1 Lie-Gruppen

Ein Lie-Gruppe ist eine Gruppe und gleichzeitig differenzierbare Mannigfaltigkeit für die gilt:

(a, b) ∈ G ↦ a^{−1}b

ist eine differenzierbare Abbildung. Sei L_{a} (bzw. R_{a}) die Translation auf G von links (bzw. von rechts), d.h.

L_{a}x = ax R_{a}x = xa ∀a ∈ G

Für a ∈ G sei ad(a) der innere Automorphismus definiert durch:

ad(a)(x) := axa^{−1} ∀x ∈ G

Sei g die Algebra der linksinvarianten Vektorfelder auf G, d.h. die Menge aller Vektorfelder X auf G für die gilt:

X_{R_{a}x} = R_{a∗}X_{x}

Dann gilt g ist isomorph zu T_{e}G. Die Abbildung ad(a) erzeugt eine Darstellung von G in g, die sogenannte adjungierte Darstellung, die wir mit Ad(a) bezeichnen. A ∈ g erzeugt eine 1-Parametergruppe auf G. Sei a_{t} die Kurve, die die Gleichung

L_{a^{−1}∗}ȧ_{t} = A_{e} a_{0} = e

löst.Wir definieren

exp(A) := a_{1} → a_{t} = exp(ta)

Operiere nun G auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, d.h.

1. Für alle a ∈ G existiert eine 1 : 1 Transformation x ↦ xa in M

2. (a, x) ∈ G × M → x ∈ M ist differenzierbar.

3. x(ab) = (xa)b

Bemerkung 1.1 Wir schreiben R_{a}x für xa und L_{a}x für ax. Da R_{e}, L_{e} 1 : 1 und wegen 3) gilt L_{e} = R_{e} = id_{M}

Definition 1.2 G operiert effektiv (bzw. frei) auf M ⇔ R_{a}x = x für alle (bzw. für ein) x ∈ M, so ist a = e.

Definition 1.3 Operiere G von rechts auf M. Sei A ∈ g, dann sei A^{∗} ∈ X(M) definiert durch:

A_{x}^{∗} := \frac{d}{dt}(exp(tA)x)_{t=0}

wobei X(M) die Vektorfelder auf M sind.

Lemma 1.4 Sei G Lie-Gruppe und M differenzierbare Mannigfaltigkeit. G operiere auf M von rechts.Die Abbildung

σ : g → X(M)
A ↦ A^{∗}

ist ein Lie-Algebra-Homomorphismus. Operiert G effektiv auf M so ist σ ein Isomorphismus. Operiert G frei auf M so gilt für jedes A ∈ g ≠ 0, σ(A) verschwindet nie auf M.

2 Faserbündel

Sei G Lie-Gruppe und M differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Definition 2.1 Ein (diff.bares) Hauptfaserbündel (HFB) P (M, G, π) über M mit Gruppe G besteht aus einer (diff.baren) Mannigfaltigkeit P und einer Operation von G auf P mit:

1. G operiert frei auf P von rechts

(u, a) ∈ P × G → ua = R_{a}u ∈ P

2. M ist Quotient von P bezüglich der Gruppenoperation von G, d.h M = P/G und die kanonische Projektion

π : P → M

ist differenzierbar.

3. P ist lokal trivial, d.h. für alle x ∈ M existiert eine Umgebung U(x) ⊂ M, sodaß π^{−1}(U(x)) isomorph zu U × G ist, in dem Sinnes, daß ein Diffeomorphismus

Φ : π^{−1}(U) → U × G
u ↦ (π(u), φ(u))

existiert mit

φ : π^{−1}(U) → G und φ(ua) = φ(u)a u ∈ P, a ∈ G

Bezeichnungen

1. Ein Hauptfaserbündel wird mit P (M, G, π), P (M, G) oder mit P bezeichnet.

2. P heißt “totaler Raum” oder “Bündelraum”.

3. M heißt “Basisraum”

4. G heißt “Strukturgruppe”

5. π^{−1}(x) heißt “Faser” von x und ist Untermannigfaltigkeit von P, diffeomorph zu G.

Bemerkung 2.2 P (M, G) heißt trivial, falls gilt:

P = M × G und R_{b}u = (x, ab) mit u = (x, a)

Definition 2.3 Sei P Hauptfaserbündel. Sei

σ : g → X(P)
A ↦ A^{∗}

die von der Operation von G induzierte Abbildung. A^{∗} heißt Fundamentales Vektorfeld bezüglich A.

Da die Operation von G Fasern in sich abbildet, ist A_{u}^{∗} tangential an die Faser in u. Weil G frei auf P operiert, verschwindet A^{∗} genau dann, wenn A = 0. Daraus folgt, da die Dimension der Faser gleich der Dimension von g ist, daß die Abbildung:

A → (A^{∗})_{u}

ein linearer Isomorphismus auf den Tangentalraum der Faser in u ist.

Lemma 2.4 Sei A^{∗} fundamentales Vektorfeld zu A. Dann ist für jedes A ∈ G, (R_{a})_{∗}A^{∗} fundamentales Vektorfeld zu (Ad(a^{−1}))A

Beweis: A^{∗} ist induziert von der Kurve a_{t} mit a_{t} = exp(tA). Dann gilt, (R_{a})_{∗}A^{∗} ist induziert von R_{a}R_{a_{t}}R_{a^{−1}} = R_{aa_{t}a^{−1}}. Desweiteren ist aa_{t}a^{−1} die Einparametergruppe erzeugt von (Ad(a^{−1}))A ∈ g.

□

Definition 2.5 Sei P (M, G) HFB und F (diff.bare) Mannigfaltigkeit, auf der G von links operiert. Das zu P assoziierte Faserbündel E(M, F, G, P) mit Standartfaser F wird wie folgt konstruiert. Sei eine Operation von G auf P × F definiert durch:

a : (u, ξ) ∈ P × F ↦ (ua, a^{−1}ξ) ∈ P × F

E sei definiert als P ×_{G} F Quotient bezüglich der obigen Operation. Sei

π_{E} : E → M

die Abbildung, die durch die Abbildung

P × F → M
u × ξ ↦ π(u)

induziert wird.

Bemerkung 2.6 Es gilt:

π^{−1}(U) ≅ U × G.

Daher ist die Operation von G auf π^{−1}(U) × F gegeben durch

(x, a, ξ) ↦ (x, ab, b^{−1}ξ) (x, a, ξ) ∈ U × G × F, b ∈ G

Daher gilt

π_{E}^{−1}(U) ≅ U × F

E erhält seine differenzierbare Struktur indem wir die Karten

U × F ⟶^{≅} π_{E}^{−1}(U)

einführen.

Lemma 2.7 Sei P (M, G) HFB und E(M, F, G, P) das dazu assoziierte Bündel. Für alle u ∈ P und ξ ∈ F sei uf definiert als das Bild von (u, ξ) ∈ P × G unter kanonische Projektion P × F → E. Dann ist jedes u eine Abbildung von F nach F_{x} = π_{E}^{−1}(x) mit π(u) = x und

(ua)ξ = u(aξ)

Beweis: Sei u lokal gleich (x, b), dann gilt

(ua)ξ = \overline{(x, ab, ξ)} = \overline{(x, b, aξ)} = u(aξ)
□

Beispiel 1: Rahmenbündel L(M)

Sei M Mfg., dim M=n Ein linearer Rahmen u an einem Punkt x ∈ M ist eine geordnete Basis {X_{1}, .., X_{n}} von T_{x}M. Sei

L_{x}(M) := {u|u ist linearer Rahmen in x}

Sei L(M) = ⨆_{x∈M} L_{x}(M) disjunkte Vereinigung.

Behauptung: L(M) ist HFB. Beweis: Sei GL(n; ℝ) die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen. GL(n; ℝ) operiert auf L(M) wie folgt: Sei a = (a_{ij}) ∈ GL(n; ℝ) und u = (X_{1}, ..., X_{n}) ∈ L_{x}. ua = (Y_{1}, ..., Y_{n}) ∈ L_{x} sei definiert durch:

Y_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}X_{i}

Eine differenzierbare Struktur wird am Ende eingeführt.

1. G operiert offensichtlich frei auf L(M).

2. Sei

\begin{aligned}π : & L(M) & → & M \\ & u ∈ L_{x} & ↦ & x \end{aligned}

Es gilt

π(u) = π(v) ⇒ v, u ∈ L_{x}(M) ⇒ ∃a ∈ GL(n; ℝ) : v = ua

Daraus folgt:

M = P/G

3. Seien (∂x_{1}, ..., ∂x_{n}) lokale Koordinaten in U ⊂ M. Dann läßt sich jeder Rahmen u = (X_{1}, …, X_{n}) eindeutig darstellen durch

X_{i} := ∑_{j=1}^{n} X_{ij}∂x_{j}

wobei (X_{ij}) ∈ GL(n; ℝ). Daraus folgt, daß π^{−1}(U) 1 : 1 mit U ×

GL(n; ℝ) ist.

Die differenzierbare Struktur erhält man nun durch die Karten

U × GL(n; ℝ) ⟶ π^{−1}(U)

Beispiel 2:Das Tangentialbündel T (M).

Operiere GL(n; ℝ) von links auf ℝ^{n} durch Matrixmultiplikation auf Vektoren bezüglich der Standartbasis. Das Tangentialbündel T (M) sei das zu L(M) assoziierte Faserbündel mit Standartfaser ℝ^{n}. Dann ist T (M) lokal diffeomorph zu U × ℝ^{n} und die Fasern über x sind die Tangentialräume T_{x}(M). Das wird anschaulich, wenn wir die in Lemma 2.7 erwähnte Abbildung

u : ℝ^{n} ⟶ π_{E}^{−1}(x) mit x = π(u)

betrachten. Sei e_{1}, …, e_{n} die Standartbasis auf ℝ^{n}. Dann definieren wir für u = {X_{1}, …, X_{n}} ∈ L_{x}(M) die Abbildung:

ue_{i} := X_{i}

durch lineare Fortsetzung. Es ist klar das gilt:

(ua)ξ = u(aξ)

Definition 2.8 Ein Schnitt eines Bündels E(M, F, G, P) ist eine Abbildung

s : M → E

für die gilt π_{E} ∘ s = id_{M}

3 Zusammenhänge auf Hauptfaserbündeln

Sei P (M, G) HFB. Für u ∈ P bezeichne G_{u} den Unterraum von T_{u}(P), der tangential an die Faser π^{−1}(x) mit x = π(u) liegt.

Definition 3.1 Ein Zusammenhang Γ in P ist die Zuordnug eines Unterraums Q_{u} ⊂ T_{u}(P), sodaß für alle u ∈ P gilt:

1. T_{u}(P) = G_{u} + Q_{u} (direkte Summe)

2. Q_{ua} = R_{a⋆}Q_{u} ∀u ∈ P, a ∈ G

3. Q_{u} hängt differenzierbar von u ab.

Bezeichnungen :

1. G_{u} heißt “vertikaler Unterraum”, Q_{u} heißt “horizontaler Unterraum”

2. Ein Vektor X heißt vertikal (bzw. horizontal) falls X ∈ G_{u} (bzw. X ∈ Q_{u}).

3. Jedes X ∈ T_{u}(P) kann eindeutig geschrieben werden als:

X = Y + Z Y ∈ G_{u}, Z ∈ Q_{u}

Dann heißen Y =: vX vertikale und Z =: hX horizontale Komponente von X.

Definition 3.2 Sei ω g-wertige 1-Form mit:

\begin{aligned}ω : & T_{u}(P) & → & g \\ & X & ↦ & A \end{aligned}

wobei (A^{∗})_{u} = vX. ω heißt “Zusammenhangsform” zu Γ.

Lemma 3.3 Die Zusammenhangsform ω erfüllt die folgenden Eigenschaften:

1. ω((A^{∗})_{u}) = A für alle u ∈ P, A ∈ g

2. (R_{a})^{∗}ω = Ad(a^{−1})ω d.h. ω((R_{a})_{∗}X) = Ad(a^{−1})ω(X) für alle X ∈ T_{u}(P), a ∈ G

Umgekehrt existiert für jede g-wertige 1-Form ω, die 1) und 2) erfüllt, ein eindeutiger Zusammenhang Γ mit Zusammenhangsform ω.

Beweis:1. ist klar. Da man jedes Vektorfeld auf P eindeutig in horizontalen und vertikalen Anteil zerlegen kann, betrachten wir die Fälle X ist horizontal und X ist vertikal. 2a.)Sei X horizontal, dann gilt R_{a∗}(X) ist horizontal:

⇒ R_{a}^{∗}(ω(X)) = ω(R_{a∗}(X)) = 0 und Ad(a^{−1})ω(X) = 0

2b.)Sei X vertikal. Dann können wir annehmen, daß X ein fundamentales Vektorfeld A^{∗} ist. Dann ist R_{a∗}(X) fundamentales Vektorfeld zu Ad(a^{−1})A und es gilt:

(R_{a}^{∗})ω_{u}(X) = ω_{ua}((R_{a})_{∗}X) = ω_{ua}((Ad(a^{−1})A)^{∗}) = Ad(a^{−1})A = Ad(a^{−1})(ω_{u}(X))

Sei nun umgekehrt ω mit 1. und 2. gegeben. Wir definieren:

Q_{u} := {X ∈ T_{u}P |ω_{u}(X) = 0}

Behauptung: u ↦ Q_{u} ist ein Zusammenhang. ⌜ Sei G_{u} der Tangentialraum an die Faser in u. Es gilt:

dimT_{u}(P) = dim(im(ω_{u})) + dim(ker(ω_{u}))

Da ker(ω_{u}) = Q_{u}, g isomorph zu G_{u} ist und Q_{u} ∩ G_{u} = ∅ gilt:

T_{u}(P) = G_{u} + Q_{u}

Sei X ∈ Q_{u}, dann gilt:

ω_{ua}(R_{a∗}X) = R_{a}^{∗}ω_{u}(X) = Ad(a^{−1})ω_{u}(X) = 0

Sei Y ∈ Q_{ua}, dann gilt:

ω_{uaa^{−1}}(R_{a^{−1}∗}Y) = R_{a^{−1}}^{∗}ω_{ua}(Y) = Ad(a^{1})ω_{ua}(Y) = 0

daraus folgt:

R_{a}^{∗}Q_{u} = Q_{ua} ∀u ∈ P, a ∈ G

⌞

□

Die Projektion π : P → M induziert dπ : T_{u}(P) → T_{x}(M) wobei u ∈ P und π(u) = x.

Definition 3.4 Sei Γ gegeben. Dann gilt:

dπ : Q_{u} → T_{x}(M) u ∈ P, π(u) = x

ist ein Vektorraumisomorphismus. ⌜

1. dimQ_{u} = dimT_{x}M ist klar, da P lokal diffeomorph ist zu U × G

2. dπ(X) = 0 ⇒ X ∈ G_{u} ⇒ X ∉ Q_{u}

⌞ Der Horizotale Lift eines Vektorfeldes X auf M ist das eindeutige horizontale Vektorfeld X^{P} auf P, für das gilt

dπ(X_{u}^{∗}) = X_{π(u)} ∀u ∈ P

3.1 Krümmungsform und Strukturgleichung

Definition 3.5 Sei P (M, G) Hauptfaserbündel und ρ sei eine Darstellung von G in einem endlichdimesionalen Vektorraum V.Eine pseudotensorielle Form vom Grad r auf P vom Typ (ρ, V), ist eine V −wertige r-Form φ auf P für die gilt:

R_{a}^{∗}φ = ρ(a^{−1})φ a ∈ G

φ heißt tensorielle Form falls gilt:

φ(X_{1}, …, X_{r}) = 0

sobald ein Vektor X_{i} vertikal ist.

Sei Γ Zusammenhang auf P mit T_{u}(P) = G_{u} + Q_{u} und

h : T_{u}(P) → Q_{u}

sei die Projektion auf den horizontalen Raum.

Lemma 3.6 Sei φ pseudotensorielle r-Form auf P vom Typ (ρ, V), dann gilt:

1. Sei φh definiert als

(φh)_{u}(X_{1}, …, X_{r}) = φ_{u}(hX_{1}, …, hX_{r})

Dann ist φh tensorielle r-Form von Typ (ρ, V).

2. dφ is eine pseudotensorielle (r + 1)-Form vom Typ (ρ, V).

3. Die (r+1)-Form Dφ := (dφ)h ist eine tensorielle Form vom Typ (ρ, V).

Beweis:

1. folgt daraus, daß gilt

h ∘ R_{a∗} = R_{a∗} ∘ h

⌜

R_{a∗}(hX + vX) = \underbrace{R_{a∗}(hX)}_{horizontal} + \underbrace{R_{a∗}(vX)}_{verikal} = h(R_{a∗}X) + v(R_{a∗}X)

aus der Eindeutigkeit der Zerlegung folgt das gewünschte. ⌞ Es gilt

R_{a}^{∗}(φh)_{u}(X_{1}, …, X_{r}) = (φh)_{ua}(R_{a∗}X_{1}, …, R_{a∗}X_{r})
= (φ)_{ua}(hR_{a∗}X_{1}, …, hR_{a∗}X_{r})
= (φ)_{ua}(R_{a∗}hX_{1}, …, R_{a∗}hX_{r})
= R_{a}^{∗}(φ)_{u}(hX_{1}, …, hX_{r})
= ρ(a^{−1})(φ)_{u}(hX_{1}, …, hX_{r})
= ρ(a^{−1})(φh)_{u}(X_{1}, …, X_{r})

Sei nun X_{i} vertikal, dann gilt hX_{i} = 0 → (φh)(X_{1}, …, hX_{i}, …, hX_{r}) = 0

2. Folgt genauso aus der Tatsache das gilt:

d ∘ R_{a}^{∗} = R_{a}^{∗} ∘ d

3. folgt aus 1) & 2)

Die Form Dφ = (dφ)h heißt äußere kovariante Ableitung von φ Definition 3.7 Sei ρ = Ad die adjungierte Darstellung von G in der Lie-Algebra g. Dann ist die Zusammenhangsform ω pseudotensorielle 1-Form vom Typ (ρ, g) oder auch adG. Sei Ω := Dω tensorielle 2-Form vom Typ adG. Ω heißt Krümmungsform von ω.

Theorem 3.8 (Strukturgleichung) Sei ω Zusammmenhangsform und Ω Krümmungsform.Dann gilt:

dω(X, Y) = −\frac{1}{2}[ω(X), ω(X)] + Ω(X, Y) für X, Y ∈ T_{u}(P), u ∈ P

Beweis: Da wir X, Y eindeutig in vertikalen und horzontalen Anteil zerlegen können und Ω linear auf beiden Stellen ist, betrachen wir:

1. X, Y seien horizontal. Dann gilt:

dω(X, Y) = dω(hX, hY) = Dω(X, Y) = Ω(X, Y) − \frac{1}{2} \underbrace{[ω(X), ω(Y)]}_{=0}

2. X, Y seien vertikal. Dann können wir annehmen, daß X = A^{∗}, Y = B^{∗} in u, wobei a^{∗}, B^{∗} fundamentale Vektorfelder sind.

2dω(A^{∗}, B^{∗}) = A^{∗}(ω(B^{∗})) − B^{∗}(ω(A^{∗})) − ω([A^{∗}, B^{∗}])
= −ω([A, B]^{∗}) = −[A, B] = −[ω(X), ω(Y)]

Da gilt ω(A^{∗}) = A, [A^{∗}, B^{∗}] = [A, B]^{∗}. Weiter ist

Ω(X, Y) = dω(hX, hY) = 0

3. Sei X horizontal, Y vertikal. Wir setzen X horizontal zu einem Vektorfeld X fort, sei Y = A^{∗} in u. Da die rechte Seite der Gleichung verschwindet bleibt zu zeigen dω(X, A^{∗}) = 0. Es gilt:

2dω(X, A^{∗}) = X(ω(A^{∗})) − A^{∗}(ω(X)) − ω([X, A^{∗}]) = −ω([X, A^{∗}])

Es bleibt zu zeigen: Ist X horizontal, so auch [X, A^{∗}]. ⌜ Sei A^{∗} induziert durch R_{a_{t}} wobei a_{t} 1-Parametergruppe zu A ∈ G. Dann gilt:

[X, A^{∗}] = lim_{t→0} \frac{1}{t}[R_{a_{t}∗}(X) − X]

Nun sind X und R_{a_{t}}X horizontal, damit auch [X, A^{∗}]. ⌞

□

Theorem 3.9 (Bianchi Identität)

DΩ = 0

3.2 Parallelverschiebung und horizontaler Lift

Definition 3.10 Ein horizontaler Lift einer Kurve τ = x_{t}, a ≤ t ≤ b in M ist eine horizontale Kurve τ^{∗} = u_{t}, sodaß gilt:

π(u_{t}) = x_{t} a ≤ t ≤ b

Bemerkung 3.11 Dieser Lift hängt wie folgt mit dem Lift von Vektorfeldern zusammen. Sei X^{∗} Lift von X, dann ist die Intergralkurve von X^{∗} durch u_{0} der Lift der Intergralkurve von X durch π(u_{0}) = x_{0}.

Lemma 3.12 Sei τ = x_{t}, 0 ≤ t ≤ 1 C^{1}-Kurve in M, dann gilt: Für alle u ∈ P mit π(u) = x_{0} existiert ein eindeutiger Lift τ^{∗} = u_{t} von τ, sodaß u = u_{0}.

Beweis: lang!

Wir haben nun durch die Hochhebung von τ zu τ^{∗} eine Abbildung τ : π^{−1}(x_{0}) → π^{−1}(x_{1}).

Definition 3.13 Die Abbildung τ : π(x_{0}) → π(x_{1}) heißt parallele Verschiebung entlang τ. Aufgrund des folgenden Lemmas ist τ ein Isomorphismus.

Lemma 3.14 Die Parallelverschiebung vertauscht mit den Operationen von G auf P,d.h.:

τ ∘ R_{a} = R_{a} ∘ τ ∀a ∈ G

Definition 3.15 Auf E wird der Zusammenhang, d.h. der horizontale Unterraum Q_{ω} und der vertikale Unterraum F_{ω} von T_{ω}E wie folgt definiert:

1. Sei F_{ω} der Tangentialraum an die Faser in ω.

2. Betrachte die Abbildung:

P × F → E
u × ξ ↦ uξ

Sei nun (u, ξ) so, daß uξ = ω. Dann halte ξ fest und sei f definiert als:

f : P → E
f(v) = vξ

Dann sei:

Q_{ω} := f_{∗}(Q_{u})

Der Raum Q_{ω} ist unabhangig von der Wahl von (u, ξ) und es gilt:

T_{ω}E = Q_{ω} + F_{ω} direkte Summe

⌜ habe ich keine Lust zu ⌞

Definition 3.16 Analog zum horizontalen Lift und der Parallelverschiebung auf P werden Lift und Parallelverschiebung auf E definiert.

3.3 Kovariante Ableitung in Vektorbündeln

Sei F = ℝ, ℂ. GL(M, F) operiere auf F^{m} durch Multilikation von von links. Sei P (M, G) HFB und ρ eine Darstellung von G nach GL(M, F^{m}). Dann sei E(M, F^{m}, G, P) das assoziierte Bündel mit Standartfaser F^{m}, wobei G durch ρ auf F^{m} operiert. Sei S die Menge der Schnitte

s : E → M

Wie bereits bekannt ist S ein F -Vektorraum und ein Modul über den F - wertigen Funktionen.

Definition 3.17 Sei φ Schnitt in E, definiert auf τ = x_{t} ,sodaß

π_{E} ∘ φ(x_{t}) = x_{t} ∀t

Sei ẋ_{t} Tangentialvektor an τ in X_{t}.Dann sei für jedes t die kovariante Ableitung ∇ẋ_{t}φ von φ in Richtung ẋ_{t} definiert durch:

∇ẋ_{t}φ := lim_{t→0} \frac{1}{h}[τ_{t}^{t+h}(φ(x_{t+h})) − φ(x_{t})]