AD und ℵ_{1}

Seminar über Mengenlehre Wintersemester 1999/2000 Stefan Bold

0 Grundlagen

(0.1) Definition: Sei π : ω × ω → ω die Diagonal-Abzählung von ω × ω , d.h.

π(n, m) := n + ∑_{i=0}^{n+m} i = n + \frac{(n + m)(n + m + 1)}{2} = \frac{n^{2} + m^{2} + 2nm + 3n + m}{2}

Für i, n ∈ ω, x ∈ ω^{ω} setze (x)_{i}(n) := x(π(i, n)). Dann wird {(x)_{i} | i ∈ ω} ∈ (ω^{ω})^{ω} durch x ∈ ω^{ω} kodiert. Diese Kodierung f_{1} : ω^{ω} → (ω^{ω})^{ω} ist bijektiv. Durch E_{x} := {(n, m) | x(π(n, m)) = 0} kodiert x ∈ ω^{ω} die Relation E_{x}.

(0.2) Definition: Sei die Relation E_{x} fundiert. Sei p_{x}(n) := sup{p_{x}(m) + 1 | E_{x}(m, n)}. Mit ||x|| := sup{p_{x}(n) + 1 | n ∈ ω} wird die Länge von E_{x} bezeichnet. Ist E_{x} eine Wohlordnung, so gilt ||x|| = otp(E_{x}).

(0.3) Definition:

WF := {x ∈ ω^{ω} | E_{x} ist fundiert}
LO := {x ∈ ω^{ω} | E_{x} ist linear}
WO := WF ∩ LO

WF_{α} := {x ∈ WF | ||x|| ≤ α}
WO_{α} := {x ∈ WO | ||x|| ≤ α}

(0.4) Lemma: Sei α ∈ ℵ_{1}. Dann gilt WO_{α} ∈ Σ_{1}^{1}(z) für alle z ∈ WO mit ||z|| = α.

(0.5) Satz: [ZF+AC_{ω}(ω^{ω})](Beschränkungs-Lemma) Sei A ⊆ WO mit A ∈ Σ_{1}^{1}. Dann gibt es ein α ∈ ω_{1}, so daß A ⊆ WO_{α}.

(0.6) Satz: Die Abbildung f_{2} : ω^{ω} → ℵ_{1}, f_{2}(x) := \{ \begin{matrix}||x|| & falls E_{x} fundiert \\ 0 & sonst \end{matrix} ist surjektiv.

(0.7) Definition: Sei F ein Filter auf M, f : M → N eine Abbildung. f_{∗}(F) := {X ∈ P(N) | f^{−1}[X] ∈ F} heißt Bildfilter von F unter f.

(0.8) Lemma: Sei F ein Filter auf M, f : M → N eine Abbildung.

(1) f_{∗}(F) ist ein Filter auf N.

(2) Ist F ein Ultrafilter auf M, so ist f_{∗}(F) ein Ultrafilter auf N.

(3) Ist F κ-vollständig, so ist auch f_{∗}(F) κ-vollständig.

1 Filter unter (AD)

(1.1) Satz: [ZF+AD] (1) Jeder Ultrafilter auf ω ist fixiert.

(2) Jeder Ultrafilter U auf einer beliebigen Menge S ist ℵ_{1}-vollständig.

2 Unter (AD) ist ℵ_{1} meßbar

(2.1) Lemma: Sei κ > ℵ_{0} eine Kardinalzahl.

(1) {C ∈ P(κ) | C ist club in κ} ist eine Filterbasis.

C_{κ} := {X ⊆ κ | ∃C ⊆ X (C ist club in κ)} heißt club-Filter auf κ.

(2) Der club-Filter C_{κ} auf κ ist frei.

(3) Der club-Filter C_{κ} auf κ ist cf(κ)-vollständig.

(2.2) Lemma: Falls ℵ_{1} regulär ist, gilt für κ ≥ ℵ_{2} regulär : C_{κ} ist kein Ultrafilter.

(2.3) Bemerkung: Unter (AC) ist jedes reguläre κ > ℵ_{0} die Vereinigung von κ-vielen disjunkten stationären Mengen (siehe z.B. Jech S.59). Also ist C_{ℵ_{1}} unter (AC) kein Ultrafilter, der Beweis läuft analog zu 2.2.

(2.4) Satz: [ZF+AD](Solovay,1967) ℵ_{1} ist eine meßbare Kardinalzahl und C_{ℵ_{1}} ist ein Ultrafilter.

3 Unter (AD) gilt ℵ_{1} → (ℵ_{1})^{α}.

(3.1) Definition: Sei n ∈ ℵ_{0} und X ∈ V. [X]^{n} := \{Y ⊆ X | \overline{\overline{Y}} = n\}. Für A ⊆ κ ∈ On, β ∈ On erweitern wir die Definition folgendermaßen : [A]^{β} := \{\{α_{i} | i ∈ \overline{\overline{β}}\} | ∀i, j ∈ \overline{\overline{β}} (α_{i} ∈ A ∧ (i < j ⇒ α_{i} < α_{j}) ∧ otp(\{α_{i} | i ∈ \overline{\overline{β}}\}) = β)\}.

(3.2) Definition: Seien κ, λ ∈ Card, α ∈ On. κ → (λ)^{α} :⇔ ∀F : [κ]^{α} → 2 ∃H ⊆ κ (\overline{\overline{H}} = λ ∧ (F [[H]^{α}] = \{0\} ∨ F [[H]^{α}] = \{1\})) Falls κ → (λ)^{α} gilt, so gilt auch μ → (ν)^{β} mit μ ≥ κ, ν ≤ λ, β ≤ α.

(3.3) Satz: [ZF+AC](Erdös-Rado) Es gilt ∀κ ≥ ℵ_{0} (κ ↛ (ℵ_{0})^{ℵ_{0}}).

(3.4) Satz: (AD) Sei α eine abzählbare Ordinalzahl. Dann gilt ℵ_{1} → (ℵ_{1})^{α}.