AD UND ℵ_{1}

STEFAN BOLD Seminar über Mengenlehre Wintersemester 1999/2000

Unter (AC) gelten viele Aussagen, die unter (AD) falsch sind, und umgekehrt. Schon die Tatsache, daß unter (AD) nicht jede Kardinalitäts-Aquivalenzklasse eine Kardinalzahl enthält, macht klar, daß Kardinalzahlen sich unter (AD) anders verhalten werden als unter (AC). Aus ZFC folgen unter anderem diese Aussagen:

(1) Jeder Filter läßt sich zu einem Ultrafilter erweitern.

(2) Die Existenz meßbarer Kardinalzahlen ist nicht beweisbar.

(3) Jede Nachfolgerkardinalzahl ist regulär.

(4) Jede meßbare Kardinalzahl ist unerreichbar.

(5) Es gilt ∀κ ≥ ℵ_{0} (κ ↛ (ℵ_{0})^{ℵ_{0}}). Unter (AD) sind diese Aussagen falsch. Ohne Auswahlaxiom läßt sich nicht jeder Filter erweitern, und vor allem folgt aus der Meßbarkeit einer Kardinalzahl nicht, daß sie ein starker Limes ist. Auch ist nicht jede Nachfolgerkardinalzahl regulär. Dafür lassen sich unter (AD) unter anderem folgende Aussagen beweisen:

(1) Jeder Ultrafilter auf ω ist fixiert.

(2) Jeder Ultrafilter ist ℵ_{1}-vollständig.

(3) ℵ_{1} ist eine meßbare Kardinalzahl.

(4) Es gilt ∀α < ℵ_{1} (ℵ_{1} → (ℵ_{1})^{α}).

1 Spiele und (AD)

Zuerst einmal definieren wir, was eigentlich unter einem Spiel zu verstehen ist.

(1.1) Definition: Sei M eine Menge, A ⊆ M^{ω}. Eine Partie des Spiels G_{M}(A) ist eine Folge x : ω → M, wobei die geraden Folgeglieder x_{I}(i) := x_{2i} die von Spieler I gespielten Züge repräsentieren, und die ungeraden Folgeglieder x_{II}(i) := x_{2i+1} die von Spieler II. Falls x ∈ A gilt, so gewinnt Spieler I die Partie, ansonsten Spieler II. Das Spiel G_{M}(A) besteht aus den möglichen Partien. Statt G_{ω}(A) schreiben wir im folgenden G(A).

(1.2) Definition: Sei x eine Partie eines Spiels G_{M}(A). Eine Strategie für Spieler I ist eine Funktion σ : ⋃_{n∈ω} ω^{2n} → M, für Spieler II eine Funktion τ : ⋃_{n∈ω} ω^{2n+1} → M. Dabei spielt Spieler I nach der Strategie σ, falls x_{0} = σ(∅) und ∀0 < n ∈ ω (x_{2n} = σ(⟨x_{0}, x_{1}, ..., x_{2n−1}⟩) gelten. Analog für Spieler II. Falls Spieler I nach der Strategie σ und Spieler II die Folge y spielen, so wird die dadurch eindeutig festgelegte Partie mit σ ∗ y bezeichnet. Analog bezeichnet y ∗ τ die Partie, in der I y und II nach τ spielen.

(1.3) Definition: Sei A ⊆ M^{ω}, σ eine Strategie für I, τ eine Strategie für II. σ ist eine Gewinnstrategie für I, falls {σ ∗ y | y ∈ M^{ω}} ⊆ A gilt. Analog ist τ eine Gewinnstrategie für II, falls {x ∗ τ | x ∈ M^{ω}} ⊆ M^{ω}\A gilt. Das Spiel G_{M}(A) heißt determiniert, falls einer der beiden Spieler eine Gewinnstrategie besitzt. Man sagt dann auch, daß A determiniert ist. D ⊆ P(M^{ω}) heißt determiniert, falls jedes A ∈ D determiniert ist.

(1.4) Definition: Axiom der Determiniertheit (AD) (AD) ∀A ⊆ ω^{ω} (G(A) ist determiniert). (d.h. P(ω^{ω}) ist determiniert)

Es gibt auch Spiele mit Regeln, diese sind jedoch zu normalen Spiele äquivalent. Und zu jedem Spiel auf einer abzählbaren Menge gibt es natürlich ein äquivalentes Spiel auf ω. Als wichtige Folgerung aus (AD) sei, ohne Beweis, die Regularität von ℵ_{1} angeführt. Wir werden diese Eigenschaft

2 Filter

Wir wollen Ultrafilter und meßbare Kardinalzahlen unter (AD) betrachten, daher folgen einige grundsätzliche Definitionen und Lemmata, die später benötigt werden.

(2.1) Definition: Sei M ∈ V\∅ und F ⊆ P(M). F heißt Filter auf M falls gilt (1) ∅ ∉ F , M ∈ F

(2) ∀X, Y ∈ F (X ∩ Y ∈ F)

(3) ∀Y ∈ P(M) ((∃X ∈ F (X ⊆ Y)) ⇒ Y ∈ F) Falls zusätzlich ∀X ∈ P(M) (X ∈ F ∨ M\X ∈ F) gilt, heißt F Ultrafilter auf M.

(2.2) Definition: Sei B ⊆ P(M) mit ∅ ∉ B B heißt Filterbasis, falls ∀X, Y ∈ B ∃Z ∈ B (Z ⊆ X ∩ Y) gilt. Der von B erzeugte Filter ist dann F_{B} := {Y ∈ P(M) | ∃X ∈ B (X ⊆ Y)}.

(2.3) Definition: Sei F ein Filter auf M.

(1) F heißt Hauptfilter :⇔ ∃x_{0} ∈ M (F = F_{{x_{0}}}).

(2) F heißt nichtprinzipal :⇔ F ist kein Hauptfilter.

(3) F heißt frei :⇔ ⋂ F = ∅.

(4) F heißt fixiert :⇔ F ist nicht frei.

(2.4) Lemma: [ZF] Sei F ein Filter auf M.

(1) F ist frei ⇒ F ist kein Hauptfilter.

(2) F ist ein nichtprinzipaler Ultrafilter ⇒ F ist frei.

(3) F ist ein fixierter Ultrafilter ⇔ F ist ein Hauptfilter.

(2.5) Definition: Sei F ein Filter auf M, κ eine Kardinalzahl. F heißt κ-vollständig :⇔ ∀γ < κ ({X_{α} | α ∈ γ} ⊆ F ⇒ ⋂_{α∈γ} X_{α} ∈ F).

(2.6) Lemma: [ZF] Sei U ein Ultrafilter auf M, κ eine Kardinalzahl.

U ist κ-vollständig ⇔ ∀γ <κ∀{X_{α} | α ∈ γ}⊆P(M) (⋃_{α∈γ} X_{α} ∈U ⇒ ∃ν ∈γ (X_{ν} ∈U)).

(2.7) Definition: Sei κ eine Kardinalzahl größer ℵ_{0}. κ heißt meßbar :⇔ Es gibt einen κ-vollständigen freien Ultrafilter auf κ.

(2.8) Definition: Sei F ein Filter auf M, f : M → N eine Abbildung. f_{∗}(F) := {X ∈ P(N) | f^{−1}[X] ∈ F} heißt Bildfilter von F unter f.

(2.9) Lemma: [ZF] Sei F ein Filter auf M, f : M → N eine Abbildung. (1) f_{∗}(F) ist ein Filter auf N.

(2) Ist F ein Ultrafilter auf M, so ist f_{∗}(F) ein Ultrafilter auf N.

(3) Ist F κ-vollständig, so ist auch f_{∗}(F) κ-vollständig.

3 Ultrafilter unter (AD)

Unter (AC) läßt sich jeder Filter zu einem Ultrafilter erweitern. Dies ist unter (AD) falsch, wie mit dem folgenden bemerkenswerten Satz bewiesen werden kann.

(3.1) Satz: [ZF+AD] (1) Jeder Ultrafilter auf ω ist fixiert.

(2) Jeder Ultrafilter U auf einer beliebigen Menge S ist ℵ_{1}-vollständig.

Beweis:

(1) Angenommen, es gebe einen freien Ultrafilter U auf ω. Sei G^{∗}(U) folgendes Spiel: Die Spieler wählen ihre Züge aus P_{<ω}(ω) unter Berücksichtigung der Regel ∀n ∈ ω (x_{n} ∩ ⋃_{i<n} x_{i} = ∅) aus. Es verliert der Spieler, der zuerst diese Regel verletzt. Wenn beide Spieler die Regel einhalten, gewinnt I falls ⋃_{i∈ω} x_{2i} ∈ U gilt, ansonsten gewinnt II. Dieses Spiel läßt sich mit geeignetem A ⊆ ω^{ω} in ein Spiel G(A) umformen, es ist also determiniert. Fall 1: Angenommen, σ sei eine Gewinnstrategie für I. Sei τ_{σ} folgende Strategie für II:

τ_{σ}(⟨x_{0}, ⋯, x_{2i}⟩) = \{ \begin{matrix}σ(∅)\x_{0} & : i = 0 \\ σ(⟨x_{1}, ⋯, x_{2i}⟩)\x_{0} & : ∀0 < i ∈ ω \end{matrix}

Sei x eine Partie, in der Spieler II mit dieser Strategie spielt. Dann gilt ∀i ∈ ω (x_{II}(i) ⊆ (x_{0} ∪ ⋃_{i∈ω} x_{2i+1})) Aber nach der Definition von τ_{σ} ist x_{0} ∪ ⋃_{i∈ω} x_{2i+1} die Obermenge einer Zugfolge von I in einer Partie in der I mit σ spielt, damit gilt x_{0} ∪ ⋃_{i∈ω} x_{2i+1} ∈ U. Weil U ein freier Ultrafilter ist gilt ∀n ∈ ω (ω\{n} ∈ U) und, da x_{0} endlich ist, damit auch ω\x_{0} = ⋂_{n∈x_{0}}(ω\{n}) ∈ U. Also gilt ⋃_{i∈ω} x_{2i+1} = (ω\x_{0}) ∩ (x_{0} ∪ ⋃_{i∈ω} x_{2i+1}) ∈ U. Entweder hat I in der Partie x die Regel verletzt und verloren, oder es gilt (⋃_{i∈ω} x_{2i}) ∩ (⋃_{i∈ω} x_{2i+1}) =

⋃_{i∈ω} (x_{2i} ∩ ⋃_{j<i} x_{2i+1}) = ∅. Dann aber haben wir ⋃_{i∈ω} x_{2i} ⊆ ω\ ⋃_{i∈ω} x_{2i+1} ∉ U, d.h. ⋃_{i∈ω} x_{2i} ∉ U, I hat also verloren. Damit ist τ_{σ} eine Gewinnstrategie für II, Widerspruch zur Annahme. Fall 2: Angenommen, τ sei eine Gewinnstrategie für II. Sei x_{I} ∈ (P_{<n}(ω))^{ω} beliebig. Setze x̄_{1} := τ(x_{0}), x̄_{2i+1} := τ(⟨x_{0}, x̄_{1}, x_{2}, ⋯, x̄_{2i−1}, x_{2i}⟩)

τ̄(⟨x_{0}, ⋯, x_{2i}⟩) := \{ \begin{matrix}(x̄_{2i+1}\\{0, ⋯, i − 1\}) ∪ \{i\} & falls i ∉ ⋃_{0≤j≤i} (x_{2i} ∪ x̄_{2i+1}) \\ (x̄_{2i+1}\\{0, ⋯, i − 1\}) & sonst \end{matrix}

Dann ist τ̄ eine Gewinnstrategie für II, falls τ eine ist, und es gilt ⋃_{i∈ω}(x_{I} ∗ τ̄)_{i} = ω. Sei also o.B.d.A τ eine Gewinnstrategie für II mit ∀y ∈ (P_{<n}(ω))^{ω} (⋃_{i∈ω}(y∗τ)_{i} = ω). Wenn in x = x_{I} ∗ τ die Regel von I eingehalten wird gilt ⋃_{i∈ω} x_{2i} ∉ U, da U ein Ultrafilter ist folgt ⋃_{i∈ω} x_{2i+1} = ω\ ⋃_{i∈ω} x_{2i} ∈ U. Sei σ_{τ} folgende Strategie für I:

\begin{aligned}σ_{τ} (∅) & = & τ(⟨∅⟩) \\ ∀0 < i ∈ ω σ_{τ} (⟨x_{0}, ⋯, x_{2i−1}⟩) & = & τ(⟨∅, x_{0}, ⋯, x_{2i−1}⟩) \end{aligned}

Sei also x = σ_{τ} ∗ y, y beliebig. Dann ist x́ := ⟨0, ∅⟩ ∪ ⋃_{i∈ω}{⟨i + 1, x_{i}⟩} eine Partie, in der II nach τ spielt. Entweder hat I die Regel verletzt, oder es gilt ⋃_{i∈ω} x_{2i} = ⋃_{i∈ω} x́_{2i+1} ∈ U. Damit ist σ_{τ} eine Gewinnstrategie für I, Widerspruch zur Annahme.

2) Angenommen es gäbe einen Ultrafilter U auf S, der nicht ℵ_{1}-vollständig ist. Dann gibt es (Y_{i})_{i∈ω} ⊆ U mit ⋂_{i∈ω} Y_{i} ∉ U. Sei f : S → ω folgende Funktion :

f(s) := \{ \begin{matrix}0 falls s ∉ (⋃_{i∈ω}(S\Y_{i})) \\ min\{n + 1 | s ∈ (S\Y_{n})\ (⋃_{i<n}(S\Y_{i}))\} sonst \end{matrix}

Sei f_{∗}(U) = {X ⊆ ω | f^{−1}[X] ∈ U}. Nach 2.9 ist f_{∗}(U) ein Ultrafilter auf ω, also nach 1) fixiert. Sei also {n} ∈ U. Aber f^{−1}({0}) = S\ (⋃_{i∈ω}(S\Y_{i})) = ⋂_{i∈ω} Y_{i} ∉ U, und f^{−1}({n}) ⊆ S\Y_{n−1} ∉ U für n > 0, also ist f_{∗}(U) nicht fixiert, Widerspruch.

Also läßt sich z.B. der Fréchet-Filter F := \{X ⊆ ω | \overline{\overline{ω\X}} < ℵ_{0}\} nicht zu einem Ultrafilter erweitern. Denn für alle x ∈ ω gilt ω\{x} ∈ F, also ist der Ultrafilter, der F erweitert frei. Er ist auch nicht ℵ_{1}-vollständig, den auf einer abzählbaren Menge existiert kein ℵ_{1}-vollständiger freier Ultrafilter. Es gibt unter (AD) also keinen Ultrafilter, der den Fréchet-Filter erweitert

4 Kodierungen

Wir werden später Spiele mit abzählbaren Ordinalzahlen spielen wollen. Um jedoch (AD) verwenden zu können, müßen wir diese Zahlen durch Folgen natürlichen Zahlen kodieren.

(4.1) Definition: Sei π : ω × ω → ω die Diagonal-Abzählung von ω × ω , d.h.

π(n, m) := n + ∑_{i=0}^{n+m} i = n + \frac{(n + m)(n + m + 1)}{2} = \frac{n^{2} + m^{2} + 2nm + 3n + m}{2}

Für i, n ∈ ω, x ∈ ω^{ω} setze (x)_{i}(n) := x(π(i, n)). Dann wird {(x)_{i} | i ∈ ω} ∈ (ω^{ω})^{ω} durch x ∈ ω^{ω} kodiert. Diese Kodierung f_{1} : ω^{ω} → (ω^{ω})^{ω} ist bijektiv. Durch E_{x} := {(n, m) | x(π(n, m)) = 0} kodiert x ∈ ω^{ω} die Relation E_{x}.

(4.2) Definition: Sei die Relation E_{x} fundiert. Definiere rekursiv auf ω eine Rangfunktion p_{x}(n) := sup{p_{x}(m) + 1 | E_{x}(m, n)}. Mit ||x|| := sup{p_{x}(n) + 1 | n ∈ ω} wird die Länge von E_{x} bezeichnet. Ist E_{x} eine Wohlordnung, so gilt ||x|| = otp(E_{x}).

(4.3) Satz: [ZF] Die Abbildung f_{2} : ω^{ω} → ℵ_{1}, f_{2}(x) := \{ \begin{matrix}||x|| & falls E_{x} fundiert \\ 0 & sonst \end{matrix}

ist surjektiv.

Beweis: Sei α ∈ ℵ_{1}. Wir definieren ein x ∈ ω^{ω}, das eine Wohlordnung mit Ordnungstyp α kodiert. Sei dazu die Relation <^{∗}⊆ ω × ω wie folgt definiert:

(1) Falls α ≤ ω, so setze <^{∗}:= ∈ ∩ (α × α)

(2) Falls α > ω, so gibt es eine Bijektion φ : ω → α.

Für n, m ∈ ω setze n <^{∗} m :⇔ φ(n) ∈ φ(m). <^{∗} ist damit eine Wohlordnung mit Ordnungstyp α. Definiere nun x ∈ ω^{ω}:

x(l) := \{ \begin{matrix}0 & falls l = π(n, m) ∧ n <^{∗} m \\ 1 & sonst \end{matrix}

damit gilt E_{x} =<^{∗}.

5 Die Mengen WO und WF

Abzählbare Ordinalzahlen laßen sich also durch x ∈ ω^{ω} kodieren, und zwar durch den Ordnungstyp der durch x ∈ ω^{ω} kodierten Wohlordnung. Für die folgenden Beweise benötigen wir einige Eigenschaften der Menge dieser speziellen x ∈ ω^{ω}.

(5.1) Definition:

WF := {x ∈ ω^{ω} | E_{x} ist fundiert}
LO := {x ∈ ω^{ω} | E_{x} ist linear}
WO := WF ∩ LO
WF_{α} := {x ∈ WF | ||x|| ≤ α}
WO_{α} := {x ∈ WO | ||x|| ≤ α}

(5.2) Lemma: [ZF] Sei α ∈ ℵ_{1}. Dann gilt WO_{α} ∈ Σ_{1}^{1}(z) für alle z ∈ WO mit ||z|| = α.

Beweis: Sei z ∈ WO mit ||z|| = α. Dann gilt

x ∈ WO_{α} ⇔ E_{x} ist Wohlordnung mit Ordnungstyp ≤ α
⇔ Es gibt eine ordnungserhaltende Injektion h : (ω, E_{x}) → (ω, E_{z})
⇔ ∃^{1}h∀^{0}m∀^{0}n (m E_{x} n ⇔ h(m) E_{z} h(n))
⇔ ∃^{1}h∀^{0}m∀^{0}n (x(π(m, n)) = 0 ⇔ z(π(h(m), h(n)))) = 0

Der letzte Ausdruck ist Σ_{1}^{1}(z), also gilt WO_{α} ∈ Σ_{1}^{1}(z).

(5.3) Lemma: [ZF] WO und WF sind Π_{1}^{1}-Mengen.

Beweis:

x ∈ WF ⇔ ¬∃^{1}z∀^{0}k (z(k + 1) E_{x} z(k))
⇔ ∀^{1}z∃^{0}k (¬z(k + 1) E_{x} z(k))
⇔ ∀^{1}z∃^{0}k (x(π(z(k + 1), z(k))) ≠ 0)

Also ist WF ∈ Π_{1}^{1}. (Die erste Äquivalenz gilt, da ω wohlgeordnet ist.)

\begin{aligned}x ∈ LO & ⇔ & ∀^{0}m∀^{0}n∀^{0}o (¬(m E_{x} m) ∧ ((m E_{x} n ∧ n E_{x} o) ⇒ m E_{x} o)∧ \\ & & ∧(m E_{x} n ∨ n E_{x} m ∨ m = n)) \end{aligned}

Der rechte Ausdruck ist Δ_{1}^{1} = Σ_{1}^{1} ∩ Π_{1}^{1}. Also gilt WO = WF ∩ LO ∈ Π_{1}^{1}.

(5.4) Lemma: [ZF] WF und WO sind Π_{1}^{1}-vollständig, dh für jede Π_{1}^{1}-Menge A gibt es stetige Funktionen f, g : ω^{ω} → ω^{ω} mit A = f^{−1}(WF) = g^{−1}(WO).

Beweis: Aus A ∈ Π_{1}^{1} folgt, daß es einen Baum B ⊆ ω × ω gibt, so daß gilt :

∀x ∈ ω^{ω} (x ∈ A ⇔ ⊇ ist fundiert auf B_{x} := {u ∈ ω^{<ω} | ∃m ∈ ω ((x↾m, u) ∈ B)})

Sei (s_{i})_{i∈ω} eine Abzählung von ω^{<ω} mit ∀i ∈ ω (|s_{i}| ≤ i). Definiere f : ω^{ω} → ω^{ω} :

f(x)(k) := \{ \begin{matrix}0 & falls k = π(m, n) ∧ s_{m}, s_{n} ∈ B_{x} ∧ s_{m} ⊇ s_{n} \\ 1 & sonst \end{matrix}

Damit gilt m E_{f(x)} n ⇔ (s_{m}, s_{n} ∈ B_{x} ∧ s_{m} ⊇ s_{n}), also gilt für alle x ∈ ω^{ω}:

x ∈ A ⇔ ⊇ ist fundiert auf B_{x} ⇔ E_{f(x)}ist fundiert auf ω ⇔ f(x) ∈ WF

also f^{−1}(WF) = A. Zu zeigen ist noch die Stetigkeit von f. Seien x, y ∈ ω^{ω} mit x↾m = y ↾m. Nach Definition sind B_{x} und B_{y} bis zur Höhe m identisch. Also gilt ∀i, j ≤ m (f(x)(π(i, j)) = f(y)(π(i, j))). Nach der Definition von π gilt dann

f(x)↾ℓ = f(y)↾ℓ mit ℓ = ∑_{i=1}^{m+1} i. Hieraus folgt die Stetigkeit von f.

Um g zu gewinnen muß man statt ⊇ die Kleene-Brouwer-Ordnung <_{KB} auf B_{x} benutzen. g wird dann analog zu f definiert und dann gilt für alle x ∈ ω^{ω}:

x ∈ A ⇔ B_{x} ist wohlgeordnet bzgl. <_{KB} ⇔ g(x) ∈ WO

also g^{−1}(WO) = A. Die Stetigkeit von g folgt analog der von f.

(5.5) Korollar: [ZF+AC_{ω}(ω^{ω})] Es gilt WF ∉ Σ_{1}^{1} und WO ∉ Σ_{1}^{1}.

Beweis: Angenommen WF wäre eine Σ_{1}^{1}-Menge. Dann wäre nach Lemma 5.4 jede Π_{1}^{1}-Menge das Urbild einer Σ_{1}^{1}-Menge unter einer stetigen Funktion, also selbst eine Σ_{1}^{1}-Menge. Widerspruch, da unter (ZF+AC_{ω}(ω^{ω})) Π_{1}^{1} ⊈ Σ_{1}^{1} gilt. Für WO läuft der Beweis analog.

(5.6) Satz: [ZF+AC_{ω}(ω^{ω})](Beschränkungs-Lemma) Sei A ⊆ WO mit A ∈ Σ_{1}^{1}. Dann gibt es ein α ∈ ω_{1}, so daß A ⊆ WO_{α}.

Beweis: Angenommen obige Aussage sei falsch. Dann existiert für jedes x ∈ WO ein y ∈ A mit ||x|| ≤ ||y||, also gilt

x ∈ WO ⇔ ∃z ∈ A (E_{x} ist Wohlordnung mit Ordnungstyp ≤ ||z||
⇔ ∃^{1}z∃^{1}h∀^{0}m∀^{0}n (z ∈ A ∧ (m E_{x} n ⇔ h(m) E_{z} h(n)))

und damit folgt aus A ∈ Σ_{1}^{1}, daß WO ∈ Σ_{1}^{1} gilt, im Widerspruch zu Korollar 5.5.

6 club-Mengen und club-Filter

Da in 7.1 gezeigt wird , daß C_{ℵ_{1}} unter (AD) ein Ultrafilter ist, benötigen wir die folgenden Definitionen. Zudem wird gezeigt, daß C_{ℵ_{1}} unter (AC) kein Ultrafilter ist.

(6.1) Definition: Sei δ eine Limesordinalzahl, C ⊆ δ.

(1) C ist abgeschlossen in δ :⇔ ∀ Lim(α) < δ ((∀β < α ∃γ < α (γ > β ∧ γ ∈ C)) ⇒ α ∈ C) ( d.h. C enthält jede Limesordinalzahl α < δ, in der C ∩ α konfinal ist. )

(2) C ist abgeschlossen unbeschränkt in δ :⇔ C ist abgeschlossen in δ und unbeschränkt in δ.

(3) Statt abgeschlossen unbeschränkt wird auch der Begriff club benutzt .

(6.2) Satz: [ZF] Sei δ eine Limesordinalzahl, cf(δ) > ℵ_{0}, θ < cf(δ) eine Ordinalzahl.

∀α < θ (C_{α} ist club in δ) ⇒ ⋂_{α<θ} C_{α} ist club in δ

(6.3) Lemma: [ZF] Sei κ > ℵ_{0} eine Kardinalzahl.

(1) {C ∈ P(κ) | C ist club in κ} ist eine Filterbasis.

C_{κ} := {X ⊆ κ | ∃C ⊆ X (C ist club in κ)} heißt club-Filter auf κ.

(2) Der club-Filter C_{κ} auf κ ist frei.

(3) Der club-Filter C_{κ} auf κ ist cf(κ)-vollständig.

(6.4) Lemma: [ZF] Falls ℵ_{1} regulär ist, gilt für κ ≥ ℵ_{2} regulär : C_{κ} ist kein Ultrafilter.

Beweis: A := {α ∈ κ | cf(α) = ℵ_{0}} und B := {α ∈ κ | cf(α) = ℵ_{1}} sind stationär, d.h. für jedes C club in κ gilt C ∩ A ≠ ∅ ≠ C ∩ B. Denn C enthält echt aufsteigende

Folgen ⟨α_{i} | i ∈ ℵ_{0}⟩ und ⟨β_{ν} | ν ∈ ℵ_{1}⟩ und damit auch α = ⋃_{i∈ℵ_{0}} α_{i} und β = ⋃_{ν∈ℵ_{1}} β_{ν}.

Aber damit gilt cf(α) = ℵ_{0} und cf(β) = ℵ_{1}, also α ∈ C ∩ A und β ∈ C ∩ B. Wenn C_{κ} ein Ultrafilter ist, gilt A ∈ C_{κ} oder κ\A ∈ C_{κ}. Angenommen A ∈ C_{κ}, dann gibt es eine club-Menge D ⊆ A. Mit B ⊆ κ\A gilt dann B ∩ D = ∅, im Widerspruch zur Stationarität von B. Analog führt die Annahme κ\A ∈ C_{κ} zum Widerspruch.

Unter (AC) ist jedes reguläre κ > ℵ_{0} die Vereinigung von κ-vielen disjunkten stationären Mengen (siehe z.B. Jech S.59). Also ist C_{ℵ_{1}} unter (AC) kein Ultrafilter, der Beweis läuft analog zum eben geführten.

7 Unter (AD) ist ℵ_{1} meßbar

Kommen wir nun zum Beweis der Meßbarkeit von ℵ_{1}. Es mag verwundern, daß eine kleine Kardinalzahl wie ℵ_{1} meßbar ist. Aber unter (AD) folgt aus der Meßbarkeit einer Kardinalzahl κ nicht, daß diese auch unerreichbar ist, sondern nur, daß sie regulär ist und ∀λ < κ (κ ≰ 2^{λ}) gilt. Auch ℵ_{2} ist unter (AD) meßbar, da jedoch unter (AD) C_{ℵ_{2}} nach 6.4 kein Ultrafilter ist, läßt sich dies nicht analog zum folgenden Beweis zeigen. Es gibt jedoch einen Beweis von Martin zur Meßbarkeit von ℵ_{1} mit hilfe des Martin-Filters, den Solovay benutzt hat, um die Meßbarkeit von ℵ_{2} zu zeigen.

(7.1) Satz: [ZF+AD](Solovay,1967) ℵ_{1} ist eine meßbare Kardinalzahl.

Beweis: Unter (AD) ist ℵ_{1} regulär. Damit ist C_{ℵ_{1}} nach 3.1 ein ℵ_{1}-vollständiger, freier Filter auf ℵ_{1}. Es wird gezeigt, daß C_{ℵ_{1}} sogar ein normaler Ultrafilter ist. Sei Y ⊆ ℵ_{1}. B := {x ∈ ω^{ω} | min{i ∈ ω | (x_{I})_{i} ∉ WO} > min{i ∈ ω | (x_{II})_{i} ∉ WO}} C := {x ∈ ω^{ω} | sup ({||(x_{I})_{i}|| | i ∈ ω} ∪ {||(x_{II})_{i}|| | i ∈ ω}) ∈ Y } D := {x ∈ ω^{ω} | ∃i ∈ ω ((x_{I})_{i} ∉ WO ∨(x_{II})_{i} ∉ WO)} A := B ∪ (C\D) Unter (AD) ist das Spiel G(A) determiniert. Fall 1: Spieler I hat eine Gewinnstrategie σ. Sei η ∈ ℵ_{1}.

A_{η} := \{z ∈ ω^{ω} | ∃n ∈ ω, y ∈ ω^{ω}∀i < n ( \begin{matrix}z = ((σ ∗ y)_{I})_{n} \\ ∧ (((σ ∗ y)_{I})_{i}, (y)_{i} ∈ WO_{η}) \end{matrix} )\}

Dieses A_{η} ist eine Σ_{1}^{1}-Menge: Nach 5.2 gilt ∃a ∈ ω^{ω} (WO_{η} ∈ Σ_{1}^{1}(a)). Weiterhin gilt

z ∈ A_{η} ⇔ ∃^{1}y∃^{0}n∀i < n [(((σ ∗ y)_{I})_{i} ∈ WO_{η} ∧(y)_{i} ∈ WO_{η}) ∧ z = ((σ ∗ y)_{I})_{n}]

Der Ausdruck (z = ((σ ∗ y)_{I})_{n}) ist Δ_{1}^{1}(b) für ein b, daß σ kodiert. Also gibt es ein c ∈ ω^{ω}, so daß {y ∈ ω^{ω} | ((σ ∗ y)_{I})_{i} ∈ WO} eine Σ_{1}^{1}(c)-Menge ist. Damit ist dann auch A_{η} eine Σ_{1}^{1}(c)-Menge, also vor allem A_{η} ∈ Σ_{1}^{1}. Da σ als Gewinnstrategie angenommen war, und für alle i < n (y)_{i} ∈ WO gilt, muß auch z ∈ WO gelten. Also ist A_{η} ⊆ WO und A_{η} ∈ Σ_{1}^{1}, damit folgt mit 5.6, daß es ein γ ∈ ℵ_{1} gibt mit A_{η} ⊆ WO_{γ}. Definiere nun φ : ℵ_{1} → ℵ_{1} durch φ(η) := min{γ ∈ ℵ_{1} | A_{η} ⊆ WO_{γ}} + 1. Mit diesem φ wird nun eine Teilmenge von Y konstruiert, die club in ℵ_{1} ist. Damit wäre dann Y ∈ C_{ℵ_{1}} gezeigt. Sei D := {λ ∈ ℵ_{1} | ∀η < λ (φ(η) < λ}. D ist club in ℵ_{1}:

(1) D ist abgeschlossen in ℵ_{1}: Sei α ∈ ℵ_{1} mit Lim(α).

z.Z ist (∀β < α ∃γ < α (γ > β ∧ γ ∈ D)) ⇒ α ∈ D

∀β < α ∃γ < α (γ > β ∧ γ ∈ D)
⇔ ∀β < α ∃γ < α (β < γ ∧ ∀η < γ(φ(η) < γ))
⇒ ∀β < α ∃γ < α (β < γ ∧ φ(β) < γ)
⇒ ∀β < α (φ(β) < α) ⇒ α ∈ D

(2) D ist unbeschränkt in ℵ_{1}: Sei γ ∈ ℵ_{1}. Gesucht ist ein δ ∈ D mit γ < δ. Setze γ_{0} := γ, γ_{n+1} := ⋃_{α∈γ_{n}}(φ(α) + 1) für n ∈ ω. Setze δ := ⋃_{n∈ω} γ_{n}. Damit ist γ ≤ δ

und da ℵ_{1} regulär ist, gilt δ ∈ ℵ_{1}. δ ∈ D, denn für ein η < δ gibt es ein n ∈ ω mit η ∈ γ_{n}, und somit gilt φ(η) < φ(η) + 1 ≤ γ_{n+1} ≤ δ.

Sei C := D ∩ {λ ∈ ℵ_{1} | Lim(λ)}. Dann ist auch C eine club-Menge. Noch z.Z. ist

C ⊆ Y. Sei λ ∈ C. Da λ ∈ ℵ_{1} gibt es eine Folge η_{0} < η_{1} < ⋯ < λ mit λ = ⋃_{i∈ω} η_{i}.

Nach 4.3 gibt es y ∈ ω^{ω} mit ∀i ∈ ω (||(y)_{i}|| = η_{i}). Betracht nun die Partie x := (σ∗y).

Für alle i ∈ ω gilt ||(y)_{i}|| < λ und aus λ ∈ C folgt induktiv, daß auch ||(x_{I})_{i}|| < λ gilt. σ ist eine Gewinnstrategie für I, also sup{||(x_{I})_{i}||, ||(x_{II})_{i}|| | i ∈ ω} = λ ∈ Y. Fall 2: Spieler II hat eine Gewinnstrategie τ. Sei η ∈ ℵ_{1}.

A_{η} := \{z ∈ ω^{ω} | ∃n ∈ ω, y ∈ ω^{ω}∀i < n ( \begin{matrix}z = ((y ∗ τ)_{II})_{n} \\ ∧ (((y ∗ τ)_{II})_{i}, (y)_{i} ∈ WO_{η}) \end{matrix} )\}

Wie in Fall 1 gilt ∃γ ∈ ℵ_{1} (A_{η} ⊆ WO_{γ}). Sei ψ(η) := min{γ ∈ ℵ_{1} | A_{η} ⊆ WO_{γ}} + 1. Dann ist, analog zu Fall 1, C := {λ ∈ ℵ_{1} | ∀η < λ (ψ(η) < λ} ∩ {λ ∈ ℵ_{1} | Lim(λ)} club in ℵ_{1}. Sei λ ∈ C. Da λ ∈ ℵ_{1} gibt es eine Folge η_{0} < η_{1} < ⋯ < λ mit λ = ⋃_{i∈ω} η_{i}.

In der Partie ⟨η_{i}; i ∈ ω⟩ ∗ τ spielen I und II nur Wohlordnungen und das Supremum ihrer Züge ist λ. Da τ eine Gewinnstrategie für II ist, muß also λ ∈ ω\Y gelten. Damit haben wir gezeigt, daß C_{ℵ_{1}} ein ℵ_{1}-vollständiger, freier Ultrafilter auf ℵ_{1} ist, also ist ℵ_{1} eine meßbare Kardinalzahl.

8 Partitionseigenschaften

Unter (AD) gelten auch einige, (AC) widersprechende, Partitionseigenschaften. Wir führen die benutzte Notation ein und beweisen die in (AC) geltende Grenze.

(8.1) Definition: Sei n ∈ ℵ_{0} und X ∈ V. [X]^{n} := \{Y ⊆ X | \overline{\overline{Y}} = n\}. [X]^{n} ist also die Menge der n-elementigen Teilmengen von X. Für A ⊆ κ ∈ On, β ∈ On erweitern wir die Definition folgendermaßen : [A]^{β} := \{\{α_{i} | i ∈ \overline{\overline{β}}\} | ∀i, j ∈ \overline{\overline{β}} (α_{i} ∈ A ∧ (i < j ⇒ α_{i} < α_{j}) ∧ otp(\{α_{i} | i ∈ \overline{\overline{β}}\}) = β)\}. [A]^{β} ist damit die Menge der aufsteigenden Sequenzen in A mit Ordnungstyp β.

(8.2) Definition: Seien κ, λ, γ ∈ Card, α ∈ On. κ → (λ)_{γ}^{α} :⇔ ∀F : [κ]^{α} → γ ∃H ⊆ κ, δ ∈ γ (\overline{\overline{H}} = λ ∧ F [[H]^{α}] = \{δ\}) d.h. jede γ-Partition von [κ]^{α} hat eine homogene Menge der Größe λ. Statt κ → (λ)_{2}^{α} schreibt man auch κ → (λ)^{α}. Falls κ → (λ)_{γ}^{α} gilt, so gilt auch μ → (ν)_{δ}^{β} für alle μ ≥ κ, ν ≤ λ, β ≤ α, δ ≤ γ.

(8.3) Satz: [ZF](Satz von Ramsey) Es gilt ∀n ∈ ℵ_{0} (ℵ_{0} → (ℵ_{0})^{n}).

Es stellt sich die Frage, ob der Satz auch mit unendlichem Exponenten gilt. Unter (AC) ist dies mit nein zu beantworten.

(8.4) Satz: [ZF+AC](Erdös-Rado) Es gilt ∀κ ≥ ℵ_{0} (κ ↛ (ℵ_{0})^{ℵ_{0}}).

Beweis: Sei ≺ eine Wohlordnung auf [κ]^{ℵ_{0}}. Bilde eine Partition F : [κ]^{ℵ_{0}} → 2 wie folgt: F (s) = 0, falls ∀t ∈ [s]^{ℵ_{0}}\{s} (s ≺ t) gilt, F (s) = 1 sonst. Dann kann kein x ⊆ κ mit \overline{\overline{x}} = ℵ_{0} homogen für F sein : Sei y das ≺-kleinste Element von [x]^{ℵ_{0}}, damit gilt F (y) = 0. Wenn es also ein homogenes x gibt, wird es auf 0 abgebildet. Sei nun ⟨x_{i} | i ∈ ℵ_{0}⟩ mit ∀i, j (x_{i} ⊂ x ∧ \overline{\overline{x_{i}}} = ℵ_{0} ∧ (i < j ⇒ x_{i} ⊊ x_{j})). F [[x]^{ℵ_{0}}] = 0 hieße dann ⋯ x_{2} ≺ x_{1} ≺ x_{0}, dies aber widerspricht der Wohlordnung ≺.

Die Frage, ob der Satz von Ramsey auch für Kardinalzahlen größer als ℵ_{0} gilt, führt zu einem weiterem Typ großer Kardinalzahlen.

(8.5) Definition: Sei κ ∈ Card. κ ist schwach kompakt :⇔ κ > ℵ_{0} ∧ κ → (κ)^{2}.

Unter (AC) ist eine schwach kompakte Kardinalzahl unerreichbar, also regulär und ein starker Limes. Ohne (AC) und unter (AD) gilt nur, daß eine schwach kompakte Kardinalzahl regulär ist.

(8.6) Lemma: [ZF](Erdös) Falls κ ∈ Card schwach kompakt ist, so ist κ regulär.

Beweis: Angenommen, κ sei nicht regulär, γ := cf(κ) < κ. Dann gibt es disjunkte Mengen (X_{i})_{i<γ} mit ∀i < γ (\overline{\overline{X_{i}}} < κ), so daß κ = ⋃_{i<γ} X_{i} ist. Sei f : [κ]^{2} → 2 wie folgt definiert: f(⟨α, β⟩) = 0, falls es ein i < γ gibt mit α, β ∈ X_{i}, f(⟨α, β⟩) = 1 sonst. Da κ schwach kompakt ist, gibt es eine homogenes H ∈ [κ]^{κ} für f. Fall 1: ∀⟨α, β⟩ ∈ [H]^{2} (f(⟨α, β⟩) = 0). Da die X_{i} disjunkt sind, gibt es dann eine i_{0} < γ mit H ⊆ X_{i_{0}}. Also gilt κ = \overline{\overline{H}} ≤ \overline{\overline{X_{i_{0}}}} < κ, Widerspruch zur Annahme. Fall 2: ∀⟨α, β⟩ ∈ [H]^{2} (f(⟨α, β⟩) = 1). Dann liegt in jedem X_{i} höchstens ein α ∈ H, also gilt κ = \overline{\overline{H}} ≤ \overline{\overline{γ}} = γ, Widerspruch zur Annahme.

9 Unter (AD) gilt ∀α < ℵ_{1} (ℵ_{1} → (ℵ_{1})^{α}).

Mit (AD) läßt sich auch zeigen, daß ℵ_{1} → (ℵ_{1})^{ℵ_{1}} gilt (Martin,1973). Nimmt man (AD+DC) an, so gilt sogar ∀α < ℵ_{2} (ℵ_{2} → (ℵ_{2})^{α}) (Martin,Paris). Kunen zeigte allerdings, daß unter (AD) ℵ_{2} ↛ (ℵ_{2})^{ℵ_{2}} gilt. Wir beweisen hier jedoch nur folgendes:

(9.1) Satz: [ZF+AD](Martin,Kunen) Sei α eine abzählbare Ordinalzahl. Dann gilt ℵ_{1} → (ℵ_{1})^{α}.

Beweis: Dieser Beweis verläuft ähnlich wie der von 7.1, nur daß die beiden Spieler nicht eine Folge von abzählbaren Ordinalzahlen spielen, sondern eine α-lange Folge solcher Folgen. Sei also x ∈ ω^{ω}, b : α → ω eine Bijektion. Dann kodieren x_{I} und x_{II} jeweils α viele Ordinalzahl-Folgen: Für i ∈ ω, β < α sei x̂_{I}(i, β) := ||((x_{I})_{i})_{b(β)}|| ∈ ℵ_{1}, x̂_{II}(i, β) := ||((x_{II})_{i})_{b(β)}|| ∈ ℵ_{1}. Damit bilde x̂_{β} := ⟨x̂_{I}(0, β), x̂_{II}(0, β), x̂_{I}(1, β), ⋯⟩ und α_{β} := sup x̂_{β}. Sei F : [ℵ_{1}]^{α} → 2 eine beliebig 2er Partition von [ℵ_{1}]^{α}. Mit obigen Definitionen sei G^{∗}(F) das Spiel in dem I gewinnt, falls F [⟨α_{β} | β < α⟩] = 0 gilt, und die Regel ∀i, j ∈ α ((i < j ⇒ α_{i} < α_{j}) ∧ otp({α_{l} | l ∈ α}) = α) eingehalten werden muß. Wegen (AD) ist dieses Spiel determiniert. Angenommen, Spieler I habe eine Gewinnstrategie σ. Wie in 7.1 bilden wir ein A_{η} für jedes η ∈ ℵ_{1} und ein φ : ℵ_{1} → ℵ_{1} um eine club-Menge C zu gewinnen. A_{η} := {γ ∈ ℵ_{1} | Es gibt ein Spiel (σ ∗ y) mit ∃β < α (γ = α_{β} ∧ ∀i < β (α_{i} < η))} φ(η) := lub A_{η}, C := {λ ∈ ℵ_{1} | ∀η < λ (φ(η) < λ)} ∩ {λ ∈ ℵ_{1} | Lim(λ)} Dieses C ist unbeschränkt in ℵ_{1}, da ℵ_{1} regulär ist hat C also Kardinalität ℵ_{1}. C ist die gesuchte homogene Teilmenge von ℵ_{1}: Sei ⟨δ_{β} | β < α⟩ ∈ [C]^{α}. Dann gibt es ein x_{II} ∈ ω^{ω} mit ∀i, β (x̂_{II}(i, β) < δ_{β} ∧ sup{x̂_{II}(i, β) | i ∈ ℵ_{0}} = δ_{β}). Sei x := σ ∗ x_{II}. Aus δ_{β} ∈ C folgt dann sup{x̂_{I}(i, β) | i ∈ ℵ_{0}} = δ_{β}, also α_{β} = sup x̂_{β} = δ_{β}. Da σ eine Gewinnstrategie für I war, gilt damit F [⟨δ_{β} | β < α⟩] = 0. Für den Fall, daß Spieler II eine Gewinnstrategie besitzt, läuft der Beweis analog.

Unter (AD) ist ℵ_{1} also unter anderem schwach kompakt. Aus obiger Partitionseigenschaft läßt sich jedoch auch noch einmal die Meßbarkeit von ℵ_{1} gewinnen, und zwar in sehr starker Weise.

(9.2) Definition: Seien λ < κ beide reguläre Kardinalzahlen.

C_{κ}^{λ} := {X ⊆ κ | ∃C ∈ C_{κ} (C ∩ {ξ < κ | cf(ξ) = λ} ⊆ X)}

ist der Filter der λ-abgeschlossenen, unbeschränkten Mengen in κ. Er ist frei.

Es wurde schon bewiesen, daß unter (AD) C_{ℵ_{1}} ein ℵ_{1}-vollständiger freier Ultrafilter ist. Nun werden wir beweisen, daß auch C_{ℵ_{1}}^{ℵ_{0}} eine ℵ_{1}-vollständiger freier Ultrafilter ist. Zuerst jedoch ein Lemma, das einen allgemeinen Zusammenhang zwischen Partitionseigenschaften mit Index 2 und solchen mit beliebigen Index γ < κ herstellt und das wir gleich benötigen werden.

(9.3) Lemma: [ZF] Sei λ < κ, λ regulär. Dann folgt aus κ → (κ)^{λ+λ}, daß κ regulär ist und für alle γ < κ κ → (κ)_{γ}^{λ} gilt.

Beweis: Wenn κ → (κ)^{λ+λ} gilt, so gilt auch κ → (κ)^{2}, also ist κ nach 8.6 regulär. Sei γ < κ, f : [κ]^{λ} → γ beliebig. Definiere eine Funktion g : [κ]^{λ+λ} → 2 wie folgt: g(s) := 0, falls es s_{0}, s_{1} ∈ [κ]^{λ} mit s_{0} ∪ s_{1} = s, ⋃ s_{0} ≤ ⋂ s_{1} und f(s_{0}) = f(s_{1}) gibt, g(s) := 1 sonst. Dann gibt es nach Voraussetzung ein für g homogenes H ∈ [κ]^{κ}. Da κ regulär ist, gibt es t_{0}, t_{1} ∈ [H]^{λ} mit ⋃ t_{0} ≤ ⋂ t_{1} und f(t_{0}) = f(t_{1}). Also ist g(t_{0} ∪ t_{1}) = 0, damit muß g′′[H]^{λ+λ} = {0} gelten. Seien nun u, v ∈ [H]^{λ} beliebig. Da H Kardinalität κ > λ hat, gibt es ein w ∈ [H]^{λ} mit ⋃ u, ⋃ u ≤ ⋂ w, aus u ∪ w, v ∪ w ∈ [H]^{λ+λ} folgt dann f(u) = f(w) = f(v), H ist also auch für f homogen. Damit ist κ → (κ)_{γ}^{λ} bewiesen.

Das nächste Lemma liefert uns ein alternatives Kriterium um für einen gegebenen Filter zu beweisen, das er ein κ-vollständiger Ultrafilter ist.

(9.4) Lemma: [ZF] Sei κ ∈ Card regulär, C ⊆ P_{κ}(κ) ein Filter. ∀γ < κ, F ∈ γ^{κ}∃β < γ (F^{−1}[{β}] ∈ C) ⇒ C ist ein κ-vollständiger Ultrafilter

Beweis: 1) Sei Y ⊆ κ beliebig. Sei F ∈ 2^{κ} durch F′′(Y) = {0}, F′′(κ\Y) = {1} definiert. Nach Voraussetzung gilt dann F^{−1}[{0}] ∈ C ∨ F^{−1}[{1}] ∈ C, also gilt Y ∈ C ∨ κ\Y ∈ C. Da C fixiert ist, ist C damit ein Ultrafilter.

2) Sei Y ⊆ κ beliebig. Sei (Y_{i})_{i<γ} ∈ P(κ)^{γ} mit Y_{i} ∩ Y_{j} = ∅ für i ≠ j, so daß ⋃_{i<γ} Y_{i} ∈ C. Dann gibt es eine Bijektion π : κ ↔ ⋃_{i<γ} Y_{i}, definiere F : κ → γ durch F (α) := i falls π(α) ∈ Y_{i}. Nach Voraussetzung gibt es dann ein i < γ mit F^{−1}(i) = Y_{i} ∈ C, nach 2.6 ist C also κ-vollständig.

Kommen wir nun zum Satz, aus dem wir die Meßbarkeit von ℵ_{1} gewinnen werden.

(9.5) Satz: [ZF](Kleinberg,1970) Sei λ < κ, λ regulär und es gelte κ → (κ)^{λ+λ}. Dann ist κ meßbar und C_{λ}^{κ} ist ein κ-vollständiger freier Ultrafilter auf κ

Beweis: Nach 9.3 ist κ regular und es gilt ∀γ < κ (κ → (κ)_{γ}^{λ}). Sei γ < κ beliebig, F : κ → γ. Definiere G : [κ]^{λ} → γ durch G(s) := F (⋃ s). Dann gibt es ein für G homogenes H ∈ [κ]^{κ}, {β} := G′′[H]^{λ}. Sei C := {ξ < κ | ⋃(H ∩ ξ) = ξ ∧ cf(ξ) = λ}. Dann ist C ∈ C_{κ}^{λ}. Damit folgt F^{−1}({β}) ∈ C_{κ}^{λ} aus C ⊆ F^{−1}({β}), nach 9.4 ist C_{κ}^{λ} also ein κ-vollständiger freier Ultrafilter.

Nach 9.1 gilt unter (AD) ℵ_{1} → (ℵ_{1})^{ℵ_{0}+ℵ_{0}}, also ist C_{ℵ_{1}}^{ℵ_{0}} ein Ultrafilter und ℵ_{1} meßbar. Aus den Bemerkungen zu Anfang des Abschnitts folgt, daß unter (AD+DC) C_{ℵ_{2}}^{ℵ_{0}} und C_{ℵ_{2}}^{ℵ_{1}} die Meßbarkeit von ℵ_{2} bezeugen. Nach einem Resultat von Kleinberg sind dies dann auch die einzigen normalen Ultrafilter auf ℵ_{2}. Allerdigs ist (DC) nicht nötig um die Meßbarkeit von ℵ_{2} zu beweisen, wie zu Anfang des 7ten Abschnitts bemerkt wurde.