9. Beweis des Primzahlsatzes von Dirichlet

Jörn Müller

22.6.1998

Bevor der Dirichlet’sche Primzahlsatz formuliert wird, werden einige Hilfsätze bewiesen und Definitionen eingeführt.

Lemma 9.1 Sei s > 1. Dann gilt lim_{s→1}(s − 1) ζ(s) = 1, d.h., die Zetafunktion hat bei 1 einen Pol erster Ordnung.

Beweis. Für festes s ist t^{−s}, t ∈ IR eine monoton fallende Funktion. Deshalb gilt

(n + 1)^{−s} < ∫_{n}^{n+1} t^{−s}dt < n^{−s}.

Summation über n:

ζ(s) − 1 < ∫_{1}^{∞} t^{−s}dt = (s − 1)^{−1} < ζ(s).

Hieraus: 1 < (s − 1) ζ(s) < s. Das Einschachtelungsprinzip ergibt das gewünschte Ergebnis für s → 1. □

Korollar 9.2

lim_{s→1+0} \frac{ln ζ(s)}{ln((s − 1)^{−1})} = 1.

Beweis. Mit der Abkürzung ρ(s) := (s−1) ζ(s) folgt ln ζ(s) = − ln(s − 1) + ln ρ(s), also ln ζ(s)/ ln(s − 1)^{−1} = 1 + ln ρ(s)/ ln(s − 1)^{−1}. Aufgrund des Lemmas gilt lim_{s→1} ρ(s) = 1, mithin ln ρ(s) → 0. □

Definition. Sei P eine Menge positiver Primzahlen. Existiert der Grenzwert

lim_{s→1} \frac{∑_{p∈P} p^{−s}}{ln(s − 1)^{−1}}

so heißt dieser \underline{Dirichlet-Dichte} von P und wird mit d(P) bezeichnet.

Lemma 9.3 (Eigenschaften der Dirichlet-Dichte)

(a) Ist P endlich, so gilt d(P) = 0.

(b) Ist P = P_{1} ∪ P_{2}, wobei P_{1}, P_{2} disjunkt, so gilt d(P) = d(P_{1}) + d(P_{2}) (falls d(P_{1}) und d(P_{1}) existieren).

(c) Enthält P fast alle Primzahlen, so ist d(P) = 1.

Beweis. (a) und (b) folgen unmittelbar aus der Definition, (c) folgt aus Korollar (9.2) und dem Beweis zu Lemma (9.5). □

Satz 9.4 (Dirichletscher Primzahlsatz) Seien a, m ∈ ZZ mit (a, m) = 1 und P(a; m) die Menge (positiver) Primzahlen p für die p ≡ a mod m gilt. Dann folgt d(P(a; m)) = 1/ϕ(m).

Dieser Satz trifft zwei Aussagen:

i) Es gibt unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ a mod m. Dies folgt aus Eigenschaft (a) der Dirichlet-Dichte.

ii) Hinsichtlich der Eigenschaften (b) und (c) der Dirichlet-Dichte sind die Primzahlen auf die ϕ(m) zu m primen Restklassen ”gleichverteilt”.

Im folgenden soll der Dirichletsche Primzahlsatz bewiesen werden. Von nun an ist s = σ + it eine komplexe Zahl und σ > 1.

Sei χ ein Charakter modulo m (mit Ausdehnung des Definitionsbereichs auf ganz ZZ durch χ(c) = 0, falls (c, m) ≠ 1). Betrachtet wird der Logarithmus der L-Reihe zu χ.

Bekanntlich ist der Logarithmus im Komplexen mehrwertig, deshalb bezeichne Log den Zweig des Logarithmus, bei dem obiger Ausdruck für reelle s > 1 reell ist; also den Hauptzweig Log(s) := ln |s| + i arg(s).

Damit und mit der Eulerschen Produktdarstellung der L-Reihen haben wir

G(s; χ) := Log ∑_{k=1}^{∞} \frac{χ(k)}{k^{s}} = Log ∏_{p prim}(1 − χ(p)p^{−s})^{−1} = − ∑_{p} Log(1 − χ(p)p^{−s}),

denn das Eulersche Produkt ist absolut konvergent. Wegen

|χ(k)k^{−s}| = |k^{−s}| = |k^{−σ}| < 1

kann der Logarithmus in der Summe entwickelt werden gemäß

ln(1 − x) = − ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n}  für  |x| < 1.

Aufgrund der vollständigen Multiplikativität der Charaktere erhalten wir die Reihe

G(s; χ) = ∑_{p} ∑_{k=1}^{∞} \frac{χ(p^{k})}{k p^{ks}}.

Diese ist absolut konvergent, kann also umgeordnet werden.

G(s; χ) = ∑_{p} \frac{χ(p)}{p^{s}} + R(s; χ) mit R(s; χ) = ∑_{p} ∑_{k=2}^{∞} \frac{χ(p^{k})}{k p^{ks}}.

Lemma 9.5 |R(s; χ)| ist für σ > \frac{1}{2} beschränkt.

Beweis. Aufgrund |χ(p^{k})p^{−ks}| = p^{−kσ}:

|R(s; χ)| ≤ ∑_{p} ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k p^{kσ}} ⟹ |R(s; χ)| < ∑_{p} \frac{1}{2p^{2σ}} ∑_{k=0}^{∞} p^{−kσ} = ∑_{p} \frac{1}{2p^{2σ}} (1 − p^{−σ})^{−1}.

σ > \frac{1}{2} > 0 ⟹ (1 − p^{−σ})^{−1} < (1 − \frac{1}{2^{σ}} )^{−1} < (1 − \frac{1}{\underbrace{4/3}_{<\sqrt{2}}})^{−1} = 4

⟹ |R(s; χ)| < 2 ∑_{p} \frac{1}{p^{2σ}} = 2 ζ(2σ),

somit ist |R(s; χ)| zumindest für σ > \frac{1}{2} beschränkt. □ Damit haben wir:

G(s; χ) = ∑_{p} χ(p)p^{−s} + O(1) für σ > 1.  (1)

Zu a mit (a, m) = 1 gibt es ein b ∈ ZZ, so daß ab ≡ 1 mod m. Dies folgt aus dem bekannten Satz: ax ≡ c mod m lösbar ⟺ (a, m) | c. Aus demselben Satz folgt dann für b auch (b, m) = 1.

Nun wird (1) mit χ(b) ≠ 0 multipliziert und über alle Charaktere mod m summiert. Dabei wird die Multiplikativität der Charaktere ausgenutzt. Da es endlich viele Charaktere gibt, und die andere Summe absolut konvergente L-Reihe ist, kann die Summation vertauscht werden.

∑_{χ} χ(b)G(s; χ) = ∑_{p} ∑_{χ} χ(bp)p^{−s} + \underbrace{∑_{χ} χ(b)R(s; χ)}_{=:R_{2}(s)}  (2)

Da |χ(b)| = 1 und |R(s; χ)| beschränkt, ist auch R_{2}(s) beschränkt für σ > \frac{1}{2}. Eine der Orthogonalitätsrelationen (→ Vortrag 5) besagt

∑_{χ} χ(b p) = \{ \begin{matrix}ϕ(m) , & b p ≡ 1 mod m \\ 0 , & sonst \end{matrix} .

Wegen a b ≡ 1 mod m gilt

b p ≡ 1 mod m ⟺ p ≡ a mod m.

Mit (2) und der Orthogonalitätsrelation folgt

∑_{χ} χ(b)G(s; χ) = ϕ(m) ∑_{p≡a(m)} p^{−s} + R_{2}(s).

Nach wie vor sei Re(s) = σ > 1. Dann ergibt Division durch ln((s − 1)^{−1}) und Aufspaltung der linken Summe (χ_{0} ist der Hauptcharakter)

lim_{s→1} (χ_{0}(b) \frac{G(s; χ_{0})}{ln(s − 1)^{−1}} + ∑_{χ≠χ_{0}} χ(b)\frac{G(s; χ)}{ln(s − 1)^{−1}} )

= ϕ(m) d(P(a, m)) + lim_{s→1} \frac{R_{2}(s)}{ln(s − 1)^{−1}} .  (3)

Diese Gleichung beinhaltet alle für den weiteren Beweis benötigten Informationen.

Zunächst ist χ_{0}(b) = 1, da (b, m) = 1. R_{2}(s) bleibt beschränkt für σ → 1 + 0, folglich konvergiert der letzte Summand der rechten Seite von (3) gegen 0. Es bleibt, noch Abschätzungen für die beiden Terme auf der linken Seite zu treffen.

Lemma 9.6

(a) lim_{s→1+0} \frac{G(s; χ_{0})}{ln(s − 1)^{−1}} = 1 und (b) lim_{s→1+0} \frac{G(s; χ)}{ln(s − 1)^{−1}} → 0 für χ ≠ χ_{0}.

Beweis. Zu (a):

L(s, χ_{0}) = ∏_{p |̸ m}(1 − p^{−s})^{−1} = ∏_{p|m}(1 − p^{−s}) ∏_{p}(1 − p^{−s})^{−1}
= ∏_{p|m}(1 − p^{−s})ζ(s)

⟹ G(s; χ_{0}) = \underbrace{∑_{p|m} ln(1 − p^{−s})}_{=:M} + ln ζ(s)

Da die p Primzahlen sind, ist die Summe M endlich und beschränkt. Nach Korollar 9.2 gilt \frac{ln ζ(s)}{ln(s−1)^{−1}} = 1, also

lim_{s→1} \frac{G(s; χ_{0})}{ln(s − 1)^{−1}} = 1.

Die Teilaussage (b) ist schwieriger zu beweisen; hierfür wird benötigt, daß L(s; χ) bei σ = 1 nicht verschwindet, falls χ ≠ χ_{0}. Dies wurde in Vortrag 8 dieses Proseminars gezeigt.

Dann läßt sich schließen:

Da L(1, χ) ≠ 0, gibt es eine Umgebung D von L(1, χ) so, daß 0 ∉ D. Sei log ein auf D einwertiger Logarithmus. Dann gibt es ein δ, so daß log L(s, χ) ∈ D für s ∈]1, 1 + δ[. Dieser log unterscheidet sich um einen Summanden 2kπi, k ∈ ZZ von G(s; χ). Der Grenzwert lim_{s→1} L(s, χ) existiert, folglich auch der von G(s; χ). Damit bleibt G(s; χ) beschränkt für s → 1 + 0. Die zweite Aussage des Lemmas folgt. □

Also wird (3) beim Grenzübergang von s nach 1 von rechts zu

1 = ϕ(m) d(P(a, m)).

Dies ist aber der oben angegebene Dirichletsche Primzahlsatz.

Literatur

[1] K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer 1982

[2] K. Chandrasekharan, Einführung in die analytische Zahlentheorie, Springer 1966