Die Clifford Algebren

Jan Sahner

April 2001

Zusammenfassung Dieser Vortrag führt die Clifford Algebren C^{k} ein, die in ähnlicher Weise aus der Tensoralgebra hervorgehen wie die äußere Algebra Λ(ℝ^{k}). Teilräume P in(k), Spin(k) werden eingeführt, beides doppelte Überlagerungen von O(k) bzw. SO(k). Abschließend werden die Algebren C^{k} berechnet und C^{k} − Moduln eingeführt und entschieden, wieviele verschiedene es gibt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen 1 1.1 Die Clifford Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Die Automorphismen α,^{t} ,¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Die Algebren C_{k} 3

3 Die Gruppen Γ_{k}, P in(k), Spin(k) 3 3.1 Komplexifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Berechnung der Algebren C_{k} 6

5 Clifford Moduln 8

1 Definitionen

1.1 Die Clifford Algebra

Sei 𝕂 Körper, V Vektorraum über 𝕂. Bezeichne T (V) die Tensoralgebra über V, also

T (V) = ∑_{i=0}^{∞} T^{i}(V),  T^{i}(V) = ⨂^{i} V,  T^{0} = 𝕂

Sei Q′ eine Bilinearform, Q : V → ℝ, v ↦ Q′(v, v) die dazugehörige quadratische Form. Sei I(Q) das Ideal in der Tensoralgebra T (V), das von x ⊗ x − Q(x) · 1 erzeugt wird.

Definition 1 C(Q) := \frac{T (V)}{I(Q)} mit Multiplikation · heißt Clifford Algebra von Q.

Sei p : T (V) → C(Q) die Projektion. Dann ist i_{Q} : V ↪^{i} T (V) →^{p} C(Q) injektiv, weil p|_{V ⊂T (V)} injektiv ist (aus V wird nichts herausgeteilt). Es gilt

Lemma 1 Es gilt:

1. Ist (v_{i})_{i=1}^{n} orthogonale Basis von V bzgl. Q, so ist wegen v_{i} · v_{j} = −v_{j} · v_{i}

1, v_{i_{1}} · · · · · v_{i_{k}}, i_{1} < ⋯ < i_{k}

Basis von C(Q) und somit dim C(Q) = 2^{n}

2. Definiere C^{0}(Q) := p(∑_{i=0}^{∞} T^{2i}(V)), C^{1}(Q) := p(∑_{i=0}^{∞} T^{2i+1}(V)). Dann ist C(Q) = C^{0}(Q) + C^{1}(Q) eine ℤ_{2} graduierte Algebra, d.h.

C^{i}(Q) · C^{j}(Q) ⊂ C^{i+j(mod2)}(Q)

3. Sei Φ : V → A eine 𝕂-lineare Abbildung in eine 𝕂-Algebra mit 1 und Φ(x) · Φ(x) = Q(x) · 1 ∀x ∈ V. Dann ∃! Φ̃ : C(Q) → A, die Φ erweitert, also Φ̃ ∘ i_{Q} = Φ (universelle Eigenschaft der Cliffordalgebra).

Beweis: zu 1):

v_{i}v_{j} + v_{j}v_{i} = (v_{i} + v_{j})v_{j} + (v_{i} + v_{j})v_{i} − Q(v_{i}) − Q(v_{j})
= (v_{i} + v_{j}) · (v_{i} + v_{j}) − Q(v_{i}) − Q(v_{j})
= Q(v_{i} + v_{j}) − Q(v_{i}) − Q(v_{j}) = −2Q(v_{i}, v_{j}) = 0

zu 3): Definiere Algebrenhomomorphismus Φ′ : T (V) → A, x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{k} ↦ Φ(x_{1})·· · ··Φ(x_{k}) eindeutig, wohldefiniert und definiere für y ∈ C(Q) mit y = p(x) für x ∈ T (V) :

Φ̃(y) := Φ′(x).

Überprüfe Wohldefiniertheit von Φ̃, also Unabhängigkeit von der Wahl von x: Dafür zeige Φ′(τ ⊗ (z ⊗ z − Q(z) · 1) ⊗ η) = 0, da p(x) = p(x′) ⇔ x − x′ = τ ⊗ (z ⊗ z − Q(z) · 1) ⊗ η oder Linearkombinationen von Elementen dieser Form. Aber Φ′(z ⊗ z − Q(z) · 1) = Φ(z) · Φ(z) − Q(z) · 1 = 0.

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1.2 Die Automorphismen α,^{t} ,¯

Die Abbildung ^{t} : T^{k} → T^{k}, (x_{1} ⊗⋯⊗x_{k})^{t} ↦ x_{k} ⊗⋯⊗x_{1} überträgt sich auf C(Q), da ^{t} I(Q) invariant lässt, (x⊗x−Q(x)·1)^{t} = x⊗x−Q(x)·1. α : C(Q) → C(Q) ist definiert als die (nach der universellen Eigenschaft der Cliffordalgebra eindeutig existierende) Erweiterung von α : V → C(Q), α(x) = −i_{Q}(x). α erweitert, da α(x)^{2} = (−i_{q}(x)) · (−i_{Q(x)}) = x · x = Q(x) · 1. ¯ : C(Q) → C(Q) ist definiert durch x̄ := α(x^{t}) = (α(x))^{t}. α ist ein Automorphismus, ^{t},¯ sind Antiautomorphismen. Es gilt α^{2} = Id Für irreduzible Elemente in C(Q) x = x_{1} ·· · ··x_{k} ist α(x) = (−1)^{k}x, da α(x) = α(x_{1})·· · ··α(x_{k}) = (−x_{1})·· · ··(−x_{k}) = (−1)^{k}x. Somit können wir unsere ℤ_{2}-Graduierung von C(Q) auch über

C^{0}(Q) = {x ∈ C(Q)|x = α(x)}, C^{1}(Q) = {x ∈ C(Q)|x = −α(x)}

erhalten.

2 Die Algebren C_{k}

Für uns sind hauptsächlich die Algebren C_{k} := C(Q_{k}) interessant, wobei Q_{k} : ℝ^{k} → ℝ die negative euklidische quadratische Form ist: Q_{k}(x_{1}, …, x_{k}) = − ∑_{i=1}^{k} x_{i}^{2}

Lemma 2 Die Algebren C_{k} können aufgefasst werden als die von e_{1}, … e_{k} multiplikativ erzeugten Algebren unter den Bedingungen

e_{j}^{2} = −1, e_{j} · e_{k} + e_{k} · e_{j} = 0, j ≠ k

Beweis: Übung.

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3 Die Gruppen Γ_{k}, P in(k), Spin(k)

Sei C_{k}^{∗} die multiplikative Gruppe invertierbarer Elemente in C_{k}.

Definition 2 Γ_{k} ist die Untergruppe aller x ∈ C_{k}^{∗}, fr die

∀y ∈ ℝ^{k} : α(x)yx^{−1} ∈ ℝ^{k}

Da α, x ↦ x^{t} den ℝ^{k} invariant lassen, gilt, dass α und ^{t} Γ_{k} invariant lassen und somit Morphismen auf Γ_{k} darstellen. Zentral in dieser Überlegung ist die Abbildung

ρ : Γ_{k} → Aut(ℝ^{k}), x ↦ (y ↦ α(x)yx^{−1})

die sogenannte getwisted adjungierte Darstellung von Γ_{k} auf ℝ^{k}.

Definition 3 N : Γ_{k} → C_{k} sei definiert als N(x) := xx̄.

Wir zeigen nun, dass N(Γ_{k}) ⊂ ℝ^{∗} und dass N ein Gruppenhomomorphismus ist. Das rechtfertigt die

Definition 4 P in(k) := kerN ⊂ Γ_{k} ⊂ C_{k}

Das vorher Behauptete liefern die folgenden Lemmata:

Lemma 3 kerρ = ℝ^{∗}

Lemma 4 N(Γ_{k}) ⊂ ℝ^{∗}

Beweis von Lemma 4: Wir zeigen, mit Lemma 3, dass N(x) ⊂ kerρ. Für x ∈ Γ_{k} gilt ∀y ∈ ℝ^{k} :

α(x)yx^{−1} = ρ(x)(y) =: y′ ∈ ℝ^{k}

Transponieren ergibt, da ^{t} = id auf ℝ^{k}:

(x^{t})^{−1}yα(x)^{t} = α(x)yx^{−1}, also yα(x^{t})x = x^{t}α(x)y

und somit

y = x^{t}α(x)y(α(x^{t})x)^{−1} =^{α^{2}=id} α(α(x^{t})x)y(α(x^{t})x)^{−1}

Also ist α(x^{t})x ∈ kerρ = ℝ^{∗} und, weil λ^{t} = λ∀λ ∈ ℝ:

N(x^{t}) = x^{t}x̄^{t} = x^{t}α(x^{t}^{t}) = x^{t}α(x) = α(x^{t})x ∈ ℝ^{∗}

Da ^{t} ein Automorphismus ist, gilt N(x) ∈ ℝ^{∗}∀x ∈ Γ_{k}

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Beweis von Lemma 3: x ∈ Ker(ρ) ⇒

α(x)y = yx ∀y ∈ ℝ^{k}

Mit x = x^{0} + x^{1}, x^{i} ∈ C_{k}^{i} wird das zu

x^{0}y = yx^{0}  (1)
x^{1}y = −yx^{1}

Sei e_{1}, … e_{k} ONB vom ℝ^{k}, x^{0} = a^{0} + e_{i}b^{1}, wobei a^{0} ∈ C_{k}^{0} e_{i} nicht enthält und b^{1} ∈ C_{k}^{1} e_{i} nicht enthält. Setze in (1) y = e_{i} und erhalte a^{0} + e_{i}b^{1} = e_{i}a^{0}e_{i}^{−1} + e_{i}^{2}b^{1}e_{i}^{−1} = a_{0} − e_{i}b^{1}. Daraus folgt b^{1} = 0. Also enthält x^{0} keines der e_{i}. Also ist x^{0} ein Vielfaches von 1. Analog erhält man x^{1} ist ein Vielfaches von 1, also x^{1} = 0, da x^{1} ∈ C_{k}^{1}. Also ist x = λ ∈ ℝ und, da x invertierbar, x ∈ ℝ^{∗}

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Lemma 5 N : Γ_{k} → ℝ^{∗} ist ein Homomorphismus, und N(α(x)) = N(x)

Beweis: Seien x, y ∈ Γ_{k}

N(x · y) = xy · x̄y = xyȳx̄ = x · N(y) · x̄ = N(x)N(y)

und

N(α(x)) = α(x)α(α(x)^{t}) = α(N(x)) = N(x)

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Nun zeigen wir, dass P in(k) ⊂ Γ_{k} eine doppelte Überlagerung von O(k) ist. Hierfür brauchen wir zunächst

Lemma 6 ρ(Γ_{k}) ⊂ O(k)

Beweis: Für x ∈ ℝ^{k} gilt: N(x) = x · α(x^{t}) = x · (−x) = −Q(x) = |x|^{2} ist die euklidische Länge. Da N ein Gruppenhomomorphismus ist, gilt:

N(ρ(x) · y) = N(α(x)yx^{−1}) = N(α(x))N(y)N(x^{−1}) = N(y)
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Also ρ : Γ_{k} → O(k). P in(k) = kerN kann daher als eine verallgemeinerte Sphäre aufgefasst werden. Nun können wir das vorhin Angedeutete beweisen:

Theorem 1 Wir haben eine kurze exakte Sequenz

1 → ℤ_{2} →^{i} P in(k) →^{ρ} O(k) → 1

wobei ℤ_{2} = \{−1, 1\}. D.h., ρ ist surjektiv und hat Kernel ℤ_{2}, also O(k) ≃ \frac{P in(k)}{ℤ_{2}}

Beweis: Surjektivität von ρ: Für (v_{i}) ONB auf ℝ^{k} gilt N(v_{i}) = 1 und:

ρ(v_{i})v_{j} = α(v_{i})v_{j}v_{i}^{−1} = v_{i}v_{j}v_{i} = \begin{cases}−v_{j} & falls i = j \\ v_{j} & falls i ≠ j \end{cases}

Also ist jede Reflexion an einer Hyperebene in ρ(P in(k)), also ist ρ surjektiv.

kerρ|_{P in(k)} = kerρ ∩ kerN
⇒ x ∈ kerρ|_{P in(k)}
⇔ x = λ · 1, N(λ · 1) = 1
⇒ λ = ±1 ⇒ kerρ|_{P in(k)} = ℤ_{2}  (2)
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Definition 5 Spin(k) := ρ^{−1}(SO(k))

Da ℤ_{2} ⊂ Spin(k) (da ρ(ℤ_{2}) = {Id} ⊂ SO(k)), sind wie eingangs erwähnt P in(k) und Spin(k) doppelte Überlagerungen von O(k) bzw. SO(k).

Theorem 2 Für P in(k)^{i} := P in(k)∩C_{k}^{i} gilt: P in(k) = ⋃_{i} P in(k)^{i} und Spin(k) = P in(k)^{0}(= (kerN)^{0})

Beweis: Für x ∈ P in(k) gilt ρ(x) = R_{1} ∘ ⋯ ∘ R_{l} ∈ O(k), wobei die R_{i} Reflexionen an Hyperebenen sind. Wie oben im Beweis der Surjektivität von ρ können wir x_{i} wählen mit ρ(x_{i}) = R_{i}, so dass x = ±x_{1} … x_{l}, weil kerρ = ℤ_{2}. Also x ∈ C_{k}^{0} oder x ∈ C_{k}^{1}. Da ρ(x) ∈ SO(k) ⇔ l gerade, ist x ∈ Spin(k) ⇔ ρ(x) ∈ SO(k) ⇔ x ∈ C_{k}^{0}.

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Bemerkung: Spin(k) ist eine nichttriviale doppelte Überlagerung von SO(k). Dafür überlegen wir uns, dass wir 1 und −1 in Spin(k) durch einen Pfad verbinden können. In der Tat erbringt der Pfad t ↦^{β} cos(t) + sin(t)e_{1} · e_{2}, 0 ≤ t ≤ 1 das gewünschte, da β(t) ∈ C_{k}^{0} und N(β(t)) = 1∀t ∈ [0, 1].

3.1 Komplexifizierung

Die ganze Theorie kann komplexifiziert werden. Dann ist C_{k}^{c} := C_{k} ⊗_{ℝ} ℂ. Definiere darauf

α(x ⊗ z) = α(x) ⊗ z, (x ⊗ z)^{t} = x^{t} ⊗ z̄

und darüber N und¯ wie vorher. Γ_{k}^{c} ist nun die Untergruppe der invertierbaren Elemente, für die

∀y ∈ ℝ^{k} : α(x) · y ⊗ 1 · x^{−1} = y′ ⊗ 1, mit y′ ∈ ℝ^{k}

Alle Erkenntnisse der vorherigen Lemmata bleiben erhalten, außer dass ℝ^{∗} durch ℂ^{∗} ersetzt wird und die kurze exakte Sequenz zu

1 → U(1) →^{i} P in^{c}(k) →^{ρ^{c}} O(k) → 1

wird, wobei U(1) = {1 ⊗ z||z|^{2} = 1}.(Denn immer noch ist kerρ^{c}|_{P in^{c}(k)} = kerρ^{c} ∩ kerN = {1 ⊗ z|z ∈ ℂ^{∗}} ∩ {kerN ⊗ z||z|^{2} = 1})

4 Berechnung der Algebren C_{k}

Um die C_{k} zu berechnen, geht man induktiv vor, indem man sukzessive C_{k}, C′_{k} berechnet, wobei C′_{k} = C(−Q_{k}) die Algebra ist, die von den e_{i} multiplikativ erzeugt wird mit e_{i}^{2} = +1, e_{i}e_{j} + e_{j}e_{i} = 0 für i ≠ j

Lemma 7 (Induktionsanfang)

C_{1} ≃ ℂ, 1 ↦ 1, e_{1} ↦ i
C_{2} ≃ ℍ, 1 ↦ 1, e_{1} ↦ i, e_{2} ↦ j, e_{1}e_{2} ↦ k
C′_{1} ≃ ℝ ⊕ ℝ, 1 ↦ (1, 1), e_{1} ↦ (1, −1)
C′_{2} ≃ ℝ(2), 1 ↦ E_{2}, e_{1} ↦ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) , e_{2} ↦ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , e_{1}e_{2} ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )
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Lemma 8 (Induktionslemma)

C_{k} ⊗_{ℝ} C′_{2} ≃ C′_{k+2}
C′_{k} ⊗_{ℝ} C_{2} ≃ C_{k+2}

Beweis: Die lineare Abbildung Ψ : ℝ′^{k+2} → C_{k} ⊗ C′_{2}, definiert durch

Ψ(e′_{i}) = \begin{cases}e_{i−2} ⊗ e′_{1}e′_{2} & 2 < i ≤ k \\ 1 ⊗ e′_{i} & 1 ≤ i ≤ 2 \end{cases}

erfüllt Ψ(x)^{2} = −Q_{k}(x) · 1 und erweitert daher zu Ψ : C′_{k+2} → C_{k} ⊗ C′_{2}. Da Ψ Basiselemente auf Basiselemente abbildet, ist Ψ Isomorphismus. Die zweite Aussage geht analog

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Aus dem Induktionslemma 8 folgt:

C′_{4} ≃ C_{2} ⊗_{ℝ} C′_{2} ≃ C′_{2} ⊗_{ℝ} C_{2} ≃ C_{4}
C_{8} ≃ C′_{6} ⊗_{ℝ} C_{2} ≃ C_{4} ⊗_{ℝ} C′_{2} ⊗_{ℝ} C_{2} ≃ C_{4} ⊗_{ℝ} C_{4}
C_{k+8} = C_{k+4} ⊗_{ℝ} C_{4} ≃ C_{k} ⊗_{ℝ} C_{4} ⊗_{ℝ} C_{4} = C_{k} ⊗_{ℝ} C_{8}

Bezeichne 𝕂(m) die Matrixalgebra der m × m-Matrizen über dem Körper 𝕂. Die bekannten Formeln

𝕂(n) ≃ ℝ(n) ⊗_{ℝ} 𝕂, ℝ(n) ⊗_{ℝ} ℝ(m) ≃ ℝ(nm)
ℂ ⊗_{ℝ} ℂ ≃ ℂ ⊕ ℂ
ℍ ⊗_{ℝ} ℂ ≃ ℂ(2)
ℍ ⊗_{ℝ} ℍ ≃ ℝ(4).

führen nun durch überschaubares Rechnen mit den Induktionslemmata 7 und 8 zu folgender Tabelle über die Clifford-Algebren:

\begin{matrix}k & C_{k} & C′_{k} & C_{k} ⊗_{ℝ} ℂ = C′_{k} ⊗_{ℝ} ℂ \\ 1 & ℂ & ℝ ⊕ ℝ & ℂ ⊕ ℂ \\ 2 & ℍ & ℝ(2) & ℂ(2) \\ 3 & ℍ ⊕ ℍ & ℂ(2) & ℂ(2) ⊕ ℂ(2) \\ 4 & ℍ(2) & ℍ(2) & ℂ(4) \\ 5 & ℂ(4) & ℍ(2) ⊕ ℍ(2) & ℂ(4) ⊕ ℂ(4) \\ 6 & ℝ(8) & ℍ(4) & ℂ(8) \\ 7 & ℝ(8) ⊕ ℝ(8) & ℂ(8) & ℂ(8) ⊕ ℂ(8) \\ 8 & ℝ(16) & ℝ(16) & ℂ(16) \end{matrix}

Da C_{8} = ℝ(16) und C_{i} ≃ 𝕂(m) bzw. 𝕂(m) ⊕ 𝕂(m) für 1 ≤ i ≤ 8 folgt die 8-Periodizität

C_{k+8} ≃ C_{k} ⊗_{ℝ} C_{8} ≃ 𝕂(m) ⊗_{ℝ} C_{8} ≃ 𝕂(m) ⊗_{ℝ} ℝ(16)
≃ 𝕂 ⊗_{ℝ} ℝ(m) ⊗_{ℝ} ℝ(16) ≃ 𝕂 ⊗_{ℝ} ℝ(16m)
≃ 𝕂(16m)

der Clifford-Algebren C_{k}. Für die Komplexifizierungen ergeben sich Periodizitäten von 2.

5 Clifford Moduln

Ein C_{k}-Modul über 𝕂 ist ein 𝕂-Vektorraum, der ein Modul über C_{k} ist. Äquivalent dazu ist, dass eine 𝕂-Darstellung ρ existiert, also ein 𝕂-Algebren-Homomorphismus

ρ : C_{k} → Hom_{𝕂}(W, W)

Der Zusammenhang zwischen C_{k}-Modul und 𝕂-Darstellung besteht in der Multiplikation

ϕ · x = ρ(ϕ)(x)

die einerseits eine C_{k}-Modulstruktur definiert wenn ρ 𝕂-Darstellung, andererseits eine 𝕂-Darstellung, wenn W C_{k}-Modul ist.

Theorem 3 (𝕂-Algebren-Darstellungssatz) Für 𝕂 = ℝ, ℂ, ℍ ist die natürliche Darstellung von 𝕂(n) auf den 𝕂^{n}, ρ(A)(x) := A·x die einzige Darstellung (bis auf Äquivalenz). Die Algebra 𝕂^{n}⊕𝕂^{n} hat genau zwei Darstellungen, gegeben durch

ρ_{1}(A_{1}, A_{2}) = ρ(A_{1}), ρ_{1}(A_{1}, A_{2}) = ρ(A_{2})

Beweis: siehe Lang. Hieraus folgt die unten abgebildete Tabelle. ν_{k} ist die Anzahl verschiedener C_{k}-Moduln, 1, wenn C_{k} ≃ 𝕂(m), 2, wenn C_{k} ≃ 𝕂(m) ⊕ 𝕂(m). d_{k} ist die ℝ-Dimension des Moduls. Analog sind ν_{k}^{c} und d_{k}^{c} definiert. Die Periodizitäten sind wie im letzten Abschnitt.

\begin{matrix}k & C_{k} & ν_{k} & d_{k} & C_{k} ⊗_{ℝ} ℂ = C′_{k} ⊗_{ℝ} ℂ & ν_{k}^{c} & d_{k}^{c} \\ 1 & ℂ & 1 & 2 & ℂ ⊕ ℂ & 2 & 1 \\ 2 & ℍ & 1 & 4 & ℂ(2) & 1 & 2 \\ 3 & ℍ ⊕ ℍ & 2 & 4 & ℂ(2) ⊕ ℂ(2) & 2 & 2 \\ 4 & ℍ(2) & 1 & 8 & ℂ(4) & 1 & 4 \\ 5 & ℂ(4) & 1 & 8 & ℂ(4) ⊕ ℂ(4) & 2 & 4 \\ 6 & ℝ(8) & 1 & 8 & ℂ(8) & 1 & 8 \\ 7 & ℝ(8) ⊕ ℝ(8) & 2 & 8 & ℂ(8) ⊕ ℂ(8) & 2 & 8 \\ 8 & ℝ(16) & 1 & 16 & ℂ(16) & 1 & 16 \end{matrix}