Programm zum Workshop Anstiegsfiltrationen am 23.7.05 in Bonn

In diesem Workshop soll es um Anstiegsfiltrationen von Frobenius-Moduln über dem Robba-Ring gehen. Dies hat Anwendungen auf die “Monodromie p-adischer Differentialgleichungen”.

Komplexe Motivation (siehe auch Einleitung von [Ke2]): Sei X ein komplex analytischer Raum. Dann ist ein holomorphes Vektorbündel M auf X zusammen mit einem integrablen Zusammenhang ∇: M → M ⊗ Ω_{X}^{1} nichts anderes (nach der Wahl einer Basis des komplexen Vektorraums V := Ker(∇)) als ein System von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung (siehe z.B. [De], I §3). Die Fundamentalgruppe π_{1}(X) operiert auf V (loc. cit., I §2), d.h. man hat eine Darstellung ρ: π_{1}(X) → GL(V). Ist X das Komplement eines Divisors D mit normalen Überkreuzungen in einer glatten eigentlichen Varietät X̄, so heißt die Einschränkung von ρ auf die Untergruppe von π_{1}(X), welche durch einen Weg um D erzeugt wird, die lokale Monodromie-Darstellung assoziiert zu D. Sie misst, wie singulär sich die Differentialgleichung in D verhält.

Ist das lokale System (V, ρ) algebraisch-geometrischen Ursprungs, d.h. die i-te relative Betti-Kohomologie eines glatten, eigentlichen Morphismus nach X, so ist die zu einer irreduziblen Komponente von D assoziierte lokale Monodromie-Darstellung quasiunipotent, d.h. das Bild der Einschränkung auf eine Untergruppe von endlichem Index ist unipotent.

Wir werden in diesem Workshop ein p-adisches Analogon für “X klein, glatt und 1-dimensional” betrachten (im Komplexen bedeutet dies, dass wir X = D^{∗} die Einheitskreisscheibe in ℂ ohne den Nullpunkt nehmen): Sei E ein Körper der Charakteristik 0, der vollständig bezüglich eines nicht archimedischen diskreten Absolutbetrages | · |: E^{×} → ℝ^{×} ist. Wir normalisieren | · | so, dass |p| = p^{−1}. Sei 𝔬_{E} ⊂ E der assoziierte Bewertungsring, sei 𝔪_{E} sein maximales Ideal, und sei K_{0} = 𝔬_{E}/𝔪_{E} der Restklassenkörper. Wir nehmen an, dass K_{0} ein perfekter Körper der Charakteristik p > 0 ist^{1}. Der Robba-Ring R = R_{E} ist per definitionem der Ring der formalen Laurent-Reihen f(t) = ∑_{i∈ℤ} c_{i}t^{i} mit c_{i} ∈ E, so dass f(x) konvergiert für alle x ∈ E mit r < |x| < 1, wobei 0 < r < 1 eine reelle Zahl abhängig von f ist. Mit anderen Worten, R ist der induktive Limes für r → 1 der Ringe R_{r} der formalen Laurent-Reihen, die auf dem Kreisring { x ∈ E | r < |x| < 1 } konvergieren.

Es sei Ω_{R}^{1} der freie R-Modul vom Rang 1 mit Basis dt/t. Ein R-Modul M mit einem Zusammenhang ∇: M → M ⊗ Ω_{R}^{1} kann man daher als p-adische Differentialgleichung auf einem infinitesimal dünnen Kreisring auffassen^{2}. Dies ist das oben angesprochene p-adische Analogon.

Was bedeutet es nun, “algebraisch geometrischen Ursprungs” zu sein? Dazu wählen wir auf R eine Liftung σ des Frobenius zur Potenz q = p^{a}.

1Für viele der folgenden Aussagen ist es möglich, diese Voraussetzungen abzuschwächen.

2Da Ω_{R}^{2} = 0, ist ∇ automatisch integrabel.

Dieser existiert auf R (z.B. ∑_{i∈ℤ} c_{i}t^{i} ↦ ∑_{i∈ℤ} σ(c_{i})t^{qi}, wobei σ: E → E eine Liftung des üblichen Frobenius x ↦ x^{q} auf K_{0} ist), aber er existiert nicht auf R_{r}, da sich nach Anwenden von σ der Kreisring, in dem die formale Laurent-Reihe konvergiert, im Allgemeinen verkleinert. Algebraisch geometrischen Ursprungs zu sein bedeutet dann für uns, dass das Paar (M, ∇) zusätzlich einen nicht ausgearteten σ-linearen Endomorphismus Φ besitzt. Der Grund dafür ist der folgende: Sei X̄ eine glatte affine Kurve über K_{0}, sei a ∈ X̄ ein abgeschlossener Punkt, und sei X = X̄ \ {a}. Dann liefert ein um a überkonvergenter F -Isokristall auf X genau solch ein Tripel (M, ∇, Φ) (siehe [Cr2]). Andrerseits spielt die Kategorie der überkonvergenten F -Isokristalle gerade die Rolle der Koeffizientenkategorie für die rigide Kohomologie ([Be]).

Die Theorie der überkonvergenten F -Isokristalle existiert nicht nur für Kurven, sondern in sehr viel größerer Allgemeinheit. Ein instruktives Beispiel ist insbesondere der Fall X = Spec(K_{0}). In diesem Fall ist ein überkonvergenter F -Isokristall nichts anderes als ein endlich-dimensionaler Vektorraum über dem Quotientenkörper des Wittrings von K_{0} zusammen mit einem bijektiven σ-linearen Operator, also ein gewöhnlicher F -Isokristall.

Das Analogon zur Quasi-Unipotenz der Monodromie in Komplexen ist nun, dass die lokale Monodromie-Darstellung für solche (M, ∇), so dass eine Frobenius-Struktur Φ existiert, quasiunpotent ist, d.h. die Einschränkung ihrer Verhalbeinfachung auf die Trägheitsgruppe hat endliches Bild (siehe [Ke4], 4.6 und 4.7, oder auch [Ke3], 7.2, für eine präzise Umformulierung dieser Bedingung).

Wir wollen in diesem Workshop ein Paar Elemente des Beweises dieses Satzes studieren. Dabei folgen wir den Arbeiten von Kedlaya. Die grobe Idee ist die folgende:

1. Schritt: Man vergisst erst einmal den Zusammenhang und studiert nur das Paar (M, Φ). Von diesem zeigt man, dass M eine kanonische Φ-invariante Filtration besitzt, so dass jeder sukzessiver Quotient isoklin ist (d.h. all seine Anstiege sind gleich). Auf diesem isoklinen Quotienten kann man dann Φ modifizieren (im Wesentlichen ersetzt man Φ durch p^{r}Φ^{s} für r, s passend gewählt), so dass Φ auf diesem Quotienten dann Anstieg Null hat. Da die Filtration “hinreichend kanonisch” ist, ist sie verträglich mit jedem mit Φ kompatiblen Zusammenhang ∇ und daher genügt es den Monodromie-Satz in dem Fall zu beweisen, dass alle Anstiege gleich Null, also für sogenannte Einheitswurzel- (σ, ∇)-Moduln.

Diese Anstiegsfiltration existiert natürlich auch im Fall eines überkonvergenten F -Isokristalls über Spec(K_{0}), also im Fall eines gewöhnlichen F - Isokristalls. Dann ist dies nichts anderes als die isotypische Zerlegung nach den Anstiegen.

2. Schritt: Man beweist den Monodromie-Satz für Einheitswurzel-(σ, ∇)- Moduln. Dies ist von Tsuzuki in [Ts] gemacht worden.

Der Workshop wird sich hauptsächlich mit Schritt 1 befassen.

1. Vortrag: Überkonvergente F -Isokristalle (45 Minuten)

Dies soll ein motivierender Vortrag sein, in dem einige der oben angesprochenen Konstruktionen präzisiert werden. Der Vortrag hat das Ziel zu skizzieren, was ein überkonvergenter F -Isokristall bezüglich eines Paares (X, X̄) ist, wobei X̄ eine affine glatte K_{0}-Varietät der Dimension ≤ 1 und X = X̄ \ D, wobei D aus endlich vielen abgeschlossenen Punkten besteht. Für uns sind besonders interessant der Fall X = X̄ = Spec(K_{0}) (um den Zusammenhang mit üblichen F -Isokristallen zu sehen) und der Fall, dass D nur aus einem Punkt besteht. In diesem zweiten Fall sollte kurz erklärt werden, dass man einen Modul mit Zusammenhang und Frobenius-Struktur über dem Robba-Ring erhält.

Auf Eigenschaften des Robba-Rings soll in diesem Vortrag nicht eingegangen werden. Dies ist Inhalt von Vortrag 3.

Literatur: [Cr2], [Cr1], [Ts], [Be] (in großer Allgemeinheit)

2. Vortrag: Der null-dimensionale Fall (30 Minuten)

In diesem kurzen Vortrag soll der Fall eines F -Isokristalls assoziiert zu X = Spec(K_{0}) betrachtet werden. Genauer sei K_{0} ein perfekter Körper der Charakteristik p > 0, und sei Γ ein vollständiger diskreter Bewertungsring mit Restklassenkörper K_{0}, dessen Quotientenkörper E = Γ[1/p] von Charakteristik 0 ist^{3}. Sei σ: Γ → Γ ein ℤ_{p}-linearer Ring-Endomorphismus, der den Frobenius x ↦ x^{q} (q = p^{a} für ein a ∈ ℤ \ {0}) auf K_{0} liftet (dann ist σ bijektiv). Ein F -Isokristall über K_{0} (bezüglich Γ) ist dann ein endlich-dimensionaler Γ[1/p]-Vektorraum M zusammen mit einer σ-linearen bijektiven Abbildung Φ: M → M. Ein solcher F -Isokristall (M, Φ) heißt isoklin vom Anstieg λ ∈ ℚ, falls ganze Zahlen r, s mit λ = r/s und ein Γ-Gitter Λ von M existieren, so dass Φ^{s}(Λ) = π^{r}Λ. Dabei ist π ein uniformisierendes Element von Γ. Das Ziel des Vortrags ist es, eine Skizze des Beweises des folgenden Satzes zu geben:

Satz: Für jeden F -Isokristall (M, Φ) über K_{0} existiert eine eindeutige Zerlegung (M, Φ) = ⨁_{i=1,...,r}(M_{i}, Φ_{i}) von F -Isokristallen, so dass die (M_{i}, Φ_{i}) alle isoklin von paarweise verschiedenem Anstieg sind.

Für den Fall, dass K_{0} algebraisch abgeschlossen ist, sollte außerdem noch die Aussage gebracht werden, dass die Kategorie der F -Isokristalle über K_{0} halbeinfach ist, und die einfachen Objekte sollten angegeben werden (aus Zeitgründen ohne Beweis).

Literatur^{4}: [Zi] VI, §3 (empfohlen), [Dem] IV, [Ma], [Ke1].

3Diese eher unkonventionellen Notationen sind so gewählt, dass sie mit denen der nächsten Vorträge kompatibel sind.

4Häufig nur für den Fall R = W (K_{0}); die Beweise lassen sich aber ohne Schwierigkeiten verallgemeinern (man ersetze p durch π)

3. Vortrag: Analytische Ringe (50 Minuten)

Von nun an orientieren wir uns an dem Manuskript [Ke3]. Dazu sollen erst einmal die folgenden Notationen eingeführt werden, die für den Rest des Workshops Gültigkeit haben: Sei K_{0} ein Körper der Charakteristik p, sei K eine Körper-Erweiterung von K_{0}, die vollständig bezüglich einer Bewertung v_{K} ist, so dass v_{K} auf K_{0} trivial ist. Der Fall “v_{K} trivial” (z.B. K = K_{0}) ist zugelassen! Man sollte hierbei an den Fall denken, dass K die Komplettierung des Funktionenkörper einer Kurve über K_{0} an einem abgeschlossenen Punkt ist. Insbesondere wollen wir nicht voraussetzen, dass K selbst perfekt ist. Wir wählen Cohen-Ringe (Definition!) C_{K_{0}} und C_{K} von K_{0} bzw. K und eine Einbettung C_{K_{0}} → C_{K}. Schließlich sei O eine rein verzweigte Erweiterung von C_{K_{0}}.

Das Ziel des Vortrags ist es, die Ringe Γ_{an,r}^{K} und Γ_{an,con}^{K} zu definieren ([Ke3], 2.4.8) und etwas zu den Beweisen der folgenden Resultate von [Ke3] zu sagen: 2.4.10, 2.4.11, 2.9.6 (mit einer kurzen Einführung in die Eigenschaften von Moduln über einem Bezout-Ring, wie in 2.9.5), Vektorbündel über Γ_{an,r} (2.8, insbesondere 2.8.4).

Außerdem wäre es schön, die Beziehungen zum Robba-Ring herzustellen und vielleicht auch kurz auf den Spezialfall “v_{K} trivial” (oder auch nur K = K_{0}) einzugehen.

4. Vortrag: Harder-Narasimhan-Filtration und die Dieudonné-Manin-Zerlegung (60 Minuten)

Hier sollen σ-Moduln über Γ_{an,con}^{K} und ihr Grad und Anstieg definiert werden ([Ke3] 3.4.1). Man erhält die üblichen Begriffe von Semistabilität, Stabilität und Harder-Narasimhan-Filtration (loc. cit., 3.4 und 3.5).

Im zweiten Teil des Vortrags geht es dann um die Dieudonné-Manin-Zerlegung von σ-Moduln über R = Γ_{an,con}^{K^{alg}}, wobei K^{alg} die Komplettierung eines algebraischen Abschlusses von K ist. Das Ziel ist Theorem 4.5.7 von [Ke3], seine Korollare 4.5.10 und 4.5.12 und Proposition 4.5.14.

5. Vortrag: Anstiegsfiltration (70 Minuten)

In diesem Vortrag geht es dann um die Definition der speziellen und der generischen Anstiegsfiltrationen und ihren Beziehungen zur Harder-Narasim-han-Filtration. Das Ziel ist Theorem 6.4.1 von [Ke3]. Es wäre schön ,wenn der Vortragende ein wenig detaillierter auf den Vergleich von generischem und speziellen Newton-Polygon eingehen könnte. Auf Descent-Theorie kann wahrscheinlich aus Zeitgründen nur kurz eingegangen werden, aber vielleicht bleibt trotzdem Zeit etwas zu Theorem 6.3.3 und Proposition 6.3.5 zu sagen.

Als Abschluss des Vortrags sollte dann noch kurz erwähnt werden (je nach Zeit und Geschmack des Vortragenden mehr oder weniger ausführlich), dass dann aus der Existenz der Anstiegsfiltration und aus dem Spezialfall “Anstieg 0” dann der p-adische lokale Monodromie-Satz folgt (loc. cit., Theorem 7.2.5).

References

[Be] P. Berthelot: Cohomologie rigide et cohomologie rigide à support propre, Première partie, Prépublication IRMAR 96-03, 89 pages (1996), http://name.math.univ-rennes1.fr/pierre.berthelot/

[Cr1] R. Crew: F -Isocrystals and p-adic representations, Proc. Sympos. Pure Math. 46, Part 2, Algebraic geometry, Bowdoin (1985), 111– 138.

[Cr2] R. Crew: Finiteness theorems for the cohomology of an overconvergent isocrystal on a curve, Ann. Sci. ENS 31, 6 (1998), 717–763.

[De] P. Deligne: Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lecture Notes in Mathematics 163 (1970), Springer-Verlag.

[Dem] M. Demazure: Lectures on p-divisible groups, Lecture Notes in Mathematics 302, Springer-Verlag (1972).

[Ke1] K. Kedlaya: Frobenius slope filtrations and Crew’s conjecture, notes from the workshop ”Current trends in arithmetic geometry and number theory” at the Banff International Research Station, August 17-21, 2003, http://www-math.mit.edu/ kedlaya/papers/

[Ke2] K. Kedlaya: Semistable reduction for overconvergent F -isocrystals I: Unipotence and logarithmic extensions, preprint version 2005, January 9, arXiv math.NT/0405069.

[Ke3] K. Kedlaya: Slope filtrations revisited, preprint version 2005, April 10, arXiv:math.NT/0504204.

[Ke4] K. Kedlaya: Local monodromy of p-adic differential equations: an overview, preprint version 2005, May 22, arXiv:math.NT/0501361.

[Ma] Y. Manin: Theory of commutative formal groups over fields of finite characteristic, Russian Mathematical Surveys 18 (1963), 1–80.

[Ts] N. Tsuzuki: Finite local monodromy of overconvergent unit-root F - crystals on a curve, Amer. J. Math. 120 (1998), 1165–1190.

[Zi] T. Zink: Cartiertheorie kommutativer formaler Gruppen, Teubner-Texte zur Mathematik 68 (1984).