2 GENERISCHE ERWEITERUNGEN

STEFAN BOLD UND PHILIPP ROHDE Seminar für Diplom- und Staatsexamenskandidaten Wintersemester 1999/2000

0 Vorbetrachtungen

(0.1) Definition: (P, ≤) heißt schwache partielle Ordnung :⟺ ≤ ist eine reflexive und transitive Relation auf P.

(0.2) Definition: Sei (P, ≤) eine schwache partielle Ordnung.

(1) p ∈ P heißt ≤-größtes Element von P :⟺ ∀q ∈ P (q ≤ p)

(2) p, q ∈ P heißen kompatibel in P :⟺ p ∥q :⟺ ∃r ∈ P (r ≤ p ∧ r ≤ q)

(3) p, q ∈ P heißen inkompatibel in P :⟺ p ⊥ q :⟺ ¬ p ∥q

(4) D ⊂ P heißt dicht in P :⟺ ∀p ∈ P ∃q ∈ D (q ≤ p)

(5) A ⊂ P heißt nach oben abgeschlossen :⟺ ∀p, q ∈ P ((p ∈ A ∧ p ≤ q) ⟶ q ∈ A)

(0.3) Definition: Sei (P, ≤) schwache partielle Ordnung, F ⊂ P mit F ≠ ∅.

F heißt Filter auf P :⟺ (1) F ist nach oben abgeschlossen und

(2) je zwei Elemente von F sind kompatibel in F.

1 Forcing-Halbordnungen und P -generische Filter

(1.1) Definition: (P, ≤_{P} , 1_{P}) heißt Forcing-Halbordnung :⟺ (1) (P, ≤_{P}) ist eine schwache partielle Ordnung und

(2) 1_{P} ist ein größtes Element von (P, ≤_{P}).

(1.2) Bemerkung: Für p ≤_{P} q sagt man auch, p verstärkt q. In manchen Texten findet sich deswegen auch eine Notation der Forcing-Relation mit umgekehrten Relationszeichen, d.h. man schreibt p ≥_{P} q statt p ≤_{P} q. Diese Notation geht auf die Schule von Jerusalem zurück. Wir schreiben auch ≤ statt ≤_{P}, falls P aus dem Zusammenhang klar ist.

(1.3) Definition: Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung, G Filter auf (P, ≤, 1_{P}) und M eine Menge. G heißt P -generisch über M :⟺ ∀D ∈ M (D dicht in P ⟶ D ∩ G ≠ ∅).

Beispiel: Seien a, b ∈ V, P ⊂ {f | f : a ⊃→ b} [die Menge aller partiellen Funktionen von a nach b] mit ∅ ∈ P, dann ist (P, ⊃, ∅) eine Forcing-Halbordnung. So z.B. für μ ∈ Card die Menge Fn(a, b, μ) :≡ \{f | f : a ⊃→ b ∧ \overline{\overline{f}} < μ\} aller partiellen Funktionen von a nach b, deren Definitionsbereich kleinere Mächtigkeit als μ besitzt. Ist G ein Filter auf (P, ⊃, ∅), so ist wegen der Kompatibilität der Elemente von G auch ⋃ G eine partielle Funktion von a nach b.

(1.4) Satz (Existenzsatz für P -generischer Filter): Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung und M eine höchstens abzählbare Menge, dann existiert zu jedem p_{0} ∈ P ein P -generischer Filter G über M mit p_{0} ∈ G.

Beweis: Sei {D_{n} | n < ω} eine Aufzählung der Elemente von M, die dicht in P sind. Definiere rekursiv eine bzgl. ≤ absteigende Folge (p_{n} | n < ω) in P: Sei p_{0} wie in der Voraussetzung. Ist p_{n} bereits definiert, wähle p_{n+1} ∈ D_{n}, so daß p_{n+1} ≤ p_{n}. Ein derartiges Element existiert, da D_{n} dicht in P ist. Sei weiter G :≡ {p ∈ P | ∃n < ω (p_{n} ≤ p)}. Es gilt: (1) G ist nach oben abgeschlossen: Sei p ∈ G und p ≤ q. Wähle n < ω mit p_{n} ≤ p. Da ≤ transitiv ist, folgt p_{n} ≤ q, also q ∈ G. (2) Je zwei Elemente aus G sind kompatibel in G: Seien p, q ∈ G. Wähle i, j < ω mit p_{i} ≤ p und p_{j} ≤ q. Da (p_{n} | n < ω) eine absteigende Folge und ≤ transitiv ist, folgt für n :≡ max{i, j}: p_{n} ≤ p und p_{n} ≤ q. Aus (1) und (2) folgt, daß G ein Filter ist.

(3) G ist P -generisch über M: Sei D ∈ M dicht in P. Wähle n < ω mit D = D_{n}. Dann ist p_{n+1} ∈ D_{n} und p_{n+1} ∈ G, also D ∩ G ≠ ∅. (4) p_{0} ∈ G. Also ist G ein Filter mit den gewünschten Eigenschaften.

(1.5) Bemerkung: Die Bedingung \overline{\overline{M}} ≤ ℵ_{0} ist dabei notwendig. Für \overline{\overline{M}} = 2^{ℵ_{0}} bzw. \overline{\overline{M}} = ℵ_{1} sind P :≡ Fn(ω, 2, ℵ_{0}) bzw. P :≡ Fn(ω, ω_{1}, ℵ_{0}) Gegenbeispiele, da für jedes p_{0} ∈ P aus der Existenz eines P -generischen Filters G mit p_{0} ∈ G jeweils ein Widerspruch abgeleitet werden kann.

Da also nur für höchstens abzählbare Mengen M die Existenz eines P -generischen Filters über M gesichert ist, definieren wir für unser weiteres Vorgehen ein abzählbares Modell von ZFC.

(1.6) Definition: M heißt ein Grundmodell :⟺ M ist abzählbar und transitiv und es gilt ZFC^{M}.

(1.7) Bemerkung: Nach dem zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatz kann natürlich kein Modell von allen ZFC-Axiomen innerhalb von ZFC konstruiert werden, da sonst ZFC ⊢ Kon(ZFC) gelten würde. Die Definition soll so verstanden werden: Aus dem Lévyschen Reflektionssatz folgt die Existenz eines Modells für jede endliche Liste von ZFC-Axiomen. Dann existiert nach dem absteigenden Löwenheim-Skolem-Satz auch ein abzählbares Modell, das mit Hilfe eines Mostowski-Isomorphismus transitiv gemacht werden kann. Für jeden Beweis in ZFC werden aber nur endlich viele Axiome aus ZFC benötigt. Unsere Vorgehensweise ist also die folgende: wir nehmen erst M als Modell aller ZFC-Axiome an, führen dann den Beweis und erstellen eine endliche Liste der verwendeten Axiome. Für diese Liste existiert dann ein entsprechendes Modell, so daß wir im nachhinein so tun, als hätten wir in diesem Modell gearbeitet.

(1.8) Bemerkung: Sei M ein Grundmodell und (P, ≤, 1_{P}) ∈ M. Aus der Transitivität von M und dem Relativierungslemma folgt für p, q ∈ M bzw. D ∈ M:

(1) ((P, ≤, 1_{P}) ist Forcing-Halbordnung)^{M} ⟷ (P, ≤, 1_{P}) ist Forcing-Halbord-nung (in V).

(2) (p ∥q in P)^{M} ⟷ p ∥q in P

(3) (p ⊥ q in P)^{M} ⟷ p ⊥ q in P

(4) (D dicht in P)^{M} ⟷ D dicht in P

Mit anderen Worten: diese Ausdrücke sind M-absolut.

2 Generische Erweiterungen

Im folgenden sei M stets ein Grundmodell, (P, ≤, 1_{P}) ∈ M eine Forcing-Halbordnung und G ein P -generischer Filter über M.

(2.1) Definition: ẋ heißt P -Name :⟺ ẋ ist eine Relation und ∀(ẏ, p) ∈ ẋ (ẏ ist ein P -Name ∧ p ∈ P).

(2.2) Bemerkung: (1) Genaugenommen wird der Ausdruck (ẋ ist P -Name) rekursiv mittels einer geeigneten charakteristischen Funktion definiert. Daraus folgt dann auch die M-Absolutheit dieses Ausdrucks.

(2) Im Skript von Burghardt wird statt dieser Definition eines P -Namens für jedes x ∈ M ein neues Konstantensymbol ẋ zur Sprache hinzugefügt. Die Konstruktion ähnelt der des Henkinschen Modells. Welcher Weg gewählt wird, ist jedoch für den weiteren Verlauf unerheblich.

(2.3) Definition: V^{P} sei die Klasse der P -Namen. Dann gilt aus Absolutheitsgründen: M^{P} = V^{P} ∩ M = {ẋ ∈ M | (ẋ ist P -Name)^{M}}.

(2.4) Definition: Sei ẋ ∈ M. Definiere rekursiv ẋ^{G} :≡ {ẏ^{G} | ∃p ∈ G (ẏ, p) ∈ ẋ}. ẋ^{G} heißt die G-Interpretation von ẋ.

(2.5) Definition: M[G] :≡ {ẋ^{G} | ẋ ∈ M^{P} }. M[G] heißt generische Erweiterung von M durch P und G.

Beispiel: Nach der Definition der Interpretationen sind diese i.A. von G abhängig. Es gibt aber auch unabhängige Interpretationen: Für ẋ = {(0, 1_{p})} ist ẋ^{G} = {0} für alle G, da alle Filter auf P das Element 1_{P} enthalten.

Um M ⊂ M[G] zu zeigen, wählen wir für jedes x ∈ M einen P -Namen, der von G unabhängig ist:

(2.6) Definition: Definiere für x ∈ M durch ∈-Rekursion x̌ :≡ {(y̌, 1_{P}) | y ∈ x}. x̌ heißt der kanonische Name für x.

(2.7) Lemma: Für x ∈ M gilt x̌^{G} = x. Insbesondere ist M ⊂ M[G].

Beweis: Durch ∈-Induktion über x ∈ M:

x̌^{G} = {ẏ^{G} | ∃p ∈ G : (ẏ, p) ∈ x̌} = {ẏ^{G} | (ẏ, 1_{P}) ∈ x̌}
= {y̌^{G} | y ∈ x} =^{(IV)} {y | y ∈ x} = x

Um G ∈ M[G] zu zeigen, konstruieren wir einen P -Namen, der den generischen Filter G repräsentiert.

(2.8) Definition: Γ :≡ {(p̌, p) | p ∈ P }. Γ heißt kanonischer Name für P -generische Filter über P.

(2.9) Bemerkung: Aufgrund von Absolutheit ist Γ ∈ M, da nach Voraussetzung P ∈ M.

(2.10) Lemma: Für jeden P -generischen Filter G über M gilt Γ^{G} = G. Insbesondere ist G ∈ M[G].

Beweis:

Γ^{G} = {ẋ^{G} | ∃p ∈ G (ẋ, p) ∈ Γ} = {p̌^{G} | ∃p ∈ G (p̌, p) ∈ Γ} = {p̌^{G} | p ∈ G}
=^{(2.7)} {p | p ∈ G} = G

3 Einige Eigenschaften von M[G]

Nach (2.7) gilt M ⊂ M[G] und damit auch (P, ≤, 1_{p}) ∈ M[G]. Nach (2.10) gilt auch G ∈ M[G].

(3.1) Lemma: Ist P verzweigt, d.h. gilt ∀p ∈ P ∃q, r ∈ P (q ≤ p ∧ r ≤ p ∧ q ⊥ r), dann gilt G ∉ M. Insbesondere ist dann M ⫋ M[G], d.h. M[G] ist eine echte Erweiterung von M.

Beweis: Angenommen G ∈ M. Dann ist D :≡ P \ G ∈ M, da die mengentheoretische Differenz M-absolut ist. D ist eine in P dichte Teilmenge: Sei p ∈ P. Wähle q, r ∈ P mit q ≤ p, r ≤ p und q ⊥ r. Da G ein Filter ist, können nicht q und r gleichzeitig in G sein. Sei o.E. q ∉ G, also q ∈ D. Damit existiert eine Verstärkung von p in D. Da G nach Voraussetzung P -generisch über M ist, müßte also G∩D ≠ ∅ sein. Widerspruch zur Definition von D.

(3.2) Bemerkung: (1) Der Ausdruck ”(P, ≤, 1_{P}) ist verzweigt“ ist M-absolut.

(2) Ist P nicht verzweigt, d.h. es existiert ein Atom p_{0} ∈ P, so daß ¬∃q, r ∈ P ((q ≤ p_{0} ∧ r ≤ p_{0} ∧ q ⊥ r), dann ist G :≡ {q ∈ P | q ∥p_{0} in P } ein Filter auf P. G schneidet alle in P dichten Mengen und ist somit P -generisch über jeder Menge von in P -dichten Mengen. Ist nun P ∈ M, dann folgt aus der M-Absolutheit von ”p ∥q in P“ und (Aus)^{M}, daß G ∈ M.Also existiert ein P -generischer Filter auf M, der in M liegt.

(3.3) Satz: Ist N ein transitives Modell von ZFC mit M ⊂ N und G ∈ N, dann gilt M[G] ⊂ N.

Beweis: Für jeden P -Namen ẋ ∈ M^{P} ist ẋ ∈ M ⊂ N. Außerdem gilt nach Voraussetzung G ∈ N, also ist die G-Interpretation von ẋ N-absolut. Es folgt ẋ^{G} = (ẋ^{G})^{N} ∈ N

(3.4) Bemerkung: Wenn wir gezeigt haben, daß M[G] ein transitives Modell von ZFC ist, dann folgt:

(1) M[G] ist das kleinste transitive Modell von ZFC, das M umfaßt und G enthält.

(2) G ∈ M ist in diesem Fall für unsere Betrachtungen uninteressant, da die mengentheoretischen Operationen zur Konstruktion von M[G] wegen ZFC^{M} nicht aus M hinausführen, also keine neuen Elemente zu M hinzugefügt werden.

(3) Ist P verzweigt, dann können die Leute, die in M leben, keinen P -generischen Filter über M in ihrer Welt konstruieren. Sie kennen G nicht, obwohl sie einen Namen Γ dafür haben. Sie haben ebenfalls Namen für die Objekte in M[G], können diese Namen aber nicht interpretieren und wissen demnach auch nicht, welche Objekte damit bezeichnet sind, denn dafür wäre die Kenntnis von G nötig.

(3.5) Lemma: M[G] ist transitiv.

Beweis: Sei u ∈ v ∈ M[G]. Dann ist v = ẋ^{G} für ein ẋ ∈ M. Aus u ∈ ẋ^{G} folgt nach Definition der G-Interpretation die Existenz eines ẏ ∈ dom(ẋ) ⊂ M mit u = ẏ^{G}. Also ist u ∈ M[G].

2 GENERISCHE ERWEITERUNGEN 5

(3.6) Lemma: Die Elemente von M werden durch G ”nach unten“ interpretiert, d.h. es gilt ∀ẋ ∈ M rg(ẋ^{G}) ≤ rg(ẋ). Beweis: Durch eine Variation der ∈-Induktion:

rg(ẋ^{G}) = rg ({ẏ^{G} | ∃p ∈ G (ẏ, p) ∈ ẋ}) = lub{rg(ẏ^{G}) | ẏ ∈ dom(ẋ)}
≤^{(IV)} lub{rg(ẏ) | ẏ ∈ dom(ẋ)} ≤ rg(ẋ)

(3.7) Lemma: M und M[G] haben dieselbe ordinale Höhe, d.h. On^{M} = On^{M[G]} bzw. On ∩M = On ∩M[G]. Beweis: ”⊆“: Folgt aus M ⊂ M[G]. ”⊇“: Sei α ∈ On ∩M[G]. Wähle einen P -Namen ẋ ∈ M mit α = ẋ^{G}. Da der Rang einer Menge M-absolut ist, gilt rg(ẋ) = (rg(ẋ))^{M} ∈ On ∩M. Nach (3.6) gilt α = rg(α) = rg(ẋ^{G}) ≤ rg(ẋ). Da On ∩M als Schnitt transitiver Terme transitiv ist, folgt α ∈ On ∩M. (3.8) Abbildung:

[figure: ; M; V; G; M[G]; Die Ordinale Höhe von M und M[G] ist gleich, und falls G ∉ M, so ist M[G] eine echte Erweiterung von M.]

(3.9) Lemma: Es gelten (Ex)^{M[G]}, (Ext)^{M[G]}, (Paar)^{M[G]}, (Inf)^{M[G]} und (Fund)^{M[G]}. Beweis:

(1) (Ex)^{M[G]}, (Ext)^{M[G]} und (Fund)^{M[G]} gelten, da M[G] transitiv und nichtleer ist.

(2) (Inf)^{M[G]} gilt, da ω ∈ M ⊂ M[G].

(3) (Paar)^{M[G]}: Seien a, b ∈ M[G]. Wähle P -Namen ẋ, ẏ mit a = ẋ^{G} und b = ẏ^{G}. Definiere den P -Namen ż :≡ {(ẋ, 1_{p}), (ẏ, 1_{p})} ∈ M. Dann ist ż^{G} = {ẋ^{G}, ẏ^{G}} = {a, b}. Also ist {a, b} ∈ M[G].