0 Hilfsmittel

Das Lebesgue-Maß sei bezeichnet mit λ^{n}.

L-Norm und Youngsche Ungleichung

Definition 0.1 Für 1 ≤ p < ∞ bezeichnet L^{p}(ℝ^{n}) den Vektorraum aller Lebesguemeßbaren Funktionen f auf ℝ^{n} mit

||f||_{p} = (∫_{ℝ^{n}} |f|^{p}dλ^{n})^{1/p} < ∞.

Die Funktionen f ∈ L^{p}(ℝ^{n}) heißen p-fach integrierbar mit der p-Norm ||f||_{p}. Für p = ∞ ist L^{∞}(ℝ^{n}) der Vektorraum aller wesentlich beschränkten Funktionen. Eine Lebesgue-meßbare Funktion f ist wesentlich beschränkt, wenn

||f||_{∞} = inf{α ∈ ℝ^{n}|λ^{n}({x : |f(x)| ≥ α}) = 0} < ∞.

Die Zahl ||f||_{∞} heißt wesentliches Suprenum von f, weil dann |f(x)| ≤ ||f||_{∞} λ^{n}-fast überall ist. Für Faltungen f ∗ g von Funktionen f ∈ L^{p}(ℝ^{n}) und g ∈ L^{q}(ℝ^{n}),

(f ∗ g)(x) = ∫_{ℝ^{n}} f(y)g(x − y)dλ^{n}(y),

gilt folgender Satz. Dabei vereinbart man die Konventionen 1/p = 0 für p = ∞ und r = ∞ für 1/r = 1/p + 1/q − 1 = 0.

Satz 0.2 Es seien 1 ≤ p, q ≤ ∞, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} ≥ 1 und \frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} − 1. Für f ∈ L^{p}(ℝ^{n}) und g ∈ L^{q}(ℝ^{n}) gehört die Faltung f ∗ g zu L^{r}(ℝ^{n}), und es gilt die Youngsche Ungleichung

||f ∗ g||_{r} ≤ ||f||_{p}||g||_{q}.

Für \frac{1}{p} + \frac{1}{q} − 1 = 0 ist f ∗ g stetig und beschränkt.

Beispiel A: Insbesondere gilt für f, g ∈ L^{2}(ℝ^{n})

|(f ∗ g)(x)| ≤ ||f ∗ g||_{∞} ≤ ||f||_{2}||g||_{2},

λ^{n}-fast überall.

Der Dichtesatz

Bezeichnung: Sei C_{c}^{k}(U) die Menge der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf U, deren Träger kompakte Teilmengen von U sind, d.h. die außerhalb einer kompakten Menge verschwinden.

Satz 0.3 Der Raum C_{c}^{∞}(ℝ^{n}) liegt dicht in L^{p}(ℝ^{n}).

Konvergenzsätze

Satz 0.4 (Beppo Levi) Es sei (f_{k}) eine monoton wachsende Folge integrierbarer Funktionen auf ℝ^{n} derart, daß die Folge der Integrale ∫ f_{k}dx beschränkt ist. Dann ist die punktweise gebildete Grenzfunktion f = lim_{k→∞} f_{k} integrierbar, und es gilt

∫_{ℝ^{n}} fdx = lim_{k→∞} ∫_{ℝ^{n}} f_{k}dx.

Satz 0.5 (Lebesgue) Sei (f_{k}) eine Folge integrierbarer Funktionen auf ℝ^{n}, die fast überall punktweise gegen eine Funktion f konvergiert. Es gebe eine integrierbare Funktion F ≥ 0 auf ℝ^{n} mit

|f_{k}| ≤ F für alle k.

Dann ist f integrierbar, und es gilt

∫_{ℝ^{n}} f(x)dx = lim_{k→∞} ∫_{ℝ^{n}} f_{k}(x)dx.

Parameterabhängige Integrale

Sei f : X × T → ℂ eine Funktion auf dem Produkt eines metrischen Raumes X und einer Menge T ⊂ ℝ^{p}. Für jeden fixierten Parameter x ∈ X sei die Funktion t ↦ f(x, t) über T integrierbar. Durch Integration entsteht dann eine Funktion F auf X:

F (x) := ∫_{T} f(x, t)dt,

und es gilt:

Satz 0.6 f habe folgende Eigenschaften:

(i) Für jedes fixierte x ∈ X ist t ↦ f(x, t) über T integrierbar. (ii) Für jedes fixierte t ∈ T ist x ↦ f(x, t) stetig. (iii) Es gibt auf T eine integrierbare Funktion Φ ≥ 0 mit

|f(x, t)| ≤ Φ(t) für alle (x, t) ∈ X × T.

Dann ist F stetig.

Der Satz von Fubini

Sei X := ℝ^{p} und Y := ℝ^{q}.

Satz 0.7 Sei f eine integrierbare Funktion auf X × Y. Dann gilt:

(i) Für jedes fixierte y ∈ Y, ausgenommen eventuell die Punkte einer Nullmenge N ⊂ Y, ist die Funktion x ↦ f(x, y) über X integrierbar. (ii) Setzt man für y ∈ Y \N

F (y) := ∫_{X} f(x, y)dx

und F (y) := 0 für y ∈ N, so ist F über Y integrierbar, und es gilt

∫_{X×Y} f(x, y)d(x, y) = ∫_{Y} F (y)dy.

Man schreibt auch kurz:

∫_{X×Y} f(x, y)d(x, y) = ∫_{Y} (∫_{X} f(x, y)dx) dy.

1 Das Fourierintegral

Definition 1.1 Sei f ∈ L^{1}(ℝ^{n}). Dann heißt die durch

f̂(x) := \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{ℝ^{n}} f(t)e^{−i<x,t>}dt

definierte Funktion f : ℝ^{n} → ℂ die Fourier-Transformierte zu f. Die Fourier-Transformation sei gegeben durch die lineare Abbildung Ψ, also f̂ = Ψf.

Das Integral existiert, da f integrierbar und t → e^{−i<x,t>} auf ℝ^{n} beschränkt ist. Wegen |e^{−i<x,t>}| = 1 gilt die Abschätzung:

|f̂(x)| ≤ \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{ℝ^{n}} |f(t)|dt = \frac{||f||_{1}}{(2π)^{n/2}} .

Weiterhin ist x → f(t)e^{−i<x,t>} für jedes t ∈ ℝ stetig und |f| ist eine von x unabhängige integrierbare Majorante des Integranden. Damit ist f̂ nach dem Stetigkeitssatz für parameterabhängige Integrale stetig. Tatsächlich gilt sogar:

Satz 1.2 Die Fourier-Transformierte f̂einer integrierbaren Funktion f ∈ L^{1}(ℝ^{n}) ist auf ganz ℝ^{n} gleichmäßig stetig.

Beweis: Sei ϵ > 0. Dann gibt es wegen der Endlichkeit von |f| ein r > 0 mit ∫_{||t||>r} |f|dt ≤ ϵ. Weiterhin existiert wegen

|e^{−i<x,t>} − e^{−i<y,t>}| = |e^{−i<y,t>}||e^{−i<x−y,t>} − 1|

ein δ > 0 mit

|e^{−i<x,t>} − e^{−i<y,t>}| ≤ ϵ

für alle x, y ∈ ℝ^{n} mit ||x − y|| ≤ δ und alle ||t|| ≤ r. Damit gilt für diese x, y:

|f̂(x) − f̂(y)| = (2π)^{−n/2} |∫_{ℝ^{n}}(e^{−i<x,t>} − e^{−i<y,t>})f(t)dt|
≤ (2π)^{−n/2} (∫_{||t||≤r} |e^{−i<x,t>} − e^{−i<y,t>}||f(t)|dt
+ ∫_{||t||>r} |e^{−i<x,t>} − e^{−i<y,t>}||f(t)|dt)
≤ (2π)^{−n/2} (∫_{||t||≤r} ϵ|f(t)|dt + ∫_{||t||>r} 2|f(t)|dt)
≤ (2π)^{−n/2} (ϵ ∫_{ℝ^{n}} |f(t)|dt + 2ϵ)

Daraus ergibt sich die Behauptung. □

Beispiel A: Sei a > 0. Die Fourier-Transformierte der Funktion f mit

f(t) := \{ \begin{matrix}e^{−at}, & falls t ≥ 0 \\ 0, & falls t < 0 \end{matrix}

ist

f̂(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{0}^{∞} e^{−at}e^{−ixt}dt = \frac{−1}{\sqrt{2π}(a + ix)}e^{−(a+ix)t}|_{0}^{∞} = \frac{1}{\sqrt{2π}(a + ix)}.

Damit ergibt sich für die Fourier-Transformierte von g(t) := e^{−a|t|}, t ∈ ℝ :

ĝ(x) = f̂(x) + f̂(−x) = \frac{(a + ix) + (a − ix)}{\sqrt{2π}(a + ix)(a − ix)} = \sqrt{\frac{2}{π}} (\frac{a}{a^{2} + x^{2}} ) .

Lemma 1.3 Sei f ∈ L^{1}(ℝ^{n}). Dann ist die Funktion g : ℝ^{n} → ℂ mit g(x) := ∫_{ℝ^{n}} |f(t + x) − f(t)|dt im Nullpunkt stetig und es gilt g(0) = 0.

Beweis: Für den Fall, daß f stetig ist und außerhalb einer kompakten Menge verschwindet, also beschränkt ist, hängt g nach dem Stetigkeitssatz für parameterabhängige Integrale stetig von x ab. Man zeigt die Behauptung, indem man sie auf diesen Fall reduziert. Nach dem Dichtesatz gibt es zu gegebenem f und gegebenem ϵ eine stetige Funktion h mit kompaktem Träger, für die ||f − h||_{1} ≤ ϵ ist. Dann ist

|g(x)| ≤ ∫_{ℝ^{n}} |f(t + x) − h(t + x)|dt + ∫_{ℝ^{n}} |h(t + x) − h(t)|dt
+ ∫_{ℝ^{n}} |h(t) − f(t)|dt
≤ 2ϵ + ∫_{ℝ^{n}} |h(t + x) − h(t)|dt.
□

Satz 1.4 von Riemann-Lebesgue Sei f ∈ L^{1}(ℝ^{n}). Dann verschwindet die Fourier-Transformierte f̂ im Unendlichen, d.h. es ist

lim_{||x||→∞} f̂(x) = 0.

Beweis: Für x ≠ 0 ist

e^{−i<x,t>} = \frac{1}{2}e^{−i<x,t>}(1 − e^{−i \frac{π}{||x||^{2}} <x,x>}) = \frac{1}{2}e^{−i<x,t>} − \frac{1}{2}e^{−i<x,t+ \frac{π}{||x||^{2}} x>}.

Fourieranalysis - Das Fourierintegral - Jean Ruppenthal 6 Damit folgt

(2π)^{n/2}|f̂(x)| = |∫_{ℝ^{n}} e^{−i<x,t>}f(t)dt|
= \frac{1}{2} |∫_{ℝ^{n}} e^{−i<x,t>}f(t)dt − ∫_{ℝ^{n}} e^{−i<x,t+ \frac{π}{||x||^{2}} x>}f(t)dt|
= \frac{1}{2} |∫_{ℝ^{n}} e^{−i<x,t>}f(t)dt − ∫_{ℝ^{n}} e^{−i<x,t>}f(t − \frac{π}{||x||^{2}} x >)dt|
≤ \frac{1}{2} ∫_{ℝ^{n}} |f(t) − f(t − \frac{πx}{||x||^{2}} )| dt.

Mit Lemma 1.3 ergibt sich wegen \frac{πx}{||x||^{2}} → 0 für x → ∞ die Behauptung. □ Satz 1.5 (Faltungssatz) Für f, g ∈ L^{1}(ℝ^{n}) gilt:

{ \atop f ∗ g} = (2π)^{n/2}f̂ĝ.

Beweis: Mit der Transformationsregel und dem Satz von Fubini gilt:

(2π)^{n/2}({ \atop f ∗ g})(x) = ∫_{ℝ^{n}}(f ∗ g)(t)e^{−i<x,t>}dt
= ∫_{ℝ^{n}} (∫_{ℝ^{n}} f(t − s)e^{−i<x,t−s>}g(s)e^{−i<x,s>}ds) dt
= ∫_{ℝ^{n}} g(s)e^{−i<x,s>} (∫_{ℝ^{n}} f(t − s)e^{−i<x,t−s>}dt) ds
= (∫_{ℝ^{n}} f(t)e^{−i<x,t>}dt) (∫_{ℝ^{n}} g(s)e^{−i<x,s>}ds)
= (2π)^{n}f̂(x)ĝ(x).
□

Satz 1.6 (Reziprozitätsformel) Für f, g ∈ L^{1}(ℝ^{n}) gilt:

∫_{ℝ^{n}} f̂gdλ^{n} = ∫_{ℝ^{n}} fĝdλ^{n}.

Beweis: Mit dem Satz von Fubini ergibt sich ∫_{ℝ^{n}} (∫_{ℝ^{n}} e^{−i<x,t>}f(t)dt) g(x)dx = ∫_{ℝ^{n}} (∫_{ℝ^{n}} e^{−i<x,t>}f(t)g(x)dt) dx

= ∫_{ℝ^{n}} (∫_{ℝ^{n}} e^{−i<x,t>}f(t)g(x)dx) dt = ∫_{ℝ^{n}} f(t) (∫_{ℝ^{n}} e^{−i<x,t>}g(x)dx) dt
□

2 Der Umkehrsatz

Satz 2.1 Sei f ∈ L^{1}(ℝ^{n}) eine beschränkte integrierbare Funktion, deren Fourier-Transformierte f̂ ebenfalls zu L^{1}(ℝ^{n}) gehört. Dann ist

f(x) = ˆ f̂(−x) = \frac{1}{(2π)^{−n/2}} ∫_{ℝ^{n}} e^{i<x,t>}f̂(t)dt

für jeden Punkt x ∈ ℝ^{n}, in dem f stetig ist.

Beweis: Sei a > 0 beliebig. Für t = (t_{1}, ..., t_{n}) ∈ ℝ^{n} bezeichne |t| die Summe ∑_{j} |t_{j}| der Beträge der Komponenten von t. Für x ∈ ℝ^{n} sei g_{a,x} die Funktion auf ℝ^{n} mit

g_{a,x}(t) = e^{i<x,t>}e^{−a|t|}.

Mit Fubini ist nach Beispiel 1.A

ĝ_{a,x}(y) = \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{ℝ^{n}} e^{−i<y,t>}e^{i<x,t>}e^{−a|t|}dt = \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{ℝ^{n}} e^{−i<y−x,t>}e^{−a|t|}dt
= \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{ℝ^{n}} (∏_{j} e^{−i(y_{j}−x_{j})t_{j}}e^{−a|t_{j}|}) dt = ∏_{j=1}^{n} \binom{}{g_{a,0}} (y_{j} − x_{j})

= (\frac{2}{π} )^{n/2} ∏_{j=1}^{n} \frac{a}{a^{2} + (y_{j} − x_{j})^{2}} .

Daraus folgt mit Satz 1.6 und der Substitution t = as + x:

∫_{ℝ^{n}} e^{i<x,t>}e^{−a|t|}f̂(t)dt = ∫_{ℝ^{n}} g_{a,x}(t)f̂(t)dt = ∫_{ℝ^{n}} ĝ_{a,x}(t)f(t)dt
= (\frac{2}{π} )^{n/2} ∫_{ℝ^{n}} (∏_{j=1}^{n} \frac{a}{a^{2} + (t_{j} − x_{j})^{2}} ) f(t)dt

= (\frac{2}{π} )^{n/2} ∫_{ℝ^{n}} (∏_{j=1}^{n} \frac{a}{a^{2} + a^{2}(s_{j})^{2}} ) af(as + x)ds

Läßt man nun a gegen 0 gehen, so erhält man mit dem Konvergenzsatz 0.5 von Lebesgue (wegen der Stetigkeit von f in x und der Beschränktheit von f) die Behauptung des Umkehrsatzes:

∫_{ℝ^{n}} e^{i<x,t>}f̂(t)dt = (\frac{2}{π} )^{n/2} ∫_{ℝ^{n}} (∏_{j=1}^{n} \frac{1}{1 + (s_{j})^{2}} ) f(x)ds

= (\frac{2}{π} )^{n/2} π^{n}f(x) = (2π)^{n/2}f(x),

unter Anwendung des Satzes von Fubini und Berücksichtigung von

∫_{ℝ} \frac{1}{1 + x^{2}} dx = ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{1 + x^{2}} dx = arctanx|_{−∞}^{∞} = \frac{π}{2} − (−\frac{π}{2} ) = π.

□

Definition 2.2 Sei S_{ℂ}(ℝ^{n}) der Schwartzsche Raum der schnell fallenden Funktionen. Eine Funktion f : ℝ^{n} → ℂ heißt schnell fallend, wenn f unendlich oft differenzierbar ist und für alle Tupel α, β ∈ ℕ^{n} die Funktion

t^{α} \frac{∂^{|β|}f}{∂t^{β}} : ℝ^{n} → ℂ

beschränkt ist.

Die schnell fallenden Funktionen bilden einen ℂ-Vektorraum, der den Raum C_{c}^{∞}(ℝ^{n}) umfaßt. Daraus ergibt sich nach dem Dichtesatz, daß S_{ℂ}(ℝ^{n}) in den Räumen L^{p}(ℝ^{n}), p ≥ 1 dicht liegt.

Satz 2.3 Die Fourier-Transformation Ψ induziert einen Automorphismus Ψ : S_{ℂ}(ℝ^{n}) → S_{ℂ}(ℝ^{n}) mit der Eigenschaft:

Ψ^{−1}f(x) = Ψf(−x).

Beweis: Folgt direkt aus Satz 2.1, da jede schnell fallende Funktion stetig und beschränkt ist. □

Lemma 2.4 (Nulltest) Eine integrierbare Funktion f : ℝ^{n} → ℂ ist fast überall gleich 0, wenn

∫_{ℝ^{n}} g(t)f(t)dt = 0

für alle g ∈ C_{c}^{∞}(ℝ^{n}).

Beweis: Man zerlege f in Real- und Imaginärteil: f = f_{1} + if_{2}. Wegen

∫_{ℝ^{n}} g(t)f(t)dt = ∫_{ℝ^{n}} g(t)f_{1}(t)dt + i ∫_{ℝ^{n}} g(t)f_{2}(t)dt

für alle g ∈ C_{c}^{∞}(ℝ^{n}) kann man annehmen, daß f_{1}, f_{2} reellwertig sind. Es ist nun zu zeigen f_{1} = f_{2} = 0. Sei f = f_{1}, der Fall f_{2} folgt analog. Sei nun

f^{+} := max(f, 0) und f^{−} := max(−f, 0).

Die integrierbaren f^{+} und f^{−} heißen positiver und negativer Anteil von f. Man beachte, daß f^{+} ≥ 0 und f^{−} ≥ 0 gilt. Ferner ist f = f^{+} − f^{−} und folglich

∫_{ℝ^{n}} g(t)f(t)dt = ∫_{ℝ^{n}} g(t)f^{+}(t)dt − ∫_{ℝ^{n}} g(t)f^{−}(t)dt = 0

für alle g ∈ C_{c}^{∞}(ℝ^{n}). Sei nun für einen beschränkten Quader Q ⊆ ℝ^{n} die Funktion

1_{Q}(t) := \{ \begin{matrix}1, & falls t ∈ Q \\ 0, & falls t ∉ Q \end{matrix}

seine Indikatorfunktion. Dann existiert nach dem Dichtesatz eine Folge {g_{k}}_{k∈ℕ} in C_{c}^{∞}(ℝ^{n}), so daß ||1_{Q} − g_{k}||_{1} → 0 für k → ∞. Damit folgt

||1_{Q} − g_{k}||_{1}||f^{+}||_{1} ≥ ||(1_{Q} − g_{k})f^{+}||_{1} = ∫_{ℝ^{n}} |(1_{Q} − g_{k})f^{+}|dλ^{n}
≥ |∫_{ℝ^{n}} 1_{Q}f^{+}dλ^{n} − ∫_{ℝ^{n}} g_{k}f^{+}dλ^{n}| → 0 für k → ∞.

Führt man selbige Überlegung analog für f^{−} durch, so ergibt sich mit ∫_{ℝ^{n}} 1_{Q}f^{+}dλ^{n} = ∫_{Q} f^{+}dλ^{n} schließlich

∫_{Q} f^{+}dλ^{n} = ∫_{Q} f^{−}dλ^{n}

für alle beschränkten Quader Q ⊆ ℝ^{n}. Damit ist aber f^{+} = f^{−} und daher f = 0. □

Satz 2.5 (Eindeutigkeitssatz) Zwei integrierbare Funktionen f, g : ℝ^{n} → ℂ sind fast überall gleich, wenn ihre Fourier-Transformierten f̂und ĝ übereinstimmen.

Beweis: Sei h := f − g und damit ĥ = 0. Jede Funktion y ∈ C_{c}^{∞}(ℝ^{n}) ist nach Satz 2.2 die Fourier-Transformierte ẑ einer Funktion z ∈ S_{ℂ}(ℝ^{n}). Es folgt für solch ein y mit Satz 1.6:

∫_{ℝ^{n}} yhdλ^{n} = ∫_{ℝ^{n}} ẑhdλ^{n} = ∫_{ℝ^{n}} zĥdλ^{n} = 0.

Mit Lemma 2.3 ergibt sich h = 0, also die Behauptung. □

Fourieranalysis - Das Fourierintegral - Jean Ruppenthal 10

Damit läßt sich der Umkehrsatz auf nicht beschränkte Funktionen erweitern: Satz 2.6 Sei f ∈ L^{1}(ℝ^{n}) eine integrierbare Funktion, deren Fourier-Transformierte f̂ ebenfalls zu L^{1}(ℝ^{n}) gehört. Dann ist

f(x) = ˆ f̂(−x) = \frac{1}{(2π)^{−n/2}} ∫_{ℝ^{n}} e^{i<x,t>}f̂(t)dt

für fast alle x ∈ ℝ^{n}. Insbesondere gilt diese Gleichheit für jeden Punkt x ∈ ℝ^{n}, in dem f stetig ist. Beweis: Nach Satz 2.4 genügt es, die Gleichheit

∫_{ℝ^{n}} g(x)f(x)dx = ∫_{ℝ^{n}} g(x)ˆf̂(−x)dx

für alle g ∈ C_{c}^{∞}(ℝ^{n}) zu zeigen, denn damit folgt, daß

f(x) − ˆ f̂(x) = 0

für fast alle x ∈ ℝ^{n} ist. Nun ergibt sich aber mit der Reziprozitätsformel 1.6 und Satz 2.3 weiter:

∫_{ℝ^{n}} g(x)ˆf̂(−x)dx = ∫_{ℝ^{n}} ĝ(x)f̂(−x)dx = ∫_{ℝ^{n}} ˆ ĝ(x)f(−x)dx
= ∫_{ℝ^{n}} g(−x)f(−x)dx = ∫_{ℝ^{n}} g(x)f(x)dx.

Der Zusatz folgt, da auch ˆ f̂(−x) in x stetig ist. □

3 Quadratintegrierbare Funktionen

Satz 3.1 Sei f : ℝ^{n} → ℂ integrierbar und quadratintegrierbar. Dann ist f̂ quadratintegrierbar, und es gilt in L^{2}(ℝ^{n}):

||f̂||_{2} = ||f||_{2}.

Beweis: Sei h(t) := \overline{f}(−t). Nach dem Faltungssatz 1.5 ist

f̂(x)\overline{f̂}(x) = f̂(x)ˆ\overline{f}(−x) = f̂(x)ĥ(x) = \frac{1}{(2π)^{n/2}} { \atop f ∗ h}(x).

Für schnell fallende Funktionen f ist die Aussage des Satzes trivial, denn mit der Reziprozitätsformel 1.6 und dem Umkehrsatz 2.3 für die schnell fallende Funktion h ergibt sich

||f̂||_{2}^{2} = ∫_{ℝ^{n}} f̂\overline{f̂}dλ^{n} = ∫_{ℝ^{n}} f̂ĥdλ^{n} = ∫_{ℝ^{n}} fˆĥdλ^{n} = ∫_{ℝ^{n}} f\overline{f}dλ^{n} = ||f||_{2}^{2}.

Für den allgemeinen Fall verwendet man wie in Satz 2.1 den Faktor e^{−a|x|}, a > 0. Damit gilt für x ∈ ℝ^{n} mit |x| = ∑_{j} |x_{j}| und der Funktion g_{a,x} aus Beweis 2.1:

{ \atop e^{−a|x|}} = ĝ_{a,0}(x) = (\frac{2}{π} )^{n/2} ∏_{j=1}^{n} \frac{a}{a^{2} + x_{j}^{2}} .

Weiterhin gilt nach Beispiel 0.A

|(f ∗ h)(x)| ≤ ||f ∗ h||_{∞} ≤ ||f||_{2}||h||_{2} = ||f||^{2}.

Somit folgt mit der Reziprozitätsformel 1.6 und der Substitution x_{j} = as_{j}

∫_{ℝ^{n}} |f̂|^{2}e^{−a|x|}dx = \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{ℝ^{n}}({ \atop f ∗ h})(x)e^{−a|x|}dx
= \frac{1}{(2π)^{n/2}} (\frac{2}{π} )^{n/2} ∫_{ℝ^{n}}(f ∗ h)(x) ∏_{j} \frac{a}{a^{2} + x_{j}^{2}} dx

≤ \frac{1}{π^{n}} (\frac{2}{π} )^{n/2} ∫_{ℝ^{n}} ||f||_{2}^{2} ∏_{j} \frac{a}{a^{2} + x_{j}^{2}} dx

= \frac{1}{π^{n}} ||f||_{2}^{2} ∏_{j} ∫_{ℝ} \frac{a}{a^{2} + x_{j}^{2}} dx_{j}

= \frac{1}{π^{n}} ||f||_{2}^{2} ∏_{j} ∫_{ℝ} \frac{a^{2}}{a^{2} + a^{2}s_{j}^{2}} ds_{j} = ||f||_{2}^{2}.

Läßt man a jetzt gegen 0 streben, so folgt mit dem Konvergenzsatz 0.4 von Beppo Levi die Ungleichung

||f̂||_{2} ≤ ||f||_{2}.

Damit ist f̂ quadratintegrierbar und die lineare Abbildung Ψ auf dem Raum L^{1}(ℝ^{n}) ∩ L^{2}(ℝ^{n}) beschränkt und daher stetig:

||Ψ(x) − Ψ(y)||_{2} = ||Ψ(x − y)||_{2} ≤ ||x − y||_{2} < δ = ϵ

Wie zu Anfang gesehen bildet Ψ außerdem im Raum S_{ℂ}(ℝ^{n}) der schnell fallenden Funktionen isometrisch ab. Nach dem Dichtesatz ist aber S_{ℂ}(ℝ^{n}) dicht in L^{1}(ℝ^{n}) ∩ L^{2}(ℝ^{n}) und somit die stetige Abbildung Ψ insgesamt isometrisch, da jede Norm stetig ist:

|||x||_{2} − ||y||_{2}| ≤ ||x − y||_{2} < δ = ϵ.
□