ERWEITERUNGEN VON AD

PHILIPP ROHDE Seminar Deskriptive Mengenlehre Wintersemester 1999/2000

(2.7) Satz (Mycielski 1964): (ZF + AD) ⊢ ω_{1} ≰ 2^{ℵ_{0}}, d.h. es existiert keine überabzählbare, wohlordenbare Menge reeller Zahlen.

Eine Erweiterung von AD wurde 1966 ebenfalls von Mycielski eingeführt:

(3.1) Definition: AD_{ℝ} :⟺ das Spiel G_{ω^{ω}}(A) ist determiniert für jede Menge A ⊆ (ω^{ω})^{ω}.

(3.2) Bemerkung: (1) Die hier betrachteten Spiele haben immer noch die Länge ω, d.h. bei G_{ω^{ω}}(A) werden abwechselnd ω-viele reelle Zahlen gespielt im Gegensatz zum Spiel G_{ω}(A), bei dem abwechselnd ω-viele natürliche Zahlen gespielt werden.

(2) Offensichtlich gilt: AD_{ℝ} ⟶ AD, d.h. AD_{ℝ} ist eine Erweiterung zu AD. Auf die Frage, ob AD_{ℝ} eine stärkere Bedingung als AD ist, werde ich später noch einmal zurück kommen.

Jede andere Erweiterung von AD im Sinne AD_{X} für ein überabzählbares, wohlordenbares X - also die Forderung, daß das Spiel G_{X}(A) für alle A ⊆ X^{ω} determiniert ist - ist aber schon inkonsistent mit ZF:

(3.3) Satz (Mycielski 1964): (ZF + AD) ⊢ es existiert eine Menge A ⊆ ω_{1}^{ω}, so daß G_{ω_{1}}(A) nicht determiniert ist.

Beweis: Sei A ⊆ ω_{1}^{ω} wie folgt definiert: x ∈ A ⇔ x(0) ≥ ω und x_{II} ist keine injektive Aufzählung von x(0) = {ξ | ξ < x(0)}. Angenommen, G_{ω_{1}}(A) ist determiniert. Da Spieler I nach seinem ersten Zug keinen Einfluß mehr auf den Verlauf des Spiels hat, muß Spieler II eine Gewinnstrategie τ besitzen, d.h. x_{II} ist dann eine injektive Aufzählung von x(0). Für jedes z ∈ ω_{1}^{ω} mit z(0) ≥ ω ist dann {(m, n) | m, n ∈ ω ∧ z ∗ τ(2m + 1) < z ∗ τ(2n + 1)} ⊆ ω × ω eine Wohlordnung vom Ordnungstyp z(0). M.a.W. finden wir für jedes α ∈ ω_{1} - falls Spieler I α in seinem ersten Zug spielt - über die Strategie τ eine Wohlordnung vom Ordnungstyp α. Mit Hilfe von τ erhalten wir also eine Injektion ω_{1} → ω^{ω}, d.h. es existiert eine überabzählbare, wohlordenbare Menge reeller Zahlen im Widerspruch zu Satz (2.7). Also kann G_{ω_{1}}(A) nicht determiniert sein.

Frage: Wie sieht es mit AD_{P(ℝ)}, AD_{P(P(ℝ))} usw. aus? Sind diese Forderungen auch schon inkonsistent mit ZF? Diese werden nicht durch den obigen Satz abgedeckt, da unter AD die reellen Zahlen nicht wohlordenbar sind (siehe Satz (2.7)), also auch nicht P(ℝ) oder P(P(ℝ)) usw. (aus einer Wohlordnung von P(X) läßt sich natürlich eine für X gewinnen). Und wenn sie nicht schon inkonsistent mit ZF sind, werden es dann auch immer stärkere Forderungen? In seinem Artikel The Independence of DC from AD bewies Solovay, daß AD_{ℝ} eine stärkere Behauptung als AD ist, indem er zeigte, daß

(ZF + AD_{ℝ}) ⊢ Kon(ZF + AD)

gilt. Daraus folgt nach Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz: wenn ZF + AD konsistent ist, dann kann aus ZF + AD nicht AD_{ℝ} gefolgert werden. Ein Ansatz für die letzte der oben genannten Frage wäre es nun, diesen Beweis für AD_{P(ℝ)} zu verallgemeinern.

Versucht man andererseits, die Beschreibung der Spiele zu erweitern, so kann man bei den hier betrachteten Zwei-Personen-Nullsummen-Spiele mit perfekter Information drei verschiedene Parameter verändern: die Komplexität der Auszahlungsmenge, die Komplexität der einzelnen Züge und die Länge des Spiels. Im ZFC-Kontext lassen sich diese drei Parameter einfach beschränken^{1}:

(1) Auszahlungsmenge: Es existiert ein nicht-determiniertes Spiel auf {0, 1} der Länge ω. (Gale-Stewart)

(2) Züge: Es existiert ein nicht-determiniertes Spiel auf P(ℝ) der Länge ω, dessen Auszahlungsmenge in OD liegt. (Steel)

(3) Länge: Es existiert ein nicht-determiniertes Spiel auf {0, 1} der Länge ω_{1} + ω, dessen Auszahlungsmenge in OD liegt. (Galvin-Laver)

1Steel, J.R.: Long Games. In: Kechris, A.S.; Martin, D.A.; Steel, J.R. (Hrsg.): Cabal Seminar 81-85. Lecture Notes in Mathematics, Nr. 1333. Springer, Berlin 1988. S. 56-97.