Einleitung

Ihren Ursprung hat die Projektive Hierarchie in einem Irrtum, der Lebesgue 1905 unterlaufen war: er nahm an, dass die Projektion einer Borelmenge in der Ebene wieder eine Borelmenge ist. Etwa zehn Jahre später fand Suslin ein Gegenbeispiel und definierte die analytischen Mengen als die Projektionen von Borelmengen. Weiterhin zeigte er, dass die Borelmengen gerade die analytischen Mengen sind, deren Komplemente ebenfalls analytisch sind. Aufbauend auf den analytischen Mengen definierten Lusin und Sierpinski 1925 projektive Mengen als die Mengen, die durch iterierte Anwendung von Projektion und Komplementierung auf eine Borelmenge entstehen.

1 Grundlagen

1.1 Bäume

Sei A ≠ ∅ und n ∈ IN. Wir bezeichnen mit A^{n} die Menge der endlichen Folgen s = (s(0), …, s(n − 1)) = (s_{0}, …, s_{n−1}) der Länge n aus A. Sind s, t endliche Folgen aus A, sagt man s ist ein Anfangsstück von t (in Zeichen s ⊆ t), wenn s = t|m, für ein m ≤ Länge(t). Sei

A^{<IN} := ⋃_{n∈IN} A^{n} die Menge aller endlichen Folgen aus A
A^{IN} := {x(n) = (x_{n})} die Menge aller unendlichen Folgen aus A

Definition 1.1 Ein Baum auf einer Menge A ist eine Teilmenge T ⊆ A^{<IN}, abgeschlossen unter Anfangsstücken, d. h. wenn t ∈ T und s ⊆ t, dann ist s ∈ T (vor allem ∅ ∈ T, wenn T nichtleer). Wir nennen die Elemente von T die \underline{Knoten} von T. Ein unendlicher Ast von T ist eine Folge x ∈ A^{IN}, so daß x|n ∈ T, für alle n gilt. Der \underline{Körper} von T, geschrieben [T], ist die Menge aller unendlichen Äste von T, d. h.

[T] = {x ∈ A^{IN} : ∀ n(x|n ∈ T)}.

Wir nennen einen Baum T \underline{gestutzt}, wenn jedes s ∈ T eine echte Erweiterung t ⊋ s, t ∈ T, hat.

Wir können eine Menge A als topologischen Raum mit der \underline{diskreten} Topologie -jede Teilmenge von A ist offen- betrachten. Die kompatible Metrik ist d(a, b) = 1 für a ≠ b.

↷ A^{IN} = A × A × … unendlich oft mit d(x, y) = 2^{−n−1}, für x ≠ y und n ist die kleinste Zahl für die x_{n} ≠ y_{n}.

Die Standardbasis der Topologie von A^{IN} besteht aus den Mengen

N_{s} = {x ∈ A^{IN} : s ⊆ x}, s ∈ A^{<IN}.

Es gilt: s ⊆ t ⇔ N_{s} ⊇ N_{t}.

Proposition 1.1 Die Abbildung T → [T] ist eine Bijektion zwischen gestutzten Bäumen auf A und abgeschlossenen Untermengen von A^{IN}.

1.2 Bäume auf Produkten

Für A = B × C sei ein Baum T ⊆ B^{<IN} × C^{<IN} mit (t, u) ∈ T bedeutet, daß Länge(t) = Länge(u) und (t, u) ⊆ (t′, u′) - definiert als t ⊆ t′ und u ⊆ u′-, (t′, u′) ∈ T, impliziert daß (t, u) ∈ T. Damit ist [T] die Menge der (x, y) ∈ B^{IN} × C^{IN} mit (x|n, y|n) ∈ T für alle n. Die obige Proposition läßt sich übertragen: Die abgeschlossenen Untermengen von B^{IN} × C^{IN} sind gerade die der Form [T] für einen gestutzten Baum T auf B × C.

1.3 Polnische Räume

Ein topologischer Raum (X, τ) ist \underline{metrisierbar}, wenn es eine Metrik d auf X gibt, so daß τ die Topologie auf (X, d) ist; d heißt dann \underline{kompatibel} mit τ. Eine Teilmenge D ⊆ X heißt \underline{dicht}, wenn sie jede nichtleere offene Menge schneidet. Ein Raum X der eine abzählbar dichte Teilmenge enthält heißt \underline{separabel}. Ein topologischer Raum X ist \underline{vollständig metrisierbar}, wenn er eine kompatible Metrik d besitzt, so daß (X, d) vollständig ist. Ein separabler, vollständig metrisierbarer Raum heißt \underline{polnisch}.

\underline{Es gilt}

1. Ein abgeschlossener Unterraum eines polnischen Raumes ist polnisch.

2. Das Produkt und die Summe von polnischen Räumen sind polnisch.

\underline{Beispiele}

• IR, IR^{n}, ℂ, ℂ^{n}, IR^{IN}, ℂ^{IN} und das Einheitsintervall [0, 1] sind polnisch.

• Für jede abzählbare Menge A mit der diskreten Topologie ist A^{IN} polnisch. Der Cantor Raum C = 2^{IN} = {0, 1}^{IN} und der Baire Raum N = IN^{IN} sind polnisch.

2 Analytische Mengen

Definition 2.1 Sei X ein polnischer Raum. Eine Menge A ⊆ X heißt \underline{analytisch}, wenn es einen polnischen Raum Y und eine stetige Funktion f : Y → X gibt mit f(Y) = A.

Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. A ist analytisch.

2. Es gibt einen polnischen Raum Y und eine Borelmenge B ⊆ X × Y, so daß A = proj_{X}(B).

3. Es gibt eine abgeschlossene Menge F ⊆ X × N, so daß A = proj_{X}(F).

Beweis:

3) ⇒ 2): trivial

2) ⇒ 1): Sei π die Projektion mit π(B) = A. Da Borelmengen analytisch sind, gibt es ein stetiges g und ein polnisches V, so daß g : V → X × Y mit g(V) = B. Dann ist die Abbildung π ∘ g stetig und π ∘ g(V) = A. Es bleibt zu zeigen, daß Borelmengen analytisch sind. Borelmengen sind offene Mengen, abgeschlossene Mengen und abzählbare Schnitte und abzählbare Vereinigungen von diesen. Abgeschlossene A ⊆ X sind analytisch, weil A dann selber polnisch ist und identisch auf sich abgebildet werden kann. Weil jede offene Menge abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen ist, genügt es zu zeigen, daß abzählbare Vereinigungen und abzählbare Durchschnitte von analytischen Mengen wieder analytisch sind. Vereinigungen: Seien Y_{n} polnisch und f_{n} : Y_{n} → X stetig mit f_{n}(Y_{n}) = A_{n}. Wir können annehmen, daß die Y_{n} disjunkt sind, daher bildet ⋃_{n} f_{n} stetig die direkte Summe der Y_{n} auf ⋃_{n} A_{n} ab. Daraus folgt, daß ⋃_{n} A_{n} analytisch ist. Durchschnitte: Sei Z = {(y_{n}) ∈ ∏_{n} Y_{n} : f_{n}(y_{n}) = f_{m}(y_{m}), ∀n, m}. Dann ist Z abgeschlossen in ∏_{n} Y_{n} und damit polnisch. Die Funktion f : Z → X, definiert durch f((x_{n})) = f_{0}(x_{0}), ist stetig und f(Z) = ⋂_{n} A_{n}. Damit ist ⋂_{n} A_{n} analytisch.

1) ⇒ 3): Betrachte f : N → A, dann ist graph(f) = {(y, x) : f(y) = x} abgeschlossen in N × X und somit ist graph(f)^{−1} abgeschlossen in X × N. Projeziert man nun X × N → X so folgt

proj_{X}(graph(f)^{−1}) = {x ∈ X : ∃y ∈ N (x, y) ∈ graph(f)^{−1}}
= {x ∈ X : ∃y ∈ N f(y) = x}
= {x ∈ X : x ∈ f(N)}
= {x ∈ X : x ∈ A} = A.
□

2.1 Repräsentation analytischer Mengen im Baire Raum N

Sei p[T] = {x : ∃y (x, y) ∈ [T]} die Projektion von [T] ⊆ B^{IN} × C^{IN} auf B^{IN}.

Proposition 2.1 Sei A ⊆ N, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. A ist analytisch.

2. Es gibt einen gestutzten Baum T auf IN × IN mit A = p[T].

3. Es gibt einen gestutzten Baum T auf IN × 2 mit

x ∈ A ⇔ ∃y ∈ N(x, y) ∈ [T], wobei N = {x ∈ C : ∃^{∞}n (x(n) = 1)}

Beweis:

1) ⇔ 2): ist klar, weil die abgeschlossenen Untermengen von N × N von der Form [T] für einen gestutzten Baum auf IN × IN sind, und die analytischen Untermengen von N sind gerade die Abbildungen von abgeschlossenen Mengen in N × N.

1) ⇔ 3): genauso: Die abgeschlossenen Untermengen von N × C sind von der Form [T] für einen gestutzten Baum auf IN × 2. Die analytischen Untermengen von N sind wieder gerade die Projektionen von abgeschlossenen Mengen in N ×N ⊆ C, weil N homöomorph zu N ist mit folgendem Homöomorphismus:

0^{n} sei 0 … 0 n-mal f(x) := 0^{x_{0}}10^{x_{1}}10^{x_{2}} … für x = (x_{n}) ∈ N

↷ das Bild von f sind genau die Folgen, für die unendlich viele x_{n} = 1 sind.

2.2 Darstellung analytischer Mengen durch Souslinschema

Definition 2.2 Sei (P_{s})_{s∈IN^{<IN}} ein Souslinschema auf einer Menge X, d. h. eine Familie von Untermengen von X indiziert durch IN^{<IN}. Die Souslinoperation A angewandt auf solch ein Schema erzeugt eine Menge

A_{s}P_{s} = ⋃_{x∈N} ⋂_{n} P_{x|n}.

Ein Souslinschema (P_{s}) ist \underline{regulär}, wenn s ⊆ t ⇒ P_{s} ⊇ P_{t}.

Theorem 2.1 Sei X ein polnischer Raum und d eine kompatible Metrik. Für A ⊆ X sind folgende Aussagen äquivalent:

1. A ist analytisch.

2. A = A_{s}F_{s} mit F_{s} abgeschlossen.

3. A = A_{s}F_{s} mit F_{s} abgeschlossen und (F_{s}) regulär und hat einen verschwindenden Durchmesser (d.h. diam(F_{x|n}) → 0, ∀x ∈ N, wobei diam(B) = sup{d(x, y) : x, y ∈ B})

4. A = A_{s}P_{s} mit P_{s} analytisch, P_{∅} = A, P_{s} = ⋃_{n} P_{sˆ n}, (P_{s}) hat verschwindenden Durchmesser und ⋂_{n} P_{x|n} ≠ ∅, ∀x ∈ N, wenn A ≠ ∅.

Beweis:

3) ⇒ 2): klar, weil 3) Einschränkung von 2)

4) ⇒ 1): klar, weil P_{s} als analytisch vorausgesetzt und P_{∅} = A

2) ⇒ 1):

A = A_{s}F_{s} mit F_{s} abgeschlossen
= ⋃_{x∈N} ⋂_{n} F_{x|n}
= {y ∈ X : ∃x ∈ N y ∈ ⋂_{n} F_{x|n}}
= {y ∈ X : ∃x ∈ N (y, x) ∈ F }

mit F = {(y, x) : y ∈ ⋂_{n} F_{x|n}} ⊆ X × N abgeschlossen, weil (F_{x|n} abgeschlossen ⇒ ⋂_{n} F_{x|n} abgeschlossen)

⇒ A = proj_{X}(F), F ⊆ X × N abgeschlossen (siehe Satz 1)
⇒ A analytisch

1) ⇒ 3): Sei A ⊆ X analytisch, A ≠ ∅. Dann gibt es eine stetige Funktion f : N → X mit f(N) = A. Setze F_{s} = \overline{f(N_{s})}. Dann ist F_{s} abgeschlossen, (F_{s}) regulär und wegen der Stetigkeit von f hat (F_{s}) einen verschwindenden Durchmesser. Wenn x ∈ ⋂_{n} F_{y|n}, dann gibt es für jedes n ein x_{n} ∈ f(N_{y|n}) mit d(x, x_{n}) < 2^{−n}. Sei y_{n} ⊇ y|n, so daß f(y_{n}) = x_{n}. Dann gilt: Wenn y_{n} → y, dann f(y_{n}) = x_{n} → f(y). Aber x_{n} konvergiert gegen x, d. h. f(y) = x. Damit ist {f(y)} = ⋂_{n} F_{y|n}.

⇒ A = A_{s}F_{s}

1) ⇒ 4): genauso: Setze wieder P_{s} = f(N_{s}) für f : N → X, f(N) = A. ⇒ P_{s} analytisch, weil N_{s} abgeschlossen sind in N, damit ist P_{s} stetiges Bild eines polnischen Raumes. P_{∅} = A, weil P_{∅} = f(N_{∅}) N_{∅} = {y ∈ N : ∅ ⊆ y} = N ↷ P_{∅} = f(N) = A Dann ist für s ∈ A^{<IN} definiert sˆ n := (s_{0}, …, s_{n−1})ˆ (n), d. h. (s_{0}, …, s_{n−1}, n), für n ∈ A. ↷ N_{sˆ n} = {y ∈ N : sˆ n ⊆ y} ⇒ ⋃_{n} N_{sˆ n} = N_{s} ⇒ P_{s} = f(N_{s}) = f(⋃_{n} N_{sˆ n}) = ⋃_{n} f(N_{sˆ n}) = ⋃_{n} P_{sˆ n}. Aus der Stetigkeit folgt wieder verschwindender Durchmesser von (P_{s}). Wendet man das gleiche Argument wie vorher an, dann gilt {f(y)} = ⋂_{n} P_{y|n}. ↷ f(y) existiert, wenn A ≠ ∅ ⇒ ⋂_{n} P_{x|n} ≠ ∅, wenn A ≠ ∅ und ↷ A = A_{s}P_{s}

3 Projektive Hierarchie

Folgender Aufbau: für einen polnischen Raum X und n ≥ 1 seien

Σ_{1}^{1} = analytische Mengen = stetige Bilder von polnischen Räumen
Π_{1}^{1} = co-analytische Mengen = {A : ∼ A analytisch} = ∼ Σ_{1}^{1}
Δ_{1}^{1} = bi-analytische Mengen = Σ_{1}^{1} ∩ Π_{1}^{1}
Σ_{n+1}^{1} = {proj_{X}(A) : X polnisch , A ⊆ X × N , A ∈ Π_{n}^{1}(X × N)}
Π_{n+1}^{1} = ∼ Σ_{n+1}^{1} = {X\A : X polnisch , A ∈ Σ_{n+1}^{1}(X)}
Δ_{n}^{1} = Σ_{n}^{1} ∩ Π_{n}^{1}

Die Mengen in der Klasse P = ⋃_{n} Σ_{n}^{1} = ⋃_{n} Π_{n}^{1} = ⋃_{n} Δ_{n}^{1} heißen \underline{projektive Mengen}.

3.1 Abgeschlossenheitseigenschaften

1. Die Klassen Σ_{n}^{1} sind abgeschlossen unter stetigen Urbildern, abzählbaren Schnitten, abzählbaren Vereinigungen und stetigen Bildern (Projektionen)

2. Die Klassen Π_{n}^{1} sind abgeschlossen unter stetigen Urbildern, abzählbaren Schnitten und abzählbaren Vereinigungen und co-Projektionen

3. Die Klassen Δ_{n}^{1} sind abgeschlossen unter stetigen Urbildern, Komplementen und abzählbaren Schnitten (d. h. sie bilden eine σ-Algebra)

Beweis: Induktion über n

\underline{n = 1}: stetige Urbilder: Sei g : g^{−1}(A) ⊂ Y → A stetig, dann ist graph(g) = {(y, x) : g(y) = x} ⊆ g^{−1}(A) × A abgeschlossen, weil g stetig ist.

⇒ g^{−1}(A) = proj_{Y} (graph(g))
⇒ g^{−1}(A) analytisch

Abzählbare Vereinigungen und Durchschnitte sind schon gezeigt. Stetige Bilder sind klar, weil A analytisch bedeutet: es gibt stetiges f und polnischen Raum Y, mit f(Y) = A. Sei g stetig mit g : A → B, dann ist g ∘ f : Y → B und g ∘ f(B) stetiges Bild eines polnischen Raumes

\underline{n → n + 1}: stetige Urbilder analog zu n = 1 abzählbare Schnitte: Seien A_{i} ∈ Σ_{n+1}^{1}(X), i ∈ IN, A_{i} = proj_{X}(B_{i}), B_{i} ∈ Π_{n}^{1}(X ∈ N). Dann

x ∈ ⋂_{i} A_{i} ⇔ ∀i ∃y (x, y) ∈ B_{i}
⇔ ∃y ∀i (x, (y)_{i}) ∈ B_{i} ,

wobei (y)_{i}(m) = y(< i, m >) mit <> eine Bijektion auf IN × IN mit IN. Wenn (x, y) ∈ B ⇔ ∀i (x, (y)_{i}) ∈ B_{i}, dann ist B ∈ Π_{n}^{1}(X × N) wegen der Abschlußeigenschaften von Π_{n}^{1}, damit ⋂_{i} A_{i} ∈ Σ_{n+1}^{1}, weil

B = ⋂_{i}(x, (y)_{i}) ∈ B_{i}
proj_{X}(B) = {x : ∃y (x, y) ∈ B} = ⋂_{i} A_{i}

abzählbare Vereinigungen: A_{i} ∈ Σ_{n+1}^{1}(X), usw. Dann

x ∈ ⋃_{i} A_{i} ⇔ ∃y ∀i (x, y) ∈ B_{i}
⇔ ∃y (x, y) ∈ ⋃_{i} B_{i} ∈ Π_{n}^{1}

↷ ⋃_{i} A_{i} = proj_{X}(⋃_{i} B_{i}), d.h. ⋃_{i} A_{i} ∈ Σ_{n+1}^{1} stetige Bilder Sei A ∈ Σ_{n+1}^{1}(X) mit A = proj_{X}(B), B ∈ Π_{n}^{1}(X × N) und f : X → Y stetig, dann

y ∈ f(A) ⇔ ∃x ∃z[(x, z) ∈ B & f(x) = y]

Sei g : N → X × N eine stetige Surjektion. Dann haben wir

y ∈ f(A) ⇔ ∃w ∈ N [g(w) ∈ B & f(proj_{X}(g(w))) = y]
⇔ ∃w ∈ N (y, w) ∈ C

für ein c ∈ Π_{n}^{1}(Y ×N) wegen der Abschlußeigenschaft von Π_{n}^{1}. Damit f(A) ∈ Σ_{n+1}^{1}(Y).

Definition 3.1 Sei Γ eine Klasse von Mengen in beliebigen Räumen. Wir bezeichnen mit Γ(X) die Teilmengen von X, die in Γ sind. Eine Menge U ⊆ (Y × X) heißt Y -universell für Γ(X), wenn

1. U ∈ Γ(Y × X)

2. {U_{y} : y ∈ Y } = Γ(X) mit U_{y} = {x ∈ X : (y, x) ∈ U}

Das folgende Theorem zeigt die Echtheit der Hierarchie.

Theorem 3.1 Für jeden polnischen Raum X und jeden überabzählbaren polnischen Raum Y gibt es eine Y -universelle Menge für Σ_{n}^{1}(X) und ebenso für Π_{n}^{1}(X). Insbesondere Δ_{n}^{1}(X) ⊊ Σ_{n}^{1}(X) ⊊ Δ_{n}^{1}(X).

Beweis: Induktion über n

\underline{n = 1}: Aus dem Borelhierarchie-Vortrag: Es gibt eine N -universelle Menge für Σ_{1}^{0}(N^{2}) und eine N -universelle Menge F für Π_{1}^{0}(N^{2}). \underline{Beh.}: A = \{(y, x) : ∃z (y, x, z) ∈ F\} ist N -universell für Σ_{1}^{1}(N). Da Projektionen stetig sind, sind A und alle Sektionen A_{y} ∈ Σ_{1}^{1}. Umgekehrt, wenn A ⊆ N aus Σ_{1}^{1} ist, gibt es ein abgeschlossenes F ⊆ N und eine stetige Surjektion f : F → A. Sei G = graph(f)^{−1}, dann ist G abgeschlossen in N^{2} und x ∈ A ⇔ ∃z (x, z) ∈ G. Sei y ∈ N, so daß G = F_{y}. Dann ist A = A_{y}. Jetzt kann aber A nicht Borel sein, denn ∼ A wäre es auch, und auch A = {x : (x, x) ∉ A} wäre Borel und damit analytisch, d.h. (gerade gezeigt) für ein y_{0} wäre A = Ay_{0}. ↷ (x, x) ∉ A ⇔ (y_{a}, x) ∈ A. Setze x = y_{0} und es entsteht ein Widerspruch.

\underline{n → n + 1} genauso