SEMINAR ÜBER DIRAC–OPERATOREN IN DER RIEMANNSCHEN GEOMETRIE

Spin–DARSTELLUNG

ARTUR WOTZKE

1. Einführung

1.1. Clifford Algebra. Sei V ein 𝕜–Vektorraum mit char(𝕜) ≠ 2, b bilineare Form auf V und q die dazu assoziierte, quadratische Form auf V. Sei ferner

T (V) = ⨁_{k≥0} ⊗^{k}V = 𝕜 ⊕ V ⊕ (V ⊗ V) ⊕ (⊗^{3}V) ⊕ …

Tensoralgebra auf V und I_{q}(V) ein Ideal in T (V), der durch Elemente der Form

v ⊗ w + w ⊗ v + 2b(v, w)1

mit v, w ∈ V erzeugt wird, d.h.,

I_{q} = { ∑_{endlich} V_{i}⊗(v_{i}⊗w_{i}+w_{i}⊗v_{i}+2b(v_{i}, w_{i})1)⊗W_{i}| v_{i}, w_{i} ∈ V, V_{i}, W_{i} ∈ T (V)}.

Definition 1.1. Ein Paar (Cl(V, q), i_{q}) = Cl(V, q) heißt Cliffordalgebra von (V, q) falls

(1) Cl(V, q) ist eine assoziative 𝕜–Algebra mit Eins.

(2) i_{q}: V → Cl(V, q) ist eine lineare Abbildung und

i_{q}(v)^{2} = −q(v) · 1

gilt für alle v ∈ V.

(3) (Universelle Eigenschaft) Ist A eine weitere assoziative 𝕜–Algebra mit 𝟙_{A} sowie u: V → A eine 𝕜–lineare Abbildung mit u(v)^{2} = −q(v) · 𝟙_{A}, so existiert genau ein Algebrahomomorphismus ũ: Cl(V, q) → A mit u = ũ∘i_{q}.

\xymatrix{V \ar[dr]_{u} \ar[r]^{i_{q}} & Cl(V, q) \ar[d]^{∃! ũ} \\  & A}

Satz 1.2. Sei V ein 𝕜–Vektorraum.

i) Jede quadratische Form q auf V induziert eine Cliffordalgebra Cl(V, q). ii) Seien Cl(V, q) und Ĉl(V, q) zwei Cliffordalgebren der gleiche quadratischen

Datum: Mai 2001.

Form q, dann existiert ein Isomorphismus Ψ: Cl(V, q) → Ĉl(V, q) der Algebren mit Ψ ∘ i_{q} = î_{q}, d.h.,

\xymatrix{V \ar[r]_{⟳}^{i_{q}} \ar[dr]_{î_{q}} & Cl(V, q) \ar[d]^{Ψ} \\  & Ĉl(V, q).}

Beweis. (Existenz) Sei Cl(V, q) = T (v)/I_{q}(V) und π: T (V) → Cl(V, q) die Projektion sowie i: ↪ T (V) natürliche Inklusion, so wird durch

i_{q} = π ∘ i

eine lineare Abbildung i_{q}: V → Cl(V, q) definiert, für die i_{q}(v)^{2} = −q(v) · 1 nach Konstruktion gilt. Weiterhin, jede lineare Abbildung u: V → A in eine Algebra setzt sich mittels

U(v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{k}) = u(v_{1}) ⋯ u(v_{k})

zu einem Algebrahomomorphismus U: T (V) → A fort. Gilt u(v)^{2} = −q(v)𝟙_{A}, so erhalten wir

I_{q}(V) ⊂ ker(U)

und daher induziert U einen Homomorphismus

ũ: Cl(V, q) → A

mit der gewünschten Eigenschaft. Ist ũ′: Cl(V, q) → A ein weiterer Homomorphismus mit

u = ũ ∘ i_{q} = ũ′ ∘ i_{q}.

Dann stimmen ũ und ũ′ auf i_{q}(V) ⊂ Cl(V, q) überein. Nun erzeugen aber die Elemente aus dem Vektorraum V die Tensoralgebra T (V) und damit auch die Cliffordalgebra Cl(V, q) multiplikativ. Demnach ist ũ ≡ ũ′. Eindeutigkeit ist eine direkte Konsequenz der dritten Bedingung für Cl(V, q).

□

Folgerung. Die lineare Abbildung i_{q}: V → Cl(V, q) ist injektiv. Die Menge i_{q}(V) ⊂ Cl(V, q) erzeugt die Algebra Cl(V, q) multiplikativ, d.h., für eine Basis {v_{1}, …, v_{n}} von V kann φ ∈ Cl(V, q) in der Form

(S)  φ = ∑_{i_{ν}∈{0,1}} f_{i_{1}...i_{n}}v_{1}^{i_{1}} ⋯ v_{n}^{i_{n}}, mit f_{i_{1}...i_{n}} ∈ ℝ

geschrieben werden (Diese Darstellung ist eindeutig).

Wir wollen mit Cl^{[k]}(V, q) die Menge der Elemente der Cliffordalgebra Cl(v, q) beschreiben, die von der Form (S) sind mit j_{1}+⋯+j_{n} = k. Also ist Cl^{[0]}(V, q) = 𝕜 und Cl^{[1]}(V, q) = V. Ferner lassen sich sofort Cliffordmultiplikationsregeln ableiten

(R)  v_{i} · v_{j} + v_{j} · v_{i} = −2b(v_{i}, v_{j}).
△

Auf der Cliffordalgebra Cl(V, q) definieren wir eine Involution

(1.1)  α: Cl(V, q) → Cl(V, q) mit α(v) = −v auf V,

genauer α(i_{q}(v)) = −i_{q}(v).

Weil α^{2} = id_{V} ist, existiert eine Zerlegung

Cl(V, q) = Cl^{(0)}(V, q) ⊕ Cl^{(1)}(V, q),

wobei Cl^{(k)} := {φ ∈ Cl(V, q)| α(φ) = (−1)^{k}φ für k = 0, 1} Eigenräume von α sind. Es gilt

Cl^{(j)}(V, q) · Cl^{(k)}(V, q) ⊂ Cl^{(j+k)}(V, q).

Es ist einfach einzusehen, dass

Cl^{(0)}(V, q) = ⨁_{k=2(m+1)} Cl^{[k]}(V, q) und Cl^{(1)}(V, q) = ⨁_{k=2m+1} Cl^{[k]}(V, q)

ist, wobei m = 1, …, [\frac{n−1}{2}] und n = dim_{𝕜} V.

Sei v_{1}, …, v_{n} ON_{q}–Basis von V, dann ist

(1.2)  ^{⊤}: Cl(V, q) → Cl(V, q) mit a ↦ a^{⊤}

definiert durch

(1.3)  (v_{i_{1}} ⋯ v_{i_{k}})^{⊤} = v_{i_{k}} ⋯ v_{i_{1}} = (−1)^{\binom{k}{2}}v_{i_{1}} ⋯ v_{i_{k}}, weil b(v_{i}, v_{j}) = δ_{ij},

wobei v_{i_{1}} ⋯ v_{i_{k}} mit 1 ≤ i_{1} < … < i_{k} ≤ n Basisvektoren der Clifforgalgebra Cl(V, q) sind, mit deg(v_{i_{1}} ⋯ v_{i_{k}}) = k. Für alle a, b ∈ Cl(V, q) gilt

(a · b)^{⊤} = b^{⊤} · a^{⊤},

also ist insbesondere für a ∈ Pin(V, q)

a · a^{⊤} = a^{⊤} · a = \begin{cases}+1, & falls deg(a) = 0(2) \\ −1, & falls deg(a) = 1(2). \end{cases}

Damit können wir im Fall deg(a) = 0(2) auch vom Inversen von a sprechen, mit a^{⊤} = a^{−1} und im Fall deg a = 1(2) setzen wir a^{−1} = α(a)a^{⊤}. Satz 1.3. a) Das Zentrum der Cliffordalgebra Cl(V, q) ist gegeben durch

(Z)  Zent(Cl(V, q)) = \begin{cases}𝕜, & falls dim_{𝕜} V = 0(2), \\ 𝕜 ⊕ 𝕜[v_{1} ⋯ v_{n}], & falls dim_{𝕜} V = 1(2). \end{cases}

b) Das Zentrum der Algebra Cl^{(0)}(V, q) ist gegeben durch

(Z^{(0)})  Zent(Cl^{(0)}(V, q)) = \begin{cases}𝕜 ⊕ 𝕜[v_{1} ⋯ v_{n}], & falls dim_{𝕜} V = 0(2), \\ 𝕜, & falls dim_{𝕜} V = 1(2). \end{cases}

Bemerkung. Wir werden in Theorem 1.4 den tieferen Grund für dieses Verhalten kennen lernen.

Beweis. Sei i_{k} := {i_{1}, …, i_{k}} mit 1 ≤ i_{1} < … < i_{k} ≤ n und v_{i_{k}} := v_{i_{1}} ⋯ v_{i_{k}} mit v_{i_{j}} ∈ V. Dann muss für ein a aus dem Zentrum

(∗)  v_{i_{k}} · a = a · v_{i_{k}} für alle i_{k} ∈ P^{+}({1, …, n}) = P_{n}^{+}

gelten, also insbesondere für alle i_{2} ∈ P_{n}^{+}, wobei P_{n}^{+} Menge mit monoton geordenten Teilmengen ist. Sei also a = ∑_{j_{ℓ}} a^{j_{ℓ}}v_{j_{ℓ}}, dann ist (∗) equivalent zu

∑_{j_{ℓ}∈P_{n}^{+}} a^{j_{ℓ}}v_{i_{2}} · v_{j_{ℓ}} · v_{i_{2}}^{−1} = ∑_{j_{ℓ}∈P_{n}^{+}} a^{j_{ℓ}}v_{j_{ℓ}}.

Es gilt

(V)  v_{i_{k}} · v_{j_{ℓ}} · v_{i_{k}}^{⊤} = (−1)^{k·ℓ−♯(i_{k}∩j_{ℓ})}v_{j_{ℓ}}.

Da nun v_{i_{2}} · v_{j_{ℓ}} · v_{i_{2}}^{−1} = (−1)^{♯(j_{ℓ})♯(i_{2})−♯(j_{ℓ}∩i_{2})}v_{i_{2}} · v_{i_{2}}^{−1} · v_{j_{ℓ}} = (−1)^{♯(j_{ℓ}∩i_{2})}v_{j_{ℓ}}, so ist

a^{j_{ℓ}} = (−1)^{♯(j_{ℓ}∩i_{2})}a^{j_{ℓ}} für alle i_{2} ∈ P_{n}^{+}

eine notwendige Bedingung für zentrale Elemente. Daraus folgt sofort

a^{j_{ℓ}} = 0, falls j_{ℓ} ≠ ∅, {1, …, n},

d.h.,

Zent(Cl(V, q)), Zent(Cl^{(0)}(V, q)) ⊂ 𝕜 ⊕ 𝕜[v_{1} ⋯ v_{n}].

⊣ Ist n = 2m + 1 ungerade, so liegt v_{1} ⋯ v_{n} nicht in Cl^{(0)}(V, q) und damit gilt

Zent(Cl^{(0)}(V, q)) = 𝕜.

Andererseits, gilt für ungerade n und j_{ℓ} = {1, …, n}, also ℓ = n

v_{i_{k}} · v_{j_{n}} · v_{i_{k}}^{⊤} = (−1)^{(2m+1)·k−k}v_{j_{n}} = v_{j_{n}} ⇒ v_{i_{k}} · v_{j_{n}} = v_{j_{n}} · v_{i_{k}}.

Damit kommutiert v_{j_{n}} = v_{1} ⋯ v_{n} mit allen Elementen der Algebra Cl(V, q), und es folgt

Zent(Cl(V, q)) = 𝕜 ⊕ 𝕜[v_{1} ⋯ v_{n}].

⊣ Ist n gerade, so ist ♯(j_{n} ∩ i_{k}) = 0 resp. 1(2), falls k gerade resp. ungerade ist. Damit ist also nach Vertauschungsregel (V) Zent(Cl(V, q)) = ℸ, sowie Zent(Cl^{(0)}(V, q)) = 𝕜 ⊕ 𝕜[v_{1} ⋯ v_{n}]. □

Wir wollen einige zusätzliche Bezeichnungen einführen, wie z.B.

Cl_{r,s} := Cl(ℝ^{r,s}, ⟨. , .⟩_{r}^{s}),

wobei ⟨x, x⟩_{r}^{s} = ∑_{i=1}^{r}(x^{i})^{2} − ∑_{i=r+1}^{s}(x^{i})^{2} und insbesondere

Cl_{n} := Cl_{n,0},

mit euklidischem Skalarprodukt ⟨. , .⟩. Entsprechend erhalten wir

ℂl(V, q) = Cl^{ℂ}(V, q) = Cl(V, q) ⊗_{ℝ} ℂ.

Wir wollen uns jetzt mit der folgenden Zerlegung der Cliffordalgebra Cl(V, q)

Cl(V, q) = Cl^{(0)}(V, q) ⊕ Cl^{(1)}(V, q)

beschäftigen, dabei ist Cl^{(0)}(V, q) = Fix_{α}(Cl(V, q)). Theorem 1.4. Es existiert ein Algebraisomorphismus

Cl_{r,s} ≅ Cl_{r+1,s}^{(0)}

für alle r, s, insbesondere gilt für alle n

(1.4)  Cl_{n,0} = Cl_{n} ≅ Cl_{n+1}^{(0)}.

Beweis. Wir werden nur die zweite Aussage beweisen, weil diese für spätere Überlegungen wichtig wird. Die allegemeine Aussage wird jedoch analog bewiesen.

Wähle eine ON–Basis {e_{1}, …, e_{n+1}} des ℝ^{n+1}. Sei dann ℝ^{n} = span_{ℝ}{e_{i}| i = 1, …, n} und eine Abbildung

Φ: ℝ^{n} → Cl_{n+1}^{(0)}, mit Φ(e_{i}) = e_{n+1} · e_{i},

die wir durch lineare Fortsetzung erhalten. Beachte, dass der Bildraum richtig ist, denn

α(Φ(e_{i})) = α(e_{n+1} · e_{i}) = α(e_{n+1}) · α(e_{i}) = (−1)^{2}e_{n+1} · e_{i}.

Für ℝ^{n} ∋ x = ∑_{i=1}^{n} x^{i}e_{i} erhalten wir

Φ(x)^{2} = ∑_{i,j=1}^{n} x^{i}x^{j} · e_{n+1} · e_{i} · e_{n+1} · e_{j}

=^{(R)} ∑_{i,j=1}^{n} x^{i} · x^{j} · e_{i} · e_{j}

= −⟨x, x⟩_{n} · 1,

denn e_{i} · e_{j} + e_{j} · e_{i} = −2δ_{ij} und damit

∑_{1≤i<j≤n} x^{i} · x^{j} · e_{i} · e_{j} + ∑_{1≤j<i≤n} x^{i} · x^{j} · e_{i} · e_{j} = 0.

Aus der universellen Eigenschaft der Cliffordalgebra wissen wir, dass Φ ein eindeutiges Algebrahomomorphismus

Φ̃: Cl_{n} → Cl_{n+1}^{(0)}

induziert, d.h.,

\xymatrix{ℝ^{n} \ar[r]^{i_{⟨.,.⟩n}} \ar[dr]_{Φ} & Cl_{n} \ar[d]^{∃! Φ̃} \\  & Cl_{n+1}^{(0)}.}

Sei e = e_{i_{1}} ⋯ e_{i_{k}} ∈ Cl_{n}, mit 1 ≤ i_{1} < … < i_{k} ≤ n, dann ist

Φ̃(e) = Φ(e_{i_{1}}) ⋯ Φ(e_{i_{k}}) = e_{n+1} · e_{i_{1}} ⋯ e_{n+1} · e_{i_{k}}
=^{(R)} \begin{cases}(−1)e_{i_{1}} · e_{n+1} · e_{n+1} · e_{i_{2}} ⋯ (−1)e_{i_{k−1}} · e_{n+1} · e_{n+1} · e_{i_{k}} \\ (−1)e_{i_{1}} · e_{n+1} · e_{n+1} · e_{i_{2}} ⋯ e_{n+1} · e_{i_{k−1}} · e_{n+1} · e_{i_{k}} \end{cases}

= \begin{cases}e_{i_{1}} ⋯ e_{i_{k}}, & falls k = 0(2) \\ −e_{i_{1}} ⋯ e_{i_{k−1}} · e_{i_{k}} · e_{n+1}, & falls k = 1(2) \end{cases}

und das sind genau die Basisvektoren von Cl_{n+1}^{(0)}. □

1.2. Darstellung. Definition 1.5. Sei 𝕂 ⊇ 𝕜 Oberkörper von 𝕜. Dann heißt 𝕜–Algebra Homomorphismus

ρ: Cl(V, q) → End_{𝕂}(W)

eine 𝕂–Darstellung der Cliffordalgebra Cl(V, q), wobei W ein endlich diminsionaler Vektorraum über 𝕂 ist. Der Vektorraum W heißt Cl(V, q)–Modul über 𝕂. Wir wollen ferner eine vereinfachte Darstellung

ρ(φ)(w) =^{def} φ.w

benutzen. Bemerkung. In der Definition benutzter Ausdruck 𝕜–Algebra Homomorphismus bedeutet, daß ρ 𝕜–lineare Abbildung ist, die zusätzlich folgende Bedingung erfüllt

ρ(φ · ψ) = ρ(φ) ∘ ρ(ψ)

für alle φ, ψ ∈ Cl(V, q). Beachte ferner, dass wir aus ϕ · ψ + ψ · ϕ = −2b(ϕ, ψ)

ρ(ϕ) ∘ ρ(ψ) + ρ(ψ) ∘ ρ(ϕ) = −2b(ϕ, ψ)𝟙

erhalten.

Wir sind an der 𝕂–Darstellung der Clifford Algebra Cl_{r,s} für 𝕂 ∈ {ℝ, ℂ, ℍ} interessiert. Es ist zu beachten, daß ein komplexer Vektorraum ein reeller Vektorraum W ist, mit einer ℝ–linearen Abbildung J: W → W, mit J^{2} = −𝟙. Damit ist eine ℂ–Darstellung der Clifford Algebra Cl_{r,s} eine reelle Darstellung

ρ: Cl_{r,s} → End_{ℝ}(W),

so daß

ρ(φ) ∘ J = J ∘ ρ(φ)

für alle φ ∈ Cl_{r,s} gilt. Denn das Bild von ρ kommutiert mit der Teilalgebra span_{ℝ}{𝟙, J} ≅ ℂ.

Analog verhält sich das mit der Quaterninonen Darstellung von Cl_{r,s}. Hier müssen wir drei ℝ–lineare Transformationen I, J, K auf W betrachten, mit

I^{2} = J^{2} = K^{2} = −𝟙
IJ = −JI = K, JK = −KJ = I, KI = −IK = J.

Damit ist W ein ℍ-Modul. Eine ℝ–Darstellung ρ: Cl_{r,s} → End_{ℝ}(W) ist quantornionische, wenn

[ρ(φ), I] = 0, [ρ(φ), J] = 0, [ρ(φ), K] = 0

für alle φ ∈ Cl_{r,s} ist. Bemerkung 1.6. Jede komplexe Darstellung von Cl_{r,s} läßt sich zu Darstellung der komplexen Cliffordalgebra Cl_{r,s}^{ℂ} = ℂl_{r,s} erweitern. Definition 1.7. Sei 𝕂 ⊃ 𝕜, V 𝕜–Vektorraum und q quadratische Form auf V. Dann heißt eine 𝕂–Darstellung ρ: Cl(V, q) → End_{𝕂}(W) reduzibel, wenn der Vektorraum W in direkte nicht triviale Unterräume W_{1} und W_{2} zerfällt, d.h.,

W = W_{1} ⊕ W_{2},

so dass ρ(φ)W_{j} = φ.W_{j} ⊆ W_{j} für j = 1, 2 und für alle φ ∈ Cl(V, q). Beachte, dass in diesem Fall wir ρ wie folgt aufschreiben können

ρ = ρ_{1} ⊕ ρ_{2},

mit ρ_{j}(φ) = ρ(ϕ)|_{W_{j}} für j = 1, 2. Eine Darstellung heißt irreduzibel, wenn sie nicht reduzibel ist. Satz 1.8. Jede 𝕂–Darstellung ρ einer Cliffordalgebra Cl(V, q) kann in direkte Summe

ρ = ρ_{1} ⊕ … ⊕ ρ_{m}

irreduziblen Darstellungen ρ_{j} für j = 1, …, m zerlegt werden.

Beweis. Wenn ρ reduzibel ist, dann können wir diese Darstellung in ρ = ρ_{1} ⊕ρ_{2} zerlegen. Wenn nun entweder ρ_{1} oder ρ_{2} reduzibel ist, können wir ρ weiter zerlegen. Diese Zerlegung ist endlich, da dim_{𝕂} W < ∞ ist. □

Weil wir nicht an einzelnen Darstellungen der Cliffordalgebra interessiert sind, sondern nur an den Äquivalenz Klassen, führen wir deshalb folgende Definition ein: Definition 1.9. Zwei Darstellungen ρ_{j}: Cl(V, q) → End_{𝕂}(W_{j}), mit j = 1, 2 heißen äquivalent, wenn ein F ∈ Iso_{𝕂}(W_{1}, W_{2}) existiert, so dass

F ∘ ρ_{1}(φ) = ρ_{2}(φ) ∘ F_{2}

für alle φ ∈ Cl(V, q) gilt. Theorem 1.10. Sei 𝕂 ∈ {ℝ, ℂ, ℍ} und betrachte den Ring 𝕂(n) = Mat(n × n, 𝕂) als eine Algebra über ℝ. Dann ist die natürliche Darstellung ρ von 𝕂(n) auf den Vektorraum 𝕂^{n}, bis auf die Äquivalenz, die einziege irreduzible reelle Darstellung von 𝕂(n).

Die Algebra 𝕂(n) ⊕ 𝕂(n) hat genau zwei Äquivalenzklassen der irreduziblen reellen Darstellungen. Diese sind durch

ρ_{1}(ϕ_{1}, ϕ_{2}) = ρ(ϕ_{1}) und ρ_{2}(ϕ_{1}, ϕ_{2}) = ρ(ϕ_{2})

gegeben.

2. Darstellung der Cliffordalgebra

Tabelle

\begin{matrix}n & Cl_{n} = Cl_{n+1}^{(0)} & ℂl_{n} = ℂl_{n+1}^{(0)} \\ 1 & ℂ & ℂ ⊕ ℂ \\ 2 & ℍ & ℂ^{2×2} \\ 3 & ℍ ⊕ ℍ & ℂ^{2×2} ⊕ ℂ^{2×2} \\ 4 & ℍ^{2×2} & ℂ^{2^{2}×2^{2}} \\ 5 & ℂ^{2^{2}×2^{2}} & ℂ^{2^{2}×2^{2}} ⊕ ℂ^{2^{2}×2^{2}} \\ 6 & ℝ^{2^{3}×2^{3}} & ℂ^{2^{3}×2^{3}} \\ 7 & ℝ^{2^{3}×2^{3}} ⊕ ℝ^{2^{3}×2^{3}} & ℂ^{2^{3}×2^{3}} ⊕ ℂ^{2^{3}×2^{3}} \\ 8 & ℝ^{2^{4}×2^{4}} & ℂ^{2^{4}×2^{4}} \end{matrix}

Wir haben bereits bewiesen ,dass i) wenn dim_{ℝ} V = 2k, dann ist ℂl(V, q) ≅ End(ℂ^{2^{k}}) und ii) wenn dim_{ℝ} V = 2k + 1, dann ist ℂl(V, q) ≅ End(ℂ^{2^{k}}) ⊕ End(ℂ^{2^{k}}). Jetzt wollen wir eine zusätzliche Struktur in der Darstellugn bestimmen. Definition 2.1. Sei (e_{1}, …, e_{n}) ON^{+}–Basis des ℝ^{n}. Dann ist

ω = e_{1} ⋯ e_{n} ∈ ℝ[e_{1} ⋯ e_{n}] ⊂ Cl_{n}

der assoziierte Volumenelement. Wir definieren das entsprechende komplexe Volumenelement ω_{ℂ} ∈ ℂl_{n} durch

ω_{ℂ} = \begin{cases}𝕚^{m}e_{1} ⋯ e_{n}, & falls n = 0(2), n = 2m \\ 𝕚 ^{\frac{n+1}{2}} e_{1} ⋯ e_{n}, & falls n = 1(2). \end{cases}

Man nennt ω_{ℂ} auch Chiralitäts–Operator. Lemma. Der Volumenelement ω und damit auch ω_{ℂ} sind unabhängig von der gewählten Basis, d.h., die Definition ist korrekt. Beweis. Sei dazu (ê_{1}, …, ê_{n}) eine weitere ON^{+}–Basis des ℝ^{n}, dann ist

ê_{j} = A_{j}^{i}e_{i},

wobei A := (A_{j}^{i}) ∈ SO(n) und nach der Multiplikationsregel,

(R)  e_{i}e_{j} + e_{i}e_{j} = −2δ_{ij},
ê_{1} ⋯ ê_{n} = A_{1}^{i_{1}}e_{i_{1}} ⋯ A_{n}^{i_{n}}e_{i_{n}}
= det(A)e_{1} ⋯ e_{n} = e_{1} ⋯ e_{n}.

Zu besserem Verständnis betrachten wir den Fall n = 2, dann ist

ê_{1} = cos θe_{1} + sin θe_{2}
ê_{2} = − sin θe_{1} + cos θe_{2},

wobei

A = (\begin{matrix}cos θ & sin θ \\ − sin θ & cos θ \end{matrix})

ist. Dann ist

ê_{1}ê_{2} = − sin θ cos θe_{1}e_{1} + sin θ cos θe_{2}e_{2} + cos^{2} θe_{1}e_{2} − sin^{2} θe_{2}e_{1}

=^{(R)}e_{1}e_{2},

□

Satz 2.2. Für das Volumenelement ω gilt 1)

(2.1)  ω^{2} = (−1)^{\binom{n+1}{2}},

2)

(2.2)  v · ω = (−1)^{n−1}ω · v für alle v ∈ V,

d.h.,

n = 1(2) ⇒ ω ∈ Zent(Cl_{n})
n = 0(2) ⇒ φω = ωα(φ) für alle φ ∈ i_{⟨.,.⟩}(ℝ^{n}) ⊂ Cl_{n}.

Für das komplexe Volumenelement ω_{ℂ} gilt 1)_{ℂ} Für alle n gilt

(2.3)  (ω_{ℂ})^{2} = 1.

2)_{ℂ} Für n = 1(2) ist ω_{ℂ} ∈ Zent(ℂl_{n}) = ℂ ⊕ ℂ[e_{1} ⋯ e_{n}]. Bemerkung. Wir können die Beziehung (2.1) auch wie folgt aufschreiben

ω^{2} = \begin{cases}+1 & , falls n = 3 oder 4(4) \\ −1 & , falls n = 1 oder 2(4). \end{cases}

Beweis. Sei (e_{1}, …, e_{n}) ON^{+}–Basis des ℝ^{n}.

1) Dann ist ω = e_{1} ⋯ e_{n} und

ω^{2} = (e_{1} ⋯ e_{n}) · (e_{1} ⋯ e_{n}) = e_{1} ⋯ e_{n} · (e_{n} ⋯ e_{1})^{⊤}

=^{(1.3)}(−1)^{\binom{n}{2}}e_{1} ⋯ e_{n} · e_{n} ⋯ e_{1}

=^{(R)}(−1)^{\frac{(n−1)n}{2}} (−1)^{n} = (−1)^{\frac{(n+1)n}{2}} .

2) Weil (e_{1}, …, e_{n}) Basis des ℝ^{n} ist, ist v = v^{j}e_{j}. Damit reicht es die Beziehung für Basisvektoren zu beweisen, sei dazu e_{j} ∈ (e_{1}, …, e_{n}), dann ist nach (R)

e_{j} · e_{1} ⋯ e_{n} = (−1)e_{1} · e_{j} · e_{2} ⋯ e_{n} = (−1)^{j}e_{1} ⋯ e_{j} · e_{j} ⋯ e_{n}
= (−1)^{j+(n−j)−1}e_{1} ⋯ e_{n} · e_{j}.

1)_{ℂ} Wir wissen, dass

ω^{2} = \begin{cases}+1, & n = 3 oder 4(4) \\ −1, & n = 1 oder 2(4). \end{cases}

Sei n = 1(2), dann ist (ω_{ℂ})^{2} = 𝕚^{n+1}ω^{2} und damit

(ω_{ℂ})^{2} = 1 = \begin{cases}𝕚^{4k+2}(−1), & n = 1(4) \\ 𝕚^{4k+4}(+1), & n = 3(4). \end{cases}

Für n = 2m = 0(2) ist (ω_{ℂ})^{2} = 𝕚^{2m}ω^{2} und damit

(ω_{ℂ})^{2} = 1 = \begin{cases}𝕚^{4k+2}(−1), & n = 2(4) \\ 𝕚^{4k}(+1), & n = 0(4). \end{cases}

2)_{ℂ} Folgt unmittelbar aus 2); oder allgemeiner aus Satz 1.3 für ungerade n. □ Lemma 2.3. Sei ω das Volumennelement auf Cl_{n}, mit ω^{2} = 1 und seien ferner

π^{+} := \frac{1}{2}(1 + ω) und π^{−} := \frac{1}{2}(1 − ω).

Dann gilt für π^{±}:

(2.4)  π^{+} + π^{−} = 1,
(2.5)  (π^{+})^{2} = π^{+} und (π^{−})^{2} = π^{−},
(2.6)  π^{+} · π^{−} = π^{−} · π^{+} = 0.

Sei ω_{ℂ} komplexes Volumenelement auf ℂl_{n}, dann gelten für

π_{ℂ}^{+} := \frac{1}{2}(1 + ω_{ℂ}) und π_{ℂ}^{−} := \frac{1}{2}(1 − ω_{ℂ})

entsprechende Aussagen:

(2.5_{ℂ})  π_{ℂ}^{+} + π_{ℂ}^{−} = 1,
(2.6_{ℂ})  (π_{ℂ}^{+})^{2} = π_{ℂ}^{+} und (π_{ℂ}^{−})^{2} = π_{ℂ}^{−},
(2.7_{ℂ})  π_{ℂ}^{+} · π_{ℂ}^{−} = π_{ℂ}^{−} · π_{ℂ}^{+} = 0.

Beweis. Die erste Aussage ist trivial; die restlichen folgen unmittelbar aus der Voraussetzung ω^{2} = 1. So ist z.B.

(π^{+})^{2} = \frac{1}{4}(1 + 2ω + ω^{2}) = π^{+}.
□

Daraus folgen triviale jedoch wichtige Aussagen: Satz 2.4. Sei ω das Volumenelement auf Cl_{n}, mit ω^{2} = 1 und dim_{ℝ} ℝ^{n} = n ungerade, d.h., nach der obigen Bemerkung n = 3(4). Dann kann man Cl_{n} in direkte Summe zwei isomorpher Unteralgebren Cl_{n}^{+}, Cl_{n}^{−} zerlegen, d.h.,

(2.7)  Cl_{n} = Cl_{n}^{+} ⊕ Cl_{n}^{−},

wobei Cl_{n}^{±} = π^{±} · Cl_{n} = Cl_{n} · π^{±} und α(Cl_{n}^{±}) = Cl_{n}^{∓} ist.

Für ungerade n gilt die entsprechende Aussage für die ℂl_{n}:

(2.8)  ℂl_{n} = ℂl_{n}^{+} ⊕ ℂl_{n}^{−},

wobei

(2.9)  ℂl_{n}^{±} = π_{ℂ}^{±} · ℂl_{n}.

Beweis. Weil n ungerade ist, wissen wir nach Satz 2.2, dass ω ∈ ℝ[e_{1} ⋯ e_{n}] ⊂ Zent(Cl_{n}) = ℝ ⊕ ℝ[e_{1} ⋯ e_{n}]. Damit sind auch π^{+} und π^{−} Elemente des Zentrums von Cl_{n} und die Zerlegung (2.7) in Ideale folgt unmittelbar aus (2.4),(2.5) und (2.6). Weil ω ein ungerades Element ist, d.h., deg ω = n, ist

α(π^{±}) = π^{∓}

und damit α(Cl_{n}^{±}) = Cl_{n}^{∓}. Weil ferner α ein Automorphismus ist, sind die Ideale Cl_{n}^{±} isomorph zueinander. Der komplexe Fall wird analog bewiesen □

Bemerkung. 1) Es wird auch sofort klar warum diese Zerlegung für gerade n nicht finktioniert: Für gerade n liegt ω, bzw. ω_{ℂ} nicht im Zentrum von Cl_{n}, bzw. ℂl_{n}, d.h., die oben angegebene Cl_{n}^{±}, bzw. ℂl_{n}^{±} sind nicht definiert.

2) Die Teilalgebra Cl_{n}^{(0)}, bzw ℂl_{n}^{(0)} liegt diagonal in der Zerlegung (2.8), bzw. (2.9), d.h.,

Cl_{n}^{(0)} =^{def} {ϕ ∈ Cl_{n}| α(ϕ) = ϕ} = X = {(φ, α(φ)) ∈ Cl_{n}^{+} ⊕ Cl_{n}^{−}| φ ∈ Cl_{n}^{+}}.

In der Tat sei (φ, αφ) ∈ X mit deg φ = k, also φ ∈ Cl_{n}^{[k]}, dann ist α(φ · α(φ)) = α(φ) · φ = (−1)^{k}φ · φ = φ · (−1)^{k}φ = φ · α(φ).

Satz 2.5. Sei ρ: Cl_{n} → End_{ℝ}(W) eine irreduzible ℝ–Darstellung, mit n = 3 + 4m. Dann ist entweder

ρ(ω) = 𝟙 oder ρ(ω) = −𝟙.

Beide Möglichkeiten können auftreten, und die entsprechenden Darstellungen sind nicht äquivalent.

Analoge Aussage gilt auch für ℂl_{n}, wenn n ungerade ist.

Beweis. Weil ω^{2} = 1 und ρ(1) = 𝟙 ist ρ(ω^{2}) = ρ(ω)^{2} = 𝟙 und deshalb können wir W in W^{+} und W^{−} direkt zerlegen, also W = W^{+} ⊕ W^{−}, wobei W^{±} Eigenräume von ρ(ω) zu Eigenwerten ±1 sind. Weil ω ∈ Zent(Cl_{n}) ist, gilt φ · ω = ω · φ für alle φ ∈ Cl_{n}, und damit sind W^{±} Cl_{n}–invariant, denn

ρ(φ) ∘ ρ(ω) = ρ(ω) ∘ ρ(φ).

Weil die Darstellung ρ irreduzibel nach Voraussetzung ist, ist entweder W = W^{+} oder W = W^{−}.

Um die nicht Äquivalenz der beiden Darstellungen ρ_{+} und ρ_{−}, mit ρ_{±}(ω) = ±𝟙 zu beweisen, sei F ∈ Aut(W) und ρ(ω) = λ𝟙, mit λ ∈ {−1, +1}, dann ist F ∘ ρ(ω) ∘ F^{−1} = λ𝟙 und nicht −λ𝟙 wie nach der Definition der Äquivalenz der Darstellungen nötig wäre. □

Satz 2.6. Sei ω das Volumenelement auf Cl_{n}, mit ω^{2} = 1 und dim_{ℝ} ℝ^{n} = n gerade, d.h., nach der obigen Bemerkung n = 0(4). Sei ferner W ein Cl_{n}–Modul, d.h., W ist ein ℝ–Vektorraum mit einem Algebrahomomorphismus

Cl_{n} ⟶^{ρ} End_{ℝ}(W).

Dann existiert eine Zerlegung

(2.10)  W = W^{+} ⊕ W^{−},

wobei W^{±} Eigenräume zu Eigenwerten +1 und −1 bezüglich Multiplikation mit ω sind, d.h., W^{±} = {w ∈ W | ρ(ω)w = ±w}. Es gilt

W^{+} = π^{+}.W und W^{−} = π^{−}.W,

und für alle v ∈ ℝ^{n} mit q(v) ≠ 0 ist ρ(v) ein Automorphsmus von W der Form

(2.11)  ρ(v): W^{+} → W^{−} und ρ(v): W^{−} → W^{+}.

Die linearen Teilräume W^{±} sind invariant unter der Multiplikation mit Cl_{n}^{(0)}, d.h., für φ ∈ Cl_{n}^{(0)} gilt

ρ(φ): W^{±} → W^{±}.

Also ist insbesondere dim_{ℝ} W^{+} = dim_{ℝ} W^{−}. Nach Theorem 1.4 ist Cl_{n}^{(0)} ≅ Cl_{n−1}, und deshalb entsprechen diese Räume W^{±} zwei verschiedenen irreduziblen ℝ–Darstellungen von Cl_{n−1}.

Entsprechende Aussagen gelten für ℂl_{n} für gerade n. Bemerkung. Die Beziehung (2.11) können wir in folgender Form aufschreiben

ρ: ℝ^{n} \ {o} ⊗ W^{±} → W^{∓}.

Beweis. Die Zerlegung ist unmittelbare Folgerung aus (2.4),(2.5) und (2.6) und der Tatsache, dass für ρ: Cl_{n} → End_{ℝ}(W)

ρ(ϕ · ψ) = ρ(ϕ) ∘ ρ(ψ) für alle ϕ, ψ ∈ Cl_{n}

und damit ρ(ω^{2}) = ρ(1) = 𝟙 gilt, d.h. für w ∈ W gilt ρ(ω^{2})w = ρ^{2}(ω)w = ω^{2}.w = w und π^{±}.w =: w^{±} ∈ W^{±}. Die Eigenwerte lassen sich durch

ω · π^{±} = \frac{1}{2}ω · (1 ± ω) = ±\frac{1}{2}(1 ± ω) = ±π^{±}

bestimmen. Die Aussage (2.11) folgt aus

v · π^{+} = \frac{1}{2}v · (1 + ω) =^{(2.2)} \frac{1}{2}(1 − ω) · v = π^{−} · v,
v · π^{−} = \frac{1}{2}v · (1 − ω) =^{(2.2)} \frac{1}{2}(1 + ω) · v = π^{+} · v

und v · v = −q(v) · 1 ⇒ ρ(v) = −q(v)𝟙 ≠ o.

Weil für gerade n ω ∈ Zent(Cl_{n}^{(0)}), d.h., ω · ψ = ψ · ω für alle ψ ∈ Cl_{n}^{(0)}, so gilt auch

ρ(ω) ∘ ρ(ψ) = ρ(ψ) ∘ ρ(ω)

und damit sind W^{±} invariant unter Cl_{n}^{(0)}. Unter Benutzung des Isomorphismus Φ: Cl_{n−1} → Cl_{n}^{(0)} aus dem Theorem 1.4 transformiert sich das Volumenelment ω′ = e_{1} ⋯ e_{n−1} von Cl_{n−1} zum Volumenelement ω ∈ Cl_{n}^{(0)}. Um dies zu sehen betrachten wir

(e_{1} · e_{n}) ⋯ (e_{n−1} · e_{n}) = (−1)^{\binom{n−1}{2}}e_{1} ⋯ e_{n−1} · (e_{n})^{n−1}
= e_{1} ⋯ e_{n},

denn für n = 4m (e_{n})^{4m−1} = (e_{n})^{4(m−1)+3} = (e_{n})^{3} = −e_{n}, weil (e_{n})^{4} = 1 und damit (−1)^{\binom{n−1}{2}} · (−1) = 1, dazu

\frac{(4m−1)(4m−2)}{2} + 1 = (4m − 1)(2m − 1) + 1 = 0(2).

Daraus folgt, dass ρ(ω′) = 𝟙 auf W^{+} und ρ(ω′) = −𝟙 auf W^{−}. Nun ist n − 1 = 4m − 3 und damit sind, nach Satz 2.5, diese Darstellungen von Cl_{n−1} nicht äquivalent.

Der komplexe Fall wird analog bewiesen. □

2.1. Spin–Darstellung. Sei Cl^{×}(V, q) multiplikative Gruppe aller invertierbarer Elemente aus Cl(V, q), d.h.,

Cl^{×}(V, q) = {v ∈ Cl(V, q)| ∃ v^{−1} ∈ Cl(V, q) : v · v^{−1} = 1}.

Beachte, dass Spin–Gruppe

Spin(n) ⊂ Cl_{n}^{(0)} ⊂ Cl_{n},

denn Spin(n) = Pin(n) ∩ Cl_{n}^{(0)} und Pin_{n} ⊂ Cl_{n}^{×}. Definition 2.7. Die reelle Spin–Darstellung von Spin(n) ist der Homomorphismus

Δ_{n}: Spin(n) → Aut(S),

der durch Einschränkung einer irreduziblen reellen Darstellung ρ_{n}: Cl_{n} → End_{ℝ}(S) auf Spin(n) ⊂ Cl_{n}^{(0)} ⊂ Cl_{n} definiert ist. Bemerkung. Es sit klar, dass die Darstellung in die multiplikative Untergruppe Aut(S) der End(S) abbildet, denn für v ∈ Spin(n) existiert ein v^{−1} und damit ist auch das Inverse von Δ_{n}(v), d.h., Δ_{n}(v^{−1}) = Δ_{n}(v)^{−1}. Satz 2.8. Wenn n = 3(4) ist, ist die Definition von Δ_{n} unabhängig von der Wahl der irreduziblen Darstellung von Cl_{n}. Für n ≠ 0(4) ist die Darstellung Δ_{n} entweder irreduzlibel oder ist Summe von zwei äquivalenten irreduziblen Darstellungen. (der zweite Fall tritt genau für n = 1 oder 2(8) auf) Im verbleibenden Fällen existiert eine Zerlegung

Δ_{4m} = Δ_{4m}^{+} ⊕ Δ_{4m}^{−},

wobei Δ_{4m}^{+} und Δ_{4m}^{−} nicht äquivalente irreduzible Darstellungen von Spin(4m) sind.

Beweis. Weil für n = 3(4) die Involution α: Cl_{n} → Cl_{n} die Unteralgebren Cl_{n}^{±} vertauscht und

(2.12)  Cl_{n} = Cl_{n}^{+} ⊕ Cl_{n}^{−}

ist, gilt

Cl_{n}^{(0)} = {(φ, α(φ)) ∈ Cl_{n}^{+} ⊕ Cl_{n}^{−}| φ ∈ Cl_{n}^{+}},

d.h., liegt diagonal in der Zerlegung (2.12). Die beiden irreduziblen Darstellungen von Cl_{n} unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem Automorphismus α, und sind äquivalent wenn man diese auf Cl_{n}^{(0)} ⊃ Spin(n) einschränkt. Aus der Tabelle ist es sofort ersichtlich, dass Einschränkung einer irreduziblen Darstellung von Cl_{n} auf Cl_{n}^{(0)} ≅ Cl_{n−1} eine irreduzible Darstellung für n = 3, 5, 6 oder 7(8) ergibt. Wenn n = 0(8) ist, so wissen wir nach dem Satz 2.6, dass die Einschränkung auf Cl_{n}^{(0)} sich in zwei nicht äquivalente irreduzible Darstellungen aufspaltet. Nun ergibt die Einschränkung eines irreduziblen Cl_{n}^{(0)}–Moduls auf Spin(n) eine irreduzible Darstellung, da Spin(n) ⊂ Cl_{n}^{(0)}. □

Definition 2.9. Die komplexe Spin–Darstellung von Spin(n) ist der Homomorphismus

Δ_{n}^{ℂ}: Spin(n) → Aut_{ℂ}(S),

der durch Einschränkung einer irreduziblen Darstellung ℂl_{n} → End_{ℂ}(S) auf Spin(n) ⊂ ℂl_{n}^{(0)} ⊂ ℂl_{n}.

Wir können nun die komplexe Version des Satzes 2.8 beweisen. Der Beweis des Satzes wird analog geführt. Satz 2.10. Wenn n ungerade ist, ist die Definition von Δ_{n}^{ℂ} unabhängig von der Wahl der irreduziblen Darstellung von ℂl_{n}. Weiterhin, wenn n ungerade ist, ist die Darstellung Δ_{n}^{ℂ} irreduzibel. Wenn n gerade ist, so existiert eine Zerlegung

Δ_{2m}^{ℂ} = Δ_{2m}^{ℂ}^{+} ⊕ Δ_{2m}^{ℂ}^{−}

in eine direkte Summe von zwei nicht äquivalenten irreduziblen komplexen Darstellungen von Spin(n).

Wir wollen uns zuerst die komplexe Version des Satzes 2.6 ansehen. Sei dazu W_{2m} = W_{2m+1} = ℂ^{2^{m}} und damit ist ℂl(V, q) ≅ End(W_{2m}, falls dim V = 2m und ℂl(V, q) = End(W_{2m+1})⊕End(W_{2m+1}), falls dim V = 2m+1. Satz (Satz 2.6_{ℂ}). Sei ω_{ℂ} das Volumenelement auf ℂl_{n}, mit n = 2m und ℂ– Algebrahomomorphismus

ρ_{2m}: ℂl_{2m} ⟶^{≅} End(W_{2m}).

Dann existiert eine Zerlegung

W_{2m} = W_{2m}^{+} ⊕ W_{2m}^{−},

wobei W_{2m}^{±} = {w ∈ W_{2m}| ω.w = ±w}. Ferner sind W_{2m}^{±} = π_{ℂ}.W_{2m} und

ℝ^{2m} \ {o} ⊗_{ℝ} W_{2m}^{±} → W_{2m}^{∓}

sowie für φ ∈ ℂl^{(0)} ρ_{2m}(φ): W_{2m}^{±} → W_{2m}^{±}. Weil ℂl_{2m}^{(0)} ≅ ℂl_{2m−1}, sind W_{2m}^{±} zwei nicht äquivalente ℂl_{2m−1}–Module.

Beweis. Für n ungerade, d.h., n = 2m + 1 für ein m ∈ ℕ_{0}, ist ℂl_{2m+1}^{(0)} ≅ ℂl_{2m} nach Theorem 1.4 und nach Satz 2.4

ℂl_{2m+1} = ℂl_{2m+1}^{+} ⊕ ℂl_{2m+1}^{−}.

Ferner liegt ℂl_{2m+1}^{(0)} diagonal in dieser Zerlegung von ℂl_{2m+1}, d.h.,

ℂl_{2m+1}^{(0)} = {(φ, α(φ)) ∈ ℂl_{2m+1}^{+} ⊕ ℂl_{2m+1}^{−}| φ ∈ ℂl_{2m+1}^{+}}.

Die beiden irreduziblen Darstellungen von ℂl_{2m+1} = End(ℂ^{2^{m}}) ⊕ End(ℂ^{2^{m}}) unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem Automorphismus α und sind äquivalent wenn man sie auf Spin(n) ⊂ ℂl_{n}^{(0)} einschränkt. Wenn n gerade ist, d.h. n = 2m, so wissen wir nach Satz 2.6, dass die Einschränkung der Darstellung auf ℂl_{2m}^{(0)} sich in zwei nicht äquivalente irreduzible Darstellungen aufspaltet. Nun ergibt die Einschränkung eines irreduziblen ℂl_{2m}^{(0)}–Moduls auf Spin(2m) ⊂ ℂl_{2m}^{(0)} eine irreduzible Darstellung. □

3. Äußere Algebra und Spinoren

Sei V ein n–diminsionaler euklidischer Vektorraum mit (e_{1}, …, e_{n}) ON^{+}– Basis von V. Wir definieren nun

ϵ: V × Λ^{k}V → Λ^{k+1}V, ϵ(v)(v_{1} ∧ … ∧ v_{k}) = ∧_{v}(v_{1} ∧ … ∧ v_{k}) = v ∧ v_{1} ∧ … ∧ v_{k}

und den dazu adjungierten Operation

ι: V^{∗} × Λ^{k+1}V → Λ^{k}V, ι(v^{∗})(v_{1} ∧ … ∧ v_{k+1}) = (v_{1} ∧ … ∧ v_{k+1})⌟v.

Wir definieren ι_{v}: Λ^{k}V → Λ^{k−1}V mit v ∈ V durch ι(b(v)), wobei b: V → V^{∗} mit b(v, w) = b(v)(w).

Sei Ψ eine lineare Abbildung von V nach End(ΛV) definiert durch

Ψ(v) = ∧_{v} − ι_{v}.

Weil ∧_{i}ι_{j} + ι_{j}∧_{i} = δ_{ij} ist, wobei ∧_{i} = ∧_{e_{j}} und ι_{j} = ι_{e_{j}}, erhalten wir

(Ψ(v))^{2} = −(ι_{v} ∧_{v} + ∧_{v} ι_{v}) = −𝟙

und damit nach der Universellen Eigenschaft eine fortsetzung der Abbildung Ψ zu

Ψ: Cl(V, q) → End(ΛV),

mit ∧_{i}∧_{j} = − ∧_{j} ∧_{i} und ι_{i}ι_{j} = −ι_{j}ι_{i} erhalten wir

Ψ(v)Ψ(w) + Ψ(w)Ψ(v) = −2b(v, w)𝟙,

d.h., Algebrahomomorphismus.

Wir definieren nun eine lineare Abbildung

Ψ̃: Cl(V, q) → ΛV, Ψ̃(v) = Ψ(v)(1)

für w ∈ Cl(V, q) und 1 ∈ ΛV. Beachte, dass für v ∈ V ⊂ Cl(V, q)

Ψ̃(v) = Ψ(v)(1) = (∧_{v} − ι_{v})(1) = ∧_{v}(1) − \underbrace{ι_{v}(1)}_{=^{def}o} = v.

Damit ist für ein w = e_{1}^{j_{1}} ⋯ e_{n}^{j_{n}} ∈ Cl^{[k]}(V, q)

Ψ̃(e_{1}^{j_{1}} ⋯ e_{n}^{j_{n}}) − e_{1}^{j_{1}} ∧ … ∧ e_{n}^{j_{n}} = 0,

weil ι_{i}e_{j} = b(e_{i}, e_{j}) = 0, d.h., (e_{1}, …, e_{n}) ON–Basis ist. Allgemeiner erhält man für {v_{1}, …, v_{n}} Basis von V

Ψ̃(v_{1}^{j_{1}} ⋯ v_{n}^{j_{n}}) − v_{1}^{j_{1}} ∧ … ∧ v_{n}^{j_{n}} ∈ Λ^{k−1}V.

Bemerkung. Mit Ψ̃: Cl(V, q) → ΛV wird ein Isomorphsimus zwischen den Vektorräumen beschrieben. Beachte, dass

Cl(V, 0) = ΛV

nach Definition.

Wir wollen nun ℂl_{2m} ≅ End(ℂ^{2^{m}}) Modul genauer untersuchen. Sei dazu V ein n–diminsionaler reelle Vektorraum, mit n = 2m und ⟨. , .⟩, also ist im wesentlichen V ≅ ℝ^{2m} euklidisch.

Sei e_{1}, …, e_{2m} ON^{+}–Basis von V und J komplexe Struktur auf V, d.h., J^{2} = −id_{V}, die zusätzlich Isomotrie bezüglich b ist, d.h., b(v, w) = b(Jv, Jw) für alle v, w ∈ V. Daraus folgt

b(v, Jw) = −b(Jv, w).

Sei V^{ℂ} mit dim_{ℂ}(V^{ℂ}) = k Komplexifizierung von V mit J. Dann definieren wir auf V^{ℂ} folgende hermitsche Form

⟨v, v̂⟩_{ℂ} = ⟨v, v̂⟩ + 𝕚 ⟨v, Jv̂⟩,

dabei ist (a + 𝕚 b)v = a𝟙_{V} (v) + bJ(v).

Wir erhalten die äußere Algebra von V^{ℂ}

Λ_{ℂ}V^{ℂ} = ⨁_{j=0}^{m} Λ_{ℂ}^{j}V^{ℂ}.

Für v ∈ V^{ℂ} erhalten wir das äußere Produkt ∧_{v}: Λ_{ℂ}^{j}V^{ℂ} → Λ_{ℂ}^{j+1}V^{ℂ} und den dazu adjungierten Operator bezüglich ⟨. , .⟩_{ℂ} (das innere Produkt)

ι_{v}^{c}: Λ_{ℂ}^{j+1}V^{ℂ} → Λ_{ℂ}^{j}V^{ℂ}.

Sei

ψ(v)(φ) = v ∧ φ − ι_{v}^{c}φ für v ∈ V^{ℂ}, φ ∈ Λ_{ℂ}V^{ℂ}.

Beachte, dass v ∧ φ in v ℂ–linear ist und ι_{v}^{c} ist konjugiert linear in v, denn ⟨v, Jv̂⟩_{ℂ} = ⟨v, Jv̂⟩ + 𝕚 ⟨v, J^{2}v̂⟩ = ⟨v, Jv̂⟩ − 𝕚 ⟨v, v̂⟩, und damit ist ψ(v) nur ℝ– linear in v. Wir erhalten

(3.1)  ψ(u)ψ(v) + ψ(v)ψ(u) = −2⟨u, v⟩𝟙

und damit kann wie oben ψ: V → End(Λ_{ℂ}V^{ℂ}) zu einem Algebrahomomorphismus fortgesetzt werden

ψ: Cl(V, q) = End(Λ_{ℂ}V^{ℂ})

und damit auch zu einem ℂ–Algebrahomomorphsimus

(3.2)  ψ: ℂl(V, q) → End(Λ_{ℂ}V^{ℂ}).

Satz 3.1. Der Homomorphismus ψ: ℂl(V, q) → End(Λ_{ℂ}V^{ℂ}) ist für reelle Vektorräume V der geraden Diminsion 2m ein Isomorphismus.

Beweis. Wir wissen bereits, dass

[figure: ℂl(V, q); f; ≅; ψ; End(Λ_{ℂ}V^{ℂ}); End(ℂ^{2^{m}})]

Ferner wollen wir benutzen, dass End(ℂ^{2^{m}}) keinen Hauptideal hat (∗).

Nun ist aber 𝔞 = ker(ψ) ein Hauptideal, denn für x ∈ ker(ψ) und v ∈ ℂl(V, q) folgt aus

ψ(x · v) = ψ(x) ∘ ψ(v) = 0 ∘ ψ(v) = 0,

dass x · v und analog auch v · x aus dem Urbild von 0 ∈ End(ℂ^{2^{k}}) sind. Dann ist nach (∗) f(𝔞) entweder Nullideal oder Einsideal. Also ist entweder ψ ≡ 0 oder ψ ein Isomorphsimus. Nun ist aber für v ∈ V, ψ(v)(1) = v, also ist ψ ≠ 0. Deshalb ist ψ ein Isomorphismus. □

Wir wollen uns jetzt an die Spin–Darstellung beschäftigen. Sei V 2m diminsionaler reeller Vektorraum mit komplexer Struktur J. Sei V^{ℂ} Komplexefizierung von V bezüglich J, mit dim_{ℂ} V^{ℂ} = m und sei

S = S(V, q, J) = Λ_{ℂ}V^{ℂ}

mit dem induziertem hermitischem Produkt. Aus der Inklusionskette

Pin(V, q) ⊂ Cl(V, q) ⊂ ℂl(V, q)

und mit der Einschränkung von ψ aus (3.2) auf Pin(V, q) erhalten wir

ρ: Pin(V, q) → Aut(S).

Satz 3.2. Die Darstellung ρ von Pin(V, q) ist irreduzibel und unitär.

Beweis. Die ℂ–Teilalgebra von ℂl(V, q) die durch Pin(V, q) erzeugt wird ist die ganze Algebra ℂl(V, q), denn {v ∈ V | |v| = 1} ⊂ V ⊂ Pin(V, q), damit folgt die Irreduzibilität folgt aus der Tatsache, dass (3.2) ein Isomorphismus ist. Eine Darstellung ρ heißt unitär, wenn

⟨ρ(ϕ)v, ρ(ϕ)v′⟩_{ℂ} = ⟨v, v′⟩_{ℂ} für alle v, v′ ∈ S, ϕ ∈ Pin(V, q).

Die Darstellung ist unitär, weil ψ(v) für v ∈ V ψ^{∗}(v) = −ψ(v) nach Definition ist; aus (3.1) folgt, dass ψ(v)^{2} = −|v|^{2}𝟙, und weil nach Definition von Pin(V, q) für alle v ∈ V |v| = 1 ist. Also ist ψ(v) unitär und durch tensorielle Fortsetzung erhalten wir die Behauptung. Also

ψ: Pin(V, q) → U(Λ_{ℂ}V^{ℂ}, ⟨. , .⟩_{ℂ}).
□

Die Einschränkung von ρ auf Spin(V, q) ist nicht irreduzibel. In der Tat, sei

(3.3)  S^{+} = S^{+}(V, q, J) = Λ_{ℂ}^{(0)}V^{ℂ}, S^{−} = S^{−}(V, q, J) = Λ_{ℂ}^{(1)}V^{ℂ},

mit dim S^{±} = 2^{k−1}.

Der Spin(V, q)–Modul läßt die Räume S^{+} und S^{−} invariant. Wenn wir ψ aus (3.2) auf ℂl^{(0)}(V, q) eingeschränken, so erhalten wir isomorphe Abbildung

(3.4)  ψ: ℂl^{(0)}(V, q) → End_{ℂ}(S^{+}) ⊕ End_{ℂ}(S^{−}).

Folge dazu die Sätz 2.6 und 2.10.

Andererseits gilt für z ∈ ℂl^{(1)}(V, q)

ψ(z): S^{±} → S^{∓}.

Aus (3.4) erhalten wir ein irreduzible unitäre Darstellung

D±_{\frac{1}{2}} : Spin(V, q) → Aut_{ℂ}(S^{±}).

Beispiel. Sei V = ℝ^{2k} mit euklidischem Skalarprodukt und (e_{1}, …, e_{2k}) ON– Basis von V. Ferner sei die komplexe Struktur J definiert durch

Je_{i} = e_{i+k}, Je_{i+k} = −e_{i}, für 1 ≤ i ≤ k.

Wir wollen mit S(2k) = S(ℝ^{2k}, ⟨. , .⟩, J) und S^{±}(2k) = S^{±}(ℝ^{2k}, ⟨. , .⟩, J) bezeichnen und erhalten auf diese Weise Darstellung

D±_{\frac{1}{2}} : Spin(2k) → Aut(S^{±}(2k)).

Wir untersuchen jetzt den Fall V = ℝ^{2k−1}. Wie wir bereits wissen, ist Cl_{2k−1} ≅ Cl_{2k}^{(0)} gegeben durch v ↦ v · e_{2k} für v ∈ ℝ^{2k−1}. Und damit erhalten wir aus der Inklusion Spin(2k − 1) ⊂ Cl_{2k−1}, dass

Spin(2k − 1) ↪ Spin(2k).

Wir erhalten also

D+_{\frac{1}{2}} : Spin(2k − 1) → Aut(S^{+}(2k)).

Die andere Darstellung D−_{\frac{1}{2}} : Spin(2k − 1) → Aut(S^{−}(2k)) ist äquivalent zu

der oben beschriebenen, denn die Abbildung F ∈ Iso(S^{+}(2k), S^{−}(2k)) aus der Definition 1.9 ist gegeben durch

ψ(e_{2k}): S^{+}(2k) → S^{−}(2k).

4. Liealgebra

Es wichtig anzumerken, dass Cl^{[2]}(V, q) = 𝔰𝔭𝔦𝔫(V, q) eine Liealgebra Struktur aufweist, mit [a, b] = a · b − b · a. In der Tat sei {e_{i}} ON–Basis von V, dann

[e_{i}e_{j}, e_{k}e_{ℓ}] = e_{i}e_{j}e_{k}e_{ℓ} − e_{k}e_{ℓ}e_{i}e_{j}
= −2δ_{jk}e_{i}e_{ℓ} − e_{i}e_{k}e_{j}e_{ℓ} − e_{k}e_{ℓ}e_{i}e_{j}
= −2δ_{jk}e_{i}e_{ℓ} + 2δ_{ℓj}e_{i}e_{k} + e_{i}e_{k}e_{ℓ}e_{j} − e_{k}e_{ℓ}e_{i}e_{j}
= −2δ_{jk}e_{i}e_{ℓ} + 2δ_{ℓj}e_{i}e_{k} − 2δ_{ki}e_{ℓ}e_{j} − e_{k}e_{i}e_{ℓ}e_{j} − e_{k}e_{ℓ}e_{i}e_{j}

= −2δ_{jk}e_{i}e_{ℓ} + 2δ_{ℓj}e_{i}e_{k} − 2δ_{ki}e_{ℓ}e_{j} + 2δ_{iℓ}e_{k}e_{j} + e_{k}e_{ℓ}e_{i}e_{j} − e_{k}e_{ℓ}e_{i}e_{j}

= −2(δ_{jk}e_{i}e_{ℓ} − δ_{ℓj}e_{i}e_{k} + δ_{ik}e_{ℓ}e_{j} − δ_{ℓi}e_{k}e_{j}),

die Jacobi–Identität ist klar. Wir wollen zeigen, dass T_{1}(Spin(n)) = 𝔰𝔭𝔦𝔫(n) ist. Sei dazu γ(t) = x_{1}(t) ⋯ x_{2m}(t) eine Kurve in Spin(n) mit x_{i}(t) ∈ S^{n−1} und γ(0) = 1, dann ist

\frac{dγ}{dt} (t)|_{t=0} = \frac{dx_{1}}{dt} (t)|_{t=0} · x_{2}(0) ⋯ x_{2m}(0) + ⋯ + x_{1}(0) ⋯ x_{2m−1}(0) · \frac{dx_{2m}}{dt} (t)|_{t=0}.

Wir zeigen, dass jeder Summand von γ̇(0) in 𝔰𝔭𝔦𝔫(n) liegt. Wegen γ(0) = 1, also 1 = x_{1}(0) ⋯ x_{2m}(0) ⇒ x_{1}^{−1}(0) = x_{2}(0) ⋯ x_{2m}(0), ist der erste Summand gleich

\frac{dx_{1}}{dt} (0) · x_{1}^{−1}(0) = −\frac{dx_{1}}{dt} (0) · x_{1}(0),

weil x · x = −q(x)1 ⇒ x^{−1} = −x für x ∈ S^{n−1}. Aus x_{1}(t) · x_{1}(t) ≡ −1 folgt jedoch

ẋ_{1}(t)x_{1}(t) + x_{1}(t)ẋ_{1}(t) = 0, d.h. insbesondere, dass b(ẋ_{1}(0), x_{1}(0)) = 0.

Also liegt der erste Summand in 𝔰𝔭𝔦𝔫(n). Analog, der zweite Summand stimmt mit

x_{1}(0)ẋ_{2}(0)x_{2}^{−1}(0)x_{1}^{−1}(0) = −x_{1}(0)ẋ_{2}(0)x_{2}(0)x_{1}^{−1}(0)
= {x_{1}(0)ẋ_{2}(0)x_{1}^{−1}(0)}{x_{1}(0)x_{2}(0)x_{1}^{−1}(0)}

Weil b(ẋ_{2}(0), x_{2}(0)) = 0, so sind auch x_{1}(0)ẋ_{2}(0)x_{1}^{−1}(0), x_{1}(0)x_{2}(0)x_{1}^{−1}(0) b– orthogonal und der zweite Summand liegt in 𝔰𝔭𝔦𝔫(n). Also ist T_{1}(Spin(n)) ⊂ 𝔰𝔭𝔦𝔫(n). Weil

dim Spin(n) = dim SO(n) = \frac{n(n−1)}{2} = dim 𝔰𝔭𝔦𝔫(n)

stimmen beide Räume überein, und Lie(Spin(n)) = T_{1}(Spin(n)) = 𝔰𝔭𝔦𝔫(n).

Sei τ: Cl^{[1]}(V, q) = V → Cl^{[1]}(V, q) = V, mit τ(a)(v) = [a, v] = a · v − v · a, wobei v ∈ Cl^{[1]}(V, q) = V und a ∈ 𝔰𝔭𝔦𝔫(V, q). In der Tat

[e_{i}e_{j}, e_{k}] = e_{i}e_{j}e_{k} − e_{k}e_{i}e_{j}

=^{(R)} −2δ_{jk}e_{i} + 2δ_{ki}e_{j}.

Lemma 4.1. τ definiert einen Liealgebra–Isomorphismus zwischen 𝔰𝔭𝔦𝔫(V, q) und 𝔰𝔬(V, q).

Beweis. Es ist einfach einzusehen, dass τ([a, b])(v) = [τ(a), τ(b)](v) für alle v ∈ V ist:

τ([a, b])(v) = τ(ab)(v) − τ(ba)(v) = [ab, v] − [ba, v]
[τ(a), τ(b)](v) = τ(a)([b, v]) − τ(b)([a, v]) = [a, [b, v]] − [b, [a, v]]
= abv − avb − bva + vba − bav + bva − avb + vab
= abv − vab − bav + vab = [ab, v] − [ba, v].

Also definiert τ einen Liealgebra–Homomorphismus von 𝔰𝔭𝔦𝔫(V, q) nach 𝔤𝔩(V, q). Für a ∈ Cl^{[2]}(V, q) ist

b(τ(a)v, w) + b(v, τ(a)w) = b(av, w) − b(va, w) + b(v, aw) − b(v, wa)

= −\frac{1}{2}(avw + wav − vaw − wva + vaw + awv − vwa − wav)

= −\frac{1}{2}(avw + awv − wva − vwa) = 0.

Deshalb ist τ(a) ∈ 𝔰𝔬(V, q), τ ist injektiv für alle a ∈ Cl^{[2]}(V, q) nach der Folgerung aus dem Satz 1.2. Weil schließlich 𝔰𝔭𝔦𝔫(V, q) und 𝔰𝔬(V, q) Vektorräume sind mit Diminsion \frac{n(n−1)}{2}, folgt die Aussage. □

5. Die Gruppe Spin^{ℂ}(n)

Definition 5.1. Spin^{ℂ}(V, q) ist multiplikative Gruppe der Einheiten von ℂl(V, q), die durch Spin(V, q) und U(1) erzeugt wird.

Weil Spin(n) ∩ U(1) = {−1, +1} ist die Gruppe Spin^{ℂ}(n) offenbar gegeben durch

Spin^{ℂ}(n) = Spin(n) ×_{ℤ_{2}} U(1) = (Spin(n) × U(1))/ℤ_{2}.

Die Elemente von Spin^{ℂ}(n) sind also Klassen [φ, z] von Paaren (φ, z) mit Äquivalentzrelation (φ, z) ∼ (−φ, −z).

Literatur

[1] H. B. Lawson, M–L. Michelsohn Spin Geometry, Princeton University Press 1989.

[2] T. Friedrich Dirac–Operatoren in der Riemannschen Geometrie, Vieweg 1997.

[3] J. Jost Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Spinger 1998.

[4] M. E. Taylor Partial Differrential Equation II, Springer 1996.