Regularitätseigenschaften von

Mengen reeller Zahlen im Solovay-Modell

Diplomarbeit

von Jens-Peter Hack

vorgelegt der

Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn

August 2000

Für meinen Vater Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Grundlagen 5 2.1 Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Lebesgue-Meßbarkeit, Baire-Eigenschaft und perfekte Mengen

im Baireschen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Konstruktibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 ^{ω}On-Definierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Forcing 12 3.1 Forcing-Halbordnungen und Boolesche Algebren . . . . . . . . . . . 12 3.2 Das Forcing-Theorem und die generische Erweiterung . . . . . . . . 15 3.3 Bewahrung von Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.4 Forcing und dichte Einbettungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.5 Produkt-Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Ein Zwischenmodell-Satz 26

5 Der Levy-Kollaps 32

6 Random Reals und Generic Reals 39 6.1 Die Forcing-Halbordnung B^{∗} der Borel-Nullmengen . . . . . . . . . . 39 6.2 Kodierung von Borelmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.3 Forcing mit B^{∗} und Random Reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.4 Generic Reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Der Beweis von Solovay’s Theorem 47

8 Nicht-Determiniertheit im Solovay-Modell 54 8.1 Das Axiom der Determiniertheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.2 Einiges aus der Deskriptiven Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.3 Das Beschränktheitslemma für WF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 8.4 Der Satz von Boolos und Putnam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 8.5 Eine in L nicht-determinierte Π_{1}^{1}-Menge . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.6 Eine in M[G] nicht-determinierte Δ_{2}^{1}-Menge . . . . . . . . . . . . . . 64

1 Einleitung

Im Jahr 1964, ein Jahr nachdem Paul Cohen die Technik des Forcing entwickelt und damit die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese von den ZFC-Axiomen gezeigt hatte, bewies Solovay das folgende Theorem.

1.1 Theorem (Solovay[20]) Angenommen, es existiert eine unerreichbare Kardinalzahl κ, d.h. κ ist regulär und es gilt: ∀ λ ((λ Kardinalzahl ∧ λ < κ) → 2^{λ} < κ). Dann gibt es ein transitives Modell von ZF mit den folgenden Eigenschaften:

(a) Jede Menge reeller Zahlen ist Lebesgue-meßbar (LM).

(b) Jede Menge reeller Zahlen hat die Baire-Eigenschaft (BE).

(c) Jede Menge reeller Zahlen hat die Perfekte-Mengen-Eigenschaft (PM).

(d) Das Prinzip der abhängigen Auswahl (DC).

Mit anderen Worten:

Con(ZFC + ∃κ (κ ist unerreichbar)) → Con(ZF + DC + LM + BE + PM).

Solovay’s Beweisstrategie war dabei die folgende: Ausgehend von einem abzählbaren und transitiven ZFC-Modell mit einer unerreichbaren Kardinalzahl κ, konstruierte er durch Forcing mit dem Levy-Kollaps Col(ω, κ) ein weiteres Modell von ZFC und ging darin zu dem inneren Modell HOD(^{ω}On) über.

Solovay’s Theorem ist insofern bemerkenswert, da es wiederum mit Hilfe der Forcing-Methode gelang, ein weiteres klassisches Problem, das Lebesguesche Maß-Problem, zu lösen. Dieses Resultat machte zu einem frühen Zeitpunkt deutlich, daß durch die Forcing-Technik völlig neue Möglichkeiten zur Konstruktion von ZFC-Modellen geschaffen wurden.

Die ausführliche Darstellung des Beweises von Theorem 1.1 ist Hauptbestandteil meiner Diplomarbeit. In Kapitel 2 werden dazu die für den Beweis grundlegenden Begriffe bereitgestellt, während sich in Kaptitel 3 eine Einführung in die Technik des Forcing anschließt. Diese Einführung ist vergleichsweise umfangreich, da die Forcing-Methode von zentraler Bedeutung für den Beweis ist.

Einen zentralen Abschnitt dieser Arbeit bildet das Kapitel 4. Es beschäftigt sich ausschließlich mit dem Beweis des Satzes, daß jedes ZFC-Modell N, welches zwischen einem Grundmodell M und einer über M konstruierten generischen Erweiterung M[G] liegt, eine generische Erweiterung über M ist und daß M[G] seinerseits eine generische Erweiterung über N ist. Dieses Resultat wird, im Gegensatz zu Solovay’s Beweis, beim Beweis von Theorem 1.1 zur Anwendung kommen.

Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß sich der hier vorgestellte Beweis von Solovay’s Theorem an der Vorgehensweise von A. Kanamori in [11](§11) orientiert. Insbesondere gilt dies für die Kapitel 5,6 und 7.

In Kapitel 5 werden die grundlegenden Eigenschaften des Levy-Kollaps und das wichtige Faktorisierungslemma bewiesen. Kapitel 6 beschäftigt sich daraufhin mit der Definition und Charakterisierung der Random Reals und Generic Reals. Die Kapitel 5 und 6 bilden die Basis für den eigentlichen Beweis von Theorem 1.1, welcher schließlich in Kapitel 7 geführt wird, wobei hier statt des Modells HOD(^{ω}On) das Modell L(ℝ) verwendet wird, welches im allgemeinen kleiner als HOD(^{ω}On) ist und im Bereich der Deskriptiven Mengenlehre eine wichtige Rolle spielt.

Den zentralen Punkt im Beweis von Solovay’s Theorem stellt der Satz dar, daß durch Forcing mit dem Levy-Kollaps Col(ω, κ) eine generische Erweiterung M[G] entsteht, in der jede^{ω}On-definierbare Menge reeller Zahlen Lebesgue-meßbar ist und die Baire-Eigenschaft sowie die Perfekte-Mengen-Eigenschaft besitzt. Hieraus folgt, daß insbesondere alle projektiven Mengen diese Regularitätseigenschaften besitzen. Dies ist folgt aber ebenfalls aus dem Axiom der Projektiven Determiniertheit (PD). Es stellt sich daher die Frage, ob in M[G] alle projektiven Mengen auch determiniert sind. Mit Hilfe von Harrington’s Ergebnis in [8], welches besagt, daß in jedem Modell ohne 0^{#} eine nicht-determinierte Π_{1}^{1}-Menge existiert, kann man zeigen, daß dies in der speziellen Situation M = L nicht der Fall ist. Da jedoch der Beweis von Harrington’s Theorem recht komplex ist, stellt sich weiterhin die Frage, ob in der speziellen Situation M = L ein ähnlich gutes Resultat mit etwas weniger Aufwand erzielt werden kann. Das letzte Kapitel dieser Arbeit gibt eine Antwort auf diese Frage, indem mit vergleichsweise einfachen Mitteln in einer Col(ω, κ)-generischen Erweiterung über L eine Δ_{2}^{1}-Menge konstruiert wird, die nicht determiniert ist.

Im Verlauf dieser Arbeit wird immer wieder der Satz “Sei M ein abzählbares und transitives Modell von ZFC.“ auftauchen. Dies liegt daran, daß Forcing ein Beispiel für das Führen von relativen Konsistenzbeweisen mittels der Methode der abzählbaren transitiven Modelle ist: Sei ϕ ein ∈-Satz (z.B. ¬ CH), dessen relative Konsistenz zu ZFC gezeigt werden soll. Ausgehend von der Konsistenz von ZFC kann zunächst die Konsistenz der Theorie

ZFC + (∃ M (M abzählbar ∧ M transitiv ∧ (ZFC)^{M}) bewiesen werden. (Dieser Beweis ist natürlich nicht in ZFC formalisierbar. Er basiert auf der Tatsache, daß für jede Theorie T, die ZFC umfaßt und jedes endliche Teilsystem T_{0} von T gilt: T ⊢ ∃ M (M abzählbar ∧ transitiv ∧ (T_{0})^{M}.) Man kann daher annehmen, daß ein abzählbares und transitives ZFC-Modell existiert. Mit Hilfe dieses Modells M kann dann (für geeignetes ϕ) durch Forcing ein neues ZFC-Modell M′ konstruiert werden, in dem ϕ gilt. Folglich ist ZFC + ϕ konsistent.

Es sei schließlich noch darauf hingewiesen, daß es sich im Bereich der Deskriptiven Mengenlehre von Vorteil erwiesen hat, statt Teilmengen der reellen Zahlen, definiert als Dedekindsche Schnitte über ℚ, Teilmengen des Baire-Raums ^{ω}ω zu untersuchen. Dieser Ansatz soll auch hier verfolgt werden, so daß die Elemente von ^{ω}ω ebenfalls als reelle Zahlen bezeichnet werden. Die Rechtfertigung für diese Vorgehensweise ist in der Existenz eines Homöomorphismus zwischen den irrationalen Zahlen und ωω begründet, mit dessen Hilfe die meisten Eigenschaften zwischen diesen beiden Räumen übertragbar sind. Desweiteren werden reelle Zahlen gegebenenfalls auch als Teilmengen von ω oder als 0-1-Folgen aufgefaßt, da ein Homöomorphismus zwischen ωω und allen Elementen von ^{ω}2 bis auf die abzählbar vielen, die irgendwann konstant werden, existiert und zudem ein offensichtlicher Zusammenhang zwischen ^{ω}2 und P(ω) erkennbar ist. Eine ausführliche Diskussion der Räume ℝ,^{ω}ω,^{ω}2 und ihrer Beziehung zueinander findet man im Buch “Basic Set Theory“ von A. Levy[14].

Mein Dank gilt an dieser Stelle Herrn Prof. Peter Koepke für die Betreuung dieser Arbeit, Priv.-Doz. Dr. Heike Mildenberger und Benedikt Loewe für ihre Geduld bei der Beantwortung meiner Fragen, sowie Manfred Burghardt und Jochen Löffelman für zahlreiche mathematische und nicht-mathematische Diskussionen.

2 Grundlagen

2.1 Notationen

Sei x eine Menge. Dann bezeichne \overline{\overline{x}} die Kardinalität von x und P(x) ihre Potenzmenge. x ⊂ y bezeichne die gewöhnliche Mengeninklusion, wobei auch Gleichheit zugelassen ist. Für die echte Inklusion schreiben wir x ⊊ y. Mit x − y sei die Mengensubtraktion gemeint, x△y bezeichne die symmetrische Differenz (x − y) ∪ (y − x) und tc(x) den transitiven Abschluß von x, d.h. die kleinste transitive Obermenge von x. Falls x ⊂ On ist, sei otp(x) der Ordnungstyp von x; min(x) = ∩x, falls x ≠ ∅; sup(x) = ∪x. Für eine Funktion f bezeichne dom(f) ihren Definitionsbereich, ran(f) ihren Wertebereich, f′′x = {f(y) : y ∈ x} das Bild von x unter f und f ↾ x = f ∩ (x × V) die Einschränkung von f auf x. Schließlich sei rg : V → On die durch ∈-Rekursion definierte Rangfunktion.

2.2 Lebesgue-Meßbarkeit, Baire-Eigenschaft und perfekte Mengen im Baireschen Raum

Lebesgue-Meßbarkeit, Baire-Eigenschaft und Perfekte-Mengen-Eigenschaft sind drei Beispiele für Regularitätseigenschaften von Teilmengen des Kontinuums. Während Lebesgue-Meßbarkeit und Baire-Eigenschaft zumeist als Maß für kontrollierbares Verhalten von Mengen reeller Zahlen dienen, hat die Bedeutung der Perfekten-Mengen-Eigenschaft vor allem historische Gründe. Bei seinem Versuch die Kontinuumshypothese zu beweisen, zeigte Cantor, daß jede perfekte Menge Kardinalität 2^{ℵ_{0}} hat. Hieraus entwickelte sich der Begriff der Perfekten-Mengen-Eigenschaft: eine Menge reeller Zahlen hat die Perfekte-Mengen-Eigenschaft, falls sie eine perfekte Menge enthält oder abzählbar ist. Desweiteren bewiesen Cantor und Bendixson, daß jede abgeschlossene Menge die Perfekte-Mengen-Eigenschaft besitzt und daher Kardinalität ℵ_{0} oder 2^{ℵ_{0}} hat. Cantor versuchte nun, eine abgeschlossene Menge mit Kardinalität ℵ_{1} zu finden, um so die Kontinuumshypothese zu beweisen. Nach Cohen’s Resultat wissen wir aber inzwischen, daß dies unmöglich ist.

Wie in der Einleitung bereits erwähnt, studieren wir in dieser Arbeit nicht Teilmengen des Kontinuums, sondern Teilmengen des Baireschen Raums. Aus diesem Grund müssen wir zunächst Lebesgue-Meßbarkeit, Baire-Eigenschaft und Perfekte-Mengen-Eigenschaft für Teilmengen des Baireschen Raums definieren:

Für jedes s ∈ ^{<ω}ω definiere O(s) := {f ∈ ^{ω}ω : s ⊂ f}. Die Menge ^{ω}ω aller abzählbarer Folgen natürlicher Zahlen zusammen mit der Topologie, die die Menge der O(s)’s als Basis besitzt, heißt Bairescher Raum und die Mengen O(s) werden in diesem Zusammenhang Basismengen genannt.

2.1 Lemma Seien s, t ∈ ^{<ω}ω. Dann gilt

(a) O(t) ist offen und abgeschlossen.

(b) O(s) ∩ O(t) ist entweder ∅ oder O(s) oder O(t).

(c) O(s) − O(t) ist die disjunkte Vereinigung von Basismengen.

(d) Jede offene Menge ist disjunkte Vereinigung von Basismengen.

Es sei für den Rest dieser Arbeit {s_{i} : i < ω} eine festgelegte Aufzählung von ^{<ω}ω. Desweiteren bezeichne B die Borelsche σ-Algebra auf^{ω}ω. Die Elemente von B heißen Borelmengen. Eine Borelmenge ist eine G_{δ}-Menge, falls sie abzählbarer Schnitt von offenen Mengen ist. Eine Borelmenge ist eine F_{σ}-Menge, falls sie abzählbare Vereinigung von abgeschlossen Mengen ist. Für eine Menge A ⊂ ^{ω}ω definiere

int(A) := ⋃{O ⊂ ^{ω}ω : O ist offen ∧ O ⊂ A} “das Innere von A“ und cl(A) := ⋂{C ⊂ ^{ω}ω : C ist abgeschlossen ∧ A ⊂ C} “der Abschluß von A“.

Perfekte-Mengen-Eigenschaft Seien x ∈ ^{ω}ω und A ⊂ ^{ω}ω. x ist Limespunkt von A, falls (A ∩ O(s_{i})) − {x} ≠ ∅ für jedes i < ω mit x ∈ O(s_{i}). x ist ein isolierter Punkt von A, falls x kein Limespunkt von A ist, d.h. es existiert ein i < ω mit A ∩ O(s_{i}) = {x}. Eine Menge C ⊂ ^{ω}ω heißt perfekt, falls C nicht-leer und abgeschlossen ist und keine isolierten Punkte besitzt. Die Menge A hat die Perfekte-Mengen-Eigenschaft, falls A abzählbar ist oder eine perfekte Menge C enthält.

Lebesgue-Meßbarkeit Sei m_{ω} das Wahrscheinlichkeitsmaß auf ω für das gilt: m_{ω}({n}) = 2^{−(n+1)} für n < ω und m_{ω}(a) = ∑_{n∈a} 2^{−(n+1)} für a ⊂ ω. Eine maß-theoretische Standard-Konstruktion liefert dann das von m_{ω} induzierte, eindeutig bestimmte Produktmaß m_{B} auf B. Für dieses Maß gilt: m_{B}(O(s_{i})) = ∏_{n<|s|} 2^{−(s(n)+1)} für i < ω. Das Lebesgue-Maß m_{L}, zusammen mit der Menge M_{L} der Lebesgue-meßbaren Teilmengen von ^{ω}ω, ist dann die Vervollständigung von m_{B}. (Ein Maß m auf einer σ-Algebra A heißt vollständig, falls F ∈ A, m(F) = 0, E ⊂ F impliziert, daß E ∈ A ist.) Diese Vervollständigung von (^{ω}ω, B, m_{B}) ist wie folgt definiert: Eine Menge N ⊂ ^{ω}ω ist eine Nullmenge,

falls eine Borelmenge B ∈ B existiert, so daß N ⊂ B und m_{B}(B) = 0. Eine Menge A ⊂ ^{ω}ω ist Lebesgue-meßbar,

falls eine Borelmenge B ∈ B existiert, so daß A△B eine Nullmenge ist. In diesem Fall definiere

m_{L}(A) := m_{B}(B). Die Menge M_{L} der Lebesgue-meßbaren Teilmengen von ^{ω}ω ist eine σ-Algebra, die B umfaßt und m_{L} ist ein Maß auf M_{L}, das m_{B} auf B fortsetzt.

2.2 Lemma Zu jeder Lebesgue-meßbaren Menge A und zu jedem ϵ ∈ ℝ existieren eine abgeschlossene Menge C und eine offene Menge O, so daß C ⊂ A ⊂ O und m_{L}(O − C) < ϵ.

Diese Approximationseigenschaft des Lebesgue-Maßes wird später eine wichtige Rolle spielen. Der Beweis folgt aus einer äquivalenten Definition des Lebesgue-Maßes:

Definiere für A ⊂ ^{ω}ω :

m^{∗}(A) := inf{∑_{n<ω} m_{B}(O(s_{i_{n}})) : A ⊂ ⋃_{n<ω} O(s_{i_{n}})},

A ist m^{∗}-meßbar, falls m^{∗}(A) = m^{∗}(A ∩ B) + m^{∗}(A − B) für alle B ⊂ ^{ω}ω.

Mann kann zeigen:

(1) M^{∗} := {A ⊂ ^{ω}ω : A ist m^{∗}-meßbar} ist eine σ-Algebra, folglich ist B ⊂ M^{∗}.

(2) (^{ω}ω, M^{∗}, m^{∗}) ist ein vollständiger Maß-Raum.

(3) m^{∗}(A) = m_{B}(A) für alle A ∈ B.

2.3 Lemma Sei A ∈ M^{∗}. Dann gilt:

(a) m^{∗}(A) = inf{m^{∗}(X) : A ⊂ X offen} und m^{∗}(A) = sup{m^{∗}(X) : A ⊃ X abgeschlossen}.

(b) Es existieren X, Y ∈ B mit X ⊂ A ⊂ Y und m^{∗}(X) = m^{∗}(A) = m^{∗}(Y).

Beweis:

(a) Da m^{∗} monoton ist, genügt es zu zeigen, daß (i) m^{∗}(A) ≥ inf{m^{∗}(X) : A ⊂ X offen} und (ii) m^{∗}(A) ≤ sup{m^{∗}(X) : A ⊃ X abgeschlossen}.

(i) Nach Definition von m^{∗}(A) existieren für jedes ϵ > 0 Basismengen O(s_{i_{n}}) mit A ⊂ ⋃_{n<ω} O(s_{i_{n}}) und ∑_{n<ω} m_{B}(O(s_{i_{n}})) ≤ m^{∗}(A) + ϵ. Setze O := ⋃_{n<ω} O(s_{i_{n}}). Dann gilt m^{∗}(O) = m_{B}(O) ≤ ∑_{n<ω} m_{B}(O(s_{i_{n}})) ≤ m^{∗}(A) + ϵ. Da ϵ beliebig gewählt war, folgt somit m^{∗}(A) ≥ inf{m^{∗}(X) : A ⊂ X offen}. (ii) Betrachte die Menge cl(A)−A ∈ M^{∗}. Nach (i) existiert für jedes ϵ > 0 eine offene Menge O mit cl(A)−A ⊂ O und m^{∗}(O) ≤ m^{∗}(cl(A)−A)+ϵ. Setze C := cl(A)−O. C ist abgeschlossen und es gilt cl(A) ⊂ C ∪O. Daher ist m^{∗}(cl(A)) ≤ m^{∗}(C)+m^{∗}(O) ≤ m^{∗}(C) + m^{∗}(cl(A)) − m^{∗}(A) + ϵ. Hieraus folgt m^{∗}(A) − ϵ ≤ m^{∗}(C). Da ϵ beliebig gewählt war, folgt somit m^{∗}(A) ≤ sup{m^{∗}(X) : A ⊃ X abgeschlossen}. ⊣ (a)

(b) Nach (a) gibt es für jedes n < ω offene Mengen O_{n} und abgeschlossene Mengen C_{n} mit C_{n} ⊂ A ⊂ O_{n} und m^{∗}(C_{n})+ \frac{1}{n} ≥ m^{∗}(A) ≥ m^{∗}(O_{n})− \frac{1}{n}. Setze X := ⋃_{n<ω} C_{n} und Y := ⋂_{n<ω} O_{n}. Dann sind X, Y ∈ B mit X ⊂ A ⊂ Y und es gilt für alle n < ω : m^{∗}(X) ≤ m^{∗}(A) ≤ m^{∗}(X) + \frac{1}{n} und m^{∗}(Y) − \frac{1}{n} ≤ m^{∗}(A) ≤ m^{∗}(Y). ⊣ (b) q.e.d.

(4) M_{L} = M^{∗}: Falls A ∈ M^{∗} ist, existieren nach Lemma 2.3(b) Mengen X, Y ∈ B mit X ⊂ A ⊂ Y und m^{∗}(X) = m^{∗}(A) = m^{∗}(Y). Wegen A△X = (A−X)∪(X −A) = A−X ⊂ Y −X und m_{B}(Y − X) = m^{∗}(Y − X) = 0 folgt A ∈ M_{L}. Ist umgekehrt A ∈ M_{L}, dann existiert ein B ∈ B, so daß A△B eine Nullmenge ist, d.h. es existiert ein N ∈ B mit m_{B}(N) = 0 und A△B ⊂ N. Wegen B ⊂ M^{∗} ist N ∈ M^{∗}. Da m^{∗} vollständig ist, ist dann A − B ∈ M^{∗} und somit ist auch A = (A − B) ∪ B ∈ M^{∗}. ⊣ (4)

(5) Für A ∈ M_{L} gilt m^{∗}(A) = m_{L}(A): Nach Defintion von m_{L} existiert zu jedem X ∈ M_{L} ein Y ∈ B mit m_{L}(X) = m_{B}(Y). Daher gilt: m_{L}(A) = inf{m_{L}(X) : A ⊂ X ∈ M_{L}} = inf{m_{B}(X) : A ⊂ X ∈ B}. Ferner gilt m^{∗}(A) ≤ inf{m_{B}(X) : A ⊂ X ∈ B} nach (3) und da m^{∗} monoton ist, und m^{∗}(A) ≥ inf{m_{B}(X) : A ⊂ X ∈ B} nach Lemma 2.3(a), (3) und da {A ⊂ ^{ω}ω : A offen} ⊂ B ist. Folglich ist m_{L}(A) = m^{∗}(A). ⊣ (5)

Lemma 2.2 folgt nun sofort aus (4),(5) und Lemma 2.3(a). Eine ausführlichere Einführung des Lebesgue-Maßes, sowie die Beweise von (1),(2),(3) und für die Existenz des Produktmaßes und der Maß-Vervollständigung findet man in Halmos[7].

Baire-Eigenschaft Sei A ⊂ ^{ω}ω. Dann definiere: A ist nirgends dicht, falls int(cl(A)) = ∅. A ist mager, falls A abzählbare Vereinigung von nirgends dichten Mengen ist. A hat die Baire-Eigenschaft, falls A△O mager ist für eine offene Menge O.

2.4 Lemma (a) Die Menge der Teilmengen von ^{ω}ω, die die Baire-Eigenschaft besitzen, ist eine σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Folglich hat jede Borelmenge die Baire-Eigenschaft.

(b) Falls A ⊂ ^{ω}ω die Baire-Eigenschaft hat, dann existieren eine G_{δ}-Menge X und eine F_{σ}-Menge Y derart, daß X ⊂ A ⊂ Y und Y − X mager ist.

(c) Jede nicht-leere offene Menge ist nicht mager.

Beweis:

(a) Nach Definition haben alle offenen Teilmengen von ^{ω}ω die Baire-Eigenschaft. Sei A ⊂ ^{ω}ω eine Menge, die die Baire-Eigenschaft besitzt. Dann existiert eine offene Menge O, so daß A△O mager ist. Da (^{ω}ω − A)△(^{ω}ω − O) = A△O und cl(O) − O nirgends dicht ist, ist ((^{ω}ω − A)△(^{ω}ω − O)) ∪ (cl(O) − O) mager. Wegen (^{ω}ω − A)△(^{ω}ω−cl(O)) ⊂ ((^{ω}ω − A)△(^{ω}ω − O)) ∪ (cl(O) − O) ist damit auch (^{ω}ω − A)△(^{ω}ω−cl(O)) mager und daher hat ^{ω}ω − A die Baire-Eigenschaft. Seien A_{i} ⊂ ^{ω}ω (i < ω) Mengen mit der Baire-Eigenschaft. Dann existiert für jedes i < ω eine offene Menge O_{i}, so daß A_{i}△O_{i} mager ist. Da die abzählbare Vereinigungen von mageren Mengen wieder mager ist, ist ⋃_{i<ω}(A_{i}△O_{i}) eine magere Menge. Wegen (⋃_{i<ω} A_{i})△(⋃_{i<ω} O_{i}) ⊂ ⋃_{i<ω}(A_{i}△O_{i}) ist dann auch (⋃_{i<ω} A_{i})△(⋃_{i<ω} O_{i}) mager und damit ist gezeigt, daß ⋃_{i<ω} A_{i} die Baire-Eigenschaft hat. ⊣ (a)

(b) Da A die Baire-Eigenschaft hat, hat nach (a) auch ^{ω}ω −A die Baire-Eigenschaft. Es existieren also offene Mengen O_{1} und O_{2}, so daß A△O_{1} und (^{ω}ω −A)△O_{2} mager sind. Da der Abschluß einer nirgends dichten Menge wieder nirgends dicht ist, gibt es daher magere F_{σ}-Mengen F_{1} und F_{2} derart, daß A△O_{1} ⊂ F_{1} und (^{ω}ω−A)△O_{2} ⊂ F_{2}. Setze X := O_{1} −F_{1} und Y := (^{ω}ω −O_{2})∪F_{2}. Dann ist X eine G_{δ}-Menge und Y eine F_{σ}-Menge. Desweiteren ist X ⊂ A ⊂ Y und A − X und Y − A sind mager (denn A − X = (A − O_{1}) ∪ (A ∩ F_{1}) ⊂ F_{1} und Y − A = ((^{ω}ω − O_{2}) − A) ∪ (F_{2} − A) ⊂ F_{2}), also ist auch Y − X ⊂ (A − X) ∪ (Y − A) mager. ⊣ (b)

(c) Angenommen, es existiert eine nicht-leere, offene Menge O mit O = ⋃_{j<ω} X_{j}, wobei die X_{j} nirgends dichte Mengen sind. Dann definiere induktiv eine Folge (i_{j} : j < ω) ∈ ^{ω}ω wie folgt: Da X_{0} nirgends dicht ist, ist O ⊄ cl(X_{0}). Folglich ist O −cl(X_{0}) nicht-leer und offen. Wähle daher i_{0} < ω minimal mit O(s_{i_{0}}) ⊂ O−cl(X_{0}). Sei i_{j} < ω bereits definiert. Da X_{j+1} nirgends dicht ist, ist O(s_{i_{j}}) ⊄ cl(X_{j+1}). Folglich ist O(s_{i_{j}}) − cl(X_{j+1}) nichtleer und offen. Wähle daher i_{j+1} < ω minimal mit O(s_{i_{j+1}}) ⊂ O(s_{i_{j}})−cl(X_{j+1}). Für die so definierte Folge (i_{j} : j < ω) gilt dann O(s_{i_{j+1}}) ⊂ O(s_{i_{j}}) für alle j < ω. Daher existiert ein x ∈ ⋂_{j<ω} O(s_{i_{j}}) ⊂ O ⊂ ⋃_{j<ω} cl(X_{j}). Nach Definition der i_{j} gilt aber x ∉ ⋃_{j<ω} cl(X_{j}), ein Widerspruch. q.e.d.

2.3 Konstruktibilität

Sei x eine Menge. Dann bezeichne L_{x} die Sprache, die aus L_{∈} durch Hinzufügen von Konstantensymbolen ẏ für jedes y ∈ x entsteht. Desweiteren bezeichne ⊧_{x} die Erfüllbarkeitsrelation für L_{x}-Sätze in der Struktur (x, ∈, (y)_{y∈x}), wobei die Konstantensymbole ẏ auf kanonische Weise interpretiert werden.

Def(x) sei die Menge aller Teilmengen a von x für die eine L_{x}-Formel ϕ(v_{0}) in genau einer freien Variablen v_{0} existiert derart, daß a = {y ∈ x : ⊧_{x} ϕ(ẏ)}. Mit anderen Worten: Def(x) ist die Menge aller Teilmengen von x, die in der L_{x}-Sprache erster Stufe über der Struktur (x, ∈, (y)_{y∈x}) definierbar sind.

Man beachte, daß diese Definition von Def(x) zunächst nur rein informell ist. Da aber die Sprache L_{V} zusammen mit ihrer Syntax und Semantik innerhalb der Mengenlehre formalisierbar ist (siehe z.B. Devlin[4]), kann auch Def(x) innerhalb der Mengenlehre formalisiert werden. Daher ist folgende Definition gerechtfertigt: Definiere durch Ordinalzahlrekursion die konstruktible Hierarchie:

L_{0} := ∅,
L_{α+1} := Def(L_{α}),
L_{γ} := ⋃_{α<γ} L_{α}, falls γ eine Limesordinalzahl ist,
L := ⋃_{α∈On} L_{α}.

Sei A eine Menge, dann definiere allgemeiner:

L_{0}(A) := tc({A})
L_{α+1}(A) := Def(L_{α}(A)),
L_{γ}(A) := ⋃_{α<γ} L_{α}(A), falls γ eine Limesordinalzahl ist,
L(A) := ⋃_{α∈On} L_{α}(A).

L(A) ist das kleinste transitive ∈-Modell von ZF, das alle Ordinalzahlen und die Menge A enthält. Das Auswahlaxiom gilt in L(A) genau dann, wenn eine Wohlordnung von tc({A}) in L(A) existiert.

Seien x und A wieder Mengen und bezeichne L_{x}(Ȧ) die Sprache, die aus der Sprache L_{x} durch Hinzufügen eines einstelligen Relationssymbol Ȧ entsteht. Dann sei Def^{A}(x) die Menge aller Teilmengen von x, die in der L_{x}(Ȧ)-Sprache erster Stufe über der Struktur (x, ∈, (y)_{y∈x}, A ∩ x) definierbar sind. Auch hier ist die Sprache L_{x}(Ȧ) zusammen mit ihrer Syntax und Semantik innerhalb der Mengenlehre formalisierbar. Aus diesem Grund besitzt auch Def^{A}(x) eine formale Definition. Mit Hilfe von Def^{A}(x) definiere die konstruktible Hierarchie relativ zu A:

L_{0}[A] := ∅,
L_{α+1}[A] := Def^{A}(L_{α}[A]),
L_{γ}[A] := ⋃_{α<γ} L_{α}[A], falls γ eine Limesordinalzahl ist,
L[A] := ⋃_{α∈On} L_{α}[A].

L[A] ist das kleinste transitive ∈-Modell von ZF, das alle Ordinalzahlen und die Menge A ∩ L[A] enthält. Desweiteren ist L[A] ein Modell des Auswahlaxioms.

Die folgenden Sätze beschreiben einige grundlegende Eigenschaften der Hierarchien L, L(A) und L[A], welche vor allem in Kapitel 8 zur Anwendung kommen werden.

2.5 Satz Die Funktionen ξ ↦ L_{ξ}, ξ ↦ L_{ξ}(A), ξ ↦ L_{ξ}[A]

sind ∈-definierbar und ZF-absolut.

2.6 Satz Sei M ein transitives Mengenmodell von ZF. Dann gilt für jedes α ∈ M ∩ On :

(a) (L_{α})^{M} = L_{α}.

(b) (L_{α}[A])^{M} = L_{α}[A], falls A ∈ M.

2.7 Satz Sei x ∈ L_{α+1}. Dann existieren eine Formel ϕ(v_{0}, ..., v_{n}) und β_{1}, ..., β_{n} ∈ On derart, daß x = {z ∈ L_{α} : ⊧_{L_{α}} ϕ(ẋ, β̇_{1}, ..., β̇_{n}}.

2.8 Satz (a) Es existiert ein ∈-Satz σ_{0} derart, daß für alle transitiven Klassen N gilt

(N, ∈) ⊧ σ_{0} gdw N = L ∨ N = L_{δ} für eine Limesordinalzahl δ.

(b) Es existiert ein Satz σ_{1} in der Sprache L_{∈}(Ẋ) derart, daß für jedes X und jede transitive Klasse N gilt (N, ∈, X ∩ N) ⊧ σ_{1} gdw N = L[X] ∨ N = L_{δ}[X] für eine Limesordinalzahl δ.

2.9 Satz (Kondensationslemma für L) Sei α eine Limesordinalzahl und X eine elementare Substruktur von L_{α}. Dann existieren eine Abbildung π und ein β ≤ α derart, daß π : (X, ∈) ≅ (L_{β}, ∈).

2.10 Satz (V=L) Sei κ eine Kardinalzahl und x ⊂ L_{α} für ein α < κ. Dann ist x ∈ L_{κ}.

Eine ausführlichere Einführung in die Konstruktbilitätstheorie, sowie die Beweise bzw. Hinweise zu den Beweisen der Sätze 2.5 - 2.10 findet man in den Büchern von Devlin[4], Moschovakis[18] und Drake[5].

2.4 ^{ω}On-Definierbarkeit

Eine Menge a ist On-definierbar, falls eine Formel ϕ(v_{0}, ..., v_{n}) und Ordinalzahlen α_{1}, ..., α_{n} existieren derart, daß

∀ y (y ∈ a ↔ ϕ(y, α_{1}, ..., α_{n})). Dies ist wiederum zunächst nur eine informelle Definition. Durch Formalisierung der ∈-Sprache und mit Hilfe des Reflexionsprinzips, welches besagt, daß für gegebene Formeln ψ_{1}, ..., ψ_{m} und jede Ordinalzahl α ein β > α existiert, so daß ψ_{1}, ..., ψ_{m} V_{β}-absolut sind, kann man allerdings zeigen, daß die obige Formel zu

∃ β > rg(a) ∃ α_{1}, ..., α_{n} < β ∃ ϕ (ϕ eine ∈-Formel

∧ ∀ y (y ∈ a ↔ y ∈ V_{β} ∧ V_{β} ⊧ ϕ(y, α_{1}, ..., α_{n}))). äquivalent ist (siehe z.B. Kunen[13]). Zum Beweis von Solovay’s Theorem benötigen wir den von On-Definierbarkeit abgeleiteten Begriff der ^{ω}On-Definierbarkeit: Eine Menge a ist ^{ω}On-definierbar, falls ein s ∈ ^{ω}On existiert, so daß a On-definierbar über s ist, d.h. es existieren ϕ(v_{0}, ..., v_{n+1}) und Ordinalzahlen α_{1}, ..., α_{n} derart, daß

∀ y (y ∈ a ↔ ϕ(y, s, α_{1}, ..., α_{n}, s, y)). Da man die Ordinalzahlen α_{1}, ..., α_{n} und die Folge s durch eine abzählbare Folge von Ordinalzahlen kodieren kann, erhält man folgende äquivalente Charakterisierung von ^{ω}On-Definierbarkeit: eine Menge a ist ^{ω}On-definierbar, falls ein s ∈ ^{ω}On und eine Formel ϕ(v_{0}, v_{1}) existieren derart, daß

∀ y (y ∈ a ↔ ϕ(s, y)).

2.11 Lemma Jede Menge a ∈ L(^{ω}ω) ist ^{ω}On-definierbar.

Beweis: (Transfinite Induktion über α ∈ On.) Sei a ∈ L_{0}(^{ω}ω) = tc({^{ω}ω}). Falls a = ^{ω}ω ist, gilt für beliebiges s ∈ ^{ω}On mit s(0) = ω: a = {z : func(z) ∧ dom(y) = s(0) ∧ ran(y) ⊂ s(0)}. Folglich ist a ^{ω}On-definierbar. Die restlichen Fälle für a ∈ tc({^{ω}ω}) ergeben sich auf ähnliche Weise. Sei a ∈ L_{α+1}(^{ω}ω) und es gelte die Behauptung für α. Dann ist a = {y ∈ L_{α}(^{ω}ω) : ⊧_{L_{α}(^{ω}ω)} ϕ(ẏ)} für eine Formel ϕ. Seien ṗ_{0}, ..., ṗ_{n−1} die in ϕ vorkommenden Konstantensymbole. Wegen p_{0}, ..., p_{n−1} ∈ L_{α}(^{ω}ω) existieren nach Induktionsvoraussetzung s_{0}, ..., s_{n−1} ∈ ^{ω}On und Formeln ψ(v_{0}, v_{1}), ..., ψ_{n−1}(v_{0}, v_{1}), so daß

∀ y (y ∈ p_{0} ↔ ψ_{0}(s_{0}, y)) ∧ ... ∧ (y ∈ p_{n−1} ↔ ψ_{n−1}(s_{n−1}, y)). Da nach Satz 2.5 die Funktion ξ ↦ L_{ξ}(^{ω}ω) ∈-definierbar ist, gibt es eine Formel χ(v_{0}, v_{1}, v_{2}) derart, daß y ∈ L_{ξ}(^{ω}ω) ↔ χ(y, ξ,^{ω}ω). Betrachte nun ein s ∈ ^{ω}On mit s(0) = α und s(p_{i}^{k+1}) = s_{i}(k) für i < n, wobei {p_{i} : i < ω} eine Aufzählung der Primzahlen ist. Dann existieren Formeln ϕ_{0}(v_{0}, v_{1}), ..., ϕ_{n−1}(v_{0}, v_{1}), so daß a = {y : χ(y, s(0),^{ω}ω) ∧ ∃ p_{0}, ..., p_{n−1} (χ(p_{0}, s(0),^{ω}ω) ∧ ... ∧ χ(p_{n−1}, s(0),^{ω}ω) ∧ ϕ(y, p_{0}, ..., p_{n−1})^{L_{s(0)}(^{ω}ω)} ∧ ∀v(v ∈ p_{0} ↔ ϕ_{0}(s, v)) ∧...∧ ∀v(v ∈ p_{n−1} ↔ ϕ_{n−1}(s, v)))}. Dies zeigt, daß a eine ^{ω}On-definierbare Menge ist. Falls α eine Limesordinalzahl ist, folgt die Behauptung unmittelbar aus der Induktionsvoraussetzung. q.e.d.

3 Forcing

3.1 Forcing-Halbordnungen und Boolesche Algebren

3.1 Definition Eine Forcing-Halbordnung (im folgenden abgekürzt mit FH) ist ein Paar (P, ≤_{P}), bestehend aus einer Menge P und einer Relation ≤_{P} mit folgenden Eigenschaften:

(i) ≤_{P} ist eine partielle Ordnung auf P, d.h. ≤_{P} ist reflexiv und transitiv; (ii) es existiert ein ≤_{P} -größtes Element 1_{P}; (iii) es existiert kein ≤_{P} -kleinstes Element.

Wir bezeichnen im folgenden eine FH (P, ≤_{P}) mit P und schreiben ≤ und 1 statt ≤_{P} und 1_{P}, falls klar ist, welche FH gemeint ist. Die Elemente einer FH heißen Bedingungen und im Fall p ≤ q sagt man, daß p eine stärkere Bedingung als q oder eine Verstärkung von q ist. Für eine FH P und p, q ∈ P und A ⊂ P definiere:

p < q :⇔ p ≤ q ∧ q ≰ p;

p ∥ q (p und q sind kompatibel) :⇔ ∃ r ∈ P (r ≤ p ∧ r ≤ q); p ⊥ q (p und q sind inkompatibel) :⇔ ¬ p ∥ q; A ist dicht (in P) :⇔ ∀ p ∈ P ∃ q ∈ A q ≤ p; A ist eine Antikette (in P) :⇔ ∀ p, q ∈ A (p ≠ q → p ⊥ q).

Eine Antikette A ⊂ P ist maximal, falls jedes p ∈ P kompatibel mit einem q ∈ A ist. Eine Teilmenge A ⊂ P ist dicht unterhalb p, falls A dicht in {q ∈ P : q ≤ p} ist.

3.2 Definition Seien P und Q FH’en. Eine Abbildung i : P → Q ist eine dichte Einbettung, falls (i) ∀ p, p′ ∈ P (p′ ≤_{P} p → i(p′) ≤_{Q} i(p)); (ii) ∀ p, p′ ∈ P (p′ ⊥_{P} p → i(p′) ⊥_{Q} i(p)); (iii) i′′P dicht in Q ist.

3.3 Definition Eine FH P heißt separativ, falls gilt: ∀ p, q ∈ P (p ≰ q → ∃ r ≤ p (r ⊥ q)).

3.4 Lemma Zu jeder FH P existieren eine separative FH Q und eine dichte Einbettung h : P → Q von P in Q.

Beweis: Definiere eine Äquivalenzrelation ≈ auf P durch p ≈ q :⇔ ∀ r ∈ P (r ∥ p ↔ r ∥ q). Setze Q := P \_{≈} = {[p] : p ∈ P }, wobei [p] die Äquivalenzklasse von p bzgl. ≈ ist. Definiere weiter folgende Relation auf Q : [p] ≤_{Q} [q] :⇔ ∀ r ∈ P (r ≤ p → r ∥ q). Man rechnet leicht nach, daß (Q, ≤_{Q}) eine FH ist. Betrachte nun die Abbildung h : P → Q, die definiert ist durch h(p) := [p]. h ist surjektiv und ordnungserhaltend. Desweiteren gilt, falls [p] und [q] kompatibel in Q sind: ∃ [r] ≤_{Q} [p], [q] ⇒ r ∥ p ⇒ ∃ s ≤ r, p ⇒ s ∥ q ⇒ ∃ t ≤ s, q ⇒ t ≤ p, q ⇒ p ∥ q. Damit ist gezeigt, daß h eine dichte Einbettung ist und es bleibt zu zeigen, daß Q separativ ist: Falls [p] ≰_{Q} [q], dann existiert nach Definition von ≤_{Q} ein r ∈ P mit (r ≤ p ∧ r ⊥ q). Da h eine dichte Einbettung ist, folgt somit ([r] ≤_{Q} [p] ∧ [r] ⊥_{Q} [q]). q.e.d.

3.5 Definition Sei B = (B, +, ·, −, 0, 1) eine Boolesche Algebra. Dann definiere für a, b ∈ B : a ≤ b :⇔ a − b = 0, wobei a − b := a · (−b).

3.6 Lemma Sei B eine Boolesche Algebra und seien a, b, c ∈ B.

(i) Die in 3.5 definierte Relation ≤ ist eine partielle Ordnung auf B. Folglich ist (B-{0}, ≤) eine FH mit ≤-größtem Element 1.

(ii) Es ist a · b ≤ a, b und falls c ≤ a, b, dann ist c ≤ a · b, d.h. a · b ist die größte untere Schranke von a und b. Ebenso ist a, b ≤ a + b und falls a, b ≤ c, dann ist a + b ≤ c, d.h. a + b ist die kleinste obere Schranke von a und b.

Die so definierte partielle Ordnung ≤ auf einer Booleschen Algebra B kann dazu benutzt werden, unendliche Operationen ∑ und ∏ auf B zu definieren, die + und · verallgemeinern: Sei X ⊂ B nicht-leer, dann setze

∑{a : a ∈ X} := sup X (bzgl. ≤) und ∏{a : a ∈ X} := inf X (bzgl. ≤), vorausgesetzt, daß die kleinste obere bzw. größte untere Schranke von X bzgl. ≤ existiert. Definiere außerdem ∑ ∅ := 0 und ∏ ∅ := 1. Eine Boolesche Algebra heißt vollständig, falls für jede Teilmenge X ⊂ B die obige unendliche Summe und das unendliche Produkt existieren. In einer vollständigen Booleschen Algebra gelten für die Operationen ∑ und ∏ die folgenden Distributivgesetze und de Morganschen-Regeln:

a · ∑{b : b ∈ X} = ∑{a · b : b ∈ X},

a + ∏{b : b ∈ X} = ∏{a + b : b ∈ X},

− ∑{a : a ∈ X} = ∏{−a : a ∈ X},

− ∏{a : a ∈ X} = ∑{−a : a ∈ X}.

Auf die Beweise dieser Eigenschaften und des Lemmas 3.6 werden wir hier nicht weiter eingehen. Sie bestehen aus einfachen Folgerungen aus den Definitionen. Eine Unteralgebra A einer vollständigen Booleschen Algebra B ist eine vollständige Unteralgebra von B, falls ∑ X ∈ A und ∏ X ∈ A für alle X ⊂ A. Da der Durchschnitt von vollständigen Unteralgebren einer Booleschen Algebra B wieder eine vollständige Unteralgebra von B ist, existiert zu jeder Menge X ⊂ B eine kleinste vollständige Unteralgebra von B, in der X enthalten ist. Diese Algebra heißt “die von X erzeugte vollständige Boolesche Unteralgebra von B“. Sei κ eine Kardinalzahl. Dann sagen wir, daß eine vollständige Boolesche Algebra κ-erzeugt ist, falls eine Teilmenge X ⊂ B der Mächtigkeit höchstens κ existiert, so daß B mit der von X erzeugten vollständigen Unteralgebra von B übereinstimmt.

Zum Abschluß dieser kurzen Einführung von Booleschen Algebren und Forcing-Halbordnungen wird nun durch das folgende Lemma der Zusammenhang zwischen diesen beiden Strukturen hergestellt, welcher später noch von Bedeutung sein wird.

3.7 Lemma Sei P eine separative FH. Dann existieren eine vollständige Boolesche Algebra B und eine dichte Einbettung e : P → B-{0}.

Beweis: Wir nennen eine Menge U ⊂ P einen Schnitt in P, falls

∀ p, q ∈ P ((p ≤ q ∧ q ∈ U) → p ∈ U); Ein Schnitt U ⊂ P heißt regulärer Schnitt in P, falls

∀ p ∈ P (p ∉ U → ∃ q ≤ p U_{q} ∩ U = ∅). Für jedes p ∈ P bezeichne U_{p} den Schnitt {x ∈ P : x ≤ p}. Da P separativ ist, ist U_{p} ein regulärer Schnitt für jedes p ∈ P, denn falls p, q ∈ P mit q ∉ U_{p}, dann folgt aus der Separativität von P die Existenz eines r ≤ q mit r ⊥ p, also ist U_{r} ∩ U_{p} = ∅. Da der Durchschnitt von beliebig vielen regulären Schnitten wieder ein regulärer Schnitt ist, gibt es zu jedem Schnitt U einen kleinsten regulären Schnitt \overline{U} := \{V : U ⊂ V ∧ V regulärer Schnitt in P \}, der U enthält. Dieser reguläre Schnitt \overline{U} ist zusätzlich charakterisiert durch \overline{U} = \{p ∈ P : ∀ q ≤ p U ∩ U_{q} ≠ ∅\}, denn zum einen ist die Menge auf der rechten Seite dieser Gleichung ein regulärer Schnitt, der U enthält und andererseits gilt für jedes p ∈ P mit U_{q} ∩ U ≠ ∅ für alle q ≤ p, daß auch U_{q} ∩ \overline{U} ≠ ∅ für alle q ≤ p. Aufgrund der Regularität von \overline{U} folgt daher p ∈ \overline{U}. Sei jetzt B die Menge aller regulären Schnitte in P. Dann definiere

0_{B} := ∅, 1_{B} := P,

U · V := U ∩ V für U, V ∈ B,

U + V := \overline{U ∪ V} für U, V ∈ B,

−U := {p ∈ P : U_{p} ∩ U = ∅}. B ist zusammen mit 0_{B}, 1_{B} und den Operationen +, ·, − eine Boolesche Algebra. Man beachte, daß die auf B induzierte partielle Ordnung ≤_{B} mit der normalen Teilmengenrelation ⊂ übereinstimmt, d.h. für U, V ∈ B gilt

(∗) U · −V = 0 gdw U ⊂ V, denn U · −V = 0 gdw U ∩ {r ∈ P : U_{r} ∩ V = ∅} = ∅ gdw ∀ p ∈ U U_{p} ∩ V ≠ ∅ gdw ∀ p ∈ U ∀ q ≤ p U_{q} ∩ V ≠ ∅ gdw ∀ p ∈ U p ∈ V (da V regulär ist) gdw U ⊂ V. Die Äquivalenz (∗) zeigt, daß B eine vollständige Boolesche Algebra ist, denn für X ⊂ B gilt ∑ X = \overline{⋃ X} ∈ B und ∏ X = ⋂ X ∈ B. Wie zu Beginn dieses Beweises bereits erwähnt, ist für jedes p ∈ P die Menge U_{p} ein regulärer Schnitt. Daher definiert die Zuordnung p ↦ U_{p} eine Abbildung e : P → B-{0}. Schließlich folgt unmittelbar aus (∗), daß e eine dichte Einbettung von P in B-{0} ist. q.e.d.

Die so konstruierte Boolesche Algebra B heißt auch “Boolesche Algebra der regulären offenen Mengen in P“ und wird daher mit r.o.(P) bezeichnet.

3.8 Satz Sei P eine FH. Dann existieren eine vollständige Boolesche Algebra B und eine (nicht unbedingt injektive) dichte Einbettung e : P → B-{0}.

Beweis: Lemma 3.4 und Lemma 3.7 q.e.d.

Wir bezeichnen die Boolesche Algebra B in Satz 3.8 ebenfalls mit r.o.(P).

3.2 Das Forcing-Theorem und die generische Erweiterung

Dieses Kaptiel orientiert sich eng am Buch vom Kunen[13], so daß alle hier nicht geführten Beweise dort nachgelesen werden können.

Es sei im folgenden M ein abzählbares und transitives Modell von ZFC.

3.9 Definition Sei P eine FH in M und G ⊂ P. G ist ein P -generischer Filter über M, falls folgendes gilt:

(i) falls p ∈ G und p ≤ q, dann ist q ∈ G; (ii) falls p, q ∈ G, dann existiert ein r ∈ G mit r ≤ p, q; (iii) G ∩ D ≠ ∅ für jede dichte Teilmenge D ⊂ P mit D ∈ M.

3.10 Lemma Sei P eine FH in M und p ∈ P. Dann existiert ein P -generischer Filter G über M mit p ∈ G.

Beweis: Da M abzählbar ist, existiert eine Aufzählung {D_{n} : n < ω} aller dichten Teilmengen von P, die in M liegen. Setze p_{0} := p und wähle induktiv p_{n+1} ∈ D_{n} derart, daß p_{n+1} ≤ p_{n}. Dann ist G := {q ∈ P : ∃ n < ω p_{n} ≤ q} ein P -generischer Filter über M mit p ∈ G. q.e.d.

3.11 Lemma Sei P eine verzweigende FH in M, d.h ∀ p ∈ P ∃ q, r ≤ p q ⊥ r, und sei G ein P -generischer Filter über M. Dann ist G ∉ M.

Beweis: Angenommen, G ∈ M. Dann ist auch D := P − G ∈ M. Desweiteren ist D dicht in P, denn für beliebiges p ∈ P existieren q, r ≤ p mit q ⊥ r. Da q und r inkompatibel sind, können nicht beide in G liegen. Folglich hat p eine Erweiterung in D. Da G generisch ist, folgt nun aber G ∩ D ≠ ∅, ein Widerspruch. q.e.d.

3.12 Definition Sei P eine FH in M und G ein P -generischer Filter G über M. Definiere eine Relation R auf M durch xRy :⇔ x ∈ M ∧ y ∈ M ∧ x ∈ dom(y). Da R eine stark fundierte Relation auf M ist, ist folgende Definition gerechtfertigt: Für x ∈ M definiere

I_{G}(x) := {I_{G}(y) : ∃ p ∈ G (y, p) ∈ x}. I_{G}(x) heißt die G-Interpretation von x. Statt I_{G}(x) schreibt man auch x_{G}.

3.13 Definition Sei P eine FH in M und G ein P -generischer Filter über M. Dann definiere

M[G] := {I_{G}(x) : x ∈ M}. M[G] heißt die generische Erweiterung über M durch P und G. Für jedes z ∈ M[G] existiert also ein x ∈ M, so daß z = I_{G}(x). In diesem Fall nennt man x einen P -Namen für z und schreibt statt x auch ż.

3.14 Definition Für jedes x ∈ M definiere den kanonischen Namen für x durch

x̌ := {(y̌, 1_{P}) : y ∈ x}. Ferner definiere den kanonischen Namen für P -generische Filter über M durch

Ġ := {(p̌, p) : p ∈ P }. Eine einfache R-Induktion (vgl. Definition 3.12) zeigt: x̌_{G} = x für jedes x ∈ M und Ġ_{H} = H für jeden P -generischen Filter H über M.

3.15 Satz M[G] ist das kleinste transitive Modell von ZFC mit M ⊂ M[G] und G ∈ M[G]. Desweiteren gilt : M ∩ On = M[G] ∩ On.

Die generische Erweiterung M[G] kann verstanden werden als die Zusammenfassung aller Mengen, die durch Anwendung von Mengenbildungsprozessen auf das Objekt G konstruiert werden können. Jedes Element von M[G] besitzt dabei einen Namen in M, der beschreibt, auf welche Weise dieses Element konstruiert wurde. Der Beweis, daß M[G] ein Modell von ZFC ist, kann mit den bisher zur Verfügung stehenden Mitteln noch nicht geführt werden, denn er basiert auf der folgenden Definition der Forcing-Relation und dem daraus resultierenden Forcing-Theorem.

3.16 Definition Sei ϕ(v_{0}, ..., v_{n−1}) eine ∈-Formel, ẋ_{1}, ..., ẋ_{n} ∈ M, P eine FH in M und p ∈ P. Dann definiere: p ⊩_{P} ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}) (“p forct ϕ“) :⇔ ∀ H ((H ein P -generischer Filter über M ∧ p ∈ H) → ϕ^{M[H]}((ẋ_{1})_{H}, ..., (ẋ_{n})_{H})).

Diese Definition wird durch folgende Überlegung motiviert:

Die Idee des Forcing ist es, von M aus eine gewisse Kontrolle über die generische Erweiterung M[G] zu haben, obwohl der generische Filter G unbekannt ist. Um zu entscheiden, ob eine Formel ϕ((ẋ_{1})_{G}, ..., (ẋ_{n})_{G}) mit ẋ_{1}, ..., ẋ_{n} ∈ M in M[G] wahr oder falsch ist, benötigt man jedoch im Normalfall die Kenntnis des generischen Objektes G. Ein generischer Filter ist aber ein solch allgemeines Objekt, daß die Fragestellung, ob für p ∈ P und alle P -generischen Filter H über M mit p ∈ H eine Aussage in all diesen Modellen M[H] gilt, bereits in M entscheidbar ist.

Der Grund hierfür ist, daß man für jedes p ∈ P und jede Formel ϕ einen Ausdruck p ⊩^{∗} ϕ konstruieren kann, so daß (p ⊩^{∗} ϕ)^{M} logisch äquivalent zu p ⊩ ϕ ist. Auf die technischen Einzelheiten dieser Konstruktion soll hier nicht weiter eingegangen werden. Diese werden ausführlich im Buch von Kunen[13] behandelt. Als Ergebnis dieser Konstruktion erhält man für jedes p ∈ P und jede Formel ϕ eine Formel p ⊩^{∗} ϕ derart, daß

(1) Falls p ∈ G und (p ⊩^{∗} ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}))^{M}, dann (ϕ((ẋ_{1})_{G}, ..., (ẋ_{n})_{G}))^{M[G]}.

(2) Falls (ϕ((ẋ_{1})_{G}, ..., (ẋ_{n})_{G}))^{M[G]}, so existiert ein p ∈ G mit (p ⊩^{∗} ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}))^{M}.

(3) p ⊩ ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}) ↔ (p ⊩^{∗} ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}))^{M}. (Die Ausdrücke ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}), die innerhalb der Forcing-Relation ⊩ bzw. ⊩^{∗} benutzt werden, nennt man auch Ausdrücke der Forcing-Sprache. Ihr Aufgabe ist es, mit Hilfe der Namen ẋ_{1}, ..., ẋ_{n} Behauptungen über die generische Erweiterung M[G] aufzustellen. Diese Forcing-Sprache kann in M auch formal definiert werden als die Sprache erster Stufe über der Symbolmenge, die aus ∈ und Konstantensymbolen ẋ für jedes x ∈ M besteht, wobei man ẋ mit x identifiziert.)

In Verbindung mit der Definition 3.16 führen die Aussagen (1),(2),(3) zu folgendem fundamentalen Theorem, dem sogenannten Forcing-Theorem:

3.17 Theorem Sei P eine FH in M, ϕ(v_{0}, ..., v_{n−1}) eine ∈-Formel und seien ẋ_{1}, ..., ẋ_{n} ∈ M. Dann gilt für jeden P -generischen Filter G über M

(ϕ((ẋ_{1})_{G}, ..., (ẋ_{n})_{G}))^{M[G]} ↔ ∃ p ∈ G p ⊩ ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}).

Es sei noch einmal daraufhingewiesen, daß wegen p ⊩ ϕ ↔ (p ⊩^{∗} ϕ)^{M} der Ausdruck p ⊩ ϕ im folgenden wie eine in M definierbare Formel behandelt werden kann.

3.18 Lemma Sei P eine FH in M und p ∈ P. Dann gilt:

(i) Falls p ⊩ ϕ_{1}, ..., p ⊩ ϕ_{n} und ZFC ⊢ (ϕ_{1} ∧ ... ∧ ϕ_{n}) → ϕ, dann p ⊩ ϕ. (ii) Falls p ⊩ ϕ und q ≤ p, dann q ⊩ ϕ. (iii) p forct nicht beides ϕ und ¬ϕ. (iv) {p ∈ P : p ⊩ ϕ ∨ p ⊩ ¬ϕ} ist dicht in P.

(v) p ⊩ (ϕ ∧ ψ) gdw p ⊩ ϕ und p ⊩ ψ ; p ⊩ ¬ϕ gdw ∀ q ≤ p ¬q ⊩ ϕ. (vi) p ⊩ ∃ x ϕ(x) gdw {r ≤ p : ∃ ẋ ∈ M r ⊩ ϕ(ẋ)} dicht in P unter p. (vii) Falls p ⊩ ∃ x (x ∈ ż ∧ ϕ(x, ẋ_{1}, ..., ẋ_{n})),

dann ∃ q ≤ p ∃ ẏ ∈ dom(ż) q ⊩ ϕ(ẏ, ẋ_{1}, ..., ẋ_{n})).

3.19 Lemma (Maximalitätsprinzip) Sei P eine FH in M, ϕ(v_{0}, ..., v_{n−1}) eine ∈-Formel, p ∈ P und seien ẋ_{1}, ..., ẋ_{n} ∈ M. Falls p ⊩ ∃ y ϕ(y, ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}), dann existiert ein ẋ ∈ M mit p ⊩ ϕ(ẋ, ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}).

3.20 Bemerkung Bei Anwendung der Forcing-Technik ist es manchmal hilfreich innerhalb der Forcing-Sprache Aussagen über die Beziehung zwischen Grundmodell und generischer Erweiterung zu machen. Damit sind Aussagen der Art x ∈ M oder x ∉ M gemeint. Um dies zu realisieren, weitet man die Forcing-Relation auf Formeln aus, die zusätzlich ein weiteres einstelliges Relationssymbol M̌ enthalten :

p ⊩ ẋ ∈ M̌ :⇔ ∀ q ≤ p ∃ r ≤ q ∃ y r ⊩ ẋ = y̌. Sei x ∈ M[G] und ẋ ein Name für x. Dann gilt: (x ∈ M)^{M[G]} gdw (es existiert ein kanonischer Name für x)^{M[G]}

gdw ∃ p ∈ G p ⊩ ∃ ein kanonischer Name für ẋ gdw ∃ p ∈ G ∀ q ≤ p ∃ r ≤ q ∃ y r ⊩ ẋ = y̌ gdw ∃ p ∈ G p ⊩ ẋ ∈ M̌.

3.21 Definition Sei B eine vollständige Boolesche Algebra in M, ϕ(v_{0}, ..., v_{n−1}) eine ∈-Formel und seien ẋ_{1}, ..., ẋ_{n} ∈ M. Dann definiere

||ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n})|| := ∑{p ∈ B-{0} : p ⊩ ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n})}. ||ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n})|| heißt der Wahrheitswert von ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}).

3.3 Bewahrung von Kardinalzahlen

Cohen’s ursprüngliche Motivation zur Entwicklung des Forcing war der Beweis der relativen Konsistenz von ¬CH mit den ZFC-Axiomen. In diesem Zusammenhang wurden einige sehr wichtige Ausssagen über das Verhalten von Kardinalzahlen in generischen Erweiterungen bewiesen. Diese sollen in diesem Paragraphen behandelt werden und kommen dann später im Kapitel über den Levy-Kollaps zur Anwendung.

3.22 Definition Sei P eine FH und κ eine Kardinalzahl.

(i) P hat die κ-Antiketteneigenschaft (κ-c.c.) :⇔ jede Antikette in P hat Kardinalität < κ.

(ii) P ist λ-abgeschlossen :⇔ falls γ < λ und {p_{α} : α < γ} ⊂ P mit p_{β} ≤ p_{α} für α < β < γ, dann existiert ein p ∈ P derart, daß p ≤ p_{α} für alle α < γ.

Sei P eine FH in M und κ eine Kardinalzahl in M. (iii) P bewahrt Konfinalitäten ≥ κ (bzw. ≤ κ) :⇔

∀ P -generischen Filter G über M ∀ α ∀ β ≥ κ (bzw. ∀ β ≤ κ)

(lim(α) → (M ⊧ cf(α) = β → M[G] ⊧ cf(α) = β)). (iv) P bewahrt Kardinalitäten ≥ κ (bzw. ≤ κ) :⇔

∀ P -generischen Filter G über M ∀ λ ≥ κ (bzw. ∀ λ ≤ κ) (M ⊧ λ ist Kardinalzahl → M[G] ⊧ λ ist Kardinalzahl).

3.23 Satz (a) Sei P eine FH in M, κ eine Kardinalzahl in M und es gelte (P hat κ-c.c.)^{M}. Dann bewahrt P Konfinalitäten ≥ κ.

(b) Sei κ eine reguläre Kardinalzahl in M und P eine FH in M, die Konfinalitäten ≥ κ bewahrt. Dann bewahrt P auch Kardinalitäten ≥ κ.

Beweis:

(a) : Sei G ein P -generischer Filter über M und λ eine Limesordinalzahl mit cf(λ)^{M} ≥ κ. Angenommen, P bewahrt nicht cf(λ)^{M}. Dann existieren ein δ < cf(λ)^{M} und ein f ∈ M[G], so daß M[G] ⊧ (f : δ → λ ist konfinal). Sei ḟ ein Name für f. Nach dem Forcing-Theorem existiert dann ein p ∈ G mit p ⊩ ḟ : δ̌ → λ̌ konfinal. Arbeite nun in M : Definiere für jedes α < δ :

A_{α} := {β < λ : ∃ q ≤ p q ⊩ ḟ(α̌) = β̌}. Wähle dann für jedes β ∈ A_{α} ein q(β) ≤ p mit q(β) ⊩ ḟ(α̌) = β̌. Falls β_{1}, β_{2} ∈ A_{α} mit β_{1} ≠ β_{2}, so sind q(β_{1}) und q(β_{2}) inkompatibel, da sie verschiedene Werte für f an der Stelle α forcen. Die Menge {q(β) : β ∈ A_{α}} ist also eine Antikette in P und hat daher Kardinalität < κ ≤ cf(λ). Da die Zuordnung β ↦ q(β) injektiv ist, folgt somit: \overline{\overline{A_{α}}} < cf(λ). Für A := ⋃_{α<δ} A_{α} gilt dann \overline{\overline{A}} < cf(λ), da cf(λ) regulär ist. “Tritt“ man nun wieder aus M heraus, so ist gezeigt: A ∈ M und (\overline{\overline{A}} < cf(λ))^{M}. Wir erhalten hieraus einen Widerspruch, falls wir zeigen können, daß A unbeschränkt in λ ist. Dazu genügt es ran(f) ⊂ A zu zeigen: Seien α < δ und β < λ mit β = f(α). Wegen f ∈ M[G] existiert nach dem Forcing-Theorem ein r ∈ G mit r ⊩ ḟ(α̌) = β̌. Wegen p, r ∈ G gibt es ein q ∈ G mit q ≤ p, r. Folglich ist f(α) = β ∈ A_{α} ⊂ A. ⊣ (a)

(b) : Sei G ein P -generischer Filter über M und λ ≥ κ eine Kardinalzahl in M. Falls λ regulär in M ist, dann gilt cf(λ)^{M[G]} = cf(λ)^{M} = λ, da P Konfinalitäten ≥ κ bewahrt. Folglich ist λ eine Kardinalzahl in M[G]. Falls λ eine Limeskardinalzahl in M ist, dann gilt

λ = ⋃{μ : μ ist regulär ∧ κ ≤ μ < λ}^{M}.

= ⋃{μ : μ ist regulär ∧ κ ≤ μ < λ}^{M[G]}, da wir bereits wissen, daß reguläre Kardinalzahlen bewahrt werden. Also ist auch in diesem Fall λ eine Kardinalzahl in M[G]. q.e.d.

3.24 Satz Sei P eine FH in M, λ eine Kardinalzahl in M und es sei P λ-abgeschlossen in M. Dann gilt für jeden P -generischen Filter G über M : (^{<λ}On) ∩ M[G] ⊂ M.

Beweis: Sei γ < λ und g ∈ M[G] eine Funktion g : γ → On. Sei ġ ein Name für g. Setze X := ^{γ}On ∩ M ∈ M. Angenommen, g ∉ X. Dann existiert nach dem Forcing-Theorem ein p ∈ G derart, daß

p ⊩ (ġ : γ̌ → On ∧ ġ ∉ X̌). Definiere rekursiv in M Folgen (r_{α} : α ≤ γ) ⊂ P und (ξ_{α} : α < γ) ⊂ On ∩ M mit:

(1) r_{0} = p,

(2) r_{α} ≤ r_{β} für β < α,

(3) r_{α+1} ⊩ ġ(α̌) = ξ̌_{α} : Sei r_{α} ≤ p schon definiert. Dann gilt: r_{α} ⊩ ġ : γ̌ → On. Daher existieren nach Lemma 3.18(vi) ein r_{α+1} ≤ r_{α} und ein ξ_{α} ∈ On ∩ M[G] = On ∩ M mit r_{α+1} ⊩ ġ(α̌) = ξ̌_{α}. Falls α eine Limesordinalzahl ist, existiert aufgrund der λ-Abgeschlossenheit von P in M ein r_{α} ∈ P derart, daß r_{α} ≤ r_{β} für alle β < α. Definiere in M : h := {(α, ξ_{α}) : α < γ ∧ ξ_{α} ∈ On ∩ M ∧ r_{α+1} ⊩ ġ(α̌) = ξ̌_{α}} ∈ X. Sei H ein P -generischer Filter über M mit r_{γ} ∈ H. Dann gilt:

∀ α < γ r_{α} ∈ H ⇒ ∀ α < γ ġ_{H}(α) = ξ_{α} ⇒ ġ_{H} = h ∈ X. Andererseits gilt aber: r_{0} = p ⊩ ġ ∉ X̌, also ġ_{H} ∉ X, ein Widerspruch. q.e.d.

3.25 Satz Sei P eine FH in M, λ eine Kardinalzahl in M und es sei P λ-abgeschlossen in M. Dann bewahrt P Konfinalitäten und Kardinalitäten ≤ λ.

Beweis: Satz 3.24 und Satz 3.25 q.e.d.

Um zu zeigen, daß eine Forcing-Halbordnung die κ-Antiketteneigenschaften hat, benötigt man häufig das sogenannte Δ-System-Lemma. Der Beweis dieses Lemmas ist rein kombinatorischer Art und kann wiederum bei Kunen[13] nachgelesen werden.

3.26 Lemma (Δ-System-Lemma) Sei κ eine reguläre Kardinalzahl und λ < κ eine unendliche Kardinalzahl und es gelte α^{<λ} < κ für alle α < κ. Sei A eine Menge mit \overline{\overline{A}} = κ und \overline{\overline{x}} < λ für alle x ∈ A. Dann existieren ein B ⊂ A mit \overline{\overline{B}} = κ und ein r, so daß ∀ x, y ∈ B (x ≠ y → x ∩ y = r). Ein Menge mit dieser Eigenschaft heißt Δ-System mit Wurzel r.

Ein weiteres wichtiges Resultat in diesem Zusammenhang ist die Bewahrung der Unerreichbarkeitseigenschaft für Kardinalzahlen, falls die Forcing-Halbordnung P gewisse Voraussetzungen erfüllt. Dieses Ergebnis beruht auf folgendem Satz:

3.27 Satz Sei P eine FH in M und x ∈ M.

(a) Sei ẏ ∈ M. Definiere für jedes z ∈ x : B_{z} := {p ∈ P : p ⊩ ž ∈ ẏ ∨ p ⊩ ž ∉ ẏ} Sei A_{z} eine maximale Antikette in B_{z} für jedes z ∈ x. Dann definiere einen P -Namen ỹ durch ỹ:= {(ž, p) : z ∈ x ∧ p ∈ A_{z} ∧ p ⊩ ž ∈ ẏ} ∈ M. Für dieses ỹ gilt: 1 ⊩ (ẏ ⊂ x̌ → ẏ = ỹ). ỹ heißt auch kanonischer Name für ẏ_{G} bzgl. P.

(b) 1 ⊩ \overline{\overline{P(x̌)}} ≤ λ̌_{0}, wobei λ_{0} = (2^{\overline{\overline{x}}·\overline{\overline{P}}})^{M}.

Beweis: (a): Sei G ein P -generischer Filter über M und es gelte ẏ_{G} ⊂ x. Dann ist ẏ_{G} = ỹ_{G} zu zeigen. Sei zunächst z ∈ ẏ_{G}. Betrachte die Menge D := {q ∈ P : ∃ p ∈ A_{z} q ≤ p}. D ist dicht in P, denn falls r ∈ P, dann existiert nach Lemma 3.18(iv) ein s ∈ B_{z} mit s ≤ r. Ist s ∈ A_{z}, so ist s wie gewünscht. Ist s ∉ A_{z}, so existiert aufgrund der Maximalität von A_{z} ein p ∈ A_{z} mit s ∥ p. Sei q ≤ s, r eine gemeinsame Verstärkung von r und s. Dann ist q ∈ D mit q ≤ r und die Dichtheit von D ist somit gezeigt. Da G ein P -generischer Filter über M ist, existiert nun ein q ∈ D ∩ G. Sei daher p ∈ A_{z} mit q ≤ p. Dann ist p ∈ A_{z} ∩ G. Ferner existiert wegen z ∈ ẏ_{G} ein r ∈ G mit r ⊩ ž ∈ ẏ. Da p und r kompatibel sind, folgt ¬p ⊩ ž ∉ ẏ, also p ⊩ ž ∈ ẏ wegen p ∈ A_{z}. Damit ist (ž, p) ∈ ỹ und aus p ∈ G folgt schließlich z = ž_{G} ∈ ỹ_{G}. Sei umgekehrt v ∈ ỹ_{G}. Dann existiert nach Definition von ỹ und der G-Interpretation I_{G} ein Paar (ž, p) ∈ ỹ mit z ∈ x, p ∈ A_{z} ∩ G, p ⊩ ž ∈ ẏ und v = ž_{G} = z. Wegen p ∈ G folgt dann (ž_{G} ∈ ẏ_{G})^{M[G]}, also v = z ∈ ẏ_{G}. ⊣ (a)

(b): Sei G ein P -generischer Filter über M. Definiere Z := {ỹ ∈ M : ỹ ist kanonischer Name für eine Teilmenge von x bzgl. P }, Y := {y ∈ M : y ⊂ {ž: z ∈ x} × P }.

Dann ist Y ∈ M nach (Ers)^{M} und (Pot)^{M}, und Z ∈ M wegen Z ⊂ Y und (Aus)^{M}. Desweiteren gilt (\overline{\overline{Z}} ≤ \overline{\overline{Y}} = 2^{\overline{\overline{x}}·\overline{\overline{P}}})^{M}. Da die G-Interpretation I_{G} eine surjektive

Abbildung von Z auf P(x)^{M[G]} ist, folgt nun \overline{\overline{P(x)}}^{M[G]} ≤ (2^{\overline{\overline{x}}·\overline{\overline{P}}})^{M}. q.e.d.

3.28 Satz Sei P eine FH in M, κ eine unerreichbare Kardinalzahl in M und es gelte (\overline{\overline{P}} < κ)^{M}. Dann ist κ auch unerreichbar in M[G] für jeden P -generischen Filter G über M.

Beweis: Aus (\overline{\overline{P}} < κ)^{M} folgt (P hat κ-c.c)^{M}. Nach Satz 3.23 bewahrt daher P Konfinalitäten und Kardinalitäten ≥ κ. Folglich ist κ eine reguläre Kardinalzahl in M[G].

Sei jetzt λ < κ eine Kardinalzahl in M[G]. Nach Satz 3.27(b) gilt \overline{\overline{P(λ)}}^{M[G]} ≤ λ_{0}, wobei λ_{0} = (2^{\overline{\overline{λ}}·\overline{\overline{P}}})^{M}. Wegen (\overline{\overline{P}} < κ)^{M} und da κ in M unerreichbar ist, folgt

λ_{0} = (2^{\overline{\overline{λ}}·\overline{\overline{P}}})^{M} < κ. Zusammen ergibt dies: (2^{λ})^{M[G]} = \overline{\overline{P(λ)}}^{M[G]} ≤ λ_{0} < κ = κ^{M[G]}. q.e.d.

3.4 Forcing und dichte Einbettungen

Sind P und Q zwei Forcing-Halbordnungen und i : P → Q eine Abbildung, so stellt sich die Frage, ob die generischen Erweiterungen, die man durch Forcing mit P bzw. Q erhält, in irgendeiner Beziehung zueinander stehen, falls i gewisse Voraussetzungen erfüllt. Eine wichtige Antwort auf diese Frage liefert der folgende Satz.

3.29 Satz Seien P und Q FH in M und i : P → Q eine dichte Einbettung in M. Für G ⊂ P definiere ĩ(G) := {q ∈ Q : ∃ p ∈ G i(p) ≤ q}. Dann gilt:

(a) Falls H ⊂ Q ein Q-generischer Filter über M ist, so ist i^{−1}(H) ein P -generischer Filter über M.

(b) Falls G ⊂ P ein P -generischer Filter über M ist, so ist ĩ(G) ein Q-generischer über M.

(c) Unter den Voraussetzungen von (a) gilt M[H] = M[i^{−1}(H)].

Unter den Voraussetzungen von (b) gilt M[G] = M[ĩ(G)].

Zum Beweis dieses Satzes benötigen wir zwei kleine Lemmata.

3.30 Lemma Sei P eine FH in M, E ⊂ P, E ∈ M und G ein P -generischer Filter über M.

(i) Entweder ist G ∩ E ≠ ∅ oder es gilt: ∃ q ∈ G ∀ r ∈ E r ⊥ q. (ii) Falls p ∈ G und E dicht unter p ist, dann folgt G ∩ E ≠ ∅.

Beweis:

(i) : Definiere D := {p ∈ P : ∃ r ∈ E p ≤ r} ∪ {q ∈ P : ∀ r ∈ E r ⊥ q} ∈ M. D ist dicht in P und daher ist G ∩ D ≠ ∅. Hieraus folgt die Behauptung (ii) : Angenommen, G ∩ E = ∅. Dann existiert nach (i) ein q ∈ G, so daß r ⊥ q für alle r ∈ E. Sei q′ ∈ G mit q′ ≤ p, q. Da E dicht unter p ist, existiert ein r ∈ E mit r ≤ q′, also r ≤ q. Dies widerspricht aber r ⊥ q. q.e.d.

3.31 Lemma Sei P eine FH in M und seien G_{1}, G_{2} zwei P -generische Filter über M. Falls G_{1} ⊂ G_{2}, dann gilt schon G_{1} = G_{2}.

Beweis: Angenommen, es existiert ein p ∈ G_{2} mit p ∉ G_{1}. Wegen G_{1} ∩{p} = ∅ existiert nach Lemma 3.30(i) ein q ∈ G_{1} mit q ⊥ p, im Widerspruch zu p, q ∈ G_{2}. q.e.d.

Beweis von Satz 3.29

(a) : Sei D ∈ M dicht in P. Da i′′P dicht in Q ist, ist auch i′′D dicht in Q. Aufgrund der Q-Generizität von H folgt daher (i′′D)∩H ≠ ∅, also ist D∩i^{−1}(H) ≠ ∅. Falls p ∈ i^{−1}(H) und p′ ∈ P mit p ≤ p′, dann folgt i(p) ≤ i(p′) und i(p) ∈ H, also i(p′) ∈ H und somit p′ ∈ i^{−1}(H). Falls p, p′ ∈ i^{−1}(H), dann sind i(p), i(p′) ∈ H und daher kompatibel in Q. Da i inkompatibilitätserhaltend ist, folgt p ∥ p′. Es bleibt zu zeigen, daß p und p′ eine gemeinsame Erweiterung in i^{−1}(H) haben. Sei dazu D := {r ∈ P : r ⊥ p ∨ r ⊥ p′ ∨ (r ≤ p ∧ r ≤ p′)}. D ist dicht in P und daher existiert ein r ∈ i^{−1}(H) ∩ D. Wie eben gezeigt, sind die Elemente von i^{−1}(H) paarweise kompatibel. Wegen p, p′ ∈ i^{−1}(H) folgt daher r ≤ p und r ≤ p′. ⊣ (a)

(b) : Falls q ∈ ĩ(G) und q′ ∈ Q mit q ≤ q′, dann existiert ein p ∈ G mit i(p) ≤ q ≤ q′ und somit ist auch q′ ∈ ĩ(G). Falls q, q′ ∈ ĩ(G), dann existieren p, p′ ∈ G mit i(p) ≤ q und i(p′) ≤ q′. Da p und p′ kompatibel sind, existiert weiter ein r ∈ G mit r ≤ p, p′. Folglich ist i(r) ∈ ĩ(G) und es gilt i(r) ≤ q, q′. Sei D ∈ M dicht in Q. Setze D^{∗} := {p ∈ P : ∃ q ∈ D i(p) ≤ q}. Um D ∩ ĩ[G] ≠ ∅ zu beweisen, genügt es zu zeigen, daß D^{∗} dicht in P ist, denn dann folgt D^{∗} ∩ G ≠ ∅ und somit D ∩ ĩ(G) ≠ ∅. Sei also p ∈ P. Dann existieren ein q ∈ D mit q ≤ i(p) und ein p′ ∈ P mit i(p′) ≤ q. Folglich sind i(p) und i(p′) kompatibel und daher sind auch p und p′ kompatibel. Es existiert also ein p′′ ∈ P mit p′′ ≤ p, p′. Wegen i(p′′) ≤ q ist p′′ ∈ D^{∗} und die Dichtheit von D^{∗} ist somit gezeigt. ⊣ (b)

(c) : Wegen i ∈ M und H ∈ M[H] und G ∈ M[G] ist i^{−1}(H) ∈ M[H] und ĩ(G) ∈ M[G]. Aufgrund der Minimalität von M[i^{−1}(H)] und M[ĩ(G)] folgt dann M[i^{−1}(H)] ⊂ M[H] und M[ĩ(G)] ⊂ M[G]. Umgekehrt sieht man sofort, daß ĩ(i^{−1}(H)) ⊂ H und G ⊂ i^{−1}(ĩ(G)). Da nach (a) ĩ(i^{−1}(H)) ein Q-generischer Filter über M und nach (b) i^{−1}(ĩ(G)) ein P -generischer Filter über M ist, folgt aus Lemma 3.31, daß ĩ(i^{−1}(H)) = H und G = i^{−1}(ĩ(G)). Daher ist H ∈ M[i^{−1}(H)] und G ∈ M[ĩ(G)]. Aufgrund der Minimalität von M[H] und M[G] folgt dann M[H] ⊂ M[i^{−1}(H)] und M[G] ⊂ M[ĩ(G)]. ⊣ (c) q.e.d.

3.32 Definition Sei i : P → Q eine Abbildung in M. Dann definiere für ẋ ∈ M

i_{∗}(ẋ) := {(i_{∗}(ẏ), i(p)) : (ẏ, p) ∈ ẋ ∧ p ∈ P }. (Dies ist wieder eine rekursive Definition über R (vgl. Definition 3.12).)

3.33 Lemma Sei i : P → Q eine dichte Einbettung in M.

(a) Für jeden Q-generischer Filter H über M gilt: I_{i^{−1}(H)}(ẋ) = I_{H}(i_{∗}(ẋ)).

(b) Für jede Formel ϕ gilt: p ⊩_{P} ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}) gdw i(p) ⊩_{Q} ϕ(i_{∗}(ẋ_{1}), ..., i_{∗}(ẋ_{n})).

Beweis: Der Beweis von (a) ist eine einfache R-Induktion : I_{i^{−1}(H)}(ẋ) = {I_{i^{−1}(H)}(ẏ) : ∃ p ∈ i^{−1}(H) (ẏ, p) ∈ ẋ}

= {I_{H}(i_{∗}(ẏ)) : ∃ p ∈ i^{−1}(H) (i_{∗}(ẏ), i(p)) ∈ i_{∗}(ẋ)}

= {I_{H}(ż) : ∃ q ∈ H (ż, q) ∈ i_{∗}(ẋ)} = I_{H}(i_{∗}(ẋ)}. ⊣ (a)

(b) : Es gelte p ⊩_{P} ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}). Sei H ein Q-generischer Filter über M mit i(p) ∈ H. Dann ist p ∈ i^{−1}(H) und nach Definition von ⊩_{P} gilt

ϕ(I_{i^{−1}(H)}(ẋ_{1}), ..., I_{i^{−1}(H)}(ẋ_{n}))^{M[i^{−1}(H)]}. Wegen I_{i^{−1}(H)}(ẋ_{j}) = I_{H}(i_{∗}(ẋ_{j})) und M[H] = M[i^{−1}(H)] folgt

ϕ(I_{H}(i_{∗}(ẋ_{1})), ..., I_{H}(i_{∗}(ẋ_{n})))^{M[H]}. Nach Definition von ⊩_{Q} folgt daher: i(p) ⊩_{Q} ϕ(i_{∗}(ẋ_{1}), ..., i_{∗}(ẋ_{n})). Wir nehmen nun umgekehrt an, daß ¬(p ⊩_{P} ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}). Nach Lemma 3.19(iv) existiert dann ein p′ ≤ p mit p′ ⊩_{P} ¬ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n}). Aufgrund des ersten Teils dieses Beweises von (b) folgt daraus i(p′) ⊩_{Q} ¬ϕ(i_{∗}(ẋ_{1}), ..., i_{∗}(ẋ_{n})). Wegen i(p′) ≤ i(p) gilt dann ¬(i(p) ⊩_{Q} ϕ(i_{∗}(ẋ_{1}), ..., i_{∗}(ẋ_{n}))). ⊣ (b) q.e.d.

3.5 Produkt-Forcing

Sei P eine FH in M, G ein P -generischer Filter über M und Q eine FH in M[G]. Dann kann in M eine FH R konstruiert werden, so daß jede Q-generische Erweiterung über M[G] mit einer R-generischen Erweiterung über M übereinstimmt. Falls Q ∈ M ist, erfüllt R := P × Q diesen Sachverhalt (siehe Satz 3.37). Im allgemeinen Fall ist die Konstruktion von R dagegen etwas komplizierter. Beachte zunächst, daß in M[G] die FH (Q, ≤_{Q}) zu einer FH (α, ≤^{∗}), α ∈ On, isomorph ist. Nach Satz 3.29 können wir daher (Q, ≤_{Q}) = (α, ≤^{∗}) annehmen. Dies führt zu einer wesentlichen Vereinfachung: Sei ṙ ein Name für ≤^{∗}, dann gilt zwar nicht unbedingt, daß 1 ⊩ ((α̌, ṙ) ist eine FH), aber es gilt 1 ⊩ ∃ x (((α̌, x) ist eine FH) ∧ (((α̌, ṙ) ist eine FH) → x = ṙ)). Nach dem Maximalitätsprinzip (Lemma 3.19) existiert daher ein P -Name ṡ derart, daß 1 ⊩ (((α̌, ṡ) ist eine FH) ∧ (((α̌, ṙ) ist eine FH) → ṡ = ṙ). Da (α, ṙ_{G}) eine FH in M[G] ist, folgt hieraus: ṡ_{G} = ṙ_{G} = ≤^{∗}. Wir können daher bei der Konstruktion von R mit einem P -Namen ṡ für ≤^{∗} arbeiten, für den gilt: 1 ⊩ ((α̌, ṡ) ist eine FH).

3.34 Definition Sei P eine FH in M. Ein P -Name für eine FH ist ein Paar (Q̇, ṙ) ∈ M derart, daß

1_{P} ⊩_{P} ((Q̇, ṙ) ist eine FH). Wir schreiben im folgenden Q̇ statt (Q̇, ṙ) und ≤Q̇ statt ṙ. Desweiteren bezeichne 1Q̇ einen P -Namen mit der Eigenschaft 1_{P} ⊩_{P} (1Q̇ ist ≤Q̇-maximales Element in Q̇) (solch ein Name existiert nach dem Maximalitätsprinzip).

3.35 Definition Sei P eine FH in M und sei Q̇ = (Q̇, ≤Q̇) ein P -Name für eine FH. Dann definiere

P ∗ Q̇ := {(p, q̇) : p ∈ P ∧ q̇ ∈ dom(Q̇) ∧ p ⊩ q̇ ∈ Q̇}

(p_{1}, q̇_{1}) ≤ (p_{2}, q̇_{2}) :⇔ p_{1} ≤_{p} p_{2} und p_{1} ⊩ q̇_{1} ≤Q̇ q̇_{2}

1_{P ∗Q̇} := (1_{P} , 1Q̇).

(P ∗ Q̇, ≤) ist eine Forcing-Halbordnung mit größtem Element 1_{P ∗Q̇}.

3.36 Satz Sei P eine FH in M und Q̇ ein P -Name für eine FH.

(a) Sei G_{0} ein P -generischer Filter über M und G_{1} ein Q̇_{G_{0}}-generischer Filter über M[G_{0}]. Dann ist die Menge

G_{0} ∗ G_{1} := {(p, q̇) ∈ P ∗ Q̇ : p ∈ G_{0} ∧ q̇_{G_{0}} ∈ G_{1}}

ein P ∗ Q̇-generischer Filter über M und es gilt M[G_{0}][G_{1}] = M[G_{0} ∗ G_{1}].

(b) Sei umgekehrt G ein P ∗ Q̇-generischer Filter über M und definiere

G_{0} := {p ∈ P : ∃ q̇ (p, q̇) ∈ G},

G_{1} := {q̇_{G_{0}} : ∃ p ∈ P (p, q̇) ∈ G}.

Dann ist G_{0} ein P -generischer Filter über M und G_{1} ein Q̇_{G_{0}}-generischer Filter über M[G_{0}] und es gilt G = G_{0} ∗ G_{1} und M[G] = M[G_{0}][G_{1}].

Beweis:

(a) : Seien (p_{1}, q̇_{1}) ∈ G_{0} ∗ G_{1} und (p_{2}, q̇_{2}) ∈ P ∗ Q̇ mit (p_{1}, q̇_{1}) ≤ (p_{2}, q̇_{2}). Dann ist p_{1} ∈ G_{0} mit p_{1} ≤ p_{2} und daher ist p_{2} ∈ G_{0}. Desweiteren gilt p_{1} ⊩ q̇_{1} ≤Q̇ q̇_{2}. Wegen p_{1} ∈ G_{0} folgt daraus (q̇_{1})_{G_{0}} ≤ (q̇_{2})_{G_{0}}, also ist (q̇_{2})_{G_{0}} ∈ G_{1}, da (q̇_{1})_{G_{0}} ∈ G_{1}. Folglich ist (p_{2}, q̇_{2}) ∈ G_{0} ∗ G_{1}.

Seien (p_{1}, q̇_{1}), (p_{2}, q̇_{2}) ∈ G_{0}∗G_{1}. Dann sind p_{1}, p_{2} ∈ G_{0} und daher existiert ein r ∈ G_{0} mit r ≤ p_{1}, p_{2}. Desweiteren sind (q̇_{1})_{G_{0}}, (q̇_{2})_{G_{0}} ∈ G_{1}. Daher existiert ein P -Name q̇_{3}, so daß (q̇_{3})_{G_{0}} ∈ G_{1} und (q̇_{3})_{G_{0}} ≤ (q̇_{1})_{G_{0}}, (q̇_{1})_{G_{0}}. Nach dem Forcing-Theorem existiert ein s ∈ G_{0} mit s ⊩ q̇_{3} ≤Q̇ q̇_{1}, q̇_{2}. Sei p_{3} ∈ G_{0} eine gemeinsame Verstärkung von r und s. Dann gilt (p_{3}, q̇_{3}) ∈ G_{0} ∗ G_{1} und (p_{3}, q̇_{3}) ≤ (p_{1}, q̇_{1}), (p_{2}, q̇_{2}).

Sei D ∈ M dicht in P ∗ Q̇. Dann ist D ∩ (G_{0} ∗ G_{1}) ≠ ∅ zu zeigen.

(1) E := {q̇_{G_{0}} : ∃ p ∈ G_{0} (p, q̇) ∈ D} ∈ M[G_{0}] und E ist dicht in Q̇_{G_{0}}. Beweis: E ∈ M[G_{0}] ist klar. Sei ṙ ein P -Name mit ṙ_{G_{0}} ∈ Q̇_{G_{0}}. Dann existiert nach dem Forcing-Theorem ein p ∈ G_{0} derart, daß p ⊩ ṙ ∈ Q̇. Sei Ė ein P -Name für E.

(1.1) F := {p ∈ P : ∃ ẋ ∈ M p ⊩ (ẋ ≤Q̇ ṙ ∧ ẋ ∈ Ė)} ist dicht in P unter p. Beweis: Sei p′ ∈ P mit p′ ≤ p. Dann gilt p′ ⊩ ṙ ∈ Q̇. Daher ist (p′, ṙ) ∈ P ∗ Q̇. Da D dicht in P ∗ Q̇ ist, existiert ferner ein (p′′, ẋ) ∈ D mit (p′′, ẋ) ≤ (p′, ṙ). Dieses p′′ bezeugt dann die Dichtheit von F in P unter p ⊣ (1.1). Da G_{0} ein P -generischer Filter über M ist, existiert nun wegen (1.1) ein p ∈ G_{0} und ein q̇ ∈ M mit p ⊩ (q̇ ≤Q̇ ṙ ∧ q̇ ∈ Ė). Folglich ist q̇_{G_{0}} ≤ ṙ_{G_{0}} und q̇_{G_{0}} ∈ E ⊣ (1). Da G_{1} ein Q̇_{G_{0}}-generischer Filter über M[G_{0}] ist, existiert wegen (1) ein ṫ_{G_{0}} ∈ E∩G_{1}. Folglich existiert ein p ∈ G_{0} mit (p, ṫ) ∈ D ∩ G_{0} ∗ G_{1}.

Es bleibt zu zeigen, daß M[G_{0}][G_{1}] = M[G_{0} ∗ G_{1}] : Da G_{0} ∗ G_{1} aus G_{0} und G_{1} definierbar ist, gilt M[G_{0} ∗ G_{1}] ⊂ M[G_{0}][G_{1}]. Umgekehrt kann G_{0} aus G_{0} ∗ G_{1} definiert werden: die Menge {p ∈ P : ∃ q̇ (p, q̇) ∈ G_{0} ∗ G_{1}} ist eine Teilmenge von G_{0} und nach (b) ein P -generischer Filter über M ist. Aus Lemma 3.31 folgt dann: G_{0} = {p ∈ P : ∃ q̇ (p, q̇) ∈ G_{0} ∗ G_{1}}. Folglich ist G_{0} ∈ M[G_{0} ∗ G_{1}]. Analog zeigt man, wiederum mit Hilfe von (b) und Lemma 3.31, daß G_{1} = {q̇_{G_{0}} : ∃ p ∈ P (p, q̇) ∈ G_{0} ∗ G_{1}} ∈ M[G_{0} ∗ G_{1}]. ⊣ (a)

(b) : Aus der Definition von G_{0} folgt unmittelbar, daß die Forderungen (i) und (ii) in der Definition 3.9 für G_{0} erfüllt sind. Zum Nachweis der Generizität von G_{0} über M sei D ∈ M dicht in P. Dann definiere E := {(p, q̇) : (p, q̇) ∈ P ∗Q̇ ∧ p ∈ D} ∈ M. E ist dicht in P ∗ Q̇, denn falls (p, q̇) ∈ P ∗ Q̇, so ist p ∈ P und es existiert ein p′ ∈ D mit p′ ≤ p. Folglich ist (p′, q̇) ≤ (p, q̇) und (p′, q̇) ∈ E. Da G ein P ∗ Q̇-generischer Filter über M ist, existiert nun ein (p, q̇) ∈ E ∩ G und daher ist p ∈ D ∩ G_{0}.

Der nächste Schritt im Beweis von (b) ist der Nachweis, daß G_{1} ein Q̇_{G_{0}}-generischer Filter über M[G_{0}] ist. Seien dazu zunächst q̇_{G_{0}} ∈ G_{1} und ṙ_{G_{0}} ∈ Q̇_{G_{0}} mit q̇_{G_{0}} ≤ ṙ_{G_{0}}. Dann existiert ein p ∈ P mit (p, q̇) ∈ G und ein p_{1} ∈ G_{0} mit p_{1} ⊩ q̇ ≤ ṙ. Aus p_{1} ∈ G_{0} folgt die Existenz eines q̇_{1} mit (p_{1}, q̇_{1}) ∈ G. Da G ein P ∗ Q̇-generischer Filter über M ist, existiert ein (p_{2}, q̇_{2}) ∈ G mit (p_{2}, q̇_{2}) ≤ (p, q̇), (p_{1}, q̇_{1}). Dann gilt p_{2} ⊩ q̇_{2} ≤ q̇ und p_{2} ⊩ q̇ ≤ ṙ (da p_{1} ⊩ q̇ ≤ ṙ und p_{2} ≤ p_{1}). Hieraus folgt p_{2} ⊩ q̇_{2} ≤ ṙ und daher: (p_{2}, q̇_{2}) ≤ (p_{1}, ṙ) ⇒ (p_{1}, ṙ) ∈ G ⇒ ṙ_{G_{0}} ∈ G_{1}.

Falls (q̇_{1})_{G_{0}}, (q̇_{2})_{G_{0}} ∈ G_{1}, dann existieren p_{1}, p_{2} ∈ P mit (p_{1}, q̇_{1}), (p_{2}, q̇_{2}) ∈ G. Sei (p_{3}, q̇_{3}) ∈ G eine gemeinsame Verstärkung von (p_{1}, q̇_{1}) und (p_{2}, q̇_{2}) in G. Dann folgt (q̇_{3})_{G_{0}} ∈ G_{1}, p_{3} ∈ G_{0} und p_{3} ⊩ q̇_{3} ≤ q̇_{1}, q̇_{2}. Folglich ist (q̇_{3})_{G_{0}} ≤ (q̇_{1})_{G_{0}}, (q̇_{2})_{G_{0}}.

Sei D ∈ M[G_{0}] dicht in Q̇_{G_{0}} und Ḋ ein Name für D. Dann existiert nach dem Forcing-Theorem ein r ∈ G_{0} mit r ⊩ Ḋ dicht in Q̇.

(2) E := {(p, q̇) ∈ P ∗ Q̇ : p ⊩ q̇ ∈ Ḋ} ist dicht in P ∗ Q̇ unter (r, 1Q̇).

Beweis: Sei (p, q̇) ∈ P ∗ Q̇ mit (p, q̇) ≤ (r, 1Q̇). Wegen p ⊩ (Ḋ dicht in Q̇ ∧ q̇ ∈ Q̇) folgt p ⊩ ∃ ẋ ∈ Ḋ ẋ ≤ q̇. Nach dem Maximalitätsprinzip gibt es dann einen Namen q̇_{1} ∈ M mit p ⊩ q̇_{1} ∈ Ḋ ∧ q̇_{1} ≤ q̇. Foglich ist (p, q̇_{1}) ∈ E und (p, q̇_{1}) ≤ (p, q̇). ⊣ (2) Da G ein P ∗ Q̇-generischer Filter über M mit (r, 1Q̇) ∈ G ist, existiert nun nach Lemma 3.30(ii) ein (p, q̇) ∈ E ∩ G. Folglich ist q̇_{G_{0}} ∈ D ∩ G_{1}.

Es bleibt noch zu zeigen, daß G = G_{0} ∗ G_{1} und M[G] = M[G_{0}][G_{1}] : Falls (p, q̇) ∈ G, dann ist p ∈ G_{0} und q̇_{G_{0}} ∈ G_{1} nach Definition von G_{0} und G_{1}. Daher ist (p, q̇) ∈ G_{0} ∗ G_{1} und es folgt G ⊂ G_{0} ∗ G_{1}. Falls (p, q̇) ∈ G_{0} ∗ G_{1}, dann ist p ∈ G_{0}, q̇_{G_{0}} ∈ G_{1} und (p, q̇) ∈ P ∗ Q̇ nach Definition von G_{1} ∗ G_{1}. Daher existieren ein q̇_{1} ∈ M mit (p, q̇_{1}) ∈ G und ein p_{1} ∈ P mit (p_{1}, q̇) ∈ G. Sei (p_{2}, q̇_{2}) ∈ G eine gemeinsame Verschärfung von (p, q̇_{1}) und (p_{1}, q̇). Dann ist p_{2} ≤ p und es gilt p_{2} ⊩ q̇_{2} ≤ q̇, also ist (p_{2}, q̇_{2}) ≤ (p, q̇). Folglich ist (p, q̇) ∈ G und daher ist G_{0} ∗ G_{1} ⊂ G. Damit ist G = G_{0} ∗ G_{1} gezeigt. Hieraus folgt nun sofort, daß M[G] = M[G_{0}][G_{1}], da M[G_{0} ∗ G_{1}] = M[G_{0}][G_{1}] nach (a) ⊣ (b). q.e.d.

Wie bereits erwähnt, ist die Konstruktion des Produkt-Forcings im Spezialfall, daß P und Q zwei Forcing-Halbordungen in M sind, wesentlicher einfacher: Definiere eine Relation ≤ auf P × Q durch

(p_{1}, q_{1}) ≤ (p_{2}, q_{2}) :⇔ p_{1} ≤_{P} p_{2} ∧ q_{1} ≤_{Q} q_{2}.

Dann ist (P × Q, ≤) eine FH und es gilt:

3.37 Satz Seien P, Q FH’en in M und G ⊂ P × Q. Dann ist G ein P × Q-generischer Filter über M genau dann, wenn G = G_{0} × G_{1} für einen P -generischen Filter G_{0} über M und einen Q-generischen Filter G_{1} über M[G_{0}]. Ferner gilt M[G] = M[G_{0}][G_{1}].

Dieser Satz wird ähnlich wie Satz 3.36 bewiesen, siehe z.B. Kunen[13](S.253,254).

4 Ein Zwischenmodell-Satz

Mit Hilfe des eben bewiesenen Satzes 3.36 über Produkt-Forcing kann man zeigen, daß jedes ZFC-Modell N, das zwischen einem ZFC-Modell M und einer über M konstruierten generischen Erweiterung M[G] liegt, wieder eine generische Erweiterung über M ist. Desweiteren ist M[G] in dieser Situation eine generische Erweiterung über N. Diese beiden Resultate faßt der folgende Satz zusammen:

4.1 Satz Sei M ein abzählbares und transitives Modell von ZFC, R eine FH in M und G ein R-generischer Filter über M. Sei N ein weiteres transitives Modell von ZFC derart, daß M ⊂ N ⊂ M[G]. Dann existieren eine FH P in M und ein P-Name Q̇ mit den folgenden Eigenschaften:

(i) 1_{P} ⊩_{P} Q̇ ist eine FH.

(ii) Es existiert eine dichte Einbettung g : R → P ∗ Q̇.

(iii) Es existiert ein P-generischer Filter H_{1} über M und ein Q̇_{H_{1}}-generischer Filter

H_{2} über M[H_{1}], so daß N = M[H_{1}] und M[G] = M[H_{1}][H_{2}] und (\overline{\overline{Q̇_{H_{1}}}} ≤ \overline{\overline{R}})^{N}.

Dieses Kapitel beschäftigt sich ausschließlich mit dem Beweis des Satzes 4.1. Zur Konstruktion der Forcing-Halbordnung P, die bezeugt, daß N eine generische Erweiterung über M ist, arbeiten wir mit Booleschen Algebren statt mit reinen Forcing-Halbordnungen und verwenden die Tatsache, daß transitive ZFC-Modelle durch ihre Ordinalzahl-Mengen eindeutig bestimmt sind (vgl. Jech[10](S.127)). Der Beweis der Existenz der zweiten Forcing-Halbordnung R, die bezeugt, daß M[G] eine generische Erweiterung über N ist, ist technisch etwas aufwendiger. Bei der Konstruktion von R orientieren wir uns an der Vorgehensweise von Serge Grigorieff[6].

Es seien im folgenden M, R, G und N wie in Satz 4.1.

Für a ⊂ M bezeichne M[a] das kleinste transitive ZFC-Modell N mit N ⊃ M und a ∈ M und M ∩ On = M[a] ∩ On, falls ein solches Modell existiert.

4.2 Lemma Sei B eine vollständige Boolesche Algebra in M und ≤ die kanonische partielle Ordnung auf (B-{0}). Dann gilt für jeden (B-{0})-generischen Filter H über M:

(i) ∀ u ∈ B-{0} (u ∈ H ∨ −u ∈ H), d.h. H ist ein Ultrafilter auf (B-{0}, ≤). (ii) Falls X ∈ M mit X ⊂ H, dann ist ∏ X ∈ H.

Beweis:

(i) : Sei u ∈ B-{0}. Dann ist die Menge X := {y ∈ B-{0} : y ≤ u ∨ y ≤ −u} ∈ M dicht in B-{0}, denn für beliebiges a ∈ B-{0} gilt:

0 ≠ a = a · (u + (−u)) = a · u + a · (−u). Folglich ist a · u ≠ 0 oder a · (−u) ≠ 0. Im ersten Fall ist a · u ein Zeuge für die Dichtheit von X und im zweiten Fall gilt dies für a · (−u).

Da H ein (B-{0})-generischer Filter über M ist, folgt nun H ∩X ≠ ∅. Es existiert also ein q ∈ H mit q ≤ u oder q ≤ −u. Daher ist u ∈ H oder −u ∈ H. ⊣ (i)

(ii) : Sei X ⊂ H, X ∈ M. Setze Y := {y ∈ B-{0} : ∃ x ∈ X (y ⊥ x ∨ y ≤ ∏ X)}. Dann ist Y dicht in B-{0}, denn für beliebiges a ∈ B-{0} gilt:

Falls a ≰ ∏ X, dann existiert ein x ∈ X mit a ≰ x, also a · (−x) ≠ 0. Folglich ist a · (−x) ≤ a und a · (−x) ∈ Y.

Da H ein (B-{0})-generischer Filter über M ist, existiert nun ein y ∈ H ∩ Y. Wegen X ⊂ H muß dann y ≤ ∏ X gelten und somit ist ∏ X ∈ H. ⊣ (ii) q.e.d.

4.3 Lemma Sei B ∈ M eine vollständige Boolesche Algebra und A ∈ M eine vollständige Unteralgebra von B. Sei H ein (B-{0})-generischer Filter über M. Dann ist A ∩ H ein (A-{0})-generischer Filter über M.

Beweis: Falls a ∈ A ∩ H und b ∈ A-{0} mit a ≤ b, so ist auch b ∈ A ∩ H. Falls a, b ∈ A ∩ H, dann existiert ein c ∈ H mit c ≤ a, b. Wegen c ≤ a·b und a·b ∈ A folgt a·b ∈ A∩H. Es bleibt zu zeigen, daß A ∩ H alle dichten Teilmengen von A-{0} in M schneidet: Sei Y ∈ M dicht in A-\{0\}. Definiere \overline{Y} := \{−y : y ∈ Y \} ∈ M. Dann gilt ∏ \overline{Y} = 0. (Angenommen, ∏ \overline{Y} ≠ 0. Dann folgt ∑ Y ≠ 1, d.h. es existiert ein b ∈ A mit 0 ≠ b < 1 und d ≤ b für alle d ∈ Y. Da Y dicht in A-{0} ist, gibt es ein d ∈ Y mit d ≤ −b, also ist d ≤ −b · b = 0, ein Widerspruch.) Wegen ∏ \overline{Y} = 0 ∉ H folgt aus Lemma 4.2(ii): \overline{Y} ⊄ H, d.h. es existiert ein y ∈ \overline{Y} mit y ∉ H, also ist y ∈ Y ∩ H nach Lemma 4.2(i) und der Definition von \overline{Y}. q.e.d.

4.4 Lemma Sei B ∈ M eine vollständige Boolesche Algebra und X ∈ M eine Teilmenge von B, die B vollständig erzeugt. Sei H ein (B-{0})-generischer Filter über M. Dann gilt: M[H] = M[H ∩ X].

Beweis: Es ist zu zeigen, daß M[H] das kleinste transitive ZFC-Modell ist, welches H ∩ X enthält. Dazu genügt es zu zeigen, daß H in jedem ZFC-Modell N ⊃ M, das H ∩ X enthält, definiert werden kann: Da B von X erzeugt wird, erhält man jedes Element von B durch sukzessive (transfinite) Anwendung der Operationen − und ∑ auf Elemente von X. Definiere daher rekursiv Teilmengen X_{α} von B wie folgt:

X_{0} := X,

\overline{X}_{α} := \{−a : a ∈ X_{α}\} (α ≥ 0),

X_{α} := \{a : a = ∑ Z für Z ⊂ ⋃_{β<α}(X_{β} ∪ \overline{X}_{β}) mit Z ∈ M\} (α ≥ 1). Dann ist B = ⋃_{α<θ} X_{α} für ein θ ∈ On. Definiere weiter

H_{α} := X_{α} ∩ H,

\overline{H}_{α} := \overline{X}_{α} ∩ H. Dann gilt unter Berücksichtigung von Lemma 4.2 :

H_{0} = H ∩ X,

\overline{H}_{α} = \{−a : a ∈ X_{α} − H_{α}\} (α ≥ 0),

H_{α} = \{a ∈ X_{α} : a = ∑ Z ∧ Z ∩ (H_{β} ∪ \overline{H}_{β}) ≠ ∅ für ein β < α\} (α ≥ 1).

(Für H_{0} und \overline{H}_{α} ist dies offensichtlich. Sei a ∈ H_{α} = X_{α} ∩ H. Dann existiert ein Z ⊂ ⋃_{β<α}(X_{β} ∪ \overline{X}_{β}), Z ∈ M mit a = ∑ Z. Angenommen, Z ∩ (H_{β} ∪ \overline{H}_{β}) = ∅ für alle β < α. Dann ist −Z := \{−x : x ∈ Z\} ⊂ ⋃_{β<α}(H_{β} ∪\overline{H}_{β}), denn falls x ∈ Z, dann gilt entweder x ∈ X_{β} für ein β < α und wegen x ∉ H_{β} folgt hieraus −x ∈ \overline{H}_{β}, oder es gilt x ∈ \overline{X}_{β} für ein β < α. In diesem Fall ist dann −x ∈ X_{β} und wegen x ∉ \overline{H}_{β} folgt hieraus −x ∈ H_{β}. Da ⋃_{β<α}(H_{β} ∪ \overline{H}_{β}) ⊂ H ist, folgt nun −Z ⊂ H. Nach Lemma 4.2(ii) ist dann ∏ −Z ∈ H und daher ist a = ∑ Z ∉ H, ein Widerspruch. Ist umgekehrt a = ∑ Z ∈ X_{α} mit Z ∩ (H_{β} ∪ \overline{H}_{β}) ≠ ∅ für ein β < α. Dann existiert ein x ∈ Z ∩ H und daher ist a = ∑ Z ∈ H ∩ X_{α}.) Wegen H = ⋃_{α<θ} H_{α} (nach Definition der H_{α}), haben wir somit gezeigt, daß H in jedem ZFC-Modell N ⊃ M, das H ∩ X enthält, definiert werden kann. q.e.d.

4.5 Lemma Sei B eine vollständige Boolesche Algebra in M, H ein (B-{0})-generischer Filter über M und s ∈ M[H] derart, daß s ⊂ γ ∈ On ∩ M = On ∩ M[G]. Dann existiert eine γ-erzeugte vollständige Unteralgebra A ⊂ B, A ∈ M, mit M[A ∩ H] = M[s].

Beweis: Sei ṡ ein Name für s. Dann definiere X := {u_{α} : α < γ}, wobei u_{α} := ||α̌ ∈ ṡ||_{B}. Sei A die von X erzeugte vollständige Unteralgebra von B. Nach Lemma 4.3 ist dann A ∩ H ein (A-{0})-generischer Filter über M und nach Lemma 4.4 gilt daher M[X ∩ H] = M[A ∩ H]. Es bleibt zu zeigen, daß M[s] = M[X ∩ H]. Dies folgt aber unmittelbar aus s = {α : u_{α} ∈ X ∩ H} und X ∩ H = {u_{α} : α ∈ s} (vgl. 3.21). q.e.d.

4.6 Lemma Sei B eine vollständige Boolesche Algebra in M, H ein (B-{0})-generischer Filter über M und N ein transitives ZFC-Modell mit M ⊂ N ⊂ M[H]. Dann existiert eine vollständige Unteralgebra A ⊂ B, A ∈ M, mit N = M[A ∩ H].

Beweis: Beachte zunächst, daß On ∩ M = On ∩ N = On ∩ M[H], da M[H] eine generische Erweiterung über M ist. Nach Lemma 4.5 genügt es zu zeigen, daß ein γ ∈ On ∩ M und ein s ⊂ γ, s ∈ N, existieren derart, daß N = M[s].

(1) Zu jedem x ∈ N gibt es ein γ_{x} ∈ On∩M und ein a_{x} ⊂ γ_{x}, a_{x} ∈ N mit x ∈ M[a_{x}]. Beweis: Sei x ∈ N. Da das Auswahlaxiom in N gilt, existieren in N ein γ_{x} ∈ On und eine Bijektion f : γ_{x} ↔ tc({x}). Definiere eine Relation r auf γ_{x} durch (α, β) ∈ r ↔ f(α) ∈ f(β). Desweiteren sei g eine Bijektion zwischen γ_{x} × γ_{x} und γ_{x}, die absolut ist für transitive ZFC-Modelle. Setze a_{x} := g′′r. Dann gilt a_{x} ⊂ γ_{x} und a_{x} ∈ N. Ferner existiert M[a_{x}] nach Lemma 4.5. Es bleibt zu zeigen, daß x ∈ M[a_{x}] ist: Da (tc({x}), ∈) fundiert und extensional in N ist, ist (γ_{x}, r) fundiert und extensional in N (nach Definition von r). Da Fundiertheit und Extensionalität ZF-absolut sind (siehe z.B. Jech[10](S.107)), folgt: (γ_{x}, r) ist fundiert und extensional in M[a_{x}] (r ∈ M[a_{x}], da g, a_{x} ∈ M[a_{x}]). Sei (T, ∈) die Mostowski-Transitivierung von (γ_{x}, r) in M[a_{x}]. Wegen M[a_{x}] ⊂ N, gilt dann ((T, ∈) ≅ (tc({x}), ∈))^{N}. Da T und tc({x}) beide transitiv sind, folgt aus der Eindeutigkeit der Mostowski-Transitivierung, daß T = tc({x}). Folglich ist tc({x}) ∈ M[a_{x}] und daher ist x ∈ M[a_{x}]. ⊣ (1)

Setze jetzt Z := P(B) ∩ N ∈ N. Dann existieren nach (1) ein γ ∈ On ∩ M und ein s ⊂ γ, s ∈ N, so daß Z ∈ M[s]. Wegen s ∈ N bleibt nur noch N ⊂ M[s] zu zeigen: Sei x ∈ N und sei a_{x} wie in (1). Dann existiert nach Lemma 4.5 eine vollständige Unteralgebra A_{x} von B derart, daß M[a_{x}] = M[A_{x} ∩ H]. Wegen a_{x} ∈ N folgt M[A_{x} ∩H] = M[a_{x}] ⊂ N und daher ist A_{x} ∩H ∈ N. Nach Definition von Z ist dann A_{x}∩H ∈ Z und wegen Z ∈ M[s] folgt A_{x}∩H ∈ M[s]. Folglich ist M[A_{x}∩H] ⊂ M[s] und somit ist x ∈ M[a_{x}] = M[A_{x} ∩ H] ⊂ M[s]. Damit ist gezeigt, daß N = M[s], wobei s ⊂ γ für ein γ ∈ On ∩ M. Lemma 4.5, angewandt auf B-{0}, H, γ und s, liefert dann eine vollständige Unteralgebra A von B mit M[A ∩ H] = M[s] = N. q.e.d.

Mit Hilfe von Lemma 4.6 können wir jetzt den ersten Teil von Satz 4.1(iii) beweisen: Sei B := r.o.(R) (vgl. Satz 3.8),

i : R → B-{0} die dazugehörige dichte Einbettung und G_{B} := {b ∈ B-{0} : ∃ p ∈ G i(p) ≤ b}.

Nach Satz 3.29 ist G_{B} ein (B-{0})-generischer Filter über M und es gilt M[G] = M[G_{B}]. Nach Lemma 4.6, angewandt auf B-{0} und G_{B}, existiert eine vollständige Unteralgebra A von B derart, daß N = M[A ∩ G_{B}], wobei A ∩ G_{B} ein (A-{0})- generischer Filter über M ist. Für

P := A-{0} und H_{1} := A ∩ G_{B}. ist also N = M[H_{1}] die generische Erweiterung über M durch P und H_{1}.

Es bleibt nun noch zu zeigen, daß ein P -Name Q̇ existiert, so daß die Forderungen (i),(ii) und der Rest von (iii) aus Satz 4.1 erfüllt sind. Definiere dazu eine Abbildung h : B → A und eine Äquivalenzrelation ∼_{H_{1}} auf B in M[H_{1}] wie folgt:

h(b) := ∏{a ∈ A : a ≥ b},

b ∼_{H_{1}} c :⇔ h(b△c) ∉ H_{1}. (Man beachte, daß eine solche Äquivalenzrelation ∼_{F} natürlich für jeden beliebigen P -generischen Filter F über M in M[F] definiert werden kann.) [b]_{∼_{H_{1}}} bezeichne im folgenden die Äquivalenzklasse von b bzgl. ∼_{H_{1}} und B\H_{1} sei die Menge der Äquivalenzklassen, B\H_{1} ∈ M[H_{1}]. Wir werden sehen, daß die Äquivalenzklassen [b]_{∼_{H_{1}}} sehr gut kontrollierbar sind, denn sie besitzen einen natürlichen Forcing-Namen (genauer einen P -Namen): Für b ∈ B definiere

[bˇ] := {(x̌, −h(b△x)) : x ∈ B}. Dann ist [bˇ] ein P -Name für [b]_{∼_{H_{1}}} , d.h. [bˇ]_{H_{1}} = [b]_{∼_{H_{1}}} :

y ∈ [b]_{∼_{H_{1}}} ⇒ h(b△y) ∉ H_{1} ⇒ −h(b△y) ∈ H_{1} ⇒ y = y̌_{H_{1}} ∈ [bˇ]_{H_{1}}; y ∈ [bˇ]_{H_{1}} ⇒ es existiert ein ẏ und ein p ∈ H_{1} mit y = ẏ_{H_{1}} und (ẏ, p) ∈ [bˇ] ⇒ es existiert ein x ∈ B mit ẏ = x̌ und p = −h(b△x) ⇒ h(b△y) = h(b△x) ∉ H_{1} ⇒ y ∈ [b]_{∼_{H_{1}}} .

Die Menge (B\H_{1})-{0} besitzt ebenfalls einen natürlichen P -Namen: Definiere

Ḃ := {([bˇ], h(b)) : b ∈ B-{0}}. Dann gilt (B\H_{1})-{0} = (Ḃ)_{H_{1}} (siehe Lemma 4.7(b)).

4.7 Lemma (a) B\H_{1} ist eine vollständige Boolesche Algebra in M[H_{1}].

(b) 1_{P} ⊩ Ḃ ist eine Forcing-Halbordnung.

(c) Es existiert eine dichte Einbettung von B-{0} in P ∗ Ḃ.

Beweis:

(a) Definiere: [b]_{∼_{H_{1}}} + [c]_{∼_{H_{1}}} := [b + c]_{∼_{H_{1}}} ,

[b]_{∼_{H_{1}}} · [c]_{∼_{H_{1}}} := [b · c]_{∼_{H_{1}}} ,

− [b]_{∼_{H_{1}}} := [−b]_{∼_{H_{1}}} .

Dann ist B\H_{1} zusammen mit diesen Operationen und [0]_{∼_{H_{1}}} , [1]_{∼_{H_{1}}} eine Boolesche Algebra in M[H_{1}]. Man beachte, daß die auf B-{0} und (B\H_{1})-{0} induzierten partiellen Ordungen übereinstimmen, d.h. b ≤ c ↔ [b]_{∼_{H_{1}}} ≤ [c]_{∼_{H_{1}}} . Es bleibt somit die Vollständigkeit von B\H_{1} in M[H_{1}] zu zeigen. Dazu genügt es zu zeigen, daß ∑ X für jedes X ⊂ B\H_{1} mit X ∈ M[H_{1}] existiert, denn es gilt: ∏ X = ∑{u : u ≤ x ∀x ∈ X}. Sei also X ⊂ B\H_{1}, X ∈ M[H_{1}] und Ẋ ein Name für X. Dann definiere

u := ∑{b · ||[bˇ] ∈ Ẋ||_{A} : b ∈ B} ∈ B.

(1) : [u]_{∼_{H_{1}}} ist eine obere Schranke von X in B\H_{1} :

Sei b ∈ B derart, daß [b]_{∼_{H_{1}}} ∈ X. Dann ist ||[bˇ] ∈ Ẋ||_{A} ∈ H und daher ist b ∼_{H_{1}} b · ||[bˇ] ∈ Ẋ||_{A}. Folglich ist [b]_{∼_{H_{1}}} = [b · ||[bˇ] ∈ Ẋ||_{A}]_{∼_{H_{1}}} ≤ [u]_{∼_{H_{1}}} . ⊣ (1)

(2) : [u]_{∼_{H_{1}}} ist kleinste obere Schranke von X in B\H_{1} :

Sei v ∈ B derart, daß [v]_{∼_{H_{1}}} eine obere Schranke von X ist. Sei b ∈ B beliebig. Falls [b]_{∼_{H_{1}}} ∉ X, dann ist (b · ||[bˇ] ∈ Ẋ||_{A}) ∼_{H_{1}} 0, also [b · ||[bˇ] ∈ Ẋ||_{A}]_{∼_{H_{1}}} = [0]_{∼_{H_{1}}} ≤ [v]_{∼_{H_{1}}} und daher b · ||[bˇ] ∈ Ẋ||_{A} ≤ v. Falls [b]_{∼_{H_{1}}} ∈ X, dann ist (b · ||[bˇ] ∈ Ẋ||_{A}) ∼_{H_{1}} b, also [b · ||[bˇ] ∈ Ẋ||_{A}]_{∼_{H_{1}}} = [b]_{∼_{H_{1}}} ≤ [v]_{∼_{H_{1}}} und daher b · ||[bˇ] ∈ Ẋ||_{A} ≤ v. Zusammen ergibt dies: ∑{b · ||[bˇ] ∈ Ẋ||_{A} : b ∈ B} ≤ v und hieraus folgt [u]_{∼_{H_{1}}} = [ ∑{b · ||[bˇ] ∈ Ẋ||_{A} : b ∈ B}]_{∼_{H_{1}}} ≤ [v]_{∼_{H_{1}}} . ⊣ (2) ⊣ (a)

(b) Sei F ein beliebiger P -generischer Filter über M. Dann gilt:

(Ḃ)_{F} = {[bˇ]_{F} : b ∈ B-{0} und h(b) ∈ F }

= {[b]_{∼_{F}} : b ∈ B-{0} und h(b△0) ∈ F }
= {[b]_{∼_{F}} : b ∈ B-{0} und b ≁_{F} 0}
= (B\F) − {0}. ⊣ (b)

(c) Definiere eine Abbildung e : B-{0} → P ∗ Ḃ durch e(b) := (h(b), [bˇ]).

(1) e ist wohldefiniert:

Sei b ∈ B-{0}, dann ist h(b) ∈ A-{0} = P.

Sei F ein P -generischer Filter über M mit h(b) ∈ F. Dann folgt:

h(b△0) ∈ F ⇒ [b]_{∼_{F}} ≠ 0 ⇒ h(b) ⊩_{P} [bˇ] ∈ Ḃ ⇒ e(b) ∈ P ∗ Ḃ. ⊣ (1)

(2) e ist ordungserhaltend:

Seien b_{1}, b_{2} ∈ B-{0} mit b_{1} ≤ b_{2}. Dann folgt:

h(b_{1}) ≤ h(b_{2}) und 1_{P} ⊩_{P} [b_{1}ˇ] ≤ [b_{2}ˇ] ⇒ (h(b_{1}), [b_{1}ˇ]) ≤ (h(b_{2}), [b_{2}ˇ]). ⊣ (2)

(3) e ist kompatibilitätserhaltend:

Seien b_{1}, b_{2} ∈ B-{0} mit b_{1} ⊥ b_{2}. Angenommen, es existiert ein

(a, [cˇ]) ∈ P ∗ Ḃ mit (a, [cˇ]) ≤ (h(b_{1}), [b_{1}ˇ]), (h(b_{2}), [b_{2}ˇ]). Dann gilt:

a ⊩_{P} ( [cˇ], [b_{1}ˇ], [b_{2}ˇ] ∈ Ḃ ∧ [cˇ] ≤ [b_{1}ˇ], [b_{2}ˇ]). Daher gilt für jeden P -generischer Filter F über M mit a ∈ F : [c]_{∼_{F}} , [b_{1}]_{∼_{F}} , [b_{2}]_{∼_{F}} ∈ (B\F)-{0} und [c]_{∼_{F}} ≤ [b_{1}]_{∼_{F}} , [b_{2}]_{∼_{F}} . Hieraus folgt: [c]_{∼_{F}} = [c · (b_{1} + (−b_{1}))]_{∼_{F}} = [c · b_{1}]_{∼_{F}} = [c · b_{1} · (b_{2} + (−b_{2}))]_{∼_{F}} = 0, ein Widerspruch. ⊣ (3)

(4) e ist dicht:

Sei (a, [cˇ]) ∈ P ∗ Ḃ. Dann gilt: a ⊩_{P} [cˇ] ∈ Ḃ.

Daher gilt für jeden P -generischer Filter F über M mit a ∈ F :

[c]_{∼_{F}} ≠ 0 ⇒ h(c) = h(c△0) ∈ F ⇒ a ∥ h(c) ⇒ a · h(c) ≠ 0.

Hieraus folgt nun a ≰ −h(c) und daher ist a ≰ −c (denn: −h(c) = − ∏{a ∈ D : a ≥ c} = ∑{−a ∈ D : −a ≤ −c} = ∑{a ∈ D : a ≤ −c}). Folglich ist a · c ≠ 0 und daher gilt: (h(a · c), [a · cˇ]) ∈ P ∗ Ḃ und (h(a · c), [a · cˇ]) ≤ (a, [cˇ]). ⊣ (4) ⊣ (c) q.e.d.

Nun sind alle Vorbereitungen zum vollständigen Beweis von Satz 4.1 getroffen: i : R → B-{0} und e : B-{0} → P ∗ Ḃ sind dichte Einbettungen und daher ist g := e ∘ i : R → P ∗ Ḃ ebenfalls eine dichte Einbettung. Somit sind für P und

Q̇ := {([bˇ], 1_{P}) : ∃ p ∈ P (p, [bˇ]) ∈ ran(g)}

die Forderungen (i) und (ii) aus Satz 4.1 erfüllt, d.h.

1_{P} ⊩_{P} (Q̇ ist eine FH) und g : R → P ∗ Q̇ ist eine dichte Einbettung.

zu (iii) : Definiere :

G_{∗} := {(p, q̇) ∈ P ∗ Q̇ : ∃ r ∈ G g(r) ≤ (p, q̇)},

H′_{1} := {p ∈ P : ∃ q̇ (p, q̇) ∈ G_{∗}},

H_{2} := {q̇_{H′_{1}} : ∃ p (p, q̇) ∈ G_{∗}}.

Da ran(g) dicht in P ∗ Q̇ ist, ist nach Lemma 3.29 G_{∗} ein P ∗ Q̇-generischer Filter über M und es gilt M[G] = M[G_{∗}]. Nach Satz 3.36 ist H′_{1} ein P -generischer Filter über M und H_{2} ein Q̇_{H′_{1}}-generischer Filter über M[H′_{1}] und es gilt M[G_{∗}] = M[H′_{1}][H_{2}]. Zusammen ergibt dies: M[G] = M[H′_{1}][H_{2}]. Es bleibt also nur noch M[H′_{1}] = N = M[H_{1}] zu zeigen. Dazu zeigen wir, daß H_{1} ⊂ H′_{1} ist, denn dann gilt H_{1} = H′_{1} nach Lemma 3.31: Sei p ∈ H_{1}. Dann existiert ein q ∈ G mit i(q) ≤ p und es folgt g(q) = e(i(q)) ≤ e(p). Daher ist (h(p), ˇ[p]) = e(p) ∈ G_{∗} und somit ist p = h(p) ∈ H′_{1}.

Schließlich gilt (\overline{\overline{Q̇_{H_{1}}}} ≤ \overline{\overline{R}})^{N}, da \overline{\overline{Q̇}} ≤ \overline{\overline{R}} nach Definition von Q̇ . q.e.d.(Satz 4.1)

5 Der Levy-Kollaps

5.1 Definition Sei S ⊂ On und λ eine reguläre Kardinalzahl. Dann definiere

Col(λ, S) := {p : p ist eine Funktion ∧ dom(p) ⊂ S × λ ∧

\overline{\overline{p}} < λ ∧ ∀(α, ξ) ∈ dom(p) (α > 0 → p(α, ξ) ∈ α)\}.

Desweiteren definiere eine Relation ≤ auf Col(λ, S) durch p ≤ q :⇔ p ⊃ q.

(Col(λ, S),≤) ist eine Forcing-Halbordnung und das folgende Lemma zeigt, daß durch Forcing mit Col(λ, S) eine generische Erweiterung entsteht, in der für jedes α ∈ S eine Surjektion von λ auf α existiert. Insbesondere ist Col(λ, {κ}) für κ > λ das Standard-Forcing zum Kollabieren von \overline{\overline{κ}} zu λ.

Es sei M im folgenden wieder ein abzählbares und transitives Modell von ZFC.

5.2 Lemma Sei S ⊂ On mit S ∈ M. Sei λ eine reguläre Kardinalzahl in M und G ein Col(λ, S)^{M}- generischer Filter über M. Definiere f_{α} := {(ξ, β) : {((α, ξ), β)} ∈ G} ⊂ λ × α für 0 ≠ α ∈ S. Dann ist f_{α} eine surjektive Abbildung von λ auf α in M[G].

Beweis: Sei α ∈ S.

Seien (ξ, β_{1}), (ξ, β_{2}) ∈ f_{α}. Dann gilt: {((α, ξ), β_{1})}, {((α, ξ), β_{2})} ∈ G ⇒ {((α, ξ), β_{1})} ∥ {((α, ξ), β_{2})} ⇒ β_{1} = β_{2}, also ist f_{α} eine Funktion.

Für ξ < λ definiere D_{ξ} := {p ∈ Col(λ, S)^{M} : (α, ξ) ∈ dom(p)}. Dann ist D_{ξ} ∈ M und D_{ξ} liegt dicht in Col(λ, S)^{M}, denn falls q ∈ Col(λ, S)^{M} und q ∉ D_{ξ}, dann ist (nach Definition von D_{ξ}) (α, ξ) ∉ dom(q) und somit ist q ∪ {((α, ξ), 0)} eine Verstärkung von q, die in D_{ξ} liegt. Da G ein Col(λ, S)^{M}-generischer Filter über M ist, existieren nun für jedes ξ < λ ein p ∈ G und ein β < α mit p((α, ξ)) = β. Wegen p ≤ {((α, ξ), β)} ist {((α, ξ), β)} ∈ G und daher gilt: ξ ∈ dom(f_{α}). ⇒ dom(f_{α}) = λ.

Für β < α definiere D_{β} := {p ∈ Col(λ, S)^{M} : ∃ ξ < λ p((α, ξ)) = β}. Dann ist D_{β} ∈ M und D_{β} liegt dicht in Col(λ, S)^{M}, denn falls q ∈ Col(λ, S)^{M}, dann existiert wegen (\overline{\overline{q}} < λ)^{M} ein ξ < λ mit (α, ξ) ∉ dom(q) und somit ist q ∪ \{((α, ξ), β)\} eine Verstärkung von q, die in D_{β} liegt. Da G ein Col(λ, S)^{M}-generischer Filter über M ist, existieren nun für jedes β < α ein p ∈ G und ein ξ < λ mit p((α, ξ)) = β. Wegen p ≤ {((α, ξ), β)} ist {((α, ξ), β)} ∈ G und daher gilt: β ∈ ran(f_{α}). ⇒ ran(f_{α}) = α. q.e.d.

Im folgenden Lemma 5.3 werden wir weitere grundlegende Eigenschaften der Forcing-Halbordnungen Col(λ, S) erarbeiten, die dann im Verlaufe dieser Arbeit zur Anwendung kommen werden.

5.3 Lemma Sei S ⊂ On, S ∈ M und λ eine reguläre Kardinalzahl in M. Dann gilt:

(a) (Col(λ, S) ist λ-abgeschlossen)^{M}.

(b) Sei S = X ∪ Y mit X ∩ Y = ∅. Setze P_{0} := Col(λ,X)^{M} und P_{1} := Col(λ,Y)^{M}. Dann ist G ein Col(λ,S)^{M}-generischer Filter über M genau dann, wenn G = {p ∪ q : p ∈ G_{0} ∧ q ∈ G_{1}} für einen P_{0}-generischen Filter G_{0} über M und einen P_{1}- generischen Filter G_{1} über M[G_{0}]. Ferner ist M[G] = M[G_{0}][G_{1}] und G_{0} = G ∩ P_{0} und G_{1} = G ∩ P_{1} und P_{1} = P_{1}^{M[G_{0}]}.

(c) Sei κ > λ eine reguläre Kardinalzahl in M. Falls κ unerreichbar in M oder falls λ = ω ist, dann hat Col(λ, κ)^{M} die κ-c.c.-Eigenschaft in M.

(d) Sei κ eine Kardinalzahl in M und es gelte (Col(λ, κ) ist κ-c.c.)^{M}. Dann bewahrt Forcing mit Col(λ, κ)^{M} Kardinalitäten ≥ κ und ≤ λ.

(e) Sei κ > λ eine reguläre Kardinalzahl in M, G ein Col(λ, κ)^{M}-generischer Filter über M und es gelte (Col(λ, κ) ist κ-c.c.)^{M}. Dann existiert für jedes γ < κ und jedes x ∈ M[G] mit x : γ → On ein δ < κ derart, daß x ∈ M[G ∩ Col(λ, δ)^{M}].

Beweis:

(a) : Sei γ < λ und {p_{α} : α < γ} ⊂ Col(λ, S)^{M} eine absteigende Folge. Setze p := ⋃_{α<γ} p_{α}. Dann ist p ≤ p_{α} für alle α < γ und p ist ein Element von Col(λ, S)^{M}, da λ regulär in M ist und daher p Kardinalität < λ in M hat. ⊣ (a)

(b) : Definiere zunächst eine Abbildung π : Col(λ, S)^{M} → P_{0} × P_{1} durch π(p) := (p ↾ (X × λ) , p ↾ (Y × λ)). π ist ein Isomorphismus mit der Umkehrabbildung π^{−1}((p, q)) = p ∪ q und somit insbesondere eine dichte Einbettung. Sei G ein Col(λ, S)^{M}-generischer Filter über M. Da π ein Isomorphismus ist, ist π′′G = {(p_{0}, p_{1}) ∈ P_{0} × P_{1} : ∃ p ∈ G π(p) ≤ (p_{0}, p_{1})}. Nach Satz 3.29 ist daher π′′G ein (P_{0} × P_{1})-generischer Filter über M mit M[G] = M[π′′G]. Nach Satz 3.37 existiert dann ein P_{0}-generischer Filter G_{0} über M und ein P_{1}-generischer Filter G_{1} über M[G_{0}] derart, daß π′′G = G_{0} × G_{1} und M[π′′G] = M[G_{0}][G_{1}]. Daraus folgt: G = π^{−1}(G_{0} × G_{1}) = {p ∪ q : p ∈ G_{0} ∧ q ∈ G_{1}} (also insbesondere G_{0} = G ∩ P_{0} und G_{1} = G ∩ P_{1}) und M[G] = M[π′′G] = M[G_{0}][G_{1}]. Ist umgekehrt G_{0} ein P_{0}-generischer Filter über M und G_{1} ein P_{1}-generischer Filter über M[G_{0}], dann ist nach Satz 3.37 G_{0} × G_{1} ein (P_{0} × P_{1})-generischer Filter über M und es gilt M[G_{0}][G_{1}] = M[G_{0} × G_{1}]. Eine Anwendung von Satz 3.29 auf π^{−1} zeigt dann, daß G := {p ∪ q : p ∈ G_{0} ∧ q ∈ G_{1}} = π^{−1}(G_{0} × G_{1}) ein Col(λ, S)^{M}- generischer Filter über M ist und daß M[G] = M[G_{0} × G_{1}] = M[G_{0}][G_{1}]. Schließlich gilt P_{1} = P_{1}^{M[G_{0}]}, da P_{0} λ-abgeschlossen in M ist und daher nach Satz 3.24 keine neuen Ordinalzahlfolgen der Länge < λ in M[G_{0}] entstehen. ⊣ (b)

(c) : Sei B ⊂ Col(λ, κ)^{M} mit (\overline{\overline{B}} = κ)^{M}. Wir zeigen mit Hilfe des Δ-System-Lemmas (Lemma 3.26), daß B keine Antikette in Col(λ, κ)^{M} ist. Arbeite hierzu in M und definiere zunächst

A := {dom(p) : p ∈ B}. Desweiteren definiere für jedes a ∈ A

B_{a} := {p ∈ B : dom(p) = a} und

β_{a} := sup{α : ∃ ξ (α, ξ) ∈ a} ⊂ κ.

Da κ regulär und \overline{\overline{a}} < λ < κ ist, folgt β_{a} < κ für alle a ∈ A. Aus κ unerreichbar oder λ = ω folgt dann \overline{\overline{β_{a}^{a}}} < κ für alle a ∈ A. Wegen B_{a} ⊂ aβ_{a} für alle a ∈ A gilt also: (∗) \overline{\overline{B_{a}}} < κ für alle a ∈ A. Wir weisen nun die Voraussetzungen des Δ-System-Lemmas für κ, λ und A nach:

(1) \overline{\overline{A}} = κ : Angenommen, \overline{\overline{A}} < κ. Dann folgt \overline{\overline{B}} = \overline{\overline{⋃_{a∈A} B_{a}}} < κ nach (∗) und da κ regulär ist, Widerspruch. ⊣ (1)

(2) ∀ α < κ α^{<λ} < κ und ∀ a ∈ A \overline{\overline{a}} < λ : Sei α < κ.

Falls λ = ω, dann α^{<ω} = max{α, ω} < κ.

Falls κ unerreichbar, dann α^{<λ} = ⋃_{δ<λ} α^{δ} < κ.

Die zweite Behauptung folgt unmittelbar aus der Definition von Col(λ, κ). ⊣ (2) Die Voraussetzungen des Δ-System-Lemmas sind somit verifiziert und dieses liefert dann ein C ⊂ B mit \overline{\overline{C}} = κ und ein r ⊂ κ × λ, so daß dom(p) ∩ dom(q) = r für alle p, q ∈ C mit p ≠ q. Nach (∗) gilt aber \overline{\overline{B_{r}}} < κ. Also muß ein C_{0} ⊂ C existieren mit \overline{\overline{C_{0}}} = κ und p ↾ r = q ↾ r für alle p, q ∈ C_{0} mit p ≠ q. Folglich ist p ∥ q für alle p, q ∈ C mit p ≠ q, also kann B keine Antikette sein. ⊣ (c)

(d) : Dies folgt sofort aus (a), (c), Satz 3.23 und Satz 3.25.

(e) : Sei ẋ ein Name für x und p ∈ G mit p ⊩ ẋ : γ̌ → On. Arbeite in M : Definiere für alle α < γ : D_{α} := {q : q ≤ p ∧ ∃ ξ_{q} q ⊩ ẋ(α̌) = ξ̌_{q}}. Nach Zorn’s Lemma gibt es dann für alle α < γ ein A_{α} ⊂ D_{α} derart, daß A_{α} eine maximale Antikette unter p in Col(λ, κ) ist. Da Col(λ, κ) die κ-c.c.-Eigenschaft hat, hat jedes A_{α} Kardinalität < κ. Wegen γ < κ und da κ regulär ist, folgt somit: \overline{\overline{⋃_{α<γ} A_{α}}} < κ. Definiere jetzt δ_{q} := sup{β : ∃ ζ (β, ζ) ∈ dom(q)} ⊂ κ für jedes q ∈ ⋃_{α<γ} A_{α}. Wegen

\overline{\overline{dom(q)}} < λ < κ und da κ regulär ist, ist δ_{q} < κ. Setze δ := sup\{δ_{q} : q ∈ ⋃_{α<γ} A_{α}\}. Dann gilt: δ < κ und ⋃_{α<γ} A_{α} ⊂ Col(λ, δ).

Die Abbildung x kann nun aus G ∩ Col(λ, δ)^{M} wie folgt definiert werden:

x(α) = ξ gdw q ⊩ ẋ(α̌) = ξ̌ für das eindeutig bestimmte q ∈ G ∩ A_{α}. (Ein Col(λ, δ)^{M}-Name für x ist dann zum Beispiel:

{((α̌, ξ̌), p) : α < γ und p ∈ A_{α} ⊂ Col(λ, δ)^{M} mit p ⊩ ẋ(α̌) = ξ̌}.) ⊣ (e) q.e.d.

Für κ > λ heißt Col(λ, κ) Levy-Kollaps und falls dieser die κ-c.c.-Eigenschaft hat, dann wird durch Forcing mit Col(λ, κ) κ zu λ^{+} kollabiert. Dies ist die allgemein übliche Sprechweise. Man beachte aber, daß Col(λ, κ) keine Surjektion von λ^{+} auf κ hinzufügt, sondern κ wird zu λ^{+}, indem alle Kardinalzahlen, die zwischen λ und κ liegen, zu λ kollabiert werden.

Eine weitere wichtige Eigenschaft von Col(λ, S) ist die schwache Homogenität, denn diese ermöglicht es, bestimmte Formeln in der generischen Erweiterung zu entscheiden, ohne Kenntnis über den generischen Filter zu haben (vgl. Lemma 7.1).

5.4 Definition Eine FH P ist schwach homogen, falls gilt: ∀p, q ∈ P ∃ e (e : P → P ein Automorphismus ∧ e(p) ∥ q).

5.5 Lemma (a) Sei P eine schwach homogene FH in M. Dann gilt für jede Formel ϕ(v_{0}, ..., v_{n−1})

und alle x_{1}, ..., x_{n} ∈ M : entweder 1 ⊩ ϕ(x̌_{1}, ..., x̌_{n}) oder 1 ⊩ ¬ϕ(x̌_{1}, ..., x̌_{n}).

(b) Col(λ, S)^{M} ist schwach homogen in M.

Beweis:

(a) : Angenommen, dies gilt nicht. Dann existieren eine Formel ϕ der Forcing-Sprache, x_{1}, ..., x_{n} ∈ M und p, q ∈ P, so daß p ⊩ ϕ(x̌_{1}, ..., x̌_{n}) und q ⊩ ¬ϕ(x̌_{1}, ..., x̌_{n}). Nach Voraussetzung existiert in M ein Automorphismus e : P → P mit e(p) ∥ q. Wegen x̌ = {(y̌, 1) : y ∈ x} und e(1) = 1 gilt für die von e induzierte Abbildung e_{∗} aus Definition 3.32 : e_{∗}(x̌) = x̌. Da e insbesondere eine dichte Einbettung ist, folgt aus Lemma 3.33(b): e(p) ⊩ ϕ(x̌_{1}, ..., x̌_{n}). Dies widerspricht aber e(p) ∥ q ⊣ (a).

(b) : Arbeite in M : Seien p, q ∈ Col(λ, S). Da \overline{\overline{dom(p)}} , \overline{\overline{dom(q)}} < λ und λ regulär ist, existiert eine Bijektion f : λ → λ mit f(ξ_{1}) ≠ ξ_{2} für alle (α, ξ_{1}) ∈ dom(p) und (β, ξ_{2}) ∈ dom(q). (Setze A := {ξ : ∃ α ∈ S (α, ξ) ∈ dom(p)} und B := {ξ : ∃ β ∈ S (α, ξ) ∈ dom(q)}. Sei μ := \overline{\overline{A}} und wähle C ⊂ λ mit \overline{\overline{C}} = μ und C ∩ (A ∪ B) = ∅ (C existiert, da λ regulär ist). Dann wähle f derart, daß f ↾ A : A ↔ C und f ↾ (λ − A) = id.) Diese Bijektion f : λ → λ induziert jetzt einen Automorphismus e von Col(λ, S), indem jedem r ∈ Col(λ, S) folgendes e(r) zugeordnet wird:

(α, ξ) ∈ dom(e(r)) :⇔ (α, f^{−1}(ξ)) ∈ dom(r) , e(r)(α, ξ) := r(α, f^{−1}(ξ)).

Nach Definition von e gilt dann dom(e(p)) ∩ dom(q) = ∅, also ist e(p) ∥ q. q.e.d.

Das nächste Lemma zeigt eine sehr interessante Charakterisierung von Col(ω, {α}) und wird zudem im Beweis des darauffolgenden Satzes eine wichtige Rolle spielen.

5.6 Lemma Sei P eine separative FH in M mit (\overline{\overline{P}} ≤ \overline{\overline{α}})^{M} für ein α ∈ On ∩ M und es gelte 1 ⊩ ∃ f (f : ω → α surjektiv ∧f ∉ M̌). Dann existiert in M eine dichte Einbettung einer dichten Teilmenge von Col(ω, {α})^{M} in P.

Beweis: Arbeite im folgenden in M. Sei ν := \overline{\overline{α}}.

(1) Für jedes p ∈ P existiert eine Antikette der Größe ν unterhalb von p Fall 1 : ν = ω. Angenommen, es existiert ein p ∈ P derart, daß Q_{p} := {q : q ≤ p} ωc.c. ist. Dann existiert ein Atom a in Q_{p}, d.h. ¬ ∃ q, r ∈ Q_{p} (q, r ≤ a ∧ q ⊥ r). Sei G := {r : r ≤ a ⊥ r ≥ a}. Dann ist G ∈ M und ein P -generischer Filter über M. Folglich ist M = M[G]. Dies ist aber ein Widerspruch zu 1 ⊩ f ∉ M̌. Fall 2 : ν > ω. Angenommen, es existiert ein p ∈ P derart, daß Q_{p} := {q : q ≤ p} νc.c. ist. Sei G ein P -generischer Filter über M mit p ∈ G. Dann ist G ∩ Q_{p} ein Q_{p}- generischer Filter über M (vgl. Lemma 3.30(ii)). Setze P′ := {q : ∃ r ∈ Q_{p} r ≤ q} und G′ := {q : ∃ r ∈ G ∩ Q_{p} r ≤ q}. Dann ist Q_{p} dicht in P′ und G′ ist ein P′-generischer Filter über M und es gilt M[G ∩ Q_{p}] = M[G′] (vgl. Satz 3.29). Desweiteren gilt G′ ⊂ G. Aus Lemma 3.31 folgt dann G′ = G und daher ist M[G] = M[G′] = M[G ∩ Q_{p}].

Da Q_{p} nach Annahme ν-c.c. ist, bewahrt Forcing mit Q_{p} Kardinalitäten ≥ ν. Daher ist ν eine Kardinalzahl in M[G∩Q_{p}] = M[G], d.h. in M[G] existiert keine Surjektion von ω auf α. Dies widerspricht aber der Voraussetzung des Satzes. ⊣ (1) Definiere

D_{α} := {p : ∃ n < ω p : {α} × n → α}. D_{α} ist eine dichte Teilmenge von Col(ω, {α})und wir werden sehen, daß D_{α} injektiv und dicht in P eingebettet werden kann: Sei Ġ der kanonische Name für P -generische Filter über M. Dann existiert nach dem Maximalitätsprinzip ein Term ġ derart, daß 1 ⊩_{P} (ġ : ω → Ġ surjektiv). Die gesuchte injektive und dichte Einbettung e : D_{α} → P wird jetzt rekursiv über die Länge von p für p ∈ D_{α} definiert : e(∅) := 1_{P} . Sei e(p) für p ∈ D_{α} mit dom(p) = {α} × n bereits definiert. Dann existiert nach (1) eine maximale Antikette {b_{β}^{p} : β < α} unterhalb von e(p) der Größe ν. Wegen 1 ⊩ (ġ : ω → Ġ surjektiv) kann man durch eventuelle Verstärkung der Bedingungen b_{β}^{p} zu einer maximalen Antikette {a_{β}^{p} : β < α} übergehen, deren Elemente ġ(n) entscheiden, d.h. a_{β}^{p} ⊩ ġ(n) = ř für ein r ∈ P. Definiere daher

e(p ∪ {((α, n), β)}) := a_{β}^{p} für jedes β < α. Die so definierte Abbildung e : D_{α} → P ist ordnungs- und inkompatibilitätserhaltend und es bleibt somit zu zeigen, daß e′′D_{α} dicht in P liegt. Sei r ∈ P beliebig. Wir wissen, daß r ⊩ ř ∈ Ġ und r ⊩ (ġ : ω → Ġ surjektiv). Dann folgt r ⊩ ∃ n < ω ř = ġ(n) und es existieren daher ein s ≤ r und ein n < ω mit s ⊩ ř = ġ(n). Nach Definition von e existiert nun ein p ∈ D_{α} mit \overline{\overline{p}} = n + 1, so daß e(p) kompatibel mit s ist und ġ(n) entscheidet. Daher gilt e(p) ⊩ ġ(n) = ř, e(p) ⊩ ř ∈ Ġ. Angenommen, e(p) ≰ r. Dann existiert ein t ≤ e(p) mit t ⊥ r, da P separativ ist. Für dieses t gilt dann: t ⊩ ř ∈ G und ¬t ⊩ ř ∈ G, Widerspruch. q.e.d.

5.7 Lemma Sei δ ≥ ω eine Ordinalzahl. Dann gilt:

(i) Col(ω, \{δ\}) ist separativ. (ii) \overline{\overline{Col(ω, δ + 1)}} = \overline{\overline{δ}}.

Beweis:

(i) : Seien p, q ∈ Col(ω, {δ}) mit p ≰ q, also q ⊄ p. O.B.d.A.: dom(p), dom(q) ⊂ ω. Falls dom(q) ⊂ dom(p), so existiert ein n ∈ dom(q) mit p((δ, n)) ≠ q((δ, n)). Für r := p gilt dann r ≤ p und r⊥q. Anderenfalls existiert ein n ∈ dom(q) − dom(p) und ein ξ ∈ δ mit q((δ, n)) ≠ ξ. Für r := p ∪{((δ, n), ξ)} gilt dann r ≤ p und r ⊥ q. ⊣ (a)

(ii) : Man sieht sofort, daß \overline{\overline{Col(ω, δ + 1)}} ≥ \overline{\overline{δ}}. Zum Beweis der anderen Ungleichung definiere eine Abbildung i: Col(ω, δ+1) → δ^{<ω}×((δ+1)×ω)^{<ω} durch i(p) := (p_{1}, p_{2}), wobei p_{2} : \overline{\overline{dom(p)}} ↔ dom(p) und p_{1} := p ∘ p_{2}. i ist eine Injektion und daher gilt:

\overline{\overline{Col(ω, δ + 1)}} ≤ \overline{\overline{δ^{<ω} × ((δ + 1) × ω)^{<ω})}} = \overline{\overline{δ}}. ⊣ (b) q.e.d.

Man beachte, daß sowohl in diesem Lemma als auch im folgenden Satz immer λ = ω vorausgesetzt wird, d.h. die Forcings haben die Gestalt Col(ω, S). Die Funktionen in Col(ω, S) sind demnach endlich und daher ist Col(ω, S) absolut für transitive ZFC-Modelle. Falls S ∈ M ist, gilt also Col(ω, S)^{M} = Col(ω, S).

5.8 Satz (Faktorisierungslemma, Solovay[20]) Sei κ > ω eine reguläre Kardinalzahl in M und G ein Col(ω, κ)-generischer Filter über M. Dann existiert für jedes x : ω → On mit x ∈ M[G] ein Col(ω, κ)-generischer Filter H über M[x] derart, daß M[G] = M[x][H].

Zu diesem Resultat schrieb Solovay([20](S.18)): “It is the key technical fact we need about M[G]. The effect of this theorem [...] is to give us excellent control on the extension M[G]/M[x].“ Die Bedeutung dieses Satzes ist, daß jede abzählbare Ordinalzahlfolge x ∈ M[G] in gewisser Weise ausgezeichnet und dem Grundmodell M zugeführt werden kann, M[G] aber immer noch eine Col(ω, κ)-generische Erweiterung über M[x] ist. Wir werden in Kapitel 7 sehen, wie dieser Satz zur Anwendung kommt. Der folgende Beweis des Satzes 5.8 entspricht nicht exakt Solovay’s ursprünglichem Beweis, denn die Folgerung, die auf einer Anwendung des (allgemeinen) Zwischenmodell-Satzes 4.1 basiert, wurde von Solovay direkt für den Levy-Kollaps bewiesen. Die Idee zu der hier vorgestellten Vorgehensweise stammt von A. Kanamori[11](S.130).

Beweis: Aus Lemma 5.3(e) folgt die Existenz eines δ < κ mit x ∈ M[G ∩ Col(ω, δ)]. Setze

G_{<δ} = G ∩ Col(ω, δ),

G_{δ} = G ∩ Col(ω, {δ}), G_{>δ} = G ∩ Col(ω, κ − (δ + 1)).

Mehrmalige Anwendung von Lemma 5.3(b) zeigt, daß G_{<δ} ein Col(ω, δ)-generischer Filter über M, G_{δ} ein Col(ω, {δ})-generischer Filter über M[G_{<δ}] und G_{>δ} ein Col(ω, κ − (δ + 1))-generischer Filter über M[G_{<δ}][G_{δ}] ist. Wegen x ∈ M[G_{<δ}] gilt M ⊂ M[x] ⊂ M[G_{<δ}] (M[x] existiert nach Lemma 4.5). Wir können daher den Zwischenmodell-Satz 4.1 anwenden und erhalten eine Forcing-Halbordnung P_{1} und einen P_{1}-Namen Ṗ_{2} mit folgenden Eigenschaften:

(i) 1_{P_{1}} ⊩_{P_{1}} Ṗ_{2} ist eine FH. (ii) Es existiert eine dichte Abbildung e : Col(ω, δ)→ P_{1} ∗ Ṗ_{2}; (iii) Es existiert ein P_{1}-generischer Filter F_{1} über M und ein (Ṗ_{2})_{F_{1}}-generischer

Filter F_{2} über M[F_{1}], so daß M[x] = M[F_{1}] und M[G_{<δ}] = M[F_{1}][F_{2}] und

(\overline{\overline{(Ṗ_{2})_{F_{1}}}} ≤ \overline{\overline{Col(ω, δ)}})^{M[x]}.

Sei P der separative Quotient von (Ṗ_{2})_{F_{1}} in M[x] und sei i die dazugehörige dichte Einbettung von (Ṗ_{2})_{F_{1}} auf P (siehe Lemma 3.4). Dann ist nach Satz 3.29 H_{0} := {p ∈ P : ∃ q ∈ F_{2} i(q) ≤ p} ein P -generischer Filter über M[x] mit

(1) M[x][H_{0}] = M[x][F_{2}] = M[F_{1}][F_{2}] = M[G_{<δ}]. Arbeite nun in M[x] und setze Q := P × Col(ω, {δ}). Da H_{0} ein P -generischer Filter über M[x] und G_{δ} ein Col(ω, {δ})-generischer Filter über M[G_{<δ}] = M[x][H_{0}] ist, folgt aus Satz 3.37 die Existenz eines Q-generischen Filters H_{1} über M mit

(2) M[x][H_{1}] = M[x][H_{0}][G_{δ}]. Desweiteren ist Q separativ (denn P und Col(ω, {δ}) sind separativ) und es gilt:

\overline{\overline{Q}} = \overline{\overline{P × Col(ω, \{δ\})}} ≤ \overline{\overline{(Ṗ_{2})_{F_{1}} × Col(ω, \{δ\})}} ≤ \overline{\overline{Col(ω, δ) × Col(ω, \{δ\})}} = \overline{\overline{Col(ω, δ + 1)}} = \overline{\overline{δ}} (nach Lemma 5.7),

und 1_{Q} ⊩_{Q} ∃ f (f : ω → δ surjektiv ∧ f ∉ M̌) (denn Q = P × Col(ω, {δ})). Nach Lemma 5.6, angewandt auf Q, und Satz 3.29 existiert daher ein Col(ω, {δ})- generischer Filter H_{2} über M[x] mit

(3) M[x][H_{2}] = M[x][H_{1}]. Wiederum nach Lemma 5.6, diesmal angewandt auf Col(ω, δ + 1), und nach Satz 3.29 existiert weiter ein Col(ω, δ + 1)-generischer Filter H_{3} über M[x] mit

(4) M[x][H_{3}] = M[x][H_{2}]. (2),(3) und (4) ergeben dann zusammen:

(5) M[x][H_{0}][G_{δ}] = M[x][H_{3}]. Definiere schließlich H := {p ∪ q : p ∈ H_{3} ∧ q ∈ G_{>δ}}. H ist nach Lemma 5.3(b) ein Col(ω, κ)-generischer Filter und es gilt

(6) M[x][H_{3}][G_{>δ}] = M[x][H] Nach mehrmaliger Anwendung von Lemma 5.3(b) und wegen (1),(5),(6) gilt dann: M[G] = M[G_{<δ}][G_{δ}][G_{>δ}] = M[x][H_{0}][G_{δ}][G_{>δ}] = M[x][H_{3}][G_{>δ}] = M[x][H]. q.e.d.

6 Random Reals und Generic Reals

6.1 Die Forcing-Halbordnung B^{∗} der Borel-Nullmengen

Sei B die Borelsche σ-Algebra auf ^{ω}ω und m_{L} das Lebesgue-Maß, definiert wie in Kapitel 2. Dann ist die Menge B^{∗} := {p ∈ B : m_{L}(p) ≠ 0} zusammen mit der Relation p ≤ q :⇔ p ⊂ q eine Forcing-Halbordnung mit größtem Element ^{ω}ω.

6.1 Lemma (a) Für p, q ∈ B^{∗} gilt: p ⊥ q gdw m_{L}(p ∩ q) = 0.

(b) B^{∗} hat die ℵ_{1}-Antiketteneigenschaft.

Beweis:

(a) : Falls p und q inkompatibel sind, dann existiert keine Borelmenge mit Lebesgue-Maß > 0, die in p und q enthalten ist, folglich ist p ∩ q eine Nullmenge. Sei umgekehrt p ∩ q eine Nullmenge, dann sind alle Borelmengen, die sowohl in p als auch in q enthalten sind, auch Nullmengen, d.h. p und q sind inkompatibel.

(b) : Angenommen, es existiert eine Antikette A in B^{∗} mit Kardinalität > ℵ_{0}. (∗) ∀ a ∈ A ∃ i_{a} < ω m_{L}(a ∩ O(s_{i_{a}})) > 0. Beweis : Angenommen, es gibt ein a ∈ A mit m_{L}(a ∩ O(s_{i})) = 0 für alle i < ω. Dann folgt: m_{L}(a) = m_{L}(a ∩^{ω}ω)

= m_{L}(a ∩ ⋃_{i<ω} O(s_{i}))

= m_{L}(⋃_{i<ω} a ∩ O(s_{i}))
≤ ∑_{i<ω} m_{L}(a ∩ O(s_{i})) = 0, Widerspruch ⊣ (∗)

Nach dem Schubfachprinzip existieren nun ein A_{0} ⊂ A und ein i_{0} < ω mit \overline{\overline{A_{0}}} = ℵ_{1} und m_{L}(a ∩ O(s_{i_{0}})) > 0 für alle a ∈ A_{0}. Für jedes a ∈ A_{0} gibt es also ein m_{a} < ω mit m_{L}(a ∩ O(s_{i_{0}})) ≥ \frac{1}{m_{a}}. Wiederum nach dem Schubfachprinzip existieren dann

ein A_{1} ⊂ A und ein m < ω, so daß \overline{\overline{A_{1}}} = ℵ_{1} und m_{L}(a ∩ O(s_{i_{0}}) ≥ \frac{1}{m} für alle a ∈ A_{1}. Sei A_{2} eine abzählbare Teilmenge von A_{1}. Dann erhält man folgenden Widerspruch: m_{L}(O(s_{i_{0}})) ≥ m_{L}(⋃_{a∈A_{2}} a ∩ O(s_{i_{0}})) = ∑_{a∈A_{2}} m_{L}(a ∩ O(s_{i_{0}})) ≥ \frac{1}{m} \overline{\overline{A_{2}}} = ℵ_{0}. q.e.d.

6.2 Bemerkung (i) B^{∗} ist nicht separativ, denn z.B. für p := O((0, 0)) und q := O((0, 0)) − {0_{^{ω}ω}} gilt p, q ∈ B^{∗} und p ≰ q. Aber alle Teilmengen von p sind mit q kompatibel.

(ii) Für den separativen Quotient B^{∗}\ ≈ von B^{∗} (vgl. Lemma 3.4) gilt:

p ≈ q gdw m_{L}(p△q) = 0. Beweis : Es gelte p ≈ q und wir nehmen an, daß p△q keine Nullmenge ist. Dann ist o.B.d.A. p − q nicht null und folglich sind p − q und p kompatibel. Wegen der Äquivalenz von p und q sind dann aber auch p−q und q kompatibel, ein Widerspruch. Sei umgekehrt p△q eine Nullmenge. Angenommen, p und q sind nicht äquivalent, dann existiert ein r ∈ B^{∗} mit ((r ∥ p ∧ r ⊥ q) ∨ (r ∥ q ∧ r ⊥ p)). O.B.d.A. gelte r ∥ p und r ⊥ q. Dann folgt, daß r ∩ q eine Nullmenge und r ∩ p keine Nullmenge ist. Dies widerspricht allerdings der Tatsache, daß r ∩ p ⊂ (r ∩ q) ∪ (p△q).

(iii) Benutzt man die Äquivalenz aus (ii) als Definition, so kann ≈ auf die σ-Algebra M_{L} der Lebesgue-meßbaren Mengen erweitert werden. Der Quotient M_{L}\ ≈ stimmt mit B\ ≈ überein und bildet zusammen mit den mengentheoretischen Operationen modulo ≈ eine Boolesche Algebra, die Lebesgue-Maß-Algebra.

6.2 Kodierung von Borelmengen

Für jedes c ∈ ^{ω}ω definiere

A_{c} := \{ \begin{matrix}⋃\{O(s_{i}) : c(i + 1) = 1\}  , & falls c(0) = 0, \\ ^{ω}ω − ⋃\{O(s_{i}) : c(i + 1) = 1\}  , & falls c(0) = 1, \\ ⋂_{n<ω}( ⋃\{O(s_{i}) : c(2^{n}3^{i+1}) = 1\}) , & falls c(0) > 1. \end{matrix}

Eine reelle Zahl c ∈ ^{ω}ω heißt offener Code, falls c(0) = 0; c ist ein abgeschlossener Code, falls c(0) = 1; c ist ein G_{δ}-Code, falls c(0) > 1. Wir nennen ein c ∈ ^{ω}ω in diesem Kapitel einen Code, falls c ein offener, abgeschlossener oder G_{δ}-Code ist.

6.3 Lemma Sei X eine offene oder eine abgeschlossene oder eine G_{δ}-Menge. Dann gibt es einen entsprechenden Code c ∈ ^{ω}ω mit X = A_{c}.

Beweis:

Falls X eine offene Menge ist, dann ist X = ⋃_{j<ω} O(s_{i_{j}}) die disjunkte Vereinigung von Basismengen. Definiere daher ein c ∈ ^{ω}ω durch c(0) := 0, c(i_{j} + 1) := 1 für j < ω und c(k) := 2, sonst. Dann ist c ein offener Code mit X = A_{c}.

Falls X abgeschlossen ist, dann ist X = ^{ω}ω − Y das Komplement einer offenen Menge Y. Sei d ein offener Code mit Y = A_{d} und definiere ein c ∈ ^{ω}ω durch c(0) := 1 und c(i) := d(i) für 0 ≠ i < ω. Dann ist c ein abgeschlossener Code mit X = A_{c}.

Falls X eine G_{δ}-Menge ist, dann ist X = ⋂_{n<ω} Y_{n} der abzählbare Schnitt von offenen Mengen. Für jedes n < ω sei daher c_{n} ein offener Code mit Y_{n} = A_{c_{n}}. Definiere ein c ∈ ^{ω}ω durch c(0) := 2, c(2^{n}3^{i+1}) = c_{n}(i + 1) für i, n < ω und c(k) := 2, sonst. Dann ist c ein G_{δ}-Code mit X = A_{c}. q.e.d.

6.4 Bemerkung (i) Solovay hat in seinem Originalartikel[20] auf etwas komplexere Art jeder Borelmenge einen Code zugewiesen. Wir werden allerdings sehen, daß dies aufgrund des Approximationsresultates in Lemma 2.2 nicht unbedingt notwendig ist.

(ii) Während die Borelmengen von ^{ω}ω in den unterschiedlichen ZFC-Modellen nicht undbedingt übereinstimmen, ermöglichen uns die soeben eingeführten Codes eine absolute Beschreibung der Booleschen- und maßtheoretischen Eigenschaften von Borelmengen (siehe Lemma 6.5).

(iii) Ist M ein transitives Modell von ZFC, dann gilt für jedes c ∈ ^{ω}ω ∩ M :

(∗) c ist ein Code (im Universum) gdw M ⊧ (c ist ein Code). Folglich kodiert jeder Code c ∈ ^{ω}ω, der in M liegt, eine offene, abgeschlossene bzw. G_{δ}-Menge in M. Andererseits ist klar, daß jede offene, abgeschlossene bzw. G_{δ}-Menge in M einen entsprechenden Code in M besitzt (vgl. Lemma 6.3). Die Äquivalenz (∗) führt ebenfals dazu, daß im Fall c ∈ M die Bezeichnung A_{c}^{M} für zwei verschiedene Mengen benutzt wird : zum einen für die Borelmenge in M, die durch c kodiert wird und zum anderen für die Relativierung der Borelmenge A_{c} auf M. Diese Mehrdeutigkeit löst sich allerdings dadurch auf, daß aus der Definiton der A_{c}’s folgt, daß für jeden Code c ∈ M diese beiden Mengen übereinstimmen, denn es gilt in beiden Fällen A_{c}^{M} = A_{c} ∩ M.

6.5 Lemma Sei M ein transitives Modell von ZF+DC und seien c, d, e ∈ ^{ω}ω ∩ M Codes.

(a) Die folgenden Ausdrücke sind absolut für M:

x ∈ A_{c} , A_{c} ≠ ∅ , A_{c} ⊂ A_{d} , A_{c} ⊂ (^{ω}ω − A_{d}) , A_{c} ∩ A_{d} = A_{e}.

(b) Es gilt: m_{L}^{M}(A_{c}^{M}) = m_{L}(A_{c}).

Beweis:

(a) : Der Beweis basiert auf einer Anwendung des Satzes 8.7, welcher besagt, daß Π_{1}^{1}(a)- bzw. Σ_{1}^{1}(a)-Formeln mit a ∈ M absolut für M sind. Wir beweisen exemplarisch die Absolutheit der Formel A_{c} ⊂ A_{d}, falls c, d ∈ M offene Codes sind. Sei {s_{i} : i < ω} eine arithmetische Aufzählung von ^{<ω}ω, definiert wie auf Seite 56. Definiere z ∈ ^{ω}ω ∩ M durch z(2n) := c(n) und z(2n + 1) := d(n). Ferner definiere

A := {x ∈ ^{ω}ω : x(0) = x(1) = 0 ∧ ∀ y ∈ ^{ω}ω (∃ i < ω (x(2(i + 1)) = 1 ∧ s_{i} ⊂ y)

→ ∃ j < ω (x(2(j + 1) + 1) = 1 ∧ s_{j} ⊂ y))}.

Dann gilt: z ∈ A gdw A_{c} ⊂ A_{d}, wobei z ∈ M ist. Die Behauptung folgt nun aus Satz 8.7, da A eine Π_{1}^{1}-Menge ist. ⊣ (a)

(b) : Ist c ∈ ^{ω}ω ein offener Code, so definiert c nach Lemma 2.1(d) eine Folge (i_{j} : j < ω) in ω derart, daß A_{c} die disjunkte Vereinigung der O(s_{i_{j}}) ist. Daher gilt:

m_{L}^{M}(A_{c}^{M}) = m_{L}^{M}(⋃_{j<ω} O(s_{i_{j}})^{M})

= ∑_{j<ω} m_{L}^{M}(O(s_{i_{j}})^{M})
= ∑_{j<ω} m_{L}(O(s_{i_{j}})) (nach Definition von m_{B}(O(s)) = m_{L}(O(s)))
= m_{L}(⋃_{j<ω} O(s_{i_{j}}))
= m_{L}(A_{c}).

Ist c ein abgeschlossener Code, so existiert ein offener Code d mit A_{d} = ^{ω}ω − A_{c}. Dann gilt: m_{L}^{M}((^{ω}ω − A_{c})^{M}) = m_{L}(^{ω}ω − A_{c}) und daher ist m_{L}^{M}(A_{c}^{M}) = m_{L}(A_{c}). Ist schließlich c ein G_{δ}-Code, so kann man induktiv eine Folge (c_{n} : n < ω) von offenen Codes definieren derart, daß A_{c_{m}} ⊃ A_{c_{n}} für m < n und A_{c} = ⋂_{n<ω} A_{c_{n}} :

c_{0}(0) := 0 , c_{0}(i + 1) := \{ \begin{matrix}1 , falls c(2^{0}3^{i+1}) = 1, \\ 0 , sonst; \end{matrix}

c_{n+1}(0) := 0 , c_{n+1}(i + 1) := \{ \begin{matrix}1 , falls es j_{1}, j_{2} < ω gibt mit c_{n}(j_{1} + 1) = 1 ∧ \\ c(2^{n+1}3^{j_{2}+1}) = 1 ∧ O(s_{i}) = O(s_{j_{1}}) ∩ O(s_{j_{2}}), \\ 0 , sonst. \end{matrix}

Für diese Codes gilt A_{c_{n}} = ⋂_{0≤m≤n}(⋃{O(s_{i}) : c(2^{m}3^{i+1}) = 1}), denn:

A_{c_{n+1}} = ⋃{O(s_{i}) : c_{n+1}(i + 1) = 1}

= ⋃{O(s_{j_{1}}) ∩ O(s_{j_{2}}) : c_{n}(j_{1} + 1) = 1 ∧ c(2^{n+1}3^{j_{2}+1}) = 1}
= (⋃{O(s_{j_{1}}) : c_{n}(j_{1} + 1) = 1}) ∩ (⋃{O(s_{j_{2}}) : c(2^{n+1}3^{j_{2}+1}) = 1})
= ⋂_{0≤m≤n+1}(⋃{O(s_{i}) : c(2^{m}3^{i+1}) = 1}) (nach induktiver Annahme).

Somit sind die obigen Forderungen erfüllt und es folgt

m_{L}(A_{c}) = inf{m_{L}(A_{c_{n}}) : n < ω}, wodurch dann m_{L}(A_{c}) auch in diesem Fall absolut definiert ist. q.e.d.

6.3 Forcing mit B^{∗} und Random Reals

Der folgende Satz zeigt, daß durch Forcing mit einem (B^{∗})^{M}-generischen Filter G über einem abzählbaren und transitiven ZFC-Modell M eine generische Erweiterung entsteht, in der eine reelle Zahl existiert, die nicht in M liegt und die zudem die gesamte Information über G besitzt.

6.6 Satz Sei M ein abzählbares und transitives ZFC-Modell und G ein (B^{∗})^{M}-generischer Filter über M. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes x ∈ ^{ω}ω ∩ (M[G] − M) mit x ∈ A_{c}^{M[G]} gdw A_{c}^{M} ∈ G für jeden abgeschlossenen Code c ∈ M, und M[x] = M[G].

Beweis:

(1) Für alle n < ω ist die Menge

D_{n} := {C ∈ (B^{∗})^{M} : C abgeschlossen ∧ ∃ k < ω C ⊂ {f ∈ ^{ω}ω : f(n) = k}^{M}} dicht in (B^{∗})^{M} :

Seien n < ω und p ∈ (B^{∗})^{M} beliebig. Arbeite in M: Beachte zunächst, daß ein k < ω mit m_{L}(p ∩ {f ∈ ^{ω}ω : f(n) = k}) > 0 existiert, denn sonst würde für alle k < ω gelten : m_{L}(p ∩ {f ∈ ^{ω}ω : f(n) = k}) = 0, also 0 = ∑_{k<ω} m_{L}(p ∩ {f ∈ ^{ω}ω : f(n) = k}) = m_{L}(p), ein Widerspruch. Sei daher k < ω mit m_{L}(p ∩ {f ∈ ^{ω}ω : f(n) = k}) > 0. Dann existiert nach Lemma 2.2 eine abgeschlossenen Menge C ∈ (B^{∗})^{M} derart, daß C ⊂ p ∩ {f ∈ ^{ω}ω : f(n) = k}. ⊣ (1)

(2) Für jede Lebesgue-meßbare Menge A ⊂ ^{ω}ω mit A ∈ M ist die Menge

E_{A} := {C ∈ (B^{∗})^{M} : C abgeschlossen ∧ (C ⊂ A ∨ C ∩ A = ∅)} dicht in (B^{∗})^{M} :

Seien A ⊂ ^{ω}ω mit A ∈ M und p ∈ (B^{∗})^{M} beliebig. Arbeite in M: Falls m_{L}(p∩A) > 0 ist, existiert nach Lemma 2.2 eine abgeschlossene Menge C ∈ B^{∗} mit C ⊂ p ∩ A. Anderenfalls ist m_{L}(p − A) > 0 und daher existiert nach Lemma 2.2 eine abgeschlossene Menge C ∈ (B^{∗})^{M} mit C ⊂ p − A. ⊣ (2)

Da für alle n < ω die Menge D_{n} dicht in (B^{∗})^{M} ist, existiert für jedes n < ω eine abgeschossene Menge C_{n} ∈ G und ein k_{n} < ω, so daß C_{n} ⊂ {f ∈ ^{ω}ω : f(n) = k_{n}}^{M}. Definiere daher ein x ∈ ^{ω}ω ∩ M[G] durch

x(n) := k_{n} für alle n < ω. Wir zeigen nun im folgenden, daß dieses x alle Forderungen des Satzes 6.6 erfüllt.

(3) ∀ n < ω O(x ↾ n)^{M} ∈ G : Nach (1) wissen wir : {f ∈ ^{ω}ω : f(m) = k_{m}}^{M} ∈ G für alle m < n. Daraus folgt: O(x ↾ n)^{M} = ⋂_{m<n}{f ∈ ^{ω}ω : f(m) = k_{m}}^{M} ∈ G. ⊣ (3)

(4) x ∈ O(s)^{M[G]} gdw O(s)^{M} ∈ G für alle s ∈ ^{<ω}ω : Sei s ∈ ^{<ω}ω und n := |s|. Falls x ∈ O(s)^{M[G]} ist, folgt s = x ↾ n und daher ist O(s)^{M} = O(x ↾ n)^{M} ∈ G nach (3). Ist andererseits O(s)^{M} ∈ G, dann folgt s = x ↾ n, da O(x ↾ n)^{M} ∈ G nach (3) und da die Elemente von G paarweise kompatibel sind. Folglich ist x ∈ O(x ↾ n)^{M[G]} = O(s)^{M[G]}. ⊣ (4)

(5) x ∈ A_{c}^{M[G]} gdw A_{c} ∈ G für jeden abgeschlossenen Code c ∈ ^{ω}ω ∩ M : Sei c ∈ M ein abgeschlossener Code mit A_{c}^{M} = (^{ω}ω −⋃{O(s_{i}) : c(i+1) = 1})^{M} ∈ G. Dann ist (⋃{O(s_{i}) : c(i + 1) = 1})^{M} ∉ G und daher ist O(s_{i})^{M} ∉ G für alle i < ω mit c(i + 1) = 1. Aus (4) folgt nun, daß x ∉ O(s_{i})^{M[G]} für alle i < ω mit c(i + 1) = 1 und daraus folgt x ∈ A_{c}^{M[G]}. Sei umgekehrt x ∈ A_{c}^{M[G]}. Nach (2) existiert ein abgeschlossener Code d ∈ M, so daß A_{d}^{M} ∈ G und A_{d}^{M} ⊂ A_{c}^{M} oder A_{d}^{M} ∩A_{c}^{M} = ∅. Wegen A_{d}^{M} ∈ G ist x ∈ A_{d}^{M[G]}, also ist x ∈ A_{d}^{M[G]} ∩ A_{c}^{M[G]} und daher gilt A_{d}^{M} ∩ A_{c}^{M} ≠ ∅ nach Lemma 6.5(a). Folglich ist A_{d}^{M} ⊂ A_{c}^{M} und somit ist A_{c}^{M} ∈ G. ⊣ (5)

Es bleibt zu zeigen, daß x eindeutig bestimmt und x ∉ M und M[x] = M[G] ist.

Angenommen, es existiert ein weiteres y ∈ ^{ω}ω ∩ M[G], y ≠ x, das (5) erfüllt. Dann definiere n := min{m < ω : x(m) ≠ y(m)}. Wegen x ∈ O(x ↾ (n + 1))^{M[G]} und y ∈ O(y ↾ (n+1))^{M[G]} folgt aus (5) : O(x ↾ (n+1))^{M} ∈ G und O(y ↾ (n+1))^{M} ∈ G. Das kann aber nicht sein, da die Elemente von G paarweise kompatibel sind.

Angenommen, x ∈ M. Dann ist auch {x} ∈ M und nach (2) und der Generizität von G existiert eine abgeschossene Menge C ∈ G derart, daß C ⊂ {x} oder C ∩ {x} = ∅. Sei d ∈ M ein abgeschlossener Code für C, d.h. C = A_{d}^{M}. Falls C ⊂ {x}, dann ist dies ein Widerspruch zu C ∈ (B^{∗})^{M}. Falls C ∩ {x} = ∅, dann folgt x ∉ A_{d}^{M}, x ∉ A_{d}^{M[G]}, A_{d}^{M} ∉ G, ein Widerspruch.⊣ (3)

Wegen x ∈ M[G] existiert das ZFC-Modell M[x] nach Lemma 4.5 und es gilt M[x] ⊂ M[G]. Andererseits ist G in M[x] definierbar durch

G = {p ∈ (B^{∗})^{M} : ∃ c ∈ M (c ein abgeschlossener Code ∧ x ∈ A_{c}^{M[x]} ∧ A_{c}^{M} ⊂ p)}, denn falls p ∈ G, dann existiert nach (2) eine abgeschlossene Menge C ∈ G mit C ⊂ p. Sei c ∈ M ein Code für C, d.h. C = A_{c}^{M}. Dann folgt: A_{c}^{M} ∈ G, also x ∈ A_{c}^{M[G]} und daher x ∈ A_{c}^{M[x]}. Dies zeigt, daß p in obiger Menge enthalten ist. Sei umgekehrt p ∈ (B^{∗})^{M} und c ∈ M ein abgschlossener Code mit x ∈ A_{c}^{M[x]} und A_{c}^{M} ⊂ p. Dann folgt: x ∈ A_{c}^{M[G]}, A_{c}^{M} ∈ G, p ∈ G. q.e.d.

6.7 Definition Eine reelle Zahl x ∈ ^{ω}ω ist random über M, falls ein (B^{∗})^{M}-generischer Filter G über M existiert, so daß x wie in Satz 6.6 ist. Ein solches x nennen wir auch eine Random Real über M.

Der folgende Satz liefert eine wichtige Charakterisierung der Random Reals, denn er zeigt, daß die Eigenschaft einer reellen Zahl random zu sein, mit Hilfe von Codes beschrieben werden kann.

6.8 Satz x ∈ ^{ω}ω ist random über M gdw x ∉ A_{c} für jeden G_{δ}-Code c ∈ M mit m_{L}(A_{c}) = 0.

Beweis: Sei x eine Random Real über M und G der dazugehörige (B^{∗})^{M}-generische Filter über M. Desweiteren sei c ∈ M ein G_{δ}-Code für eine Nullmenge. Dann ist zu zeigen: x ∉ A_{c}.

(1) {C ∈ (B^{∗})^{M} : C abgeschlossen ∧ C ⊂ (^{ω}ω − A_{c})^{M}} ist dicht in (B^{∗})^{M} : Sei p ∈ (B^{∗})^{M}. Wegen 0 < m_{L}^{M}(p) = m_{L}^{M}((p − A_{c}^{M}) ∪ (p ∩ A_{c}^{M})) und m_{L}^{M}(A_{c}^{M}) = 0 nach Lemma 6.5(b), folgt m_{L}^{M}(p − A_{c}^{M}) > 0. Nach Lemma 2.2 existiert daher eine abgeschlossene Menge C ∈ (B^{∗})^{M} derart, daß C ⊂ p − A_{c}^{M} = p ∩ (^{ω}ω − A_{c})^{M}. ⊣ (1) Da G ein (B^{∗})^{M}-generischer Filter über M ist, existiert nun nach (1) ein abgeschlossener Code d ∈ M mit A_{d}^{M} ∈ G und A_{d}^{M} ⊂ (^{ω}ω − A_{c})^{M}. Hieraus folgt A_{d}^{M[G]} ⊂ (^{ω}ω − A_{c})^{M[G]} nach Lemma 6.5(a), und es folgt x ∈ A_{d}^{M[G]}, da x random über M ist. Folglich ist x ∉ A_{c}^{M[G]} und somit ist x ∉ A_{c}.

Umgekehrt gelte nun x ∉ A_{c} für jeden G_{δ}-Code c ∈ M mit m_{L}(A_{c}) = 0. Definiere wie im Beweis von Satz 6.6

G := {p ∈ (B^{∗})^{M} : ∃ c ∈ M (c ein abgeschlossener Code ∧ x ∈ A_{c}^{M[x]} ∧ A_{c}^{M} ⊂ p}.

Dann gilt für jeden abgeschlossen Code c ∈ M : x ∈ A_{c}^{M[G]} gdw A_{c}^{M} ∈ G. Es bleibt daher zu zeigen, daß G ein (B^{∗})^{M}-generischer Filter über M ist:

(i) Fall p ∈ G und q ∈ (B^{∗})^{M} mit p ≤ q, folgt q ∈ G nach Definition von G. ⊣ (i) (ii) Seien p, q ∈ G. Dann existieren zwei abgeschlossene Codes d_{1}, d_{2} ∈ M derart, daß x ∈ A_{d_{1}}^{M[x]} ∩ A_{d_{2}}^{M[x]} und A_{d_{1}}^{M} ∩ A_{d_{2}}^{M} ⊂ p ∩ q. Sei e ∈ M ein abgeschlossener Code für die Menge A_{d_{1}}^{M} ∩ A_{d_{2}}^{M}, d.h. A_{e}^{M} = A_{d_{1}}^{M} ∩ A_{d_{2}}^{M}. Wir wollen p ∩ q ∈ G zeigen. Dazu bleibt nur noch zu zeigen, daß p ∩ q keine Nullmenge ist. Angenommen, p ∩ q ist eine Nullmenge. Dann ist auch A_{e} eine Nullmenge und da jeder abgeschlossene Code ein G_{δ}-Code ist, folgt nach Voraussetzung, daß x ∉ A_{e} ist. Dies ist aber ein Widerspruch zu x ∈ A_{e}^{M[x]} nach Lemma 6.5(a). ⊣ (ii) (iii) Sei D ∈ M dicht in (B^{∗})^{M}. Dann definiere

Y := {C ∈ (B^{∗})^{M} : C abgeschlossen ∧ ∃ p ∈ D (C ⊂ p)}. Sei W ∈ M eine maximale Antikette in Y. Dann ist W eine Antikette in (B^{∗})^{M}. (Angenommen, es existieren p, q ∈ W und r ∈ (B^{∗})^{M} mit r ≤ p, q. Dann existieren ein d ∈ D mit d ≤ r und nach Lemma 2.2 ein abgeschlossenes C ∈ (B^{∗})^{M} mit C ≤ d. Folglich ist W keine Antikette in Y, ein Widerspruch.) Wegen (B^{∗} ist ℵ_{1}-c.c.)^{M} (vgl. 6.1(b)) ist dann W abzählbar in M. Sei daher (A_{c_{n}}^{M} : n < ω) eine Aufzählung von W in M, wobei jedes c_{n} ∈ M ein abgeschlossener Code ist. Definiere ein c ∈ ^{ω}ω durch

c(0) := 2,

c(i) := 1, falls i = 2^{n}3^{j+1} und c_{n}(j + 1) = 1 für ein j < ω,

c(i) := 0, sonst. Dann ist c ∈ M und ein G_{δ}-Code für die Menge (⋂_{n<ω} (^{ω}ω − A_{c_{n}})^{M}. Desweiteren ist A_{c}^{M} = (⋂_{n<ω} (^{ω}ω − A_{c_{n}}))^{M} eine Nullmenge in M. (Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann existiert ein p ∈ D derart, daß p ⊂ (⋂_{n<ω} (^{ω}ω − A_{c_{n}}))^{M}, und es existiert nach Lemma 2.2 eine abgeschlossene Menge C ∈ (B^{∗})^{M} mit C ⊂ p. Dann ist C ∈ Y und inkompatibel mit allen A_{c_{n}}^{M}. Dies widerspricht aber der Maximalität von W in Y.) Aus Lemma 6.5 folgt nun, daß A_{c} eine Nullmenge im Universum ist. Nach Voraussetzung des Satzes ist dann x ∉ A_{c}, also ist x ∈ A_{c_{n}} für ein n < ω und daher ist x ∈ A_{c_{n}}^{M[x]}. Wegen A_{c_{n}}^{M} ∈ Y existiert schließlich ein p ∈ D mit A_{c_{n}}^{M} ⊂ p. Für dieses p gilt dann p ∈ G nach Definition von G. Folglich ist D ∩ G ≠ ∅. q.e.d.

6.4 Generic Reals

Das in Kapitel 6.3 entwickelte Konzept der Random Reals wird später zum Beweis benötigt, daß in M[G] jede ^{ω}On-definierbaren Mengen reeller Zahlen Lebesguemeßbar ist (G bezeichnet hier wieder einen Col(ω, κ)-generischen Filter über M). Der Beweis, daß all diese Mengen auch die Baire-Eigenschaft haben, basiert auf einer analogen Vorgehensweise, die sich lediglich darin unterscheidet, daß man statt mit B^{∗} mit der Menge der nicht-mageren Borelmengen forct. Dieses Forcing liefert dann die Generic Reals. (In der Bemerkung 6.10 werden wir sehen, daß diese mit den Cohen Reals übereinstimmen. Die gesonderte Bezeichnung “Generic Real“ ist dem Buch von Jech[10] entnommen. Sie soll verdeutlichen, durch welches Forcing die neue reelle Zahl entstanden ist.) Die Beweise der folgenden Sätze verlaufen fast analog zu den Beweisen der entsprechenden Sätze aus dem Kapitel über die Random Reals. Aus diesem Grund soll hier auf diese Beweise nicht genauer eingegangen, die einzelnen Schritte jedoch nur in groben Zügen erläutert werden:

Definiere zunächst

B^{†} := {p ∈ B : p nicht mager}. Dann ist (B^{†}, ⊂) eine Forcing-Halbordnung mit größtem Element ^{ω}ω und es gilt:

6.9 Lemma Für p, q ∈ B^{†} gilt: p ⊥ q gdw p ∩ q mager.

6.10 Bemerkung Für den separative Quotient von B^{†} gilt diesmal : p ≈ q gdw p△q mager. Nach Lemma 2.4(a) wissen wir dann, daß jede nicht-magere Borelmenge zu einer offenen Menge modulo ≈ äquivalent ist. Daher ist s ↦ [O(s)]_{≈} eine dichte Einbettung von ^{<ω}ω in den separativen Quotienten von B^{†}. Nach Lemma 5.6 und Satz 3.29 stimmt daher jede B^{†}-generischen Erweiterung über M mit einer Col(ω, {ω})- generischen Erweiterung über M überein, d.h. es wird eine Cohen Real adjungiert.

6.11 Lemma B^{†} hat die ℵ_{1}-Antiketteneigenschaft.

Beweis: Sei A eine überabzählbare Teilmenge von B^{†}. Da nach Bemerkung 6.10 die abzählbare Menge der [O(s_{i})]_{≈} dicht im separativen Quotienten von B^{†} liegt, existieren nach dem Schubfachprinzip eine überabzählbare Teilmenge A_{1} von A und ein i < ω, so daß [O(s_{i})]_{≈} ≤ [a]_{≈} für alle a ∈ A_{1}. Seien a, b ∈ A_{1} beliebig. Wegen [O(s_{i})]_{≈} ≤ [b]_{≈} ist O(s_{i}) ∩ b nicht mager nach Lemma 6.9 und der Definition von ≤ auf dem separativen Quotienten von B^{†} (vgl. Lemma 3.4). Wegen [O(s_{i})]_{≈} ≤ [a]_{≈} folgt dann analog, daß a ∩ b ∩ O(s_{i}) nicht mager ist. Daher ist auch a ∩ b nicht mager und somit ist A keine Antikette. q.e.d.

Bevor wir zur Definition von “Generic Real“ kommen, müssen wir zunächst neue Codes für F_{σδ}-Mengen einführen: Ein c ∈ ^{ω}ω heiße nun G_{δ}-Code, falls c(0) = 2. c ist ein F_{σδ}-Code, falls c(0) > 2. In diesem Fall definiere eine F_{σδ}-Menge durch

A_{c} := ⋂_{n<ω} ⋃_{m<ω}(^{ω}ω − ⋃{O(s_{i}) : c(2^{n}3^{m}5^{i+1}) = 1}).

Wie in Lemma 6.3 kann man zeigen, daß zu jeder F_{σδ}-Menge X ein F_{σδ}-Code c existiert, so daß X = A_{c} ist. Die Ausdrücke in Lemma 6.5(a) sind natürlich auch dann noch absolut, wenn c, d oder e F_{σδ}-Codes in M sind. Als Analogon zu Lemma 6.5(b) erhalten wir das folgende Resultat.

6.12 Lemma Sei c ∈ ^{ω}ω ∩ M ein Code. Dann gilt:

(a) A_{c} abgeschlossen gdw A_{c}^{M} abgeschlossen in M.

(b) A_{c} nirgends dicht gdw A_{c}^{M} nirgends dicht in M.

(c) A_{c} mager gdw A_{c}^{M} mager in M.

Beweis:: (a): Dies ist offensichtlich (vgl. Bemerkung 6.4(iii)). (b): A_{c} nirgends dicht gdw int(A_{c}) = ∅

gdw ⋃{O(s_{i}) : O(s_{i}) ⊂ A_{c} für ein i < ω} = ∅

gdw (⋃{O(s_{i}) : O(s_{i}) ⊂ A_{c} für ein i < ω})^{M} = ∅ (nach Lemma 6.5(a))

gdw (int(A_{c}) = ∅)^{M} gdw (A_{c} nirgends dicht)^{M} ⊣ (c) (c): Falls A_{c}^{M} mager in M ist, dann ist A_{c}^{M} Teilmenge einer abzählbaren Vereinigung von abgeschlossen und nirgends dichten Mengen in M. Nach (a),(b) und Lemma 6.5(a) ist somit A_{c} Teilmenge einer abzählbaren Vereinigung von abgeschlossen und nirgends dichten Mengen, also mager (im Universum). Sei umgekehrt A_{c}^{M} nicht mager in M. Nach Lemma 2.4(a) (in M) existiert ein offener Code d ∈ M, so daß A_{c}^{M}△A_{d}^{M} mager in M ist. Angenommen, A_{d}^{M} = ∅. Dann ist A_{c}^{M} = A_{c}^{M}△A_{d}^{M}, also ist A_{c}^{M} mager in M, ein Widerspruch. Wegen A_{d}^{M} ≠ ∅ ist dann auch A_{d} ≠ ∅ und zudem offen. Daher ist A_{d} nicht mager nach Lemma 2.4(c). Da A_{c}^{M}△A_{d}^{M} mager in M ist, ist A_{c}△A_{d} mager nach dem ersten Teil dieses Beweises. Wegen A_{d} ⊂ A_{c} ∪ A_{c}△A_{d}, kann dann A_{c} nicht mager sein (im Universum). ⊣ (c) q.e.d.

In Analogie zu den Sätzen 6.6 und 6.7 gelten die beiden folgenden Sätze:

6.13 Satz Sei M ein abzählbares und transitives Modell von ZFC und G ein (B^{†})^{M}-generischer Filter über M. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes x ∈ ^{ω}ω ∩ (M[G] − M) mit x ∈ A_{c}^{M[G]} gdw A_{c}^{M} ∈ G für jeden G_{δ}-Code c ∈ M, und M[x] = M[G].

6.14 Definition Eine reelle Zahl x ∈ ^{ω}ω ist generisch über M, falls ein (B^{†})^{M}-generischer Filter G über M existiert, so daß x wie in Satz 6.13 ist. Ein solches x nennen wir auch eine Generic Real über M.

6.15 Satz x ∈ ^{ω}ω ist generisch über M gdw x ∉ A_{c} für jeden Code c ∈ M, der eine magere F_{σδ}-Menge kodiert.

Die Beweise für die Sätze 6.13 und 6.15 werden analog zu den Beweisen der Sätze 6.6 und 6.8 geführt, indem man statt Lemma 2.2 hier Lemma 2.4(b) benutzt und “B^{∗}“ durch “B^{†}“, “abgeschlossen“ durch “G_{δ}“, “G_{δ}“ durch “F_{σδ}“ und “random“ durch “generisch“ ersetzt.

7 Der Beweis von Solovay’s Theorem

Sei M ein abzählbares und transitives Modell von ZFC.

7.1 Lemma Sei κ > ω eine reguläre Kardinalzahl in M und G ein Col(ω, κ)-generischer Filter über M. Dann gibt es zu jeder Formel ϕ(v_{0}) eine Formel ϕ^{∗}(v_{0}), so daß für jedes x ∈ ^{ω}On ∩ M[G] gilt: M[G] ⊧ ϕ[x] gdw M[x] ⊧ ϕ^{∗}[x].

Beweis: Nach Satz 5.8 existiert für jedes x ∈ ^{ω}On ∩ M[G] ein Col(ω, κ)-generischer Filter H über M[x], so daß M[G] = M[x][H]. Da die FH Col(ω, κ) nach Lemma 5.5(b) schwach homogen in M[x] ist, können wir mit Hilfe von Lemma 5.5(a) zeigen, daß

M[x][H] ⊧ ϕ[x] gdw M[x] ⊧ 1 ⊩Col(ω, κ) ϕ[x̌]

(d.h. wir benötigen nicht den generischen Filter H, um die Formel ϕ[x] in M[x][H] zu entscheiden) : Falls M[x] ⊧ ¬1 ⊩ ϕ[x̌], dann folgt M[x] ⊧ 1 ⊩ ¬ϕ[x̌] aus Lemma 5.5(a) und daher gilt M[x][H] ⊧ ¬ϕ[x̌]. Gilt umgekehrt M[x] ⊧ 1 ⊩ ϕ[x̌], dann folgt sofort M[x][H] ⊧ ϕ[x]. Wähle daher ϕ^{∗} als die Formel in einer freien Variablen, die durch obige Forcing-Relation 1 ⊩ ϕ[x̌] in M[x] definiert ist. q.e.d.

7.2 Lemma Sei κ > ω eine unerreichbare Kardinalzahl in M und G ein Col(ω, κ)-generischer Filter über M. Dann ist ^{ω}ω ∩ M[a] abzählbar in M[G] für jedes a ∈ ^{ω}On ∩ M[G].

Beweis: Sei a ∈ ^{ω}On ∩ M[G]. Dann existiert nach Lemma 5.3(e) ein δ < κ derart, daß a ∈ M[G ∩ Col(ω, δ)], wobei G_{0} := G ∩ Col(ω, δ) nach Lemma 5.3(b) ein Col(ω, δ)- generischer Filter über M ist. Da κ unerreichbar in M ist, ist κ nach Satz 3.28 auch unerreichbar in M[G_{0}]. Wegen a ∈ M[G_{0}] muß dann κ auch eine unerreichbare Kardinalzahl in M[a] sein. Dies hat nun zur Folge, daß

\overline{\overline{^{ω}ω ∩ M[a]}}^{M[G]} ≤ \overline{\overline{^{ω}ω ∩ M[a]}}^{M[a]} = (2^{ω})^{M[a]} < κ = ω_{1}^{M[G]}. q.e.d.

7.3 Satz Sei κ > ω eine unerreichbare Kardinalzahl in M und G ein Col(ω, κ)-generischer Filter über M. Dann ist jede Menge reeller Zahlen, die ^{ω}On-definierbar in M[G] ist, Lebesgue-meßbar in M[G].

Beweis: Sei A ⊂ ^{ω}ω, A ∈ M[G] eine ^{ω}On-definierbare Menge reeller Zahlen in M[G], d.h. es existieren eine Formel ϕ(v_{0}, v_{1}) und eine Ordinalzahlfolge a ∈ ^{ω}On ∩ M[G], so daß

x ∈ A gdw M[G] ⊧ ϕ[a, x].

Eine 2-Variablen-Version von Satz 7.1 (der Beweis hierfür verläuft analog zum Beweis der 1-Variablen-Version, indem man einfach zweimal den Satz 5.8 anwendet) liefert dann eine Formel ϕ^{∗}(v_{0}, v_{1}) derart, daß

x ∈ A gdw M[a][x] ⊧ ϕ^{∗}[a, x].

Wir arbeiten von jetzt an in M[G].

Nach Satz 6.8 gilt: (∗) {x ∈ ^{ω}ω : x nicht random über M[a]}

= ⋃{A_{c} : c ∈ M[a] ∩^{ω}ω ein G_{δ}-Code mit m_{L}(A_{c}) = 0}. Da ^{ω}ω ∩ M[a] abzählbar ist, ist ⋃{A_{c} : c ∈ M[a] ∩^{ω}ω ein G_{δ}-Code ∧ m_{L}(A_{c}) = 0} eine abzählbare Vereinigung von Nullmengen und somit wieder eine Nullmenge. Dann ist nach (∗) auch {x ∈ ^{ω}ω : x ist nicht random über M[a]} eine Nullmenge. Um zu zeigen, daß A Lebesgue-meßbar ist, genügt es daher eine Borelmenge X zu finden, so daß A△X nur aus rellen Zahlen besteht, die nicht random über M[a] sind. Wir forcen dazu mit (B^{∗})^{M[a]} in M[a]: Für jeden (B^{∗})^{M[a]}-generischen Filter G über M[a] bezeichne x^{G} die durch G eindeutig bestimmte Random Real. Desweiteren wähle für jede dieser Random Reals einen Namen ẋ^{G}. Dann gilt: M[a] ⊧ 1 ⊩ ∃ x x = ẋ^{G}. Nach dem Maximalitätsprinzip existiert somit ein kanonischer Name ṙ für die Random Reals, d.h. 1 ⊩ ṙ = ẋ^{G}. Sei Z ∈ M[a] eine maximale Antikette in (B^{∗})^{M[a]}. Nach Lemma 2.2 und Lemma 3.18(iv) kann man durch geeignete Verstärkung der Bedingungen in Z zu einer maximalen Antikette Y übergehen, deren Elemente abgeschlossene Mengen sind und die zudem ϕ^{∗}(ǎ, ṙ) entscheiden, d.h. für p ∈ Y gilt p ⊩ ϕ^{∗}(ǎ, ṙ) oder p ⊩ ¬ϕ^{∗}(ǎ, ṙ). Betrachte jetzt eine reelle Zahl x ∈ ^{ω}ω, die random über M[a] ist und den dazugehörigen (B^{∗})^{M[a]}-generischen Filter H über M[a]. Es gilt:

x ∈ A gdw M[a][x] ⊧ ϕ^{∗}[a, x] gdw M[a][H] ⊧ ϕ^{∗}[a, x] (nach Satz 6.6). Falls x ∈ A ist, gibt es daher nach dem Forcing-Theorem ein p ∈ H mit p ⊩ ϕ^{∗}(ǎ, ṙ). Da H ein (B^{∗})^{M[a]}-generischer Filter über M[a] und Y eine maximale Antikette in (B^{∗})^{M[a]} ist, existiert ferner ein q ∈ H ∩ Y. Da p und q kompatibel sind und q die Formel ϕ^{∗}(ǎ, ṙ) entscheidet, gilt dann q ⊩ ϕ^{∗}(ǎ, ṙ). Aus dieser Überlegung folgt:

x ∈ A gdw es existiert ein abgeschlossener Code c ∈ M[a] mit

A_{c}^{M[a]} ∈ H und A_{c}^{M[a]} ∈ Y und A_{c}^{M[a]} ⊩ ϕ^{∗}(ǎ, ṙ) (nach Theorem 3.17) gdw es existiert ein abgeschlossener Code c ∈ M[a] mit

x ∈ A_{c}^{M[a][H]} und A_{c}^{M[a]} ∈ Y und A_{c}^{M[a]} ⊩ ϕ^{∗}(ǎ, ṙ) (nach Satz 6.6) gdw es existiert ein abgeschlossener Code c ∈ M[a] mit

x ∈ A_{c} und A_{c}^{M[a]} ∈ Y und A_{c}^{M[a]} ⊩ ϕ^{∗}(ǎ, ṙ) (nach Lemma 6.5(a)).

Definiere X := ⋃{A_{c} : c ∈ M[a] ein abgeschlossener Code mit A_{c}^{M[a]} ∈ Y ∧ A_{c}^{M[a]} ⊩ ϕ^{∗}(ǎ, ṙ)}. (Beachte, daß wir uns immer noch in M[G] befinden.) Da die FH (B^{∗})^{M[a]} die ℵ_{1}- Antiketteneigenschaft in M[a] hat, ist Y abzählbar. Folglich ist X eine Borelmenge, genauer eine F_{σ}-Menge. Desweiteren gilt:

x ∈ A gdw x ∈ X, falls x random über M[a] ist. Jedes x ∈ A△X ist demnach nicht random über M[a]. Damit ist gezeigt, daß A Lebesgue-meßbar ist. q.e.d.

7.4 Satz Unter den Voraussetzungen des Satzes 7.3 hat jede Menge reeller Zahlen, die ^{ω}Ondefinierbar in M[G] ist, die Baire-Eigenschaft in M[G].

Beweis: Der Beweis verläuft analog zum Beweis der Lebesgue-Meßbarkeit: Sei A ⊂ ^{ω}ω, A ∈ M[G] eine ^{ω}On-definierbare Menge reeller Zahlen in M[G]. Wie im Beweis von Satz 7.3 zeigt man die Existenz einer abzählbaren Ordinalzahlfolge a ∈ ^{ω}On ∩ M[G] und einer Formel ϕ^{∗}(v_{0}, v_{1}), so daß x ∈ A gdw M[a][x] ⊧ ϕ^{∗}[a, x]. Um zu zeigen, daß A die Baire-Eigenschaft in M[G] besitzt, genügt es nach Lemma 2.4(a) eine Borelmenge X ∈ M[G] zu finden, so daß A△X mager in M[G] ist. Nach Satz 6.15 und da ^{ω}ω ∩M[a] abzählbar in M[G] ist, genügt es dazu die Existenz einer Borelmenge X ∈ M[G] zu zeigen, so daß A△X nur aus reellen Zahlen besteht, die nicht generisch über M sind. Den Beweis hierfür kann man nun wörtlich aus dem entsprechenden Teil des Beweises der Lebesgue-Meßbarkeit übernehmen, wenn man “random“ durch “generisch“, “B^{∗}“ durch “B^{†}“, “abgeschlossen“ durch “G_{δ}“ und “G_{δ}“ durch “F_{σδ}“ ersetzt. q.e.d.

7.5 Satz Unter den Voraussetzungen des Satzes 7.3 hat jede Menge reeller Zahlen, die ^{ω}Ondefinierbar in M[G] ist, die Perfekte-Mengen-Eigenschaft in M[G].

Beweis: Sei A ⊂ ^{ω}ω, A ∈ M[G] eine ^{ω}On-definierbare, überabzählbare Menge reeller Zahlen in M[G]. Dann existieren, wie im Beweis von Satz 7.3, eine Ordinalzahlfolge a ∈ ^{ω}On ∩ M[G] und eine Formel ϕ^{∗}(v_{0}, v_{1}) derart, daß

x ∈ A gdw M[a][x] ⊧ ϕ^{∗}[a, x]. Da ^{ω}ω ∩ M[a] aus der Sicht von M[G] abzählbar ist (siehe Lemma 7.2), existiert ein y ∈ M[G] ∩ (A − (M[a] ∩ ^{ω}ω)). Desweiteren folgt aus Satz 5.8 die Existenz eines Col(ω, κ)-generischen Filters H über M[a] mit M[a][H] = M[G]. Wegen y ∈ M[a][H] existiert dann nach Lemma 5.3(e) eine FH Q ⊂ Col(ω, κ), Q ∈ M[a], derart, daß \overline{\overline{Q}} < κ und y ∈ M[a][H ∩ Q]. Sei ẏ ein Q-Name für y. Dann existiert nach dem Forcing-Theorem ein p ∈ H ∩ Q mit

(∗) p ⊩_{Q} ẏ ∈ ^{ω}ω ∧ ẏ ∉ M̌[a] ∧ ⌜M̌[a][ẏ] ⊧ ϕ^{∗}(ǎ, ẏ)⌝.

(M[a][y] ⊂ M[a][H ∩ Q] ist nach Lemma 4.5 und Satz 4.1 eine generische Erweiterung über M[a]. Daher ist der Ausdruck p ⊩_{Q} ⌜M̌[a][ẏ] ⊧ ϕ^{∗}(ǎ, ẏ)⌝ gerechtfertigt.) Arbeite im folgenden in M[G] : Da κ unerreichbar in M[a] ist (siehe Beweis von Lemma 7.2), ist P(Q)^{M[a]} abzählbar. Sei daher (D_{n} : n < ω) eine Aufzählung aller dichten Teilmengen von Q, die in M[a] liegen. Definiere nun für jedes t ∈ ^{<ω}2 ein p_{t} ∈ Q und ein u_{t} ∈ ^{<ω}ω wie folgt: Wähle zunächst ein p_{∅} ∈ D_{0} mit p_{∅} ≤ p. Sei p_{t} ≤ p mit |t| = n < ω bereits definiert. Aus p_{t} ⊩ ẏ ∈ ^{ω}ω folgt: ∀ k < ω p_{t} ⊩ ∃ n < ω ẏ(k) = n, also:

(∗∗) ∀ k < ω ∃ q_{k} ≤ p_{t} ∃ n_{k} < ω q_{k} ⊩ ẏ = n_{k}. Aus p_{t} ⊩ ẏ ∉ M̌[a] folgt: ∃ k < ω ∀ n < ω ¬p_{t} ⊩ ẏ(k) = n, also:

(∗ ∗ ∗) ∃ k < ω ∀ n < ω ∃ r_{n} ≤ p_{t} r_{n} ⊩ ẏ(k) ≠ n. Sei k < ω ein minimaler Zeuge für (∗ ∗ ∗). Dann existieren ein q_{k} ≤ p_{t} und ein n_{k} < ω mit q_{k} ⊩ ẏ(k) = n_{k} (nach (∗∗)), und es existiert desweiteren ein r_{n_{k}} ≤ p_{t} mit r_{n_{k}} ⊩ ẏ(k) ≠ n_{k} (nach (∗ ∗ ∗)).

Wähle nun u_{t} ∈ ^{<ω}ω und p_{t^{⌢}0}, p_{t^{⌢}1} ∈ D_{n+1} derart, daß p_{t} ⊩ ẏ ↾ k = ǔ_{t} und p_{t^{⌢}0} ≤ q_{k} ≤ p_{t} und p_{t^{⌢}1} ≤ r_{n_{k}} ≤ p_{t} und p_{t^{⌢}1} einen Wert für ẏ(k) erzwingt. Für die so definierten p_{t} und u_{t} gilt dann:

(1) p_{t} ∈ D_{n}, falls |t| = n < ω.

(2) p_{∅} = p und p_{s} ≤ p_{t}, falls s ⊃ t.

(3) Sei t ∈^{<ω} 2. Dann existiert ein minimales k < ω derart daß p_{t} ⊩ ẏ ↾ k = ǔ_{t} und ¬p_{t} ⊩ ẏ(k) = n für alle n < ω und p_{t^{⌢}0}, p_{t^{⌢}1} unterschiedliche Werte für ẏ(k) forcen.

Für jedes x ∈ ^{ω}2 definiere jetzt einen Q-generischen Filter G_{x} über M[a] durch

G_{x} := {q ∈ Q : ∃ t ∈ ^{<ω}2 (p_{t} ≤ q ∧ t ⊂ x}. (Falls q_{1} ∈ G_{x} und q_{2} ∈ Q mit q_{1} ≤ q_{2}, dann ist nach Definition von G_{x} auch q_{2} ∈ G_{x}. Falls q_{1}, q_{2} ∈ G_{x}, dann existieren t_{1}, t_{2} ∈ ^{<ω}2 mit t_{1}, t_{2} ⊂ x und p_{t_{1}} ≤ q_{1} und p_{t_{2}} ≤ q_{2}. Folglich ist p_{t_{1}∪ t_{2}} ≤ q_{1}, q_{2} und p_{t_{1}∪ t_{2}} ∈ G_{x}. Schließlich trifft G_{x} alle dichten Teilmengen von Q, da p_{x↾n} ∈ G_{x} ∩ D_{n} für alle n < ω.) Beachte: M[a][G_{x}] ⊂ M[G] für alle x ∈ ^{ω}2. Die gesuchte perfekte Teilmenge von A ist dann gegeben durch

C := {ẏ_{G_{x}} : x ∈ ^{ω}2}, denn:

(i) C ⊂ A : Sei x ∈ ^{ω}2. Dann ist p ∈ G_{x}, da die leere Folge ∅ ein Zeuge für die Existenzaussage in der Definition von G_{x} ist. Aus (∗) und dem Forcing-Theorem folgt dann M[a][G_{x}] ⊧ ϕ^{∗}[a, ẏ_{G_{x}}]^{M[a][ẏ_{Gx}]}, also M[a][ẏ_{G_{x}}] ⊧ ϕ^{∗}[a, ẏ_{G_{x}}]. Daher ist ẏ_{G_{x}} ∈ A.

(ii) C enthält keine isolierten Punkte, ist also perfekt: Sei x ∈ ^{ω}2. Es ist zu zeigen, daß ẏ_{G_{x}} ein Limespunkt von C ist. Sei dazu s ∈ ^{<ω}ω mit |s| = k < ω und ẏ_{G_{x}} ∈ O(s). Dann existiert ein r ∈ G_{x} mit r ⊩ ẏ ↾ k = š. Wegen r ∈ G_{x} existiert weiter ein t ∈ ^{<ω}2 mit p_{t} ≤ r und t ⊂ x. Sei o.B.d.A. t^{⌢}0 ⊂ x. Dann gilt für jedes z ∈ ^{ω}2, welches t^{⌢}1 fortsetzt:

ẏ_{G_{z}} ∈ C ∩ O(s) (da p_{t^{⌢}1} ≤ p_{t} ≤ r und p_{t^{⌢}1} ∈ G_{z}) und ẏ_{G_{z}} ≠ ẏ_{G_{x}} (da nach (3) ein l ≥ k existiert, so daß p_{t^{⌢}0} und p_{t^{⌢}1} unterschiedliche Werte für ẏ(l) forcen).

Damit ist gezeigt: (C ∩ O(s)) − {ẏ_{G_{x}}} ≠ ∅ für alle s ∈ ^{<ω}ω mit ẏ_{G_{x}} ∈ O(s).

(iii) C ist abgeschlossen: Wir zeigen C = ⋂_{n<ω} ⋃{O(u_{t}) : t ∈ ^{<ω}2 ∧ |t| = n}. Dann ist C abgeschlossen, da die Mengen O(u_{t}) abgeschlossen sind: Sei x ∈ ^{ω}2. Dann ist p_{x↾n} ∈ G_{x} für alle n < ω und nach (3) existiert zu jedem n < ω ein k_{n} < ω mit p_{x↾n} ⊩ ẏ ↾ k_{n} = ǔ_{x↾n}. Folglich ist ẏ_{G_{x}} ∈ ⋂_{n<ω} ⋃{O(u_{t}) : |t| = n}. Sei umgekehrt d ∈ ⋂_{n<ω} ⋃{O(u_{t}) : |t| = n}. Dann existiert ein z ∈ ^{ω}2 derart, daß d ∈ O(u_{z↾n}) für alle n < ω. Da auch ẏ_{G_{z}} ∈ O(u_{z↾n}) für alle n < ω und ⋂_{n<ω} O(u_{z↾n}) eine Einpunktmenge ist, folgt d = ẏ_{G_{z}} ∈ C. q.e.d.

Beweis von Theorem 1.1 (a)-(c): Sei M ein abzählbares und transitives Modell von ZFC. Sei κ eine unerreichbare Kardinalzahl in M und G ein Col(ω, κ)-generischer Filter über M. Der letzte Schritt im Beweis von Solovay’s Theorem ist nun der Übergang von M[G] zum ZF-Modell L(ℝ)^{M[G]}, dem konstruktiblen Abschluß der reellen Zahlen in M[G]. Da ℝ aus ^{ω}ω konstruiert werden kann und umgekehrt, gilt L(ℝ) = L(^{ω}ω). Dies hat zur Folge, daß

(∗) (^{ω}ω ∩ L(ℝ) = ^{ω}ω ∩ L(^{ω}ω) = ^{ω}ω)^{M[G]}.

Sei jetzt A ⊂ ^{ω}ω mit A ∈ L(ℝ)^{M[G]}. Dann ist A nach Lemma 2.11 ^{ω}On-definierbar in M[G] und aus Satz 7.3 folgt somit die Existenz einer F_{σ}-Menge X ∈ M[G], so daß A△X eine Nullmenge in M[G] ist. Nach Lemma 2.2 gibt es dann für jedes n < ω eine offene Menge O_{n} ∈ M[G] mit O_{n} ⊃ A△X und m_{L}^{M[G]}(O_{n}^{M[G]}) < \frac{1}{n+1}. Sei c ∈ ^{ω}ω ∩ M[G] ein G_{δ}-Code für ^{ω}ω − X und seien c_{n} ∈ ^{ω}ω ∩ M[G] offene Codes für O_{n}. Wegen (∗) sind c, c_{n} ∈ ^{ω}ω ∩ L(ℝ)^{M[G]} und aus Lemma 6.5 folgt daher:

L(ℝ)^{M[G]} ⊧ (∃ c ∈ ^{ω}ω ∀n < ω ∃ d ∈ ^{ω}ω (d ein offener Code ∧ c ein G_{δ}-Code ∧ A_{d} ⊃ A△(^{ω}ω − A_{c}) ∧ m_{L}(A_{d}) = \frac{1}{n+1}).

Damit ist gezeigt, daß A Lebesgue-meßbar in L(ℝ)^{M[G]} ist.

Nach Satz 7.4 existiert desweiteren eine offene Menge U ∈ M[G], so daß A△U eine magere Menge in M[G] ist, d.h. es existieren abgeschlossene und nirgends dichte Mengen C_{n} ∈ M[G] mit A△U ⊂ ⋃_{n<ω} C_{n}. Indem man die Mengen U und C_{n} wiederum kodiert, ist auch dieses Ergebnis wegen Lemma 6.5(a) und Lemma 6.12 nach L(ℝ)^{M[G]} übertragbar. Somit hat also A auch die Baire-Eigenschaft in L(ℝ)^{M[G]}.

Es bleibt zu zeigen, daß A die Perfekte-Mengen-Eigenschaft in L(ℝ)^{M[G]} besitzt. Falls A abzählbar in L(ℝ)^{M[G]} ist, ist nichts zu zeigen. Wir nehmen daher an, daß A überabzählbar in L(ℝ)^{M[G]} ist. Dann ist A auch überabzählbar in M[G]. (Angenommen, dies gilt nicht. Da das Auswahlaxiom in M[G] gilt, existiert dann eine Bijektion f : ω ↔ A in M[G]. Sei {p_{n} : n < ω} eine Aufzählung der Primzahlen. Mit deren Hilfe kann nun A durch eine einzige reelle Zahl c ∈ ^{ω}ω kodiert werden: Setze c(i) := f(n)(m), falls i = p_{n}^{m+1} für n, m < ω und c(i) := 0, sonst. Nach (∗) ist c ein Element von L(ℝ)^{M[G]} und daher ist die Funktion F, die definiert ist durch F (n) := {(m, c(p_{n}^{m+1})) : m < ω}, eine Bijektion zwischen ω und A, die in L(ℝ)^{M[G]} liegt. Dies widerspricht aber der Überabzählbarkeit von A in L(ℝ)^{M[G]}.)

Aus Satz 7.5 folgt daher die Existenz einer perfekten Menge C ∈ M[G] mit C ⊂ A. Sei d ∈ ^{ω}ω ∩ M[G] ein abgeschlossener Code für C. Nach (∗) ist d ∈ L(ℝ)^{M[G]}. Folglich ist A_{d}^{L(ℝ)^{M[G]}} eine abgeschlossene Teilmenge von A und es bleibt zu zeigen,

daß A_{d}^{L(ℝ)^{M[G]}} aus der Sicht von L(ℝ)^{M[G]} keine isolierten Punkte hat:

Angenommen, x ∈ A_{d}^{L(ℝ)^{M[G]}} ist ein solch isolierter Punkt, d.h. es existiert ein i < ω mit (A_{d} ∩ O(s_{i}) = {x})^{L(ℝ)^{M[G]}}. Dann folgt aus Lemma 6.5, daß x auch ein isolierter Punkt von A_{d}^{M[G]} = C ist, ein Widerspruch. q.e.d.

Das folgende Satz vervollständigt schließlich den Beweis von Theorem 1.1.

7.6 Satz ZF+DC ⊢ (DC)^{L(ℝ)}.

Beweis:

(1) Seien α, β ∈ On. Dann existieren eine Ordinalzahl γ ≥ α, β und eine Funktion σ ∈ L(ℝ) derart, daß σ : γ ↔ α × β eine Bijektion zwischen γ und α × β ist.

Beweis: Benutze die Gödelsche Paar-Funktion G : On × On ↔ On. ⊣ (1)

(2) Sei ξ ∈ On. Dann existieren eine Ordinalzahl λ_{ξ} und eine Funktion π_{ξ} ∈ L(ℝ) derart, daß π_{ξ} : λ_{ξ} × ^{ω}ω ↠ L_{ξ}(ℝ) eine Surjektion von λ_{ξ} × ^{ω}ω auf L_{ξ}(ℝ) ist.

Beweis: Falls ξ = 0 ist, sei π_{0} eine beliebige Surjektion in L(ℝ) von ω × ^{ω}ω auf tc({ℝ}). Im Nachfolgerfall ξ = \overline{ξ} + 1 sei eine Surjektion π\overline{ξ} : λ\overline{ξ} ×^{ω}ω ↠ L\overline{ξ}(ℝ) gegeben. Nach (1) existieren für jedes n < ω ein γ_{n} ≥ λ\overline{ξ} und eine Bijektion σ_{n} : γ_{n} ↔ λ\overline{ξ}^{n} mit σ_{n} ∈ L(ℝ). Setze λ_{ξ} := ⋃{γ_{n} : n < ω} und modifiziere die Abbildungen σ_{n} zu Surjektionen σ′_{n} : λ_{ξ} ↠ λ\overline{ξ}^{n}. Definiere eine Surjektion τ_{1} : λ_{ξ} ×^{ω}ω ↠ ⋃_{n<ω} ^{n}L\overline{ξ}(ℝ) durch

τ_{1}(η, a) := (π\overline{ξ}(η′(0), a′(0)), ..., π\overline{ξ}(η′(n − 1), a′(n − 1))), wobei n := a(0) und η′ : n → λ\overline{ξ} derart, daß σ′_{n}(η) = (η′(0), ..., η′(n − 1)), und a′ : n → ^{ω}ω derart, daß a′(i)(m) = a(p_{i}^{m+1}) (p_{i} bezeichnet die (i + 1)-te Primzahl). Definiere nun eine Surjektion τ_{2} : ⋃_{n<ω} ^{n}L\overline{ξ}(ℝ) ↠ L_{ξ}(ℝ) durch

τ_{2}(x_{0}, ..., x_{n−1}) := \{ \begin{matrix}\{y ∈ L\overline{ξ}(ℝ) : ⊧_{L\overline{ξ}(ℝ)} ϕ(ẋ_{1}, ..., ẋ_{n−1}, ẏ)\}, falls x_{0} eine \\ ∈ -Formel ϕ mit n freien Variablen kodiert (die genaue \\ Definition einer solchen Kodierung findet man in [4]); \\ ∅, sonst. \end{matrix}

Dann erfüllt π_{ξ} := τ_{2} ∘ τ_{1} die Behauptung. Ist ξ eine Limesordinalzahl, dann seien Ordinalzahlen λ_{δ} und Surjektionen π_{δ} : λ_{δ} × ^{ω}ω ↠ L_{δ}(ℝ) für δ < ξ gegeben. Setze β := ⋃_{δ<ξ} λ_{δ} und modifiziere die Abbildungen π_{δ} zu Surjektionen π′_{δ} : β×^{ω}ω ↠ L_{δ}(ℝ). Nach (1) existieren ein γ ∈ On und eine Bijektion σ : γ ↔ ξ ×β. Setze λ_{ξ} := γ und definiere in L(ℝ) eine Surjektion π_{ξ} : λ_{ξ} ×^{ω}ω ↠ L_{ξ}(ℝ) durch π_{ξ}(η, a) := π′_{η_{1}}(η_{2}, a), wobei (η_{1}, η_{2}) = σ(η). ⊣ (2)

Seien X, R ∈ L_{λ}(ℝ), λ ∈ On, mit X ≠ ∅, R ⊂ X×X und ∀ x ∈ X ∃ y ∈ X (x, y) ∈ R. Dann seien λ^{∗} ∈ On und π_{λ} : λ^{∗} × ^{ω}ω ↠ L_{λ}(ℝ) wie in (2). Da (DC) in V gilt, existiert eine Funktion f : ω → X mit (f(n), f(n + 1)) ∈ R für jedes n < ω. Wegen ran(f) ⊂ X ⊂ L_{λ}(ℝ) existieren dann für jedes n < ω ein ζ_{n} < λ^{∗} und ein a_{n} ∈ ^{ω}ω derart, daß f(n) = π_{λ}(ζ_{n}, a_{n}). Beachte, daß die Funktion n ↦ a_{n} in L(ℝ) liegt, da sie durch eine reelle Zahl a ∈ ^{ω}ω kodiert werden kann (vgl. Beweis von 1.1(c)). Definiere jetzt eine zweistellige Relation <^{∗} auf ω × λ^{∗} durch

(k, ξ) <^{∗} (m, η) gdw k = m + 1 ∧ (π_{λ}(η, a_{m}), π_{λ}(ξ, a_{k})) ∈ R. Diese Relation <^{∗} ist ein Element von L(ℝ) und sie ist nicht fundiert in V, denn es gilt (0, ζ_{0}) >^{∗} (1, ζ_{1}) >^{∗} (2, ζ_{2}) >^{∗} ... . Da Fundiertheit eine ZF-absolute Eigenschaft ist (siehe z.B. Jech[10](S.107)), ist <^{∗} auch nicht fundiert in L(ℝ). Zu jedem n < ω existiert daher in L(ℝ) ein ξ_{n} < λ^{∗} derart, daß (π_{λ}(ξ_{n}, a_{n}), π_{λ}(ξ_{n+1}, a_{n+1})) ∈ R. Für F (n) := π_{λ}(ξ_{n}, a_{n}) folgt somit die Behauptung. q.e.d.

Betrachtet man Solovay’s Theorem und die daraus resultierende Konsistenzaussage

Con(ZFC + ∃κ (κ ist unerreichbar)) → Con(ZF + DC + LM + BE + PM), so stellt sich die Frage, inwiefern die Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl notwendig ist, um die Konsistenz von ZF + DC + LM + BE + PM zu zeigen. Diese Frage besitzt mehrere Antworten: Zum einen wissen wir, daß es innerhalb von ZFC einen Beweis für

Con(ZF + DC + PM) → Con(ZFC + (∃ κ unerreichbar)) gibt (siehe Mycielski[17]). Aus dem 2. Gödelschen Unvollständigkeitssatz und der Tatsache, daß für κ unerreichbar V_{κ} ein Modell von ZFC ist, folgt daher, daß man auf jeden Fall eine unerreichbare Kardinalzahl zum Beweis von Theorem 1.1 (c)(d) benötigt. Die Theorien ZFC + (∃ κ unerreichbar) und ZF + DC + PM sind demnach äquikonsistent. Andererseits konnte Shelah[19] zeigen, daß eine unerreichbare Kardinalzahl für die Baire-Eigenschaft nicht unbedingt notwendig, für die Lebesgue-Meßbarkeit jedoch unerläßlich ist. Dieses Ergebnis ist insofern bemerkenswert, da die Beweise von Theorem 1.1 (a) und (b) in gewisser Weise analog verlaufen.

Zum Abschluß dieses Kapitels seien noch zwei weitere Resultate erwähnt, die beim Studium von Solovay’s Modell erzielt wurden.

(i) Für eine Menge x bezeichne [x]^{ω} die Menge aller abzählbaren Teilmengen von x. Wir nennen eine Menge Y ⊂ [ω]^{ω} Ramsey, falls ein x ∈ [ω]^{ω} existiert mit [x]^{ω} ⊂ Y oder [x]^{ω} ∩ Y = ∅. Man beachte, daß die Aussage, alle Teilmengen von [ω]^{ω} sind Ramsey, der Definition der Partitionseigenschaft ω ⟶ (ω)_{2}^{ω} entspricht.

7.7 Satz (Mathias) Sei M[G] wie im Beweis von Satz 7.3.

(a) In M[G] gilt, daß jede ^{ω}On-definierbare Teilmenge von [ω]^{ω} Ramsey ist.

(b) In L(ℝ)^{M[G]} gilt ω ⟶ (ω)_{2}^{ω}.

Einen kurzen Überblick über den Beweis dieses Satzes findet man in Kanamori[11]. Im Gegensatz zu den in Theorem 1.1 betrachteten Eigenschaften, ist es bisher noch nicht bekannt, ob eine unerreichbare Kardinalzahl für ω ⟶ (ω)_{2}^{ω} notwendig ist, d.h. die Frage, ob die Konsistenz von ZFC die Konsistenz von ZF + DC + ω ⟶ (ω)_{2}^{ω} impliziert, ist bis heute noch nicht beantwortet.

(ii) Auf Levy und Solovay geht das folgende Resultat zurück:

7.8 Satz (Levy-Solovay[15]) Sei M[G] wie im Beweis von Satz 7.3.

(a) In M[G] gilt, daß jede ^{ω}On-definierbare Menge reeller Zahlen die Vereinigung von ℵ_{1}-vielen Borelmengen ist.

(b) In L(ℝ)^{M[G} gilt, daß jede Menge reeller Zahlen die Vereinigung von ℵ_{1}-vielen Borelmengen ist.

Eine Folgerung aus diesem Satz ist, daß das Axiom der Determiniertheit in L(ℝ)^{M[G]} nicht gilt, denn Moschovakis[18] hat gezeigt, daß in jedem Modell von ZF+DC+AD die Vereinigung von ℵ_{1}-vielen Borelmengen eine Σ_{2}^{1}-Menge ist.

8 Nicht-Determiniertheit im Solovay-Modell

Sei M ein abzählbares und transitives Modell von ZFC, κ eine unerreichbare Kardinalzahl in M und G ein Col(ω, κ)-generischer Filter über M. In Kapitel 7 haben wir gesehen, daß in M[G] jede ^{ω}On-definierbare Menge reeller Zahlen Lebesgue-meßbar und Ramsey ist, sowie die Baire-Eigenschaft und die Perfekte-Mengen-Eigenschaft besitzt. Da jede projektive Menge ^{ω}On-definierbar ist, gilt dies daher insbesondere für alle projektiven Mengen. Ferner wissen wir, daß das Axiom der Projektiven Determiniertheit (PD) impliziert, daß jede projektive Mengen Lebesgue-meßbar ist, die Baire-Eigenschaft und die Perfekte-Mengen-Eigenschaft besitzt (siehe z.B. Jech[10] (S.560)), und daß jede projektive Mengen Ramsey ist (Harrington-Kechris[9]). Es liegt daher nahe, sich zu fragen, ob in M[G] jede projektive Menge auch determiniert ist. In dem speziellen Fall, daß M ein Modell des Konstruktibilitätsaxioms V=L ist, beantwortet der folgende Satz diese Frage.

8.1 Satz Sei M ein abzählbares und transitives Modell von ZFC + V=L. Sei P eine FH in M und G ein P -generischer Filter über M. Dann existiert in M[G] eine nichtdeterminierte Π_{1}^{1}-Menge.

Der Beweis dieses Satzes basiert auf zwei wichtigen Ergebnissen bzgl. 0^{#} : (1) Die Determiniertheit aller Π_{1}^{1}-Mengen impliziert die Existenz von 0^{#}.

(2) Falls 0^{#} existiert, so gilt für alle unendlichen x ∈ L : \overline{\overline{P(x)^{L}}} = \overline{\overline{x}}.

(1) wurde von Harrington in [8] bewiesen. Einen Beweis für (2) findet man zum Beispiel in Kanamori[11](S.109).

Beweis (von Satz 8.1): Angenommen, in M[G] sind alle Π_{1}^{1}-Mengen determiniert. Dann impliziert (1) die Existenz von 0^{#} in M[G]. Nach (2) und wegen M ⊧ V = L gilt daher in M[G] :

(∗) \overline{\overline{P(α)^{M}}} = \overline{\overline{α}} für alle unendlichen α ∈ On ∩ M.

Sei μ > \overline{\overline{P}}^{+} eine Kardinalzahl in M. Da Forcing mit P Kardinalitäten > \overline{\overline{P}}^{+} bewahrt (vgl. 5.3), ist (2^{μ})^{M} eine Kardinalzahl in M[G]. Dies widerspricht aber (∗). q.e.d.

Die Fragestellung, ob PD in M[G] gilt, ist damit auf sehr allgemeine Weise beantwortet worden. Da jedoch gerade der Beweis von (1) sehr komplex ist (er benutzt unter anderem Steels Forcing) und wir uns nur auf den speziellen Fall P = Col(ω, κ) konzentrieren wollen, stellt sich weiterhin die Frage, ob wir in dieser speziellen Situation ein ähnlich gutes Resultat wie in Satz 8.1 erzielen können, ohne (1) und (2) zu Hilfe zu nehmen. Es ist nicht unbedingt zu erwarten, daß wir eine nicht-determinierte Π_{1}^{1}-Menge erhalten, ohne Steels Forcing zu verwenden. Aber wir werden in diesem Kapitel 8 folgenden Satz beweisen:

8.2 Satz Sei M ein abzählbares und transitives Modell von ZFC + V=L, κ eine unerreichbare Kardinalzahl in M und G ein Col(ω, κ)-generischer Filter über M. Dann existiert in M[G] eine nicht-determinierte Δ_{2}^{1}-Menge.

Zum Beweis dieses Satz gehen wir wie folgt vor:

Zunächst konstruieren wir in L eine “geeignete“ nicht-determinierte Π_{1}^{1}-Menge A, die in gewisser Weise als Vorlage für die in M[G] gesuchte Menge dienen soll. Der Beweis der Nicht-Determiniertheit der Menge A basiert auf einer Anwendung des Beschränktheitslemmas für WF (Kapitel 8.3) und des Satzes von Boolos und Putnam (Kapitel 8.4). (Aus dem Beschränkheitslemma für WF folgt, daß Spieler I keine Gewinnstrategie im Spiel um A hat. Mit Hilfe des Satzes von Boolos und Putnam werden wir zeigen, daß auch Spieler II keine Gewinnstrategie haben kann.)

Daran anschließend konstruieren wir in M[G] eine Menge A^{∗}, die eine ähnliche Struktur wie die Menge A aufweist. Diese Menge A^{∗} beweist dann den Satz 8.2. Zum Beweis, daß A^{∗} nicht determiniert ist, benötigen wir zwar wieder das Beschränkheitslemma für WF. Der Satz von Boolos und Putnam wird in diesem Beweis allerdings nicht zur Anwendung kommen. Stattdessen benutzen wir den Col(ω, κ)-generischen Filter G, um zu zeigen, daß Spieler II keine Gewinnstrategie hat.

Bevor wir mit dem eigentlichen Beweis von Satz 8.2 beginnen können, müssen zunächst einige grundlegende Begriffe, Notationen und Resultate aus dem Bereich der Deskriptiven Mengenlehre bereitgestellt werden. Dies geschieht in den Kapiteln 8.1. und 8.2. Es sei an der dieser Stelle daran erinnert, daß immer noch ein Teil des Beweises von Lemma 6.5(a) aussteht. Diese Lücke werden wir ebenfalls in Kapitel 8.2 schließen.

8.1 Das Axiom der Determiniertheit

Sei X eine nicht-leere Menge und A ⊂ ^{ω}X. Dann bezeichne G_{X}(A) das folgende “unendliche Zwei-Personen-Spiel mit perfekter Information“: An dem Spiel G_{X}(A) nehmen zwei Spieler I und II teil. Spieler I beginnt das Spiel mit einem Zug x(0) ∈ X. Spieler II antwortet darauf ebenfalls mit einem Zug x(1) ∈ X. Das Spiel G_{X}(A) wird nun fortgesetzt, indem I und II abwechselnd Elemente von X spielen, wobei die Spieler zu jedem Zeitpunkt Kenntnis über den bisherigen Spielverlauf haben (“perfekte Information“). Das Resultat dieses Spiels ist dann eine Folge x = (x(0), x(1), x(2), ...) ∈ ^{ω}X. Spieler I gewinnt das Spiel G_{X}(A), falls x ∈ A ist, anderenfalls gewinnt Spieler II. Eine Strategie für Spieler I ist eine Funktion σ : ⋃_{n<ω} ^{2n}X → X, die I vorgibt, wie er auf den bisherigen Spielverlauf zu reagieren hat. Ist y ∈ ^{ω}X eine Aufzählung der Spielzüge von II, dann bezeichne σ ∗ y das Resultat des Spieles, falls I gemäß σ spielt. σ ist eine Gewinnstrategie für I, falls {σ ∗ y : y ∈ ^{ω}X} ⊂ A. Analog ist eine Strategie für Spieler II eine Funktion τ : ⋃_{n<ω} ^{2n+1}X → X, die in diesem Fall Spieler II vorgibt, wie er auf den bisherigen Spielverlauf zu antworten hat. Ist x ∈ ^{ω}X eine Aufzählung der Spielzüge von Spieler I, dann bezeichne x ∗ τ das Resultat des Spiels G_{X}(A), falls II gemäß τ spielt. τ ist eine Gewinnstrategie für II, falls {x ∗ τ : x ∈ ^{ω}X} ∩ A = ∅. Der Begriff der Gewinnstrategie führt nun zur Definition von Determiniertheit:

Das Spiel G_{X}(A) ist determiniert, falls ein Spieler eine Gewinnstrategie hat. Die Menge A ist determiniert, falls das Spiel G_{X}(A) determiniert ist.

Das Determiniertheitsaxiom (AD) fordert, daß jede Menge B ⊂ ^{ω}ω determiniert ist.

Die beiden folgenden Notationen werden sich im folgenden als hilfreich erweisen: Sei x ∈ ^{ω}X das Resultat eines Spiels G_{X}(A). Dann definiere x_{I}, x_{II} ∈ ^{ω}X durch

x_{I}(i) := x(2i) “eine Aufzählung der Spielzüge von Spieler I“, x_{II}(i) := x(2i + 1) “eine Aufzählung der Spielzüge von Spieler II“.

Falls X = ω und σ eine Strategie für Spieler I und τ eine Strategie für Spieler II im Spiel G_{ω}(A) ist, dann definiere Codes x_{σ}, y_{τ} ∈ ^{ω}ω für σ und τ durch

x_{σ}(p) = q, falls ∃m_{0}, ..., m_{2k−1} < ω p = ⌜m_{0}, ... , m_{2k−1}⌝ ∧ σ(m_{0}, ..., m_{2k−1}) = q, x_{σ}(p) = 0, sonst; y_{τ} (p) = q, falls ∃m_{0}, ..., m_{2k} < ω p = ⌜m_{0}, ... , m_{2k}⌝ ∧ τ(m_{0}, ..., m_{2k}) = q, y_{τ} (p) = 0, sonst.

8.2 Einiges aus der Deskriptiven Mengenlehre

Zur Einführung der Grundbegriffe der Deskriptiven Mengenlehre, wie arithmetische, analytische, projektive und Borel-Hierarchie, sei auf das Buch “The Higher Infinte“ von Akihiro Kanamori[11] und dort speziell auf die Seiten 145-161 verwiesen. Es sei im folgenden {p_{i} : i < ω} immer eine Aufzählung der Primzahlen Ferner bezeichne ∃^{0}, ∀^{0} die Quantoren über ω und ∃^{1}, ∀^{1} die Quantoren über ^{ω}ω. Definiere für m_{0}, ..., m_{r}, m, i < ω und x ∈ ^{ω}ω :

⌜m_{0}, ..., m_{r}⌝ := p_{0}^{m_{0}+1} · p_{1}^{m_{1}+1} ⋯ p_{r}^{m_{r}+1}
(m)_{i} := min{e < ω : p_{i}^{e+2} teilt nicht m}
\overline{x}(m) := ⌜x(0), ..., x(m − 1)⌝
(x)_{i}(m) := x(⌜i, m⌝).

Diese Kodierungen sind alle Δ_{0}^{0} und daher absolut für transitive Modelle von ZFC. Sie werden unter anderem zum Vertauschen von Quantoren benutzt:

(∀^{0} p < q) ∃^{0} m R(p, q, m, w) ↔ ∃^{0} m (∀^{0} p < q) R(p, q, (m)_{p}, w),
∃^{0} m ∃^{0} p R(m, p, w) ↔ ∃^{0} m ((m)_{0}, (m)_{1}, w),
∀^{0} m ∃^{1} x R(m, w, x) ↔ ∃^{1} x ∀^{0} m R(m, w, (x)_{m}),
∃^{0} m ∃^{1} x R(m, w, x) ↔ ∃^{1} x R((x)_{0}(0), w, (x)_{1}),
∃^{1} x ∃^{1} y R(w, x, y) ↔ ∃^{1} x R(w, (x)_{0}, x_{1}).

Desweiteren definiere eine (neue) Aufzählung von ^{<ω}ω durch:

s_{i} = (m_{0}, ..., m_{r}), falls i = ⌜m_{0}, ..., m_{r}⌝, und s_{i} = ∅, sonst.

8.3 Lemma Sei n > 0 und A = {w ∈ ^{k}(^{ω}ω) : Q^{1}x_{1}...Q^{1}x_{n} R(w, x_{1}, ..., x_{n})} eine analytische Menge, wobei R ⊂ ^{r}ω ×^{k+n}(^{ω}ω). Dann exisiert ein S ⊂ ^{r+k+n+1}ω , S Δ_{0}^{0} , so daß w ∈ A ↔ ∃^{1}x_{1}...∀^{1}x_{n}∃^{0}m S(m, \overline{w}(m), \overline{x_{1}}(m), ..., \overline{x_{n}}(m)), falls A ∈ Σ_{n}^{1}, n gerade; w ∈ A ↔ ∃^{1}x_{1}...∃^{1}x_{n}∀^{0}m S(m, \overline{w}(m), \overline{x_{1}}(m), ..., \overline{x_{n}}(m)), falls A ∈ Σ_{n}^{1}, n ungerade; w ∈ A ↔ ∀^{1}x_{1}...∃^{1}x_{n}∀^{0}m S(m, \overline{w}(m), \overline{x_{1}}(m), ..., \overline{x_{n}}(m)), falls A ∈ Π_{n}^{1}, n gerade; w ∈ A ↔ ∀^{1}x_{1}...∀^{1}x_{n}∃^{0}m S(m, \overline{w}(m), \overline{x_{1}}(m), ..., \overline{x_{n}}(m)), falls A ∈ Π_{n}^{1}, n ungerade.

Beweis: O.B.d.A. sei R in pränexer Normalform gegeben. Sei A ∈ Σ_{n}^{1} und n gerade. Dann ersetze zunächst in R alle Vorkommnisse von ∀^{0}p durch ∀^{1}x, wobei x(0) die Rolle von p übernimmt. Diese neuen ∀^{1}-Quantoren können dann nach links verschoben und zusammen mit dem “dortigen“ ∀^{1}x_{n}-Quantor zu einem ∀-Quantor zusammengefaßt werden (siehe Äquivalenzen auf Seite 56). Die in R übriggebliebenen unbeschränkten ∃^{0}-Quantoren werden dann ebenfalls zu einem ∃^{0}- Quantor kontrahiert, so daß gilt: x ∈ A ↔ ∃^{1}x_{1} ∀^{1}x_{2} ... ∀^{1}x_{n} ∃^{0}p R_{0}(p, w, x_{1}, ..., x_{n}), wobei R_{0} jetzt Δ_{0}^{0} ist. Da nun in R_{0} nur noch beschränkte Quantoren vorkommen, hängt R_{0}(p, w, x_{1}, ..., x_{n}) für jedes p < ω lediglich von \overline{w}(q), \overline{x_{1}}(q), ..., \overline{x_{n}} für ein genügend großes q ab. Es existiert daher ein R_{1} ⊂ ^{r+k+n+1}ω derart, daß ∃^{0}p R_{0}(p, w, x_{1}, ..., x_{n}) ↔ ∃^{0}p ∃^{0}q R_{1}(p, \overline{w}(q), \overline{x_{1}}(q), ..., \overline{x_{n}}(q)). Da die Quantoren ∃^{0}p und ∃^{0}q wiederum zusammengefaßt werden können, folgt nun die Behauptung. Der Fall A ∈ Σ_{n}^{1} und n ungerade, wird analog bewiesen. Im Fall A ∈ Π_{n}^{1} folgt die Behauptung durch Negationsbildung aus dem Σ_{n}^{1}-Fall. q.e.d.

8.4 Lemma Sei A ⊂ ^{k}(^{ω}ω) und n > 0. Dann gilt:

(a) A ∈ Σ_{n}^{0} gdw A ∈ Σ_{n}^{0}(a) für ein a ∈ ^{ω}ω , A ∈ Π_{n}^{0} gdw A ∈ Π_{n}^{0}(a) für ein a ∈ ^{ω}ω,

(b) A ∈ Σ_{n}^{1} gdw A ∈ Σ_{n}^{1}(a) für ein a ∈ ^{ω}ω , A ∈ Π_{n}^{1} gdw A ∈ Π_{n}^{1}(a) für ein a ∈ ^{ω}ω.

Beweis:

(a) : Falls A eine Σ_{1}^{0}-Menge, also offen ist, dann existiert ein a ∈ ^{ω}ω derart, daß A = ⋃_{m<ω} O(s_{a(⌜0,m⌝)}) × ... × O(s_{a(⌜k−1,m⌝)}).

Dies zeigt, daß A eine Σ_{1}^{0}(a)-Menge ist. Ist umgekehrt A ∈ Σ_{1}^{0}(a) für ein a ∈ ^{ω}ω, so existiert eine Δ_{0}^{0}(a)-Relation R mit w ∈ A ↔ ∃^{0}m R(m, w). Da R(m, w) eine Δ_{0}^{0}(a)-Relation ist, hängt die Entscheidbarkeit von R(m, w) für jedes m < ω lediglich von einem endlichen Teilstück von w ab. Für festes m < ω existieren daher zu jedem w ∈ ^{k}(^{ω}ω), welches R(m, w) erfüllt, Funktionen t_{1}, ..., t_{k} ∈ ^{<ω}ω derart, daß

O(t_{1}) × ... × O(t_{k}) ⊂ R_{m} := {w : R(m, w)}. Zu jedem w ∈ R_{m} gibt es also eine offene Menge, die w enthält und die ganz in R_{m} liegt. Folglich ist R_{m} offen für jedes m < ω und daher ist auch A = ⋃_{m<ω} R_{m} offen. Sei nun n ≥ 0 und die Behauptung B ∈ Σ_{n}^{0} gdw B ∈ Σ_{n}^{0}(b) für ein b ∈ ^{ω}ω bereits bewiesen. Falls A eine Π_{n}^{0}-Menge und n gerade ist, so hat A die Gestalt

A = ⋂_{m_{0}<ω} ⋃_{m_{1}<ω} ... ⋃_{m_{n−1}<ω} O(s_{i_{0,m_{0},...,m_{n−1}}} ) × ... × O(s_{i_{k−1,m_{0},...,m_{n−1}}} ). Es existiert daher ein a ∈ ^{ω}ω, so daß

w ∈ A ↔ ∀^{0}m_{0} ... ∃^{0}m_{n−1} w ∈ O(s_{a(⌜0,m_{0},...,m_{n}⌝)}) × ... × O(s_{a(⌜k−1,m_{0},...,m_{n−1}⌝)}). Folglich ist A eine Π_{n}^{0}(a)-Menge. Der Fall, daß n ungerade ist, wird analog bewiesen. Ist umgekehrt A eine Π_{n}^{0}(a)-Menge, so existiert eine Δ_{0}^{0}(a)-Relation derart, daß

w ∈ A ↔ ∀^{0}m ∃^{0}m_{0} ...Q^{0}m_{n−1} R(m, m_{0}, ..., m_{n−1}, w). Definiere für m < ω : R_{m} := {w : ∃^{0}m_{0} ...Q^{0}m_{n−1} R(m, m_{0}, ..., m_{n−1}, w)} ∈ Σ_{n}^{0}(a). Nach Annahme gilt dann R_{m} ∈ Σ_{n}^{0} für m < ω, und daher ist A = ⋂_{m<ω} R_{m} ∈ Π_{n}^{0}. Schließlich folgt der Σ_{n+1}^{0}-Fall auf analoge Weise aus dem Π_{n}^{0}-Fall. ⊣ (a)

(b) : Dies ist eine direkte Konsequenz aus den Definitionen der projektiven und analytischen Hierarchie, sowie aus Lemma 8.3 und dem Fall n = 1 in (a). q.e.d.

8.5 Lemma Σ_{n}^{1} ⊈ Δ_{n}^{1}.

Beweis: Da wir im folgenden lediglich den Fall n = 1 benötigen, werden wir hier auch nur diesen Fall beweisen. Den allgemeinen Beweis findet man zum Beispiel in Jech[10]. Definiere eine Menge U ⊂ ^{ω}ω ×^{ω}ω durch

(a, x) ∈ U :⇔ ∃^{1}y ∀^{0}m (x, y) ∉ O(s_{a(⌜0,m⌝)}) × O(s_{a(⌜1,m⌝)}). Setze D := {x ∈ ^{ω}ω : (x, x) ∈ U}. D ist Σ_{1}^{1}, also auch Σ_{1}^{1}. Angenommen, D ist Π_{1}^{1}, dann ist (^{ω}ω − D) eine Σ_{1}^{1}-Menge, d.h. ^{ω}ω − D ist die Projektion einer abgeschlossenen Menge C. Daher existiert ein a ∈ ^{ω}ω derart, daß

x ∉ D ↔ ∃^{1}y ∀^{0}m (x, y) ∉ O(s_{a(⌜0,m⌝)}) × O(s_{a(⌜1,m⌝}). Für dieses a gilt dann aber: a ∉ D ↔ (a, a) ∈ U ↔ a ∈ D, Widerspruch. q.e.d.

8.6 Definition T ist ein Baum auf ^{k}ω :⇔ (i) T ⊂ ⋃_{m<ω} ^{k}(^{m}ω), und (ii) falls (t_{1}, ..., t_{k}) ∈ T, dann (t_{1} ↾ n, ... , t_{k} ↾ n) ∈ T für jedes n < |t_{1}|.

Definiere eine Ordnung ⊃^{∗} auf T wie folgt:

(t_{1}, ... , t_{k}) ⊃^{∗} (s_{1}, ... , s_{k}) :⇔ t_{1} ⊃ s_{1}, ... , t_{k} ⊃ s_{k}.

[T] bezeichne die Menge der unendlichen Zweige von T, d.h.

(x_{1}, ... , x_{k}) ∈ [T] gdw (x_{1}, ... , x_{k}) ∈ ^{k}(^{ω}ω) und ∀ n < ω (x_{1} ↾ n, ... , x_{k} ↾ n) ∈ T.

Sei T ein Baum auf ^{k}ω und x ∈ ^{ω}ω. Dann definiere einen Baum T_{x} auf ^{k−1}ω durch (t_{1}, ... , t_{k−1}) ∈ T_{x} :⇔ ∃ n < ω (x ↾ n, t_{1}, ... , t_{k−1}) ∈ T.

Es wurde bereits erwähnt, daß der Beweis von Lemma 6.5(a) noch nicht ganz abgeschlossen ist. Der folgende Satz vervollständigt nun diesen Beweis.

8.7 Satz (ZF+DC) Sei A ⊂ ^{ω}ω eine Π_{1}^{1}(a)-Menge und M ein transitives Modell von ZF+DC mit a ∈ M. Dann gilt für alle x ∈ M : x ∈ A gdw (x ∈ A)^{M}.

Beweis: Sei A eine Π_{1}^{1}(a)-Menge. Dann existiert nach Lemma 8.3 eine Δ_{0}^{0}(a)-Relation R ⊂ ^{3}ω derart, daß für alle x ∈ ^{ω}ω gilt:

x ∈ A gdw ∀^{1}y ∃^{0}n R(n, ⌜x(0), ..., x(n − 1)⌝, ⌜y(0), ..., y(n − 1)⌝). Definiere einen Baum T auf ω × ω durch

T = {(s, t) : ∀^{0}p < |s| + 1 ¬R(p, ⌜s(0), ..., s(p − 1)⌝, ⌜t(0), ..., t(p − 1)⌝)}. Dann gilt für alle x ∈ M ∩^{ω}ω :

x ∈ A gdw [T_{x}] = ∅

gdw ⊃^{∗} fundierte Relation auf T_{x} (wegen (DC) in V)

gdw (⊃^{∗} fundierte Relation auf T_{x})^{M} (da T_{x}^{M} = T_{x} und Fundiertheit absolut ist) gdw ([T_{x}] = ∅)^{M} (wegen (DC) in M) gdw (x ∈ A)^{M}. q.e.d.

8.3 Das Beschränktheitslemma für WF

Jede reelle Zahl x ∈ ^{ω}ω kodiert eine zweistellige Relation E_{x} auf ω :

(m, n) ∈ E_{x} gdw x(⌜m, n⌝) = 1. Falls E_{x} fundiert ist, definiere rekursiv die Rangfunktion ρ_{x} für E_{x} :

ρ_{x}(n) := sup({ρ_{x}(m) + 1 : (m, n) ∈ E_{x}}), wobei ρ_{x}(n) = sup(∅) = 0, falls n E_{x}-minimal oder n ∉ dom(E_{x}) ∪ ran(E_{x}) ist. Setze ||x|| := sup({ρ_{x}(n) : n < ω}). Desweiteren definiere

WF := {x ∈ ^{ω}ω : E_{x} ist fundierte Relation auf ω},

WO := {x ∈ ^{ω}ω : E_{x} ist eine Wohlordnung von ω}. Falls x ∈ WF ist, so ist ||x|| eine abzählbare Ordinalzahl (und für jedes α < ω_{1} existiert ein x ∈ WF mit ||x|| = α). Ist x ∈ WO, dann ist ||x|| der Ordnungstyp der Wohlordung (ω, E_{x}). Definiere daher für jedes α < ω_{1}

WF_{α} := {x ∈ WF : ||x|| ≤ α}, WO_{α} := {x ∈ WO : ||x|| ≤ α}.

8.8 Lemma Die Mengen WF und WO sind Π_{1}^{1}. Beweis: Nach (DC) ist E_{x} eine fundierte Relation auf ω genau dann, wenn es kein y ∈ ^{ω}ω gibt mit (y(m + 1), y(m)) ∈ E_{x} für alle m < ω. Anders ausgedrückt bedeutet dies:

x ∈ WF ↔ ∀^{1}y ∃^{0}m x(⌜y(m + 1), y(m)⌝) ≠ 1. Da der Ausdruck “∃^{0}m x(⌜y(m + 1), y(m)⌝) ≠ 1“ arithmetisch (in x, y) ist, folgt nun sofort die Behauptung für WF. Desweiteren überzeugt man sich leicht, daß die Menge LO = {x ∈ ^{ω}ω : E_{x} ist eine lineare Ordnung auf ω} ebenfalls arithmetisch ist. Wegen WO = WF ∩ LO folgt somit die Behauptung für WO. q.e.d.

8.9 Lemma WF ist nicht Σ_{1}^{1}. Beweis: Angenommen, WF ist Σ_{1}^{1}. Wir zeigen, daß dann Σ_{1}^{1} ⊂ Π_{1}^{1} gilt, im Widerspruch zu Lemma 8.5. Sei A ∈ Σ_{1}^{1}. Dann ist das Komplement von A eine Π_{1}^{1}-Menge. Wie im Beweis von Satz 8.7 existiert daher ein Baum T auf ω × ω mit den folgenden Eigenschaften:

x ∉ A ↔ T_{x} fundiert,

{(i, x) : s_{i} ∈ T_{x}} arithmetisch. Definiere eine Funktion f : ^{ω}ω → ^{ω}ω durch

f(x)(n) := \{ \begin{matrix}1 , falls i, j < ω mit n = ⌜i, j⌝ ∧ s_{i}, s_{j} ∈ T_{x} ∧ s_{i} ⊋ s_{j} existieren, \\ 0 , sonst. \end{matrix}

Dann ist E_{f(x)} isomorph zu (T_{x}, ⊃) für jedes x ∈ ^{ω}ω. Daher ist (ω, E_{f(x)}) fundiert genau dann, wenn (T_{x}, ⊃) fundiert ist. Folglich gilt:

x ∉ A ↔ T_{x} fundiert ↔ ∃^{1}y (y = f(x) ∧ y ∈ WF). Da die Relation y = f(x) arithmetisch (in x, y) ist und da nach Annahme WF eine Σ_{1}^{1}-Menge ist, folgt nun A ∈ Π_{1}^{1} aus Lemma 8.4. q.e.d.

8.10 Lemma Sei x ∈ ^{ω}ω und y ∈ WF. Dann gilt: (x ∈ WF ∧ ||x|| ≤ ||y||) ↔ ∃ h ∈ ^{ω}ω ∀ m, n < ω (mE_{x}n → h(m)E_{y}h(n))).

Beweis: Falls x ∈ WF und ||x|| ≤ ||y||, dann existiert zu jedem n < ω ein m < ω mit ρ_{x}(n) ≤ ρ_{y}(m). Definiere eine Abbildung h : ω → ω durch

h(n) := ein E_{y}-minimales m mit ρ_{x}(n) ≤ ρ_{y}(m). h ist ordnungserhaltend, denn falls mE_{x}n, folgt ρ_{x}(m) < ρ_{x}(n) ≤ ρ_{y}(h(n)) und aufgrund der E_{y}-Minimalität von h(m) gilt dann h(m)E_{y}h(n). Sei umgekehrt h : (ω, E_{x}) → (ω, E_{y}) eine ordnungserhaltende Abbildung. Wegen y ∈ WF ist damit auch x ∈ WF und es gilt ρ_{x}(n) ≤ ρ_{y}(h(n)) für alle n < ω. (Angenommen, dies gilt nicht. Sei n_{0} < ω E_{x}-minimal mit ρ_{y}(h(n_{0})) < ρ_{x}(n_{0}). Dann folgt: ρ_{y}(h(n_{0})) < ρ_{x}(m_{0})+1 für ein m_{0} < ω mit m_{0}E_{x}n_{0} ; ρ_{y}(h(n_{0})) ≤ ρ_{x}(m_{0}) und h(m_{0}) E_{y} h(n_{0}) ; ρ_{y}(h(m_{0})) < ρ_{x}(m_{0}), ein Widerspruch zur Minimalität von n_{0}.) Wegen ρ_{x}(n) ≤ ρ_{y}(h(n)) für alle n < ω folgt nun: ||x|| = sup{ρ_{x}(n) : n < ω}

≤ sup{ρ_{y}(h(n)) : n < ω}

≤ sup{ρ_{y}(m) : m < ω} = ||y||. q.e.d.

8.11 Satz (Beschränktheitslemma für WF) Sei B ⊂ WF eine Σ_{1}^{1}-Menge. Dannn existiert ein α < ω_{1} derart, daß B ⊂ WF_{α}.

Beweis: Angenommen, dies gilt nicht, d.h. zu jedem α < ω_{1} existiert ein x ∈ B mit ||x|| > α. Dann folgt aus Lemma 8.10:

WF = {x ∈ ^{ω}ω : ∃ y, h ∈ ^{ω}ω (y ∈ B ∧ ∀ m, n < ω (mE_{x}n → h(m)E_{y}h(n))}. Daher ist WF eine Σ_{1}^{1}-Menge nach Lemma 8.4. Dies widerspricht aber Lemma 8.9. q.e.d.

8.4 Der Satz von Boolos und Putnam

8.12 Satz (Boolos und Putnam[3]) Sei α < ω_{1} mit ^{ω}ω ∩ (L_{α+1}\L_{α}) ≠ ∅.

(a) Falls Limes(α), dann existiert ein y ∈ ^{ω}ω ∩ L_{α+1} derart, daß (ω, E_{y}) ≅ (L_{α}, ∈).

(b) Falls Nachf(α), so existiert ein y ∈ ^{ω}ω∩L_{(α+ω)+1} derart, daß (ω, E_{y}) ≅ (L_{α+ω}, ∈).

Beweis:

(a) Sei x ∈ ^{ω}ω ∩ (L_{α+1}\L_{α}). Dann existieren nach Satz 2.7 eine ∈-Formel ψ und Ordinalzahlen β_{1}, ..., β_{k} derart, daß

(m, n) ∈ x ↔ ⊧_{L_{α}} ψ(ṁ, ṅ, β̇_{1}, ..., β̇_{k}). Sei σ_{0} die Formel aus Satz 2.8(a) und setze ϕ :≡ σ_{0} ∧ (Extensionalitätsaxiom). Ferner seien f_{1}(v_{1}, ..., v_{m_{1}}), ... , f_{s}(v_{1}, ..., v_{m_{s}}) die Skolemfunktionen bzgl. der Struktur (L_{α}, ∈) für die Teilformeln von ψ und ϕ, die von der Gestalt ∃vχ sind. Da L_{α} eine definierbare Wohlordnung besitzt, sind die Skolemfunktionen f_{1}, ..., f_{s} über L_{α} definierbar, d.h. f_{1}, ..., f_{s} ∈ L_{α+1}.

Seien χ_{1}, ..., χ_{s} die definierenden Formeln für f_{1}, ..., f_{s}. Dann bilde den Abschluß von ω ∪ {β_{1}, ..., β_{n}} unter f_{1}, ..., f_{s} in L_{α}:

S := {z ∈ L_{α} : ⊧_{L_{α}} ∃ f, i (func(f) ∧ dom(f) = i + 1 ∧ f(0) ∈ ω

∧ ∀ j < i (f(j + 1) ∈ ω ∨ (∃ l_{1}, ..., l_{m_{1}} χ_{1}(((l_{1}, ..., l_{m_{1}}), f(j + 1))))

∨ ... ∨ (∃ l_{1}, ..., l_{m_{s}} χ_{s}(((l_{1}, ..., l_{m_{s}}), f(j + 1))))) ∧ f(i) = ż)} ∈ L_{α+1}. Da jedem z ∈ S eindeutig eine natürliche Zahl zugeordnet werden kann, die kodiert, auf welche Weise z in S gelangt ist, existiert eine Bijektion π : S ↔ ω in L_{α+1}. Mit Hilfe von π definiere nun die gesuchte reelle Zahl y ∈ ^{ω}ω durch

y := {z ∈ L_{α} : ⊧_{L_{α}} ∃ p, q < ω ż = (p, q) ∧

((q = 1 ∧ ∃n, m < ω ∃x, y ∈ S (p = ⌜n, m⌝ ∧ π(x) = n ∧ π(y) = m ∧ x ∈ y))∨ (q = 0 ∧ ¬ ∃n, m ∃x, y ∈ S (p = ⌜n, m⌝ ∧ π(x) = n ∧ π(y) = m ∧ x ∈ y)))}.

Da S und π über L_{α} definierbar sind, gilt dies auch für y. Also ist y ∈ L_{α+1}. Desweiteren gilt nach Definition von y, daß (ω, E_{y}) ≅ (S, ∈). Daher bleibt zu zeigen: (S, ∈) ≅ (L_{α}, ∈). Da S unter den Skolemfunktionen für ϕ abgeschlossen ist, ist ∈↾S extensional und somit ist (S, ∈) nach dem Mostowski-Kollaps-Theorem isomorph zu einem transitiven T. Damit ist (T, ∈) ein Modell von ϕ, also insbesondere von σ_{0}. Nach Satz 2.8(a) existiert daher eine Limesordinalzahl δ < ω_{1} mit T = L_{δ} und β_{1}, ..., β_{k} < δ. Die Behauptung folgt nun, wenn gezeigt ist, daß α = δ ist: Wegen S ∈ L_{α+1} und (S, ∈) ≅ (T, ∈) = (L_{δ}, ∈) muß δ ≤ α gelten. Da S gegenüber den Skolemfunktionen von ψ abgeschlossen ist, gilt dies auch für L_{δ}. Folglich ist x über L_{δ} definierbar, d.h. x ∈ L_{δ+1}. Wegen x ∉ L_{α} ist daher α < δ + 1. ⊣ (a).

(b) Der Fall, daß α eine Nachfolgerordinalzahl ist, wird analog zu (a) bewiesen, mit dem einzigen Unterschied, daß α + ω jetzt die Rolle von α übernimmt: Wegen x ∈ L_{(α+ω)+1} existieren ψ und β_{1}, ..., β_{k} derart, daß

(n, m) ∈ x ↔ ⊧_{L_{α+ω}} ψ(ṅ, ṁ, β̇_{1}, ..., β̇_{k}). Sei ϕ wie in (a) und seien f_{1}, ..., f_{s} die Skolemfunktionen bzgl. (L_{α+ω}, ∈) für die ∃-Teilformeln von ψ und ϕ. Bilde wiederum den Abschluß von ω ∪ {β_{1}, ..., β_{k}} unter f_{1}, ..., f_{s} in L_{α+ω} und definiere y ∈ ^{ω}ω über L_{α+ω} wie oben. Dann folgt S, y ∈ L_{(α+ω)+1} und (ω, E_{y}) ≅ (S, ∈). Wie in (a) existiert nun eine Limesordinalzahl δ < ω_{1}, so daß (S, ∈) ≅ (L_{δ}, ∈). Auch hier bleibt somit δ = α + ω zu zeigen: Wegen S ∈ L_{(α+ω)+1} und (S, ∈) ≅ (L_{δ}, ∈) ist δ ≤ α + ω. Andererseits folgt wie oben, daß x ∈ L_{δ+1}. Wegen x ∉ L_{α} gilt daher α < δ + 1, also α + ω ≤ δ, da α eine Nachfolgerordinalzahl und δ eine Limesordinalzahl ist. ⊣ (b) q.e.d.

8.13 Bemerkung Man kann in (b) auch erreichen, daß ein y ∈ ^{ω}ω ∩ L_{α+1} mit (ω, E_{y}) ≅ L_{α} existiert. Der Beweis hierfür stützt sich auf die Existenz von Formeln σ_{n} für 0 < n < ω, die folgende Eigenschaft haben:

Sei T eine transitive Menge mit (T, ∈) ⊧ σ_{n}. Dann

existiert eine Limesordinalzahl δ, so daß N = L_{δ+n}. Mit Hilfe dieser Formeln kann man nun, falls α eine Nachfolgerordinalzahl ist, einen analogen Beweis zu (a) führen und kommt so zum gewünschten Ergebnis. Die Definition der Formeln σ_{n} findet man zum Beispiel in Boolos[2].

8.5 Eine in L nicht-determinierte Π_{1}^{1}-Menge

Wie zu Beginn von Abschnitt 8.3 bereits definiert, kodiert jedes x ∈ ^{ω}ω eine zweistellige Relation E_{x} auf ω. Falls diese Relation fundiert und extensional ist, existieren nach dem Transitivierungs-Theorem von Mostowski eine eindeutig bestimmte transitive Menge T und ein eindeutig bestimmter Isomorphismus π : (ω, E_{x}) ≅ (T, ∈). In diesem Fall setze

M_{x} := T (die Transitivierung von (ω, E_{x})), und

π_{x} := π (der Isomorphismus zwischen (ω, E_{x}) und (T, ∈)).

8.14 Definition A := {x ∈ ^{ω}ω : x_{I} ∈ WF ∧ x_{II} ∈ L_{||x_{I}||+ω}}.

Wir werden sehen, daß A eine nicht-determinierte Π_{1}^{1}-Menge in L ist. Die Idee, diese Menge A zu studieren, entspringt der Ähnlichkeit von A zu der Menge

C_{1} = {x ∈ ^{ω}ω : x ∈ L_{ω_{1}^{x}}} und der Tatsache, daß C_{1} in L nicht determiniert ist (siehe Mansfield[16]). (ω_{1}^{x} ist die kleinste Ordinalzahl derart, daß für alle y ∈ WO, die rekursiv in x sind, ||y|| < ω_{1}^{x} gilt. C_{1} ist die größte Π_{1}^{1}-Menge reeller Zahlen, die keine perfekte Teilmenge besitzt. Kechris[12] bewies die Existenz einer solchen Menge und zeigte: C_{1} = {x ∈ ^{ω}ω : x ∈ L_{ω_{1}^{x}}}. Er untersuchte in [12] ganz allgemein die Struktur abzählbarer Mengen reeller Zahlen in den verschiedenen Stufen der analytischen Hierarchie. Da PD die Perfekte-Mengen-Eigenschaft für alle projektiven Mengen impliziert, hatte er mit dem Beweis der Existenz von C_{1} die Existenz einer größten abzählbaren Π_{1}^{1}-Menge reeller Zahlen unter der Voraussetzung, daß PD gilt, gezeigt.) Der Beweis, daß Spieler II im Spiel G_{ω}(C_{1}) keine Gewinnstrategie hat, basiert auf einer Anwendung des Satzes von Boolos und Putnam. Wir werden sehen, daß dies auch bei der Menge A der Fall ist. Als Vorlage für die in M[G] gesuchte, nichtdeterminierte Δ_{2}^{1}-Menge ist C_{1} jedoch ungeeignet, da dem Beweis, daß Spieler I im Spiel G_{ω}(C_{1}) keine Gewinnstrategie hat, die Tatsache zugrunde liegt, daß C_{1} keine perfekte Teilmenge besitzt.

8.15 Satz A ist eine Π_{1}^{1}-Menge.

Beweis: Sei σ_{0} die Formel aus Satz 2.8(a). Dann gilt für x ∈ A : (∗) x_{II} ∈ L_{||x_{I}||+ω} gdw

∀^{1}y, z (((ω, E_{y}) ⊧ (σ_{0} ∧ (Ext)) ∧ z ein kanonischer Code für ||x_{I}|| + ω ∧ ∃^{1}f, g (f : (ω, E_{y}) → (ω, E_{z}) und g : (ω, E_{z}) → (ω, E_{y}) relationserhaltend)) → x_{II} ∈ M_{y}).

Beweis von (∗): Sei x_{II} ∈ L_{||x_{I}||+ω} und seien y, z, f, g wie in (∗). Wegen x_{I} ∈ WF ist auch z ∈ WF. Da f : (ω, E_{y}) → (ω, E_{z}) relationserhatend ist, ist somit auch y ∈ WF und es gilt ||x_{I}|| + ω = ||z|| = ||y||, da g : (ω, E_{z}) → (ω, E_{y}) ebenfalls relationserhaltend ist. Folglich ist M_{y} = L_{||x_{I}||+ω} und daher ist x_{II} ∈ M_{y}.

Es gelte nun umgekehrt die rechte Seite von (∗). Sei y ∈ ^{ω}ω ein Code für L_{||x_{I}||+ω} (d.h. (ω, E_{y}) ≅ (L_{||x_{I}||+ω}, ∈)) und z ∈ ^{ω}ω ein kanonischer Code für ||x_{I}|| + ω. Dann sind die Voraussetzungen der rechten Seite von (∗) erfüllt und daher folgt: x_{II} ∈ M_{y} = L_{||x_{I}||+ω}. ⊣ (∗) Da WF nach Lemma 8.8 eine Π_{1}^{1}-Menge ist, bleibt zu zeigen, daß die rechte Seite in (∗) ebenfalls Π_{1}^{1} ist. Es ist klar, daß die Teilformeln “(ω, E_{y}) ⊧ (σ_{0} ∧ (Ext))“, “f : (ω, E_{y}) → (ω, E_{z}) relationserhaltend“ und “g : (ω, E_{z}) → (ω, E_{y}) relationserhaltend“ arithmetisch (in y bzw. z) sind. Desweiteren gilt:

(1) x_{II} ∈ M_{y} gdw ∃^{0}m π_{y}(m) = x_{II}

gdw ∃^{0}m ∀^{0}p, q ∃^{0}i, j (π_{y}(i) = p ∧ π_{y}(j) = q

∧ (x_{II}(p) = q ↔ (ω, E_{y}) ⊧ “ (i, j) ∈ m“ )).

π_{y}(i) = p gdw ∃^{0}m_{0}, ..., m_{p} (i = m_{p} ∧ (ω, E_{y}) ⊧ “ m_{0} = ∅“

∧ ∀ k < p (ω, E_{y}) ⊧ “ m_{k+1} = m_{k} ∪ {m_{k}}“).

π_{y}(j) = q gdw ∃^{0}m_{0}, ..., m_{q} (j = m_{q} ∧ (ω, E_{y}) ⊧ “ m_{0} = ∅“ ∧ ∀ k < q (ω, E_{y}) ⊧ “ m_{k+1} = m_{k} ∪ {m_{k}}“).

(2) z ∈ ^{ω}ω ist kanonischer Code für ||x_{I}|| + ω gdw ∀^{0}p, q (z(⌜p, q⌝) = 1 ↔ ∃^{0}i, j (p = 2i ∧ q = 2j ∧ x_{I}(⌜i, j⌝) = 1) ∨ ∃^{0}i, j (p = 2i + 1 ∧ q = 2j + 1 ∧ p < q) ∨ ∃^{0}i, j (p = 2i ∧ q = 2j + 1)).

Dies zeigt, daß auch die Teilformeln “x_{II} ∈ M_{y}“ und “z ein kanonischer Code für ||x_{I}|| + ω“ arithmetisch (in x, y bzw. z). Damit ist der Satz bewiesen. q.e.d.

8.16 Satz (V=L) A ist nicht determiniert.

Beweis: Angenommen, σ ist eine Gewinnstrategie für Spieler I. Dann ist B := {x ∈ ^{ω}ω : ∃ y ∈ ^{ω}ω x = (σ ∗ y)_{I}} eine Σ_{1}^{1}-Menge und eine Teilmenge von WF. Aus dem Beschränktheitslemma 8.11 folgt daher die Existenz eines α < ω_{1} mit B ⊂ WF_{α}. Da L_{α+ω} abzählbar ist, existiert ein y ∈ ^{ω}ω mit y ∉ L_{α+ω}. Spieler II spiele nun dieses y. Wegen ||(σ ∗ y)_{I}|| < α gilt dann y ∉ L_{||(σ∗y)_{I}||+ω}. Dies widerspricht aber der Annahme, daß σ eine Gewinnstrategie für Spieler I ist. Angenommen, τ ∈ L ist eine Gewinnstrategie für Spieler II. Sei y_{τ} ∈ ^{ω}ω ein Code für τ (vgl. Seite 56). Dann existiert nach Satz 2.10 ein α < ω_{1} mit y_{τ} ∈ L_{α}. Folglich ist τ ∈ L_{α+ω}. Sei β ≥ α + ω mit ^{ω}ω ∩ (L_{β+1}\L_{β}) ≠ ∅. Dann existiert nach Satz 8.12 (Boolos und Putnam) ein λ ≥ β und ein x ∈ ^{ω}ω ∩ L_{λ+1} mit (ω, E_{x}) ≅ (L_{λ}, ∈). Wegen α + ω ≤ β ≤ λ = ||x|| folgt x, τ ∈ L_{||x||+1}. Spieler I spiele nun x und Spieler II spiele gemäß τ. Dann gilt

(x ∗ τ)_{II} = {z ∈ L_{||x||} : ⊧_{L_{||x||}} ∃ n, q, f (n, q < ω ∧ ż = (n, q) ∧ func(f) ∧ dom(f) = 2n + 1 ∧ ∀ i ≤ n x(i) = f(2i) ∧ τ(f(0)) = f(1)

∧ τ((f(0), f(1), f(2)) = f(3) ∧ ... ∧ τ((f(0), ..., f(2n)) = q)}.

Da x und τ über L_{||x||} definierbar sind, gilt dies auch für (x∗τ)_{II}. Folglich ist (x∗τ)_{II} ein Element von L_{||x||+1} ⊂ L_{||x||+ω}. Dies widerspricht aber der Annahme, daß τ eine Gewinnstrategie für Spieler II ist. q.e.d.

8.6 Eine in M[G] nicht-determinierte Δ_{2}^{1}-Menge

Bevor wir zum Beweis von Satz 8.2 kommen, untersuchen wir etwas genauer, wie sich die Voraussetzung M ⊧ V = L auf die Struktur des Modells M[G] auswirkt: Sei M ein abzählbares und transitives Modell von ZF + V=L + (∃ κ unerreichbar) und γ := On ∩ M. Da die Funktion ξ ↦ ξ + 1 ZF-absolut ist, muß γ eine Limesordinalzahl sein. Wegen M ⊧ V = L gilt desweiteren M ⊂ L_{γ}. Andererseits ist L_{γ} ⊂ M, da auch die Funktion ξ ↦ L_{ξ} ZF-absolut ist. Zusammen ergibt dies:

M = L_{γ}, wobei γ = On ∩ M eine Limesordinalzahl ist. Sei P := Col(ω, κ) der Levy-Kollaps in M und G ein P -generischer Filter über M. Die Tatsache, daß M = L_{γ} ist, hat zur Folge, daß die Bezeichnung L_{γ}[G] auf den ersten Blick für zwei verschiedene Mengen verwendet wird: zum einen für die P - generische Erweiterung durch G über M und zum anderen für die γ-te Stufe der konstruktiblen Hierarchie relativ zu G. Wir werden aber sogleich sehen, daß diese beiden Mengen übereinstimmen: Es sei im folgenden mit L_{γ}[G] immer die γ-te Stufe der konstruktiblen Hierarchie relativ zu G gemeint und mit M[G] die generische Erweiterung über M. Beachte, daß On ∩ M[G] = On ∩ M = γ. Da nach Satz 2.5 die Funktion ξ ↦ L_{ξ}[G] ZF-absolut ist, folgt L_{γ}[G] ⊂ M[G]. Andererseits ist L_{γ}[G] ein Modell von ZFC, da L_{γ}[G] = L[G]^{M[G]} nach Satz 2.6(b). Aufgrund der Minimalität der Forcing-Erweiterung M[G] folgt dann M[G] ⊂ L_{γ}[G] und wir haben somit gezeigt, daß

M[G] = L_{γ}[G], wobei γ = On ∩ M[G] = On ∩ M.

8.17 Definition Definiere in M[G] : A^{∗} := {x ∈ ^{ω}ω : (x_{I})_{0} ∈ WO ∧ (x_{I})_{1} ∈ WF ∧ (ω, E_{(x_{I})_{1}}) extensional ∧

∃α < ω_{1} (L_{α} ⊧ ZFC ∧ ||(x_{I})_{0}|| < α ∧ ∀β (||(x_{I})_{0}|| < β < α → L_{β} |̸= ZFC) ∧ π_{(x_{I})_{1}}(0) ein Col(ω, ||(x_{I})_{0}||)-generischer Filter über L_{α} ∧ x_{II} ∈ L_{α}[π_{(x_{I})_{1}}(0)])}.

Wir werden sehen, daß A^{∗} eine nicht-determinierte Δ_{2}^{1}-Menge in M[G] ist. Die Idee, die diesem Spiel zugrunde liegt, ist der des Spiels G_{ω}(A) in L ähnlich: Spieler I spielt einen Code für eine abzählbare Ordinalzahl δ und einen Code für einen Col(ω, δ)- generischen Filter H über L_{α}, wobei α > δ und L_{α} ein Modell von ZFC und α minimal mit diesen Eigenschaften ist. Spieler I gewinnt dann das Spiel G_{ω}(A^{∗}), falls die von Spieler II gespielte reelle Zahl in L_{α}[H] liegt.

8.18 Satz A^{∗} ist nicht determiniert.

Beweis: Arbeite in M[G]: Angenommen, σ ist eine Gewinnstrategie für Spieler I. Dann ist B := {x ∈ ^{ω}ω : ∃ y ∈ ^{ω}ω x = ((σ ∗ y)_{I})_{0}} eine Σ_{1}^{1}-Menge und es gilt B ⊂ WO ⊂ WF. Aus dem Beschränktheitslemma 8.11 folgt daher die Existenz eines δ < ω_{1} mit B ⊂ WF_{δ}. Nach dem bekannten Löwenheim-Skolem-Theorem (siehe z.B. Kunen[13]) existiert nun eine elementare Substruktur X ≺ L_{κ} mit δ ∈ X.

Das Kondensationslemma 2.9 liefert dann ein λ < κ mit X = L_{λ}. Da κ unerreichbar in M ist, ist L_{κ} ein Modell von ZFC. Daher ist auch L_{λ} ein ZFC-Modell, wobei δ < λ < ω_{1}. (Beachte, daß κ = ω_{1}^{M[G]}.) Spieler II spiele jetzt eine reelle Zahl y ∈ WO mit ||y|| > λ. Da σ eine Gewinnstrategie für Spieler I ist, gilt dann:

(1) ((σ ∗ y)_{I})_{0} ∈ WO und ||((σ ∗ y)_{I})_{0}|| ≤ δ < λ,

(2) ((σ ∗ y)_{I})_{1} ∈ WF und (ω, E_{((σ∗y)_{I})_{1}}) extensional,

(3) es existiert ein α wie in der Definition von A^{∗},

(4) π_{((σ∗y)_{I})_{1}}(0) ist ein Col(ω, ||((σ ∗ y)_{I})_{0}||)-generischer Filter über L_{α},

(5) (σ ∗ y)_{II} ∈ L_{α}[π_{((σ∗y)_{I})_{1}}(0)]. Wir wissen, daß L_{λ} ein Modell von ZFC ist, wobei λ > ||((σ ∗ y)_{I})_{0}|| wegen (1). Da nach (3) α minimal mit den Eigenschaften α > ||((σ ∗ y)_{I})_{0}|| und L_{α} ⊧ ZFC ist, folgt α ≤ λ < ||y||. y kann daher kein Element von L_{α} sein. Ferner folgt aus (2) und (4), daß L_{α}[π_{((σ∗y)_{I})_{1}}(0)] eine Col(ω, ||((σ ∗ y)_{I})_{0}||)-generische Erweiterung über L_{α} ist. Daher ist L_{α}[π_{((σ∗y)_{I})_{1}}(0)] ein Modell von ZFC. Aus (5) folgt aber dann: ||y|| = ||(σ ∗ y)_{II}|| ∈ L_{α}[π_{((σ∗y)_{I})_{1}}(0)], ein Widerspruch zu ||y|| > λ ≥ α.

Angenommen, τ ∈ M[G] ist eine Gewinnstrategie für II. Sei y_{τ} ∈ ^{ω}ω ein Code für τ (vgl. S. 56). Dann existiert nach Lemma 5.3(e) ein δ_{1} < κ mit y_{τ} ∈ M[G∩Col(ω, δ_{1})]. Desweiteren haben wir im Beweis von Lemma 5.3(e) gesehen, daß y_{τ} einen Col(ω, δ_{1})- Namen ẏ_{τ} ∈ M = L_{γ} besitzt derart, daß ẏ_{τ} ⊂ L_{δ_{1}+ω}. Daher existiert nach Satz 2.10 ein δ_{2} < κ mit ẏ_{τ} ∈ L_{δ_{2}}. Setze δ := max{δ_{1}, δ_{2}} und sei α ∈ On derart, daß α > δ und L_{α} ⊧ ZFC und α minimal mit diesen Eigenschaften ist (vgl. die Konstruktion von λ im ersten Teil dieses Beweises). Dann ist

y_{τ} ∈ L_{α}[G ∩ Col(ω, δ_{1})] ⊂ L_{α}[G ∩ Col(ω, δ + 1)] und damit ist auch τ ∈ L_{α}[G ∩ Col(ω, δ + 1)]. Konstruiere nun innerhalb von L_{α}[G∩ Col(ω, δ+1)] mit Hilfe des generischen Filters G∩ Col(ω, δ+1) eine Surjektion f_{δ} : ω ↠ δ wie in Lemma 5.2. Da L_{α}[G∩Col(ω, δ+1)] ein Modell von ZFC ist, kann man mit Hilfe von f_{δ} eine Bijektion g_{0} : ω ↔ δ + 1 und eine Bijektion g_{1} : ω ↔ tc({G ∩ Col(ω, δ + 1)}) mit g_{1}(0) = G ∩ Col(ω, δ + 1) innerhalb von L_{α}[G ∩ Col(ω, δ + 1)] konstruieren. Definiere dann einen Code z_{0} ∈ ^{ω}ω ∩ L_{α}[G ∩ Col(ω, δ + 1)] für δ + 1 durch

z_{0}(n) := 1, falls p, q < ω mit n = ⌜p, q⌝ und g_{0}(p) < g_{0}(q) existieren, z_{0}(n) := 0, sonst,

und einen Code z_{1} ∈ ^{ω}ω ∩ L_{α}[G ∩ Col(ω, δ + 1)] für G ∩ Col(ω, δ + 1) durch z_{1}(n) := 1, falls p, q < ω mit n = ⌜p, q⌝ und g_{1}(p) ∈ g_{1}(q) existieren, z_{1}(n) := 0, sonst.

Für diese Codes z_{0}, z_{1} ∈ ^{ω}ω gilt dann: z_{0} ∈ WO und ||z_{0}|| = δ + 1 und z_{1} ∈ WF und (ω, E_{z_{1}}) extensional. Desweiteren gilt π_{z_{1}}(0) = g_{1}(0) = G ∩ Col(ω, δ + 1), da der Mostowski-Isomorphismus eindeutig bestimmt ist. Spieler I spiele nun eine reelle Zahl x ∈ ^{ω}ω ∩ L_{α}[G ∩ Col(ω, δ + 1)] mit (x)_{0} = z_{0} und (x)_{1} = z_{1}. Wegen τ ∈ L_{α}[G ∩ Col(ω, δ + 1)] gilt dann (x ∗ τ)_{II} ∈ L_{α}[G ∩ Col(ω, δ + 1)]. Damit ist gezeigt, daß x ∗ τ ∈ A^{∗} ist. Daher kann τ keine Gewinnstrategie für Spieler II sein. q.e.d.

Um beweisen zu können, daß A^{∗} eine Δ_{2}^{1}-Menge ist, benötigen wir folgendes Lemma.

Für a < ω und x, z ∈ ^{ω}ω definiere B_{x}^{a} := {m < ω : mE_{x}a}, A_{z} := {m < ω : z(m) = 1}.

Falls (ω, E_{x}) fundiert und extensional ist und falls (ω, E_{x}) ⊧ (B_{x}^{a} transitiv) bzw. (ω, E_{x}) ⊧ (A_{z} transitiv), sind auch (B_{a}^{x}, E_{x}) und (A_{z}, E_{x}) fundiert und extensional. In diesem Fall bezeichne

M_{x}^{a} die Transitivierung von (B_{a}^{x}, E_{x}),

π_{x}^{a} : (B_{x}^{a}, E_{x}) ≅ (M_{x}^{a}, ∈) den eindeutig bestimmten Mostowski-Isomorphismus, M_{x}^{z} die Transitivierung von (A_{z}, E_{x}), π_{x}^{z} : (A_{z}, E_{x}) ≅ (M_{x}^{z}, ∈) den eindeutig bestimmten Mostowski-Isomorphismus.

8.19 Lemma Seien a, b < ω und x, y ∈ WF, so daß (ω, E_{x}) und (ω, E_{y}) extensional sind.

(i) Falls (ω, E_{x}) ⊧ (B_{x}^{a} transitiv), dann gilt π_{x}(a) = M_{x}^{a}. (ii) Falls (ω, E_{x}) ⊧ (B_{x}^{a} transitiv), dann ist π_{x}(a) = M_{y} eine Σ_{1}^{1}-Formel in a, x, y. (iii) π_{x}(a) = π_{y}(b) ist eine Σ_{1}^{1}-Formel in a, b, x, y.

Beweis:

(i) : Eine einfache E_{x}-Induktion zeigt, daß π_{x}^{a}(m) = π_{x}(m) für alle mE_{x}a :

π_{x}^{a}(m) = {π_{x}^{a}(i) : iE_{x}m ∧ iE_{x}a} = {π_{x}(i) : iE_{x}m ∧ iE_{x}a} (nach Induktionsvoraussetzung)

= {π_{x}(i) : iE_{x}m} (da (ω, E_{x}) ⊧ a transitiv)
= π_{x}(m).

Folglich gilt: π_{x}(a) = {π_{x}(m) : mE_{x}a} = {π_{x}^{a}(m) : mE_{x}a} = π_{x}^{a}′′B_{x}^{a} = M_{x}^{a}. ⊣ (i) (ii) Nach (a) ist π_{x}(a) = M_{x}^{a}. Daher folgt die Behauptung wegen

M_{x}^{a} = M_{y} gdw ∃σ σ : (B_{x}^{a}, E_{x}) ≅ (ω, E_{y}) isomorph. ⊣ (ii) (iii) Wir zeigen: (∗) π_{x}(a) = π_{y}(b) gdw

∃^{1}z_{1}, z_{2}, σ ((ω, E_{x}) ⊧ (A_{z_{1}} transitiv) ∧ (ω, E_{y}) ⊧ (A_{z_{2}} transitiv)

∧ (a ∈ A_{z_{1}} ∧ b ∈ A_{z_{2}} ∧ σ : (A_{z_{1}}, E_{x}) ≅ (A_{z_{2}}, E_{y}) ∧ σ(a) = b) : Falls π_{x}(a) = π_{y}(b), dann gilt tc({π_{x}(a)}) = tc({π_{y}(b)}) ⊂ M_{x} ∩ M_{y}. Definiere z_{1}, z_{2} ∈ ^{ω}ω durch

z_{1}(n) := 1, falls π_{x}(n) ∈ tc({π_{x}(a)}), und z_{1}(n) := 0, sonst;

z_{2}(n) := 1, falls π_{y}(n) ∈ tc({π_{y}(b)}), und z_{2}(n) := 0, sonst; Dann erfüllen z_{1}, z_{2} und σ := π_{y}^{−1} ∘ π_{x} ↾ A_{z_{1}} die Behauptung. Seien umgekehrt z_{1}, z_{2}, σ ∈ ^{ω}ω wie in der rechten Seite von (∗). Aufgrund der Eindeutigkeut der Mostowski-Transitivierung gilt dann π_{x}^{z_{1}} = π_{y}^{z_{2}} ∘ σ und M_{x}^{z_{1}} = M_{y}^{z_{2}}. Ferner zeigt man wie in (a), daß π_{x}(a) = π_{x}^{z_{1}}(a) und π_{y}(b) = π_{y}^{z_{2}}(b). Zusammen ergibt dies: π_{x}(a) = π_{x}^{z_{1}}(a) = π_{y}^{z_{2}}(σ(a)) = π_{y}(b). ⊣ (iii)

8.20 Satz A^{∗} ist eine Δ_{2}^{1}-Menge.

Beweis: Seien σ_{0} und σ_{1} die Formeln aus Satz 2.8. Dann gilt:

x ∈ A^{∗} gdw ∃^{1}z, y

(1) ((x_{I})_{0} ∈ WO ∧ (x_{I})_{1} ∈ WF ∧ (ω, E_{(x_{I})_{1}}) extensional

(2) ∧ z ∈ WF ∧ (ω, E_{z}) extensional ∧ (ω, E_{z}) ⊧ σ_{0} ∧ (ω, E_{z}) ⊧ ZFC

(3) ∧ ∃^{0}a ((ω, E_{z}) ⊧ (a Ordinalzahl) ∧ π_{z}(a) = M_{(x_{I})_{0}} ∧

(4) ∀^{0}n, b ((ω, E_{z}) ⊧ (b Ordinalzahl ∧ n = L_{b} ∧ a < b) → ¬ (B_{z}^{n}, E_{z} ⊧ ZFC))

(5) ∧ ∃^{1}h ((h)_{0} : (ω, E_{z}) → (ω, E_{y}) und (h)_{1} : (ω, E_{y}) → (ω, E_{z}) relationserhaltend)

(6) ∧ ∃^{0}c, d (π_{y}(c) = M_{(x_{I})_{0}} ∧ π_{y}(d) = π_{(x_{I})_{1}}(0) ∧ (ω, E_{y}, d) ⊧ (σ_{1} ∧ c Ordinalzahl ∧ d ein Col(ω, c)-generischer Filter über L))

(7) ∧ x_{II} ∈ M_{y}).

(Die Zeile (1) stimmt genau mit dem entsprechenden Teil in der Definition von A^{∗} überein. In Zeile (2) wird gefordert, daß z ein Code für ein L_{α} mit L_{α} ⊧ ZFC ist. Da (x_{I})_{0} eine Wohlordung kodiert, gilt ||(x_{I})_{0}|| = M_{(x_{I})_{0}}. Folglich besagt (3), daß ||(x_{I})_{0}|| < α ist. Die Zeile (4) ist äquivalent zu der Minimalitätseigenschaft “∀β (||(x_{I})_{0}|| < β < α → L_{β} |̸= ZFC)“ von α. (5) und (6) besagen dann, daß y ein Code für L_{α}[π_{(x_{I})_{1}}] ist, wobei π_{(x_{I})_{1}} ein Col(ω, ||(x_{I})_{0}||)-generischer Filter über L_{α} ist. Die letzte Zeile (7) fordert schließlich, daß x_{II} ein Element von L_{α}[π_{(x_{I})_{1}}] ist.)

Bezeichne die Formel, die durch (1)-(6) gegeben ist, mit χ(x_{I}, y, z). Dann gilt:

(∗) x ∈ A^{∗} gdw ∃^{1}z, y (χ(x_{I}, z, y) ∧ x_{II} ∈ M_{y}). Aufgrund der Minimalitätsforderung in (4) und da die Ordinalzahl ||(x_{I})_{0}|| und der Col(ω, ||(x_{I})_{0}||)-generische Filter π_{(x_{I})_{1}}(0) fest vorgegen sind, kodieren alle reelle Zahlen z und y, die die Formel χ erfüllen, dasselbe L_{α} bzw. L_{α}[π_{(x_{I})_{1}}(0)]. Aus diesem Grund kann man (∗) auch schreiben als

x ∈ A^{∗} gdw ∀^{1}z, y (χ(x_{I}, z, y) → x_{II} ∈ M_{y}). Da die Teilformel “x_{II} ∈ M_{y}“ arithmetisch (in x, y) ist (vgl. (1) im Beweis von Satz 8.15), folgt die Behauptung, wenn gezeigt ist, daß χ eine Δ_{2}^{1}-Formel (in x, y, z) ist: Nach Lemma 8.8 ist die Formel in (1) eine Π_{1}^{1}-Formel (in x). Desweiteren kann man zeigen, daß “(ω, E_{z}) ⊧ ZFC“ und “¬ (B_{z}^{n}, E_{z}) ⊧ ZFC“ Δ_{1}^{1} Formeln (in z) sind. Einen Beweis hierfür findet man zum Beispiel in Drake[5](S.155,156). Dies zeigt, zusammen mit Lemma 8.8 und 8.19, daß die Formel in (2) und die Formel in (3)-(4) Σ_{1}^{1} (in x, z) sind. Der Formel in (5) sieht man sofort an, daß Σ_{1}^{1} (in y, z) ist. Wiederum mit Hilfe von Lemma 8.19 zeigt man schließlich, daß auch in (6) eine Σ_{1}^{1}-Formel (in x, y) steht. Zusammen ergibt dies, daß χ eine Δ_{2}^{1}-Formel ist (vgl. Jech[10](S.512). Damit ist der Satz bewiesen. q.e.d.

Literatur

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