Proseminar Infinitesimalrechnung II - 7. Vortrag

ANALYTISCHE FORTSETZUNG VON L-REIHEN

RYAD HUSSEINI UND MICHAEL BRANDL

7.1. Erinnerung Charaktere.

Im folgenden bezeichne χ_{1} immer einen Hauptcharakter.

Beispiel 7.1. (Charaktere mod m)

Man betrachte die Charaktere modulo 5. Es gibt 4 prime Restklassen: \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}. Die Gruppe A der primen Restklassen ist zyklisch, \overline{3} ist erzeugendes Element. Es gilt

\overline{3}^{2} = \overline{4};  \overline{3}^{3} = \overline{2};  \overline{3}^{4} = \overline{1}

Es gibt wegen A ≃ ℭ𝔥𝔞𝔯(A) genau 4 Charaktere χ_{i}, die durch das Bild des erzeugenden Elementes χ_{i}(\overline{3}) bestimmt sind. Weiterhin existieren 4 vierte Einheitswurzeln: 1, −1, i, −i. Es ergibt sich somit die Tabelle:

\overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4}
χ_{1} 1 1 1 1
χ_{2} 1 −1 −1 1
χ_{3} 1 −i i −1
χ_{4} 1 i −i 1

Wir betrachten nun noch die Charaktere modulo 6. Wiederum gibt es die Restklassen \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}, jedoch sind nur \overline{1} und \overline{5} prime Restklassen. Es existieren somit zwei Charaktere:

\begin{aligned}& \overline{1} & \overline{5} \\ χ_{1} & 1 & 1 \\ χ_{2} & 1 & −1 \end{aligned}

Diese Charaktere werden gemäß der Definition für alle a ∈ ℕ_{0} definiert durch

χ(a) = \{ \begin{matrix}χ(\overline{a}) & falls (a, m) = 1 \\ 0 & falls (a, m) > 1 \end{matrix}

Erinnerung 7.2. Ist χ Charakter modulo m, so heißt die Dirichlet-Reihe

L(s, χ) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{χ(n)}{n^{−s}}

L-Reihe.

Beispiel 7.3. Die L-Reihe modulo 6 des Charakter χ_{2} ist

L(s, χ_{2}) = 1 − \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^{s}} − \frac{1}{11^{s}} + \frac{1}{13^{s}} − …

7.2. Funktionentheoretische Grundlagen.

Der Begriff der analytischen Fortsetzung entstammt der Funktionentheorie. Da insbesondere der Satz über die Eindeutigkeit der analytischen Fortsetzung für das Verständnis des Vortrages wichtig ist, sollen hier einige funktionentheoretische Ergebnisse - teilweise ohne Beweis - angeführt werden.

Definition 7.4. Eine Funktion f : D → ℂ, D ⊂ ℂ heißt komplex differenzierbar im Punkt a ∈ D, falls der Grenzwert

lim_{z→a} \frac{f(z) − f(a)}{z − a}

existiert.

Eine Funktion f : D → ℂ, D ⊂ ℂ offen, welche in jedem Punkt von D komplex differenzierbar ist, heißt auch analytisch oder holomorph oder regulär in D.

f heißt analytisch im Punkt a ∈ D, wenn es eine offene Umgebung (Kreisscheibe) U ⊂ D von a gibt, so daß f in U analytisch ist.

Satz 7.5. Analog zum Differentieren im Bereich der reellen Zahlen gelten für Funktionen f, g ∈ 𝔄𝔟𝔟(D, ℂ), die in a ∈ D komplex differenzierbar sind, die gleichen Regeln beim Differenzieren von f + g, f · g, . . .. Weiterhin läßt sich die Kettenregel übertragen. f und g sind außerdem stetig in a.

Satz 7.6. Sei f : D → ℂ, D ⊂ ℂ offen. Dann sind äquivalent:

• f ist analytisch.

• f läßt sich lokal in Potenzreihen entwickeln, d.h. zu jedem Punkt a ∈ D existiert eine Umgebung U(a), in der sich f als Potenzreihe darstellen läßt.

Definition 7.7. Eine Funktion f : D → ℂ, D ⊂ ℂ offen heißt lokal konstant, wenn zu jedem a ∈ D eine Umgebung U(a) ⊂ D existiert, in der f konstant ist.

Definition 7.8. Eine Menge D ⊂ ℂ heißt zusammenhängend, falls jede lokal konstante Funktion f : D → ℂ konstant ist.

Eine Menge D ⊂ ℂ heißt bogenweise zusammenhängend, falls zu je zwei Punkten z, w ∈ D eine ganz in D verlaufende stückweise glatte Kurve existiert, welche z und w verbindet. Ist D zudem offen, so heißt D Gebiet.

Man sieht leicht ein, daß man sich ein Gebiet anschaulich als zusammenhängende “Fläche” in der komplexen Zahlenebene ohne “Rand” vorstellen kann.

Lemma 7.9. Jede bogenweise zusammenhängende Menge D ⊂ ℂ ist zusammenhängend.

Definition 7.10. Sei D ⊂ ℂ offen. Eine Teilmenge M ⊂ D heißt diskret in D, falls D keine Häufungspunkte von M enthält.

Satz 7.11. Sei f : D → ℂ eine von der Nullfunktion verschiedene analytische Funktion auf einem Gebiet D ⊂ ℂ. Dann ist die Menge 𝔑(f) der Nullstellen von f diskret in D.

Beweis. Sei a ∈ D ein Häufungspunkt von 𝔑(f). Nun läßt sich f in einer Umgebung U_{r}(a) in eine Potenzreihe entwickeln:

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}, |z − a| < r.

Nun zeigen wir mit vollständiger Induktion, daß ∀k ∈ ℕ_{0} : a_{k} = 0.

IA: k = 0. In jeder Umgebung von a existiert ein x ∈ 𝔑(f) mit x ≠ a (nach Definition von a). Da f stetig in a ist, muß nach dem Folgenkriterium für Stetigkeit a_{0} = f(a) = 0 gelten.

IS: k → k + 1. Es gelte a_{0} = … = a_{k} = 0. Auch die Reihe

\frac{f(z)}{(z − a)^{k+1}} = \frac{1}{(z − a)^{k+1}} ∑_{n=k+1}^{∞} a_{n}(z − a)^{n} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n+k+1}(z − a)^{n}

ist stetig (fortsetzbar) in a. Mit der obigen Argumentation folgt nun a_{k+1} = 0.

Innerhalb der Umgebung U_{r}(a) ist f also konstant 0.

Zu jeder Nullstelle von f existiert also eine Umgebung dieser Nullstelle, in der die Funktion konstant 0 ist. Die Menge der Nullstellen 𝔑(f) ist somit offen, außerdem auch die Menge

U:={z ∈ D; z ist Häufungspunkt von 𝔑(f)}

offen.

Die hierzu komplementäre Menge

V:={z ∈ D; z ist kein Häufungspunkt von 𝔑(f)}

ist auch offen. Nun definiert man eine Funktion g wie folgt:

g : D → ℝ
z ↦ g(z) := \{ \begin{matrix}1 & falls z ∈ U \\ 0 & falls z ∈ V \end{matrix}

Diese Funktion ist lokal konstant, d.h. für jedes z ∈ D existiert eine Umgebung, in der g konstant ist. D ist jedoch ein Gebiet, also insbesondere zusammenhängend. Also muß g konstant sein. Also ist V leer, f ist also konstant 0.

Satz 7.12. (Identitätssatz für analytische Funktionen)

Seien f, g : D → ℂ zwei analytische Funktionen auf einem Gebiet D ≠ ∅, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. f = g

2. Die Menge der Übereinstimmungen von f und g (auch Koinzidenzenmenge)

{z ∈ D; f(z) = g(z)}

hat einen Häufungspunkt.

Beweis. 1) ⇒ 2) Für alle z ∈ D ist nach 1) f(z) = g(z), also D = {z ∈ D; f(z) = g(z)}. D hat als offene Menge mindestens einen Häufungspunkt (in D).

2) ⇐ 1) Hat die Koinzidenzenmenge einen Häufungspunkt, so hat auch die Menge der Nullstellen der (analytischen) Funktion f − g einen Häufungspunkt. Somit ist f − g = 0, also f = g.

Folgerung 7.13. Ist eine Funktion f auf einem Gebiet U analytisch, so existiert eindeutig ein analytisches f̃: V → ℂ mit ∀z ∈ V ∩ U : f(z) = f̃(z), wenn V ∩ U einen Häufungspunkt hat. (Eindeutigkeit der analytischen Fortsetzung.)

Beispiel 7.14. Somit läßt sich die (vorerst nur im reellen definierte) Funktion

cos x = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!}

eindeutig analytisch auf ganz ℂ fortsetzen, da die Potenzreihe, die den Cosinus für reelle Zahlen definiert, auf ganz ℂ konvergiert. Ebenso Sinus, ... .

7.3. Analytische Fortsetzung von ζ(s) und der L-Reihen auf Re s > 0.

Es soll nun gezeigt werden, wie sich L-Reihen, insbesondere die Zeta-Funktion ζ(s), analytisch fortsetzen lassen. Dies wird in zwei Schritten vollzogen: Erst einmal in die Halbebene {s ∈ ℂ|Re s > 0} \ {1}, dann nach ℂ \ {1}. Es sei nun immer s ≠ 1.

Erinnerung 7.15. (Abelsche partielle Summation)

Seien (a_{n}) und (b_{n}) komplexe Folgen und konvergiere ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n}. Sei außerdem A_{n} := ∑_{k=1}^{n} a_{k} und lim_{n→∞} A_{n}b_{n} = 0. Dann gilt:

∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} = ∑_{n=1}^{∞} A_{n}(b_{n} − b_{n+1})

Sei nun Re s > 1. Dann gilt mit der o.g. Summationsformel und a_{n} = 1, b_{n} = n^{−s}, somit also A_{n} = n:

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} n^{−s} = ∑_{n=1}^{∞} 1 · n^{−s} = ∑_{n=1}^{∞} n(n^{−s} − (n + 1)^{−s})

Es gilt :

∫_{n}^{n+1} x^{−s−1}dx = −\frac{1}{s}x^{−s}|_{n}^{n+1} = \frac{1}{s} (n^{−s} − (n + 1)^{−s})

Also folgt in obiger Gleichung:

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} ns ∫_{n}^{n+1} x^{−s−1}dx = s ∑_{n=1}^{∞} ∫_{n}^{n+1} nx^{−s−1}dx

Man setzt nun für reelle x: [x] := max {m ∈ ℤ|m ≤ x} (Gaußklammern) und ⟨x⟩ := x − [x] (“Nachkommaanteil von x”). Für alle x ∈ [n, n + 1) gilt n = [x]. Aufgrund der Stetigkeit und wegen der Additivität des Integrals ergibt sich:

ζ(s) = s ∑_{n=1}^{∞} ∫_{n}^{n+1}[x]x^{−s−1}dx = s ∫_{1}^{∞}[x]x^{−s−1}dx

Mit [x] = x − ⟨x⟩ folgt:

ζ(s) = s ∫_{1}^{∞}(x − ⟨x⟩)x^{−s−1}dx = s (∫_{1}^{∞} x^{−s}dx − ∫_{1}^{∞} ⟨x⟩ x^{−s−1}dx)
= s lim_{t→∞} ∫_{1}^{t} x^{−s}dx − s ∫_{1}^{∞} ⟨x⟩ x^{−s−1}dx
= s lim_{t→∞} [\frac{t^{−s}}{−s + 1} − \frac{1}{−s + 1}] − s ∫_{1}^{∞} ⟨x⟩ x^{−s−1}dx
= \frac{s}{s − 1} − s ∫_{1}^{∞} ⟨x⟩ x^{−s−1}dx

Nun gilt nach Definition | ⟨x⟩ | ≤ 1. Da für Re s > 0 das uneigentliche Integral ∫_{1}^{∞} x^{−s−1}dx existiert, folgt mit dem Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale die Existenz von ∫_{1}^{∞} ⟨x⟩ x^{−s−1}dx. Der gesamte Ausdruck ist weiterhin analytisch für Re s > 0.

Aufgrund der Eindeutigkeit der analytischen Fortsetzung folgt nun der

Satz 7.16. Die Zetafunktion läßt sich auf {s ∈ ℂ|Re s > 0} \ {1}durch

ζ(s) = \frac{s}{s − 1} − s ∫_{1}^{∞} ⟨x⟩ x^{−s−1}dx

analytisch fortsetzen.

Lemma 7.17. Die L-Reihe L(s, χ_{1}) läßt sich analytisch fortsetzen auf Re s > 0 mit

L(s, χ_{1}) = ζ(s) · ∏_{p|m}(1 − p^{−1}) (7.1)

Beweis. Die L-Reihe L(s, χ_{1}) läßt sich für Re s > 1 wie folgt schreiben:

L(s, χ_{1}) = ∏_{p†m}(1 − p^{−s})^{−1}
= ∏_{p}(1 − p^{−s})^{−1} · ∏_{p|m}(1 − p^{−s})
= ζ(s) · ∏_{p|m}(1 − p^{−s})

Die Zeta-Funktion läßt sich analytisch fortsetzen auf Re s > 0. Außerdem ist das endliche Produkt ∏_{p|m}(1 − p^{−s}) analytisch. Somit ist die o.g. Darstellung die analytische Fortsetzung der L-Reihe.

Anmerkung 7.18. In 6.17 (6. Vortrag) wurde gezeigt, daß die L-Reihe L(s, χ) (modulo m) mit χ ≠ χ_{1} für Re s > 0 konvergiert.

Solche L-Reihen lassen sich jedoch auch auf die gleiche Weise wie die Zeta-Funktion auf {s ∈ ℂ|Re s > 0} fortsetzen: Man nutzt auch hier die partielle Summation und |∑_{i=0}^{n} χ(i)| ≤ ϕ(m).

7.4. Analytische Fortsetzung der ζ-Funktion und der L-Reihen auf ℂ.

Wiederum sei s ≠ 1.

Für die analytische Fortsetzung der Zeta-Funktion auf die ganze komplexe Zahlenebene ist es sinnvoll, die Gamma-Funktion einzuführen.

Definition 7.19. Die Funktion

Γ(s) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{s−1}dt

heißt Gamma-Funktion. Das Integral existiert für Re s > 0. Die Gamma-Funktion ist analytisch.

Lemma 7.20. (Funktionalgleichung der Gamma-Funktion)

Es gilt:

Γ(s + 1) = sΓ(s).

Durch diesen Ausdruck läßt sich Γ(s) analytisch auf ganz ℭ fortsetzen.

Beweis. Partielle Integration ergibt:

Γ(s + 1) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{s}dt = ∫_{0}^{∞} −(e^{−t})′t^{s}dt
= \underbrace{−e^{−t}t^{s}|_{0}^{∞}}_{=0} + ∫_{0}^{∞} e^{−t}st^{s−1}dt = sΓ(s)

Mit vollständiger Induktion sich nun hieraus leicht folgern, daß gilt:

Γ(s + k) = s(s + 1) · . . . · (s + k − 1)Γ(s)

Man kann mittels dieser Funktionalgleichung die Gamma-Funktion auf ganz ℂ\{n ∈ ℤ|n ≤ 0} fortsetzen, indem für Re s > −k (k ∈ 𝔑 beliebig) setzt:

Γ(s) = \frac{1}{s(s + 1) · . . . · (s + k − 1)}Γ(s + k)

Das Produkt ist analytisch mit Ausnahme der Polstellen s = 0, s = −1, … s = −k + 1.

Im folgenden wollen wir die Zeta-Funktion auf Re s ≤ 0 fortsetzen. Dazu verwenden wir die Gamma-Funktion. Es gilt für Re s > 1:

Γ(s) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{s−1}dt = ∫_{0}^{∞} e^{−nt}(nt)^{s−1}d(nt)
(7.2)  ⇒ n^{−s}Γ(s) = ∫_{0}^{∞} e^{−nt}t^{s−1}dt
⇒ ∑_{n=1}^{∞} n^{−s}Γ(s) = ∑_{n=1}^{∞} ∫_{0}^{∞} e^{−nt}t^{s−1}dt

⇒ ζ(s)Γ(s) = ∫_{0}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} e^{−nt}t^{s−1}dt

= ∫_{0}^{∞} t^{s−1} (∑_{n=0}^{∞} e^{−nt} − 1) dt

= ∫_{0}^{∞} t^{s−1} (\frac{1}{1 − e^{−t}} − 1) dt
(7.3)  = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−t}}{1 − e^{−t}} t^{s−1}dt

Nun substituieren wir t mit 2t:

ζ(s)Γ(s) = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−2t}}{1 − e^{−2t}} (2t)^{s−1}d(2t)
(7.4)  ⇒ 2^{1−s}ζ(s)Γ(s) = 2 ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−2t}}{1 − e^{−2t}} t^{s−1}dt

Nun sei ζ^{∗}(s) := (1 − 2^{1−s})ζ(s) und R(x) := \frac{x}{x−1} − 2\frac{x^{2}}{1−x^{2}} = \frac{x(1+x)−2x^{2}}{(1−x)(1+x)} = \frac{x}{1+x}. Es folgt (Subtraktion von (7.3) und (7.4)):

ζ(s)Γ(s) − 2^{1−s}ζ(s)Γ(s) = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−t}}{1 − e^{−t}} t^{s−1}dt − 2 ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−2t}}{1 − e^{−2t}} t^{s−1}dt
⇒ ζ^{∗}(s)Γ(s) = ∫_{0}^{∞} R(e^{−t})t^{s−1}dt

Dieser Ausdruck läßt sich nun partiell integrieren. Es sei R_{0}(t) := R(e^{−t}), R_{n}(t) := \frac{d^{n}}{dt^{n}} R(e^{−t}) . Leitet man R(x) n-mal ab, so ergibt sich unter wiederholtem Anwenden der Quotientenregel (P_{n}(x) ist Polynom in n):

\frac{d^{n}}{dx^{n}} R(x) = \frac{P_{n}(x)}{(1 + x)^{2^{n}}}

Mit der Kettenregel folgt weiterhin:

R_{n}(t) = \frac{d^{n}}{dt^{n}} R (e^{−t}) = \frac{e^{−t}P_{n} (e^{−t})}{(1 + e^{−t})^{2^{n}}}

Man sieht nun, daß R_{n}(0) existiert, außerdem existiert

lim_{t→∞} \frac{R_{n}(t)}{e^{−t}} = \frac{P_{n} (e^{−t})}{(1 + e^{−t})^{2^{n}}} .

Es läßt sich somit für Re s > −1 das uneigentliche Integral

∫_{0}^{∞} R_{n}(t)t^{s}dt = ∫_{0}^{∞} \frac{R_{n}(t)}{e^{−t}}e^{−t}t^{s}dt

berechnen (Majorantenkriterium, Majorante ist die Gamma-Funktion). Es folgt:

ζ^{∗}(s)Γ(s) = ∫_{0}^{∞} R (e^{−t}) \frac{1}{s} (t^{s}) ′dt = \frac{1}{s}R(e^{−t})t^{s}|_{0}^{∞} − \frac{1}{s} ∫_{0}^{∞} R′(t)t^{s}dt
⇒ ζ^{∗}(s)sΓ(s) = \underbrace{\frac{e^{−t}}{1 + e^{−t}} t^{s}|_{0}^{∞}}_{=0 wegen lim_{t→∞} \frac{e^{−t}t^{s}}{1+e^{−t}} =0} − ∫_{0}^{∞} R_{1}(t)t^{s}dt

⇒ ζ^{∗}(s)Γ(s + 1) = − ∫_{0}^{∞} R_{1}(t)t^{s}dt

Das k-malige partielle Integrieren ergibt, da für natürliche Zahlen i

∫_{0}^{∞} R_{i}(t)t^{s+i−1}dt = ∫_{0}^{∞} R_{i}(t)\frac{1}{s + i} (t^{s+i}) ′dt
= \underbrace{\frac{1}{s + i}R_{i}(t)t^{s+i}|_{0}^{∞}}_{=0} −\frac{1}{s + i} ∫_{0}^{∞} R_{i+1}(t)t^{s+i}dt

für k ∈ ℕ die Gleichung

ζ^{∗}(s)Γ(s + k) = (−1)^{k} ∫_{0}^{∞} R_{k}(t)t^{s+k−1}dt
⇒ ζ(s)(1 − 2^{1−s})Γ(s + k) = (−1)^{k} ∫_{0}^{∞} R_{k}(t)t^{s+k−1}dt

Das unbestimmte Integral existiert (s.o.) für Re s > −k und ist dort analytisch, ebenso (1 − 2^{1−s}) und Γ(s + k). Da außerdem für Re s > −k gilt: 1 − 2^{1−s} ≠ 0, Γ(s + k) ≠ 0, folgt der

Satz 7.21. Sei k ∈ ℕ. Dann läßt sich die Zeta-Funktion durch

ζ(s) = \frac{(−1)^{k}}{(1 − 2^{1−s})Γ(s + k)} ∫_{0}^{∞} R_{k}(t)t^{s+k−1}dt

auf {s ∈ ℂ|Re s > −k} \ {1} analytisch fortsetzen.

Folgerung 7.22. Insgesamt läßt sich die Zeta-Funktion so schrittweise auf ganz ℂ \ {1} analytisch fortsetzen.

Analog zur analytischen Fortsetzung der L-Reihen L(s, χ_{1}) der Hauptcharaktere läßt sich deren analytische Fortsetzung auf ℂ \ {1} über die Gleichung (7.1) auf die Ergebnisse für die Zetafunktion zurückführen:

Lemma 7.23. Ist χ_{1} Hauptcharakter modulo m, so läßt sich die L-Reihe L(s, χ_{1}) analytisch auf ℂ \ {1} fortsetzen. Für natürliche Zahlen k gibt

L(s, χ_{1}) = \frac{(−1)^{k}}{(1 − 2^{1−s})Γ(s + k)} (∫_{0}^{∞} R_{k}(t)t^{s+k−1}dt) ∏_{p|m}(1 − p^{−1})

die analytische Fortsetzung auf {s ∈ ℂ|Re s > −k} \ {1} an.

Zuletzt setzen wir noch L(s, χ) für einen nichttrivialen Charakter χ ≠ χ_{1} modulo m fort. Sei Re s > 0.

Man multipliziere die Gleichung (7.2) mit χ(n):

χ(n)n^{−s}Γ(s) = χ(n) ∫_{0}^{∞} e^{−nt}t^{s−1}dt
⇒ ∑_{n=1}^{∞} \frac{χ(n)}{n^{s}}Γ(s) = ∑_{n=1}^{∞} χ(n) ∫_{0}^{∞} e^{−nt}t^{s−1}dt

(7.5)  ⇒ L(s, χ)Γ(s) = ∫_{0}^{∞} (t^{s−1} ∑_{n=1}^{∞} χ(n)e^{−nt}) dt

Weiterhin gilt aufgrund der Periodizität von χ (χ(a) = χ(a + m) für alle a ∈ ℕ_{0}):

∑_{n=1}^{∞} χ(n)e^{−nt} = ∑_{n=0}^{∞} ∑_{a=1}^{m} \underbrace{χ(a + nm)}_{=χ(a)} e^{−(a+nm)t}

= ∑_{n=0}^{∞} ∑_{a=1}^{m} χ(a)e^{−(a+nm)t}

= ∑_{a=1}^{m} χ(a) ∑_{n=0}^{∞} e^{−(a+nm)t}

= ∑_{a=1}^{m} χ(a)e^{−at} ∑_{n=0}^{∞} e^{−nmt}

= ∑_{a=1}^{m} χ(a)\frac{e^{−at}}{1 − e^{−mt}}

Setzt man jetzt F_{χ}(x) := ∑_{n=1}^{∞} χ(n)\frac{x^{a}}{1−x^{m}}, so schreibt sich die Gleichung (7.5) als:

L(s, χ)Γ(s) = ∫_{0}^{∞} F_{χ}(e^{−t})t^{s−1}dt (7.6)

Wiederum substituieren wir t mit 2t:

L(s, χ)Γ(s) = ∫_{0}^{∞} F_{χ}(e^{−2t})(2t)^{s−1}d(2t)
(7.7)  ⇒ 2^{1−s}L(s, χ)Γ(s) = 2 ∫_{0}^{∞} F_{χ}(e^{−2t})t^{s−1}dt

Subtrahiert man (7.7) von (7.6), so ergibt sich:

(1 − 2^{1−s})L(s, χ)Γ(s) = ∫_{0}^{∞} (F_{χ} (e^{−t}) − 2F_{χ} (e^{−2t})) t^{s−1}dt (7.8)

Man setzt weiterhin:

L^{∗}(s, χ) := (1 − 2^{1−s})L(s, χ)
R_{χ}(x) := F_{χ}(x) − 2F_{χ}(x^{2})
= ∑_{a=1}^{m} χ(a)\frac{x^{a}}{1 − x^{m}} − 2 ∑_{a=1}^{m} χ(a)\frac{x^{2a}}{1 − x^{2m}}

= ∑_{a=1}^{m} χ(a) (\frac{x^{a}}{1 − x^{m}} − 2\frac{x^{2a}}{1 − x^{2m}} )

= ∑_{a=1}^{m} χ(a)\frac{x^{a}(1 + x^{m}) − 2x^{2a}}{1 − x^{2m}}

= ∑_{a=1}^{m} χ(a)x^{a} \frac{1 + x^{m} − 2x^{a}}{(1 − x)(1 + x + ⋯ + x^{2m−1})}

Nun ist 1 Nullstelle des Polynoms 1 + x^{m} − 2x^{a}. Es existiert also Polynome P_{χ,i}(x) (1 ≤ i ≤ m), so daß gilt:

R_{χ}(x) = ∑_{a=1}^{m} χ(a)x^{a} \frac{(1 − x)P_{χ,a}(x)}{(1 − x)(1 + x + ⋯ + x^{2m−1})}

= x ∑_{a=1}^{m} χ(a)x^{a−1} \frac{P_{χ,a}(x)}{1 + x + ⋯ + x^{2m−1}}

= \frac{x}{1 + x + ⋯ + x^{2m−1}} ∑_{a=1}^{m} \underbrace{χ(a)x^{a−1}P_{χ,a}(x)}_{Polynom in x}

Setzt man f_{χ}(x) := ∑_{a=1}^{m} χ(a)x^{a−1}P_{χ,a}(x), so ist auch f_{χ}(x) ein Polynom in x.

⇒ R_{χ}(x) = \frac{xf_{χ}(x)}{1 + x + ⋯ + x^{2m−1}}

Analog zum Vorgehen bei der Fortsetzung der Zeta-Funktion definiert man nun:

R_{χ,0}(t) := R_{χ}(e^{−t})
R_{χ,n}(t) := \frac{d^{n}}{dt^{n}} R_{χ,0}(t)

Es existieren außerdem Polynome Q_{χ,n}(x) (wiederholtes Anwenden der Quotientenregel, Kettenregel):

R_{χ,n}(t) = \frac{e^{−t}Q_{χ,n}(e^{−t})}{(1 + e^{−t} + ⋯ + e^{−(2m−1)t})^{2^{n}}}

Insbesondere ist

lim_{t→∞} R_{χ,n}(t)t^{s} = \underbrace{( lim_{t→∞} \frac{t^{s}}{e^{t}} )}_{=0} · \underbrace{( lim_{t→∞} \frac{Q_{χ,n}(e^{−t})}{(1 + e^{−t} + ⋯ + e^{−(2m−1)t})^{2^{n}}} )}_{<∞}

= 0

(7.8) erhält nun die Form

L^{∗}(s, χ)Γ(s) = ∫_{0}^{∞} R_{χ,0}(t)t^{s−1}dt

Auch hier läßt sich (mit gleicher Argumentation wie für die Zeta-Funktion) wieder partiell integrieren:

L^{∗}(s, χ)Γ(s) = ∫_{0}^{∞} R_{χ,0}(t)\frac{1}{s} (t^{s}) ′dt
= \underbrace{\frac{1}{s}R_{χ,0}(t)t^{s}|_{0}^{∞}}_{=0} −\frac{1}{s} ∫_{0}^{∞} R_{χ,1}(t)t^{s}dt

⇒ L^{∗}(s, χ)Γ(s + 1) = − ∫_{0}^{∞} R_{χ,1}(t)t^{s}dt

k-malige partielle Integration ergibt weiterhin:

L^{∗}(s, χ)Γ(s + k) = (−1)^{k} ∫_{0}^{∞} R_{χ,k}(t)t^{s+k−1}dt
⇒ (1 − 2^{1−s}) L(s, χ)Γ(s + k) = (−1)^{k} ∫_{0}^{∞} R_{χ,k}(t)t^{s+k−1}dt
(7.9)  ⇒ L(s, χ) = \frac{(−1)^{k}}{(1 − 2^{1−s}) Γ(s + k)} ∫_{0}^{∞} R_{χ,k}(t)t^{s+k−1}dt

Die rechte Seite von (7.9) von ist nun für Re s > −k, s ≠ 1 analytisch in s (R_{χ,k}(t) ist auf [0, ∞) beschränkt). Es ergibt sich der

Satz 7.24. Die L-Reihe L(s, χ) (χ ≠ χ_{1}) läßt sich durch (7.9) auf {s ∈ ℂ|Re s > −k}\{1} analytisch fortsetzen, durch wiederholtes Fortsetzen insgesamt auf ℂ\{1}.

Literatur

Ireland, Kenneth; Rosen, Michael: A classical introduction to modern number theory; 2nd ed. 1990, Springer, New York

Chandrasekharan, K.: Introduction to analytic number theory (Springer)

Freitag, Eberhard; Busam, Rolf: Funktionentheorie; 2. Aufl 1995, Springer, Berlin