F} ein normaler Filter auf P_{κ}(κ).

(2) Ist F ein normaler Filter auf P_{κ}(κ), so ist F ∩ P(κ) ein normaler Filter auf κ.

Ein normale Ultrafilter U auf P_{κ}(γ) und die dazu gehörige Einbettung j : V ≺ Ult_{U} haben Eigenschaften, die zum Teil zu den in 1.2 erwähnten analog sind.

(3.8) Lemma: Sei κ ≤ γ, U ein normaler Ultrafilter auf P_{κ}(γ) und j : V ≺ Ult_{U} die dazu gehörige elementare Einbettung. Dann gilt folgendes:

(1) Sei f : P_{κ}(γ) → γ beliebig. Wenn {x | f(x) ∈ x} ∈ U gilt, gibt es ein λ < γ, so daß {x | f(x) = λ} ∈ U gilt.

(2) j˝ γ = [id] und ^{γ} Ult_{U} ⊆ Ult_{U}.

(3) Für X ⊆ P_{κ}(γ) gilt X ∈ U genau dann, wenn j˝ γ ∈ j(X).

(4) crit(j) = κ und γ < j(κ)

Beweis: (1) Angenommen, für alle α < γ gilt {x | f(x) = α} ∉ U, und damit {x | f(x) ≠ α} ∈ U. Als normaler Filter ist U unter Diagonalschnitten abgeschlossen, d.h. {ξ < γ | ξ ∈ ⋂_{α<γ}{x | f(x) ≠ α}} = {ξ < γ | ξ ∈ {x | f(x) ∉ γ}} = ∅ ∈ U, Widerspruch.

(2) Sei δ < γ, da U fein ist, gilt {x ∈ P_{κ}(γ) | δ ∈ x} ∈ U, und damit j(δ) ∈ [id]. Ist andererseits [f] ∈ [id], so gilt {x | f(x) ∈ x} ∈ U, und damit gibt es nach (1) ein δ < γ mit {x | f(x) = δ} ∈ U, also [f] = j(δ). Und aus j˝ γ = [id] ∈ U folgt nach 1.1 γ Ult_{U} ⊂ Ult_{U}.

(3) {x | x ∈ X} ∈ U ⇔ [id] ∈ j(X), dies ist nach (2) äquivalent zu j˝ γ ∈ j(X).

(4) Da U κ-vollständig ist, ist crit(j) ≥ κ. Der Ordnungstyp von j˝ γ ist γ, und damit gilt otp([id]) = otp(j˝ γ) = γ. Aber {x ∈ P_{κ}(γ) | otp(x) < κ} ∈ U, also γ = otp([id]) < j(κ).

Nun läßt sich zeigen, daß superkompakte Kardinalzahlen ähnlich wie meßbare und kompakte per Existenz eines speziellen Ultrafilters definiert werden können.

(3.9) Satz: (Solovay,Reinhardt) κ ist γ-superkompakt ⇔ es gibt einen normalen Ultrafilter auf P_{κ}(γ)

Beweis: (⇒) Sei j : V ≺ M ein Zeuge für die Superkompaktheit von κ. Dann gilt nach 1.1 j˝ γ ∈ M. Sei U_{j} := {X ⊆ P_{κ}(γ) | j˝ γ ∈ j(X)}. Dann ist U_{j} ein normaler Ultrafilter auf P_{κ}(γ): j(∅) = ∅, d.h. ∅ ∉ U_{j}. |j˝ γ| < j(κ), also gilt j˝ γ ∈ j(P_{κ}(γ)) = (P_{j(κ)}(j(γ)))^{M}, d.h. P_{κ}(γ) ∈ U_{j}. Wenn j˝ γ ∈ j(X) und j˝ γ ∈ j(Y) gilt, so auch j˝ γ ∈ j(X ∩Y) = j(X)∩j(Y), also folgt aus X, Y ∈ U_{j} X ∩Y ∈ U_{j}. Für X ⊆ Y mit X ∈ U_{j} gilt j˝ γ ∈ j(X) ⊆ j(Y), also ist U_{j} gegen Obermengen abgeschlossen. U_{j} ist ein Ultrafilter: Angenommen X ⊆ P_{κ}(γ) sei nicht in U_{j}, d.h. j˝ γ ∉ j(X). Dann folgt j˝ γ ∈ j(P_{κ}(γ)\X) aus j˝ γ ∈ j(P_{κ}(γ)) = j(X) ∪ j(P_{κ}(γ)\X), also P_{κ}(γ)\X ∈ U_{j}. Als nächstes zeigen wir die κ-Vollständigkeit: Sei λ < κ und X = ⟨X_{α} | α < λ⟩ eine Sequenz der Länge λ mit ∀α < λ (j˝ γ ∈ j(X_{α})). In M ist j(X) eine Sequenz der Länge j(λ) und für alle α < λ ist j(X_{α}) das j(α)ste Glied von j(X). Da aber j(α) = α für alle α < κ gilt, ist j(X) = ⟨j(X_{α}) | α < λ⟩. Also gilt j(⋂ X) = ⋂ j(X) = ⋂_{α<λ} j(X_{α}) und damit j˝ γ ∈ j(⋂_{α<λ} X_{α}) = ⋂_{α<λ} j(X_{α}), d.h. ⋂ X ∈ U_{j}. Für alle β < γ gilt j˝ γ ∈ {x ∈ P_{j(κ)}(j(γ)) | j(β) ∈ x} = j({x ∈ P_{κ}(γ) | β ∈ x}), d.h. für alle β < γ gilt {x ∈ P_{κ}(γ) | β ∈ x} ∈ U_{j}, U_{j} ist also fein. Sei ⟨X_{α} | α < γ⟩ ∈ ^{γ}U_{j} und ⟨Y_{β} | β < j(γ)⟩ = j(⟨X_{α} | α < γ⟩), also Y_{j(α)} = j(X_{α}) für alle α < γ. Dann gilt j˝ γ ∈ ⋂_{α<γ} j(X_{α}) = ⋂_{β∈j˝ γ} Y_{β}. Also gilt j˝ γ ∈ j({x ∈ P_{κ}(γ) | x ∈ ⋂_{α∈x} X_{α}}), damit ist U_{j} normal. (⇐) Klar nach 3.8.

Über diese Definition kann γ-Kompaktheit nun in ZF formalisiert werden.

(3.10) Lemma: Die Aussage ⌜κ ist γ-superkompakt⌝ ist Δ_{2}^{ZF}

Beweis: Sei φ(v_{0}, v_{1}, v_{2}) die Σ_{0}-Formel, in der alle Quantoren auf v_{2} beschränkt sind, und die besagt, daß es einen normalen feinen Ultrafilter auf P_{v_{0}}(v_{1}) gibt. Wie groß muß v_{2} gewählt werden? Nun, γ ∈ V_{γ+1}, P_{κ}(γ) ⊆ P(γ) ∈ V_{γ+2}, ein Filter auf P_{κ}(γ) ist eine Teilmenge von P(P_{κ}(γ)) ⊆ P(P(γ)) ∈ V_{γ+3}. Zum Nachweis der Normalität eines Filters benötigen wir Funktionen von γ auf den Filter, also Mengen von Tupeln, also Mengen von Mengen von Mengen aus V_{γ+3}, womit wir bei V_{γ+5} sind. Die Aussage V_{γ+5} = v_{2} ist Π_{1}. Damit ist ∀x (V_{γ+5} = x ∧ φ(κ, γ, x)) eine Π_{2}-Formel, ∃x (V_{γ+5} = x → φ(κ, γ, x)) eine Σ_{2}-Formel, und die Behauptung ist bewiesen.

Wenn κ superkompakt ist, so ist κ auch kompakt. Betrachtet man die meßbaren Kardinalzahlen, so stellt sich die Frage, ob die Existenz eines feinen Ultrafilters zu der eines normalen, feinen Ultrafilters äquivalent ist, d.h. ob Kompaktheit dasselbe ist wie Superkompaktheit. Telis Menas beantwortete diese Frage 1972 mit nein.

(3.11) Lemma: (Menas)

(1) Ist κ meßbar und Limes kompakter Kardinalzahlen, so ist κ kompakt.

(2) Ist κ die kleinste Kardinalzahl, die (1) erfüllt, so ist {α < κ | α ist meßbar} nicht stationär in κ, also ist κ auch nicht 2^{κ}-superkompakt.

Eine kompakte Kardinalzahl muß also nicht superkompakt sein. Magidor zeigte 1972, wenn κ superkompakt ist, so gibt es eine Forcing-Erweiterung, in der κ superkompakt und die kleinste kompakte Kardinalzahl ist. Durch das Resultat von Menas motiviert, zeigte er 1973, wenn κ kompakt ist, so gibt es eine Forcing-Erweiterung, in der κ kompakt und die kleinste meßbare Kardinalzahl ist. Kompaktheit und Superkompaktheit unterscheiden sich also sehr stark. Zudem wurde durch dieses Resultat die Frage Tarski’s, ob die kleinste kompakte Kardinalzahl größer sein muß, als die kleinste meßbare, mit nein beantwortet. Noch unbekannt ist jedoch die relative Konsistenzstärke von Kompaktheit und Superkompaktheit.

Frage: Sind die folgenden Theorien äquikonsistent ?

(1) ZFC + ∃κ (κ ist kompakt)

(2) ZFC + ∃κ (κ ist superkompakt)